3.3: 直线的斜率

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

找出直线的斜率
给定一个点和斜率绘制一条直线
使用斜率和截距绘制直线图
选择最方便的方法来绘制线条
绘制和解释坡度截距的应用
使用斜率识别平行线和垂直线

在开始之前，请参加这个准备测验。

简化：$\frac{(1–4)}{(8−2)}$。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
除以:$\frac{0}{4}$,$\frac{4}{0}$。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
简化：$\frac{15}{-3}$、$\frac{-15}{3}$、$\frac{-15}{-3}$。
如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

找出直线的斜率

当你绘制线性方程时，你可能会注意到有些线条从左向右倾斜，有些线条向下倾斜。有些线条非常陡峭，有些线条比较平坦。

在数学中，对直线陡度的度量称为直线的斜率。

斜率的概念在现实世界中有许多应用。在建筑中，屋顶的间距、管道的倾斜和楼梯的陡度都是斜坡的应用。当你滑雪或慢跑下山坡时，你肯定会体验到斜坡。

我们可以通过求出上升和游程的比率为直线的斜率分配一个数值。上升是指在跑步测量水平变化时垂直距离的变化量，如下图所示。斜率是一种变化率。见图。

此图有两个箭头的示意图。第一个箭头是垂直的，指向上方，标有 “上升”。第二个箭头从第一个箭头的末尾开始。第二个箭头是水平的，指向右边，标有 “run”。 — 图$\PageIndex{1}$。

直线的斜率

直线的斜率为$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$。

上升衡量垂直变化，运行衡量水平变化。

为了找到直线的斜率，我们在直线上找到坐标为整数的两个点。然后我们画一个直角三角形，其中两点是顶点，一边是水平的，一边是垂直的。

为了找到直线的斜率，我们测量了沿三角形垂直和水平边的距离。垂直距离称为上升，水平距离称为跑步，

使用以下方法从直线图中找出直线的斜率$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$

在坐标为整数的直线上找到两个点。
从一个点开始，画一个直角三角形，从第一个点到第二个点。
计算三角形腿上的上升和跑步。
取上升比率得出斜率:$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$.

示例$\PageIndex{1}$

找到所示直线的斜率。

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴从负 1 延伸到 9。 y 轴从负 1 延伸到 7。直线穿过点 (0、5)、(3、3) 和 (6、1)。$

回答

在图表上找到坐标为整数的两个点。	$(0,5)$和$(3,3)$
从开始$(0,5)$，绘制一个直角三角形 $(3,3)$，如下图所示。	$。$
算上涨幅度——既然下跌，就是负数。	上升是$−2$。
计算跑步次数。	跑步是 3。
使用斜率公式。	$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$
替换上升和运行的值。	$m=−23$
简化。	$m=−23$
	直线的斜率为$−23$。
	因此，当 x 增加 3 个单位时，y 会减少 2 个单位。

示例$\PageIndex{2}$

找到所示直线的斜率。

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴从负 1 延伸到 5。 y 轴从负 6 延伸到 1。直线穿过点（0，负 2）和（3，负 6）。$

回答: $-\frac{4}{3}$

示例$\PageIndex{3}$

找到所示直线的斜率。

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴从负 3 延伸到 6。 y 轴从负 3 延伸到 2。直线穿过点 (0, 1) 和 (5, 负 2)。$

回答: $-\frac{3}{5}$

我们如何找到水平线和垂直线的斜率？要找到水平线的斜率$y=4$，我们可以绘制这条线，在上面找到两个点，然后计算上升和跑步。让我们看看当我们这样做时会发生什么，如下图所示。

$然后，该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴从负 1 延伸到 6。 y 轴从负 1 延伸到 8。直线穿过点 (0, 4) 和 (3, 4)。涨幅是多少？上升幅度为 0。跑步是什么？跑步是 3。斜率是多少？ m 等于上升除以游程。m 等于 0 除以 3. m 等于 0。水平线 y 等于 4 的斜率为 0。$

$ \begin{array} {ll} {\text{What is the rise?}} &{\text{The rise is }0.} \\ {\text{What is the run?}} &{\text{The run is }3.} \\ {\text{What is the slope?}} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m=\frac{0}{3}} \\ {} &{m=0} \\{}&{\text{The slope of the horizontal line } y=4 \text{ is }0.} \\ \end{array} \nonumber$

让我们也考虑一条垂直线，即直线$x=3$，如图所示。

$然后，该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴从负 2 延伸到 6。 y 轴从负 3 延伸到 3。这条线穿过点 (3, 0) 和 (3, 2)。涨幅是多少？上升幅度为 2. 跑步是什么？运行为 0。斜率是多少？ m 等于上升除以游程。m 等于 2 除以 0。$

