3.4: 求直线方程
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- 203861
在本节结束时，您将能够：
- 给定斜率和 y 截距，求直线方程
- 在给定斜率和点的情况下找出直线的方程
- 在给定两点的情况下找出直线的方程
- 求一条平行于给定直线的直线的方程
- 求一条垂直于给定直线的直线的方程
在线公司如何根据你刚刚订购的东西知道 “你可能也会喜欢” 一件特定的物品？ 经济学家怎么知道最低工资的提高将如何影响失业率？ 医学研究人员如何创造靶向癌细胞的药物？ 交通工程师如何预测汽油价格上涨或下降对通勤时间的影响？ 都是数学。
物理科学、社会科学和商业世界充满了可以用关联两个变量的线性方程进行建模的情境。 要创建两个变量之间线性关系的数学模型，我们必须能够找到直线的方程。 在本节中，我们将介绍几种写直线方程的方法。 我们使用的具体方法将取决于我们获得的信息。
给定斜率和 y 截距求直线方程
如果方程以斜率截距形式书写，我们可以很容易地确定直线的斜率和截距\(y=mx+b\)。 现在我们将做相反的——我们将从斜率和 y-截距开始，然后用它们来求直线的方程。
找出具有斜率\(−9\)和 y 截距的直线的方程\((0,−4)\)。
- 回答
-
由于我们得到了直线的斜率和 y 截距，因此我们可以将所需的值替换为斜率截距形式\(y=mx+b\)。
命名斜坡。 
命名为 y 截距。 
将这些值替换为\(y=mx+b\)。 
找出具有斜率\(25\)和 y 截距的直线的方程\((0,4)\)。
- 回答
-
\(y=\frac{2}{5}x+4\)
找出具有斜率\(−1\)和 y 截距的直线的方程\((0,−3)\)。
- 回答
-
\(y=−x−3\)
有时，需要根据图表确定斜率和截距。
找到图中显示的直线的方程。
- 回答
-
我们需要从图中找到直线的斜率和 y 截距，这样我们才能将所需的值替换为斜率截距形式\(y=mx+b\)。
为了找到斜率，我们在图表上选择两个点。
y 截距为\((0,−4)\)，图形通过\((3,−2)\)。
通过计算上升和跑步来找到斜率。 
找出 y 截距。 
将这些值替换为 y=mx+b.y=mx+b。 
找到图中显示的直线的方程。
- 回答
-
\(y=\frac{3}{5}x+1\)
找到图中显示的直线的方程。
- 回答
-
\(y=\frac{4}{3}x−5\)
在给定斜率和点的情况下求直线方程
当你得到斜率和 y 截距或者从图表中读取它们时，使用方程的坡度截距形式找到直线方程效果很好。 但是当你有另一个点而不是 y 截距时会发生什么？
我们将使用斜率公式推导出另一种形式的直线方程。
假设我们有一条斜率为 m 的直线，它包含一些特定的点\((x_1,y_1)\)和另一个点，我们就称之为\((x,y)\)。 我们可以写出这条线的斜率，然后将其更改为不同的形式。
\( \begin{array} {llll} {} &{m} &= &{\frac{y-y_1}{x-x_1}} \\ {\text{Multiply both sides of the equation by }x−x_1.} &{m(x-x_1)} &= &{\left( \frac{y−y_1}{x−x_1} \right)(x−x_1)} \\ {\text{Simplify.}} &{m(x-x_1)} &= &{y-y_1} \\ {\text{Rewrite the equation with theyterms on the left.}} &{y-y_1} &= &{m(x-x_1)} \\ \end{array} \)
这种格式称为直线方程的点斜率形式。
斜率为 m 且包含点的直线方程的点斜率形式\((x_1,y_1)\)为：
\[y−y_1=m(x−x_1) \nonumber\]
当我们知道斜率和至少一个点时，我们可以使用方程的点斜率形式来找到直线的方程。 然后，我们将以斜率截距形式重写方程。 线性方程的大多数应用都使用斜率截距形式。
如何在给定点和斜率的情况下找到直线方程
找出包含\(m=−\frac{1}{3}\)该点的斜率直线的方程\((6,−4)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
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求具有斜率\(m=−\frac{2}{5}\)并包含该点的直线的方程\((10,−5)\)。