斜率未定义，因为除以零是未定义的。所以我们说垂直线的斜率$x=3$是未定义的。

所有水平线的斜率均为 0。当 y 坐标相同时，上升为 0。

任何垂直线的斜率均未定义。当直线的 x 坐标全部相同时，游程为 0。

水平线和垂直线的斜率

水平线的斜率$y=b$为 0。

垂直线的斜率未定义。$x=a$

示例$\PageIndex{4}$

找出每条线的斜率：ⓐ$x=8$ ⓑ $y=−5$.

回答: ⓐ$x=8$
这是一条垂直线。它的斜率未定义。
ⓑ$y=−5$
这是一条水平线。它的斜率为 0。

示例$\PageIndex{5}$

找出直线的斜率：$x=−4$.

回答: 未定义

示例$\PageIndex{6}$

找出直线的斜率：$y=7$.

回答: 0

线条斜率快速指南

$该图显示了四个箭头。第一个箭头是倾斜的，指向上和向右，标记为 “正向”。第二个箭头倾斜，指向下和向右，标有 “负数”。第三个箭头是水平的，标记为 “零”。第四个箭头是垂直的，标记为 “未定义”。$

有时候，当我们没有图表来计算上升和跑步时，我们需要找到两点之间直线的斜率。我们可以在网格纸上绘制点，然后计算上升和跑步，但正如我们将看到的，有一种方法可以在不绘制图表的情况下找到斜率。在开始之前，我们需要引入一些代数表示法。

我们已经看到，有序对 (x, y) (x, y) 给出了点的坐标。但是当我们处理斜坡时，我们使用两个点。如何使用同一个符号 (x, y) (x, y) 来表示两个不同的点？数学家使用下标来区分点。

$ \begin{array} {ll} {(x_1, y_1)} &{\text{read “} x \text{ sub } 1, \space y \text{ sub } 1 \text{”}} \\ {(x_2, y_2)} &{\text{read “} x \text{ sub } 2, \space y \text{ sub } 2 \text{”}} \\ \end{array} \nonumber$

我们将使用$(x_1,y_1)$来识别第一个点和$(x_2,y_2)$识别第二个点。

如果我们有两个以上的分数，我们可以使用$(x_3,y_3)$$(x_4,y_4)$、等等。

让我们再看一下两点和两点之间的直线的斜率，看看上升$(2,3)$和跑步与两点坐标的关系$(7,6)$，如下图所示。

$该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴从负 1 延伸到 7。 y 轴从负 1 延伸到 7。直线穿过点 (2、3) 和 (7、6)。通过连接三个点 (2、3)、(2、6) 和 (7、6) 来绘制直角三角形。点 (2, 3) 被标记为 (x 1, y 1)。点 (7, 6) 被标记为 (x 2, y 2)。三角形的垂直侧有标签 y 2 减去 y 1、6 减去 3 和 3。三角形的水平边有标签 x 2 减去 x 1、7 减去 2 和 5。$

\( \begin{array} {ll} {\text{Since we have two points, we will use subscript notation.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}} \\ {} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{On the graph, we counted the rise of 3 and the run of 5.}} &{m=\frac{3}{5}} \\ {\text{Notice that the rise of 3 can be found by subtracting the}} &{} \\ {y\text{-coordinates, 6 and 3, and the run of 5 can be found by}} &{} \\ {\text{subtracting the x-coordinates 7 and 2.}} &{} \\ {\text{We rewrite the rise and run by putting in the coordinates.}} &{m=\frac{6-3}{7-2}} \\ {} &{} \\ {\text{But 6 is } y_2 \text{, the y-coordinate of the second point and 3 is }y_1 \text{, the y-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So we can rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{7-2}} \\ {\text{Also 7 is the x-coordinate of the second point and 2 is the x-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So again we rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ \end{array} \nonumber\)

我们已经证明这实际上$m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}$是另一个版本$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$。当直线上有两个点时，我们可以使用这个公式来找出直线的斜率。

两点之间的直线的斜率

两点$(x_1,y_1)$和之间的直线的斜率$(x_2,y_2)$为：

$m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}$。

斜率是：

\[y\text{ of the second point minus }y\text{ of the first point} \nonumber\]\[\text{over} \nonumber\]\[x\text{ of the second point minus }x\text{ of the first point} \nonumber\]

示例$\PageIndex{7}$

使用斜率公式求出穿过点的直线的斜率$(−2,−3)$ and $(-7,4)$。

回答

$ \begin{array} {ll} {\text{We’ll call (−2,−3) point #1and (−7,4) point #2.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{} \\ {\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m=\frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} \\{\text{Simplify}}&{m=\frac{7}{-5}} \\ {} &{m=\frac{-7}{5}} \\ \end{array} \nonumber$

让我们在所示的图表上验证这个斜率。

$该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴从负 8 延伸到 2。 y 轴从负 6 延伸到 6。直线穿过点（负 7、4）和（负 2、负 3）。通过连接三个点（负 7、4）、（负 7、负 3）和（负 2、负 3）来绘制直角三角形。三角形的垂直边被标记为 “上升”。三角形的水平侧标记为 “run”。$

\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\]\[m=\frac{7}{−5} \nonumber\]\[m=\frac{−7}{5} \nonumber\]

使用斜率公式求出穿过两对点的直线的斜率：$(−3,4)$和$(2,−1)$。

回答: $-1$

示例$\PageIndex{9}$

使用斜率公式求出穿过两对点的直线的斜率：$(−2,6)$和$(−3,−4)$。

回答: 10

给定一个点和斜率绘制一条直线

到目前为止，在本章中，我们已经通过绘制点、使用截距以及识别水平线和垂直线来绘制线条。

当我们知道一个点和直线的斜率时，我们也可以绘制一条直线。我们将从绘制点开始，然后使用斜率的定义来绘制直线图。

示例$\PageIndex{10}$: How to graph a Line Given a Point and the Slope

绘制穿过斜率为的点$(1,−1)$的直线的图形$m=\frac{3}{4}$。

回答

$步骤 1 是绘制给定点。图（1，负 1）。然后，该图显示了 x y 坐标平面上一个点的图形。 x 轴从负 2 延伸到 6。 y 轴从负 2 延伸到 4。点（1，负 1）用其坐标绘和标注。$ $步骤 2 是使用斜率公式 m 等于上升除以运行来确定上升和游程。确定上升和游程。m 等于 3 除以 4。上升除以运行等于 3 除以 4。上升等于 3。运行等于 4。$ $第 3 步是从给定点开始，计算上升次数，然后跑到标记第二个点。从（1，负 1）开始，计算上升和运行次数。向上 3 个单位，向右 4 个单位。然后，该图显示了在 x y 坐标平面上由两条直线段连接的三个点的图形。 x 轴从负 2 延伸到 6。 y 轴从负 2 延伸到 4。绘制了点 (1、负 1)、(1、2) 和 (5、2)。垂直线段将 (1，负 1) 连接到 (1、2)，并标记为 3。水平线段将 (1, 2) 连接到 (5, 2)，标记为 4。$ $步骤 4 是用直线连接各点。用一条线将两点连接起来。然后，该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线、三个点和两条直线段的图形。 x 轴从负 2 延伸到 6。 y 轴从负 2 延伸到 4。绘制了点 (1、负 1)、(1、2) 和 (5、2)。垂直线段将 (1，负 1) 连接到 (1、2)。水平线段将 (1, 2) 连接到 (5, 2)，标记为 4。绘制一条穿过点 (1、负 1) 和 (5、2) 的直线，两端都有箭头。$

你可以通过找到第三点来检查你的工作。由于斜率为$m=34$，因此也可以将其写成$m=\frac{−3}{−4}$（负除以负即为正！）。回去$(1,−1)$数一下上升$−3$和跑步$−4$。

示例$\PageIndex{11}$

用斜率绘制穿过该点$(2,−2$的直线$m=\frac{4}{3}$。

回答: $此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的长度从负 12 到 12。 y 轴从负 12 延伸到 12。这条线穿过点（2，负 2）和（5，2）。$

示例$\PageIndex{12}$

绘制穿过该点的直线的图形$(−2,3)$ with the slope $m=\frac{1}{4}$.