- 回答
-
\(y=−\frac{2}{5}x−1\)
找出一条带有斜率\(m=−\frac{3}{4}\)且包含该点的直线的方程\((4,−7)\)。
- 回答
-
\(y=−\frac{3}{4}x−4\)
为了便于参考，我们列出了这些步骤。
- 确定斜率。
- 找出重点。
- 将这些值替换为点斜率形式，即\(y−y_1=m(x−x_1)\)。
- 以斜率截距形式写出方程。
找到包含该点的水平线方程\((−2,−6)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
每条水平线的斜率为 0。 我们可以将斜率和点替换为点斜率形式，\(y−y_1=m(x−x1)\)。
确定斜率。 
找出重点。 
将这些值替换为 y−y1=m (x−x1) .y−y1=m (x−x1)。 
简化。 
以斜率截距形式书写。 它采用 y 格式，但可以写入\(y=0x−6\)。 我们最终得到了一条水平线的形式\(y=a\)吗，？
求出包含该点的水平线的方程\((−3,8)\)。
- 回答
-
\(y=8\)
求出包含该点的水平线的方程\((−1,4)\)。
- 回答
-
\(y=4\)
给定两点求直线方程
收集真实数据时，可以从两个数据点创建线性模型。 在下一个例子中，我们将看到在只给出两个点的情况下如何找到一条直线的方程。
到目前为止，我们有两种方法可以找到直线方程：坡度截距或点斜率。 当我们从两个点开始时，使用点斜率形式更有意义。
但是接下来我们需要斜坡。 我们能找到只有两个点的斜坡吗？ 是的。 然后，一旦我们有了斜率，我们就可以使用它和给定点之一来找到方程式。
如何在给定两个点的情况下找到直线的方程
找到包含点的直线的方程，\((−3,−1)\)然后\((2,−2)\)用斜率截距形式写下方程。
- 回答
-
找出包含点\((−2,−4)\)和的直线的方程\((1,−3)\)。
- 回答
-
\(y=\frac{1}{3}x−\frac{10{3}\)
找出包含点\((−4,−3)\)和的直线的方程\((1,−5)\)。
- 回答
-
\(y=−\frac{2}{5}x−\frac{23}{5}\)
此处总结了这些步骤。
- 使用给定的点找到斜率。 \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
- 选择一个点。
- 将这些值替换为点斜率形式：\(y−y_1=m(x−x_1)\)。
- 以斜率截距形式写出方程。
找出包含点\((−3,5)\)和的直线方程\((−3,4)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
同样，第一步将是找到斜坡。
通过\((−3,5)\)和找到直线的斜率\((−3,4)\)。
\[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\]
\[m=\frac{4−5}{−3−(−3)} \nonumber\]
\[m=\frac{−1}{0} \nonumber\]
斜率未定义。
这告诉我们这是一条垂直线。 我们两个点的 x 坐标均为\(−2\)。 所以我们的直线方程是\(x=−2\)。 既然没有 y，我们就不能用斜率截距的形式写出来。
您可能需要使用两个给定的点绘制图表。 你的图表是否同意我们的结论，即这是一条垂直线？
找出包含点\((5,1)\)和的直线的方程\((5,−4)\)。
- 回答
-
\(x=5\)
找出包含点\((−4,4)\)和的直线的方程\((−4,3)\)。
- 回答
-
\(x=−4\)
我们已经看到，我们可以使用斜率截距形式或点斜率形式来找到直线的方程。 我们使用哪种形式将取决于我们获得的信息。
| 写出直线方程 | ||
|---|---|---|
| 如果给出： | 使用： | 表单： |
| 斜率和 y 截距 | 斜率截距 | \(y=mx+b\) |
| 斜率和点 | 点斜率 | \(y−y_1=m(x−x_1)\) |
| 两点积分 | 点斜率 | \(y−y_1=m(x−x_1)\) |
求一条平行于给定直线的直线的方程
假设我们需要找到一条穿过特定点且平行于给定直线的直线的方程。 我们可以利用平行线具有相同斜率的事实。 因此，我们将得到一个点和斜率——这正是我们使用点斜率方程所需要的。