回答: $此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的长度从负 12 到 12。 y 轴从负 12 延伸到 12。直线穿过点（负 2、3）和（2、4）。$

给定一个点和斜率绘制一条直线。

绘制给定点。
使用斜率公式$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$来确定上升和游程。
从给定点开始，计算上涨幅度，然后跑到第二个点。
用直线连接各点。

使用斜率和截距绘制直线图

我们通过绘制点、使用截距、识别水平线和垂直线以及使用一个点和直线的斜率来绘制线性方程式。一旦我们看到了斜率截距形式的方程及其图形之间的关系，我们就有另一种方法可以用来绘制线条。

见图。让我们看一下方程$y=12x+3$的图形，找出它的斜率和 y 截距。

该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的范围从负 10 到 10。 y 轴的长度从负 10 到 10。直线穿过点 (0、3)、(2、4) 和 (4、5)。通过连接三个点 (2、4)、(2、5) 和 (4、5) 来绘制直角三角形。三角形的垂直侧标有 “上升等于 1”。三角形的水平侧标记为 “运行等于 2”。该直线被标记为 y 等于 1 除以 2 x 加 3。 — 图$\PageIndex{2}$

图中的红线显示上升为 1，游程为 2。代入斜率公式：

\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\]\[m=\frac{1}{2} \nonumber\]

y 截距为$(0,3)$。

看看这条线的方程式。

$图中显示了方程 y 等于 1 除以 2 x 加 3。 1 除以 2 以红色突出显示。 3 以蓝色突出显示。$

看看斜率和 y 截距。

$斜率 m 等于 1 除以 2 和 y 截距 (0, 3)。 1 除以 2 以红色突出显示。 3 以蓝色突出显示。$

求解 y 的线性方程时，x 项的系数是斜率，常量项是 y 截距的 y 坐标。我们说方程$y=12x+3$是斜率截距形式。有时，斜率截距形式被称为 “y-f orm”。

$m 等于 1 除以 2；y 截距为 (0, 3)。y 等于 1 除以 2 x 加 3。y 等于 m x 加 b。m 和 1 除以 2 以红色突出显示。 b 和 3 以蓝色突出显示。$

直线方程的斜率截距形式

斜率 m 和 y 截距的直线方程的斜率截距形式$(0,b)$为$y=mx+b$。

让我们练习从直线方程中求出斜率和 y 截距的值。

示例$\PageIndex{13}$

从方程中确定直线的斜率和 y 截距：

ⓐ$y=−\frac{4}{7}x−2$ ⓑ$x+3y=9$

回答

ⓐ 我们将方程与方程的坡度截距形式进行比较。

写下直线方程的斜率截距形式。	$。$
写下直线的方程式。	$。$
确定斜率。	$。$
识别 y 截距。	$。$

ⓑ 当直线的方程没有以斜率截距形式给出时，我们的第一步将是求解 y 的方程。

求解 y。	x+3y=9x+3y=9
从两边减去 x。	$。$
将两边除以 3。	$。$
简化。	$。$
写下直线方程的斜率截距形式。	$。$
写下直线的方程式。	$。$
确定斜率。	$。$
识别 y 截距。	$。$

示例$\PageIndex{14}$

从直线方程中识别斜率和 y 截距。

ⓐ$y=\frac{2}{5}x−1$ ⓑ$x+4y=8$

回答: ⓐ$m=\frac{2}{5}$;$(0,−1)$
ⓑ$m=−\frac{1}{4}$;$(0,2)$

示例$\PageIndex{15}$

从直线方程中识别斜率和 y 截距。

ⓐ$y=−\frac{4}{3} x+1$ ⓑ$3x+2y=12$

回答: ⓐ$m=−\frac{4}{3}$;$(0,1)$
ⓑ$m=−\frac{3}{2}$;$(0,6)$

我们已经用斜率和点绘制了一条直线。既然我们知道如何从直线的方程中求出直线的斜率和 y 截距，我们可以使用 y-intercept作为点，然后从那里计算出斜率。

示例$\PageIndex{16}$

绘制方程$y=−x+4$ using its slope and y 截距的直线。

回答

	$y=mx+b$
方程采用斜率截距形式。	$y=−x+4$
确定斜率和 y 截距。	$m=−1$ y-截距为$(0,4)$
绘制 y 截距。	参见图表。
确定跑步过程中的涨幅。	$m=−11$
计算出上升幅度，然后跑到第二个点。	上升$-1$，跑$1$ $。$

如图所示画直线。

示例$\PageIndex{17}$

$y=−x−3$使用方程的斜率和 y 截距绘制方程的直线。

回答: $此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的范围从负 10 到 10。 y 轴的长度从负 10 到 10。直线穿过点（0，负 3）和（1，负 4）。$

示例$\PageIndex{18}$

$y=−x−1$使用方程的斜率和 y 截距绘制方程的直线。

回答: $此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的范围从负 10 到 10。 y 轴的长度从负 10 到 10。直线穿过点（0，负 1）和（1，负 2）。$