首先，让我们用图形来看一下。
这张图显示\(y=2x−3.\)我们想绘制一条平行于这条线并穿过该点的直线\((−2,1)\)。
我们知道平行线的斜率相同。 因此，第二条线的斜率将与之相同\(y=2x−3\)。 那个斜坡是\(m_∥=2\)。 我们将使用符号 m来表示与斜率为 m 的直线平行的直线的斜率。 （请注意，下标 || 看起来像两条平行线。）
第二条线将穿过\((−2,1)\)并有\(m=2\)。
为了绘制这条线，我们从开始计算上升点然后运行。\((−2,1)\)
使用\(m=2\)（或\(m=\frac{2}{1}\)），我们计算上升 2 和运行 1。 我们画了这条线，如图所示。
线条看起来平行吗？ 第二条线能穿过\((−2,1)\)吗？
我们被要求绘制这条线，现在让我们看看如何用代数来绘制这条线。
我们可以使用斜率截距形式或点斜率形式来找到直线的方程。 在这里，我们知道一个点，就可以找到斜率。 因此，我们将使用点斜率形式。
如何找到平行于给定直线和点的直线的方程
找出一条平行于包含\(y=2x−3\)该点的直线的方程\((−2,1)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
看看上面显示的平行线的图表。 这个方程有意义吗？ 这条线的 y 截距是多少？ 斜率是多少？
找出一条平行于包含\(y=3x+1\)该点的直线的方程\((4,2)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
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\(y=3x−10\)
找出一条平行于包含\(y=12x−3\)该点的直线的方程\((6,4)\)。
以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
\(y=\frac{1}{2}x+1\)
- 找出给定直线的斜率。
- 找出平行线的斜率。
- 找出重点。
- 将这些值替换为点斜率形式：\(y−y_1=m(x−x_1)\)。
- 以斜率截距形式写出方程。
求一条垂直于给定直线的直线的方程
现在，让我们考虑垂直线。 假设我们需要找到一条穿过特定点且垂直于给定直线的直线。 我们可以利用这样一个事实，即垂直线的斜率为负倒数。 我们将再次使用点斜率方程，就像我们对平行线所做的那样。
此图显示了\(y=2x−3\)。 现在，我们要绘制一条垂直于这条直线并穿过的直线\((−2,1)\)。
我们知道垂直线的斜率是负倒数。
我们将使用符号\(m_⊥\)来表示垂直于斜率为 m 的直线的斜率。 （请注意，下标\(⊥\)看起来像由两条垂直线形成的直角。）
\[y=2x−3 perpendicular line \nonumber\]
\[m=2 m⊥=−12\nonumber\]
我们现在知道垂直线将\((−2,1)\)通过\(m⊥=−12\)。
为了绘制这条线，我们将从开始计算上升\(−1\)和跑步\(2\)。\((−2,1)\) 然后我们画出界限。
线条看起来是垂直的吗？ 第二条线能穿过\((−2,1)\)吗？
我们被要求绘制这条线，现在，让我们看看如何用代数来做这件事。
我们可以使用斜率截距形式或点斜率形式来找到直线的方程。 在这个例子中，我们知道一个点，并且可以找到斜率，所以我们将使用点斜率形式。
如何找到垂直于给定直线和点的直线的方程
找出一条垂直于包含\(y=2x−3\)该点的直线的方程\((−2,1)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
找出一条垂直于包含\(y=3x+1\)该点的直线的方程\((4,2)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
\(y=−\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\)
找出一条垂直于包含\(y=12x−3\)该点的直线的方程\((6,4)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
\(y=−2x+16\)
- 找出给定直线的斜率。
- 找出垂直线的斜率。
- 找出重点。
- 将这些值替换为点斜率形式，即\(y−y_1=m(x−x_1)\)。
- 以斜率截距形式写出方程。
找出一条垂直于包含\(x=5\)该点的直线的方程\((3,−2)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
再说一遍，既然我们知道一个点，那么点斜率选项似乎比斜率拦截选项更有前途。 我们需要斜率才能使用这种形式，而且我们知道新线将垂直于 x=5.x=5。 这条线是垂直的，所以它的垂直线将是水平的。 这告诉我们 m=0.m=0。
识别点。识别垂直线的斜率。将值替换为 toy−y1=m (x−x1) .Simplify。(3, −2) my−y1y− (−2) y+2y====0m (x−x1) 0 (x−3) 0−2识别点。(3, −2) 识别垂直线的斜率。line.将值替换为 toy−y1=m (x−x1) .simplify.m=0y−y1=m (x−x1) y− (−2) =0 (x−3) y+2=0y=−2
绘制两条线的图形。 在你的图表上，线条看起来是垂直的吗？
找出与包含该点的直线\(x=4\)垂直的方程\((4,−5)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
\(y=−5\)
找出与包含该点的直线\(x=2\)垂直的方程\((2,−1)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
\(y=−1\)
在示例中，我们使用点斜率形式来求方程。 我们可以用不同的方式来看待这个问题。
我们想找到一条垂直于包含\(x=5\)该点的直线\((3,−2)\)。 这张图向我们显示了直线\(x=5\)和点\((3,−2)\)。
我们知道垂直于垂直线的每条直线都是水平的，因此我们将绘制穿过的水平线\((3,−2)\)。
线条看起来是垂直的吗？
如果我们看这条水平线上的几个点，我们会注意到它们的 y 坐标都为\(−2\)。 因此，垂直于垂直线的直线的方程\(x=5\)为\(y=−2\)。
找出一条垂直于包含\(y=−3\)该点的直线的方程\((−3,5)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
这条线\(y=−3\)是一条水平线。 任何垂直于它的直线都必须是垂直的，形式为\(x=a\)。 由于垂直线是垂直且穿过的\((−3,5)\)，因此垂直线上每个点的 x 坐标均为\(−3\)。 垂直线的方程为\(x=−3\)。
你可能想画出线条。 它们看起来是垂直的吗？
找出与包含该点的直线\(y=1\)垂直的方程\((−5,1)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
\(x=−5\)
找出与包含该点的直线\(y=−5\)垂直的方程\((−4,−5)\)。 以斜率截距形式写出方程。
- 回答
-
\(x=−4\)
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关键概念
- 如何在给定斜率和点的情况下找到直线方程。
- 确定斜率。
- 找出重点。
- 将这些值替换为点斜率形式，即\( y−y_1=m(x−x_1)\)。
- 以斜率截距形式写出方程。
- 如何在给定两个点的情况下找到一条直线的方程。
- 使用给定的点找到斜率。 \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
- 选择一个点。
- 将这些值替换为点斜率形式：\(y−y_1=m(x−x_1)\)。
- 以斜率截距形式写出方程。
写出直线方程 如果给出： 使用： 表单： 斜率和 y 截距 斜率截距 \(y=mx+b\) 斜率和点 点斜率 \(y−y_1=m(x−x_1)\) 两点积分 点斜率 \(y−y_1=m(x−x_1)\)
- 如何找到平行于给定直线的直线的方程。
- 找出给定直线的斜率。
- 找出平行线的斜率。
- 找出重点。
- 将这些值替换为点斜率形式：\(y−y_1=m(x−x_1)\)。
- 以斜率截距形式写出方程
- 如何找到垂直于给定直线的直线的方程。
- 找出给定直线的斜率。
- 找出垂直线的斜率。
- 找出重点。
- 将这些值替换为点斜率形式，即\(y−y_1=m(x−x_1)\)。
- 以斜率截距形式写出方程。
词汇表
点-斜率形式
斜率为 m 且包含点的直线方程的点斜率形式\((x_1,y_1)\)为\(y−y_1=m(x−x_1)\)。