现在我们已经使用斜率和 y-intercept绘制了线条，让我们总结一下我们用来绘制线条的所有方法。

$该表的标题行是 “绘制线条的方法”。下面是四列。第一列包含以下内容：点图。包含两列四行的空白表。第一行是标题 “x” 和 “y” 的标题行。找到三点积分。绘制点图，确保它们排成一列，然后画出线条。第二列包含：斜率截距。 Y 等于 m x 加 b。求出斜率和 y 截距，然后计算斜率得出第二个点。第三列：拦截。包含两列四行的表。第一行是标题 “x” 和 “y” 的标题行。在第一行中，x 列中有 0。在第二行中，y 列中有 0。其余空格为空。第四列。识别垂直线和水平线。该方程只有一个变量。 X 等于垂直。 Y 等于 b 水平。$

选择最方便的方法来绘制线条

既然我们已经看到了几种可以用来绘制线条的方法，那么我们怎么知道给定方程使用哪种方法呢？

虽然我们可以绘制点，使用斜率截距形式，或者找到任何方程的截距，但如果我们认识到绘制某种类型方程的最便捷方式，我们的工作就会更容易。

通常，绘制点不是绘制线条的最有效方法。让我们寻找一些模式来帮助确定绘制线条的最便捷方法。

以下是我们在本章中绘制的五个方程，以及我们用来绘制每个方程的方法。

\[ \begin{array} {lll} {} &{\textbf{Equation}} &{\textbf{Method}} \\ {\text{#1}} &{x=2} &{\text{Vertical line}} \\ {\text{#2}} &{y=−1} &{\text{Horizontal line}} \\ {\text{#3}} &{−x+2y=6} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#4}} &{4x−3y=12} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#5}} &{y=−x+4} &{\text{Slope–intercept}} \\ \end{array} \nonumber\]

方程 #1 和 #2 各只有一个变量。请记住，在这种形式的方程中，那个变量的值是恒定的；它不依赖于另一个变量的值。这种形式的方程具有垂直线或水平线的图形。

在方程 #3 和 #4 中，x 和 y 都位于方程的同一边。这两个方程的形式为 Ax+By=C.Ax+By=C。我们用 y=0y=0 来找出 x-截距，用 x=0x=0 来找出 y 截距，然后通过为 x 或 y 选择另一个值来找到第三个点。

方程 #5 以斜率截距形式书写。在确定了方程中的斜率和 y 截距之后，我们用它们绘制了直线图。

这导致了以下策略。

选择最便捷的绘制线条方法的策略

考虑方程的形式。

如果它只有一个变量，则它是一条垂直线或水平线。
- $x=a$是一条在 a 处穿过 x 轴的垂直线。
- $y=b$是一条在 b 处穿过 y 轴的水平线。
如果 y 在方程的一侧是孤立的，则以表格形式$y=mx+b$使用斜率和 y 截距绘制图形。
- 确定斜率和 y 截距，然后绘制图形。
如果方程的形式为$Ax+By=C$，则找出截距。
- 找到 x 和 y 截距，第三个点，然后绘制图表。

示例$\PageIndex{19}$

确定绘制每条线的最便捷方法：

ⓐ$y=5$ ⓑ$4x−5y=20$ ⓒ$x=−3$ ⓓ$y=−\frac{5}{9}x+8$

回答: ⓐ$y=5$
这个方程只有一个变量 y。它的图形是一条横跨 y 轴的水平线$5$。
ⓑ$4x−5y=20$
这个方程的形式是$Ax+By=C$。绘制它的最简单方法是找到拦截点再找一个点。
ⓒ$x=−3$
只有一个变量 x。图形是一条与 x 轴交叉的垂直线$−3$。
ⓓ$y=−\frac{5}{9}x+8$
由于这个方程是$y=mx+b$形式上的，因此使用斜率和 y 截距绘制这条线最为简单。

示例$\PageIndex{20}$

确定绘制每条线的最便捷方法：

ⓐ$3x+2y=12$ ⓑ$y=4$ ⓒ$y=\frac{1}{5}x−4$ ⓓ$x=−7$。

回答: ⓐ 拦截 ⓑ 水平线 ⓒ slope-intercept ⓓ 垂直线

示例$\PageIndex{21}$

确定绘制每条线的最便捷方法：

ⓐ$x=6$ ⓑ$y=−\frac{3}{4}x+1$ ⓒ$y=−8$ ⓓ$4x−3y=−1$。

回答: ⓐ 垂直线 ⓑ 斜率截距 ⓒ 水平线
ⓓ 截距

绘制和解释斜率截距的应用

许多现实世界中的应用程序都是通过线性方程建模的。我们将在这里介绍一些应用程序，这样你就可以看到以斜率截距形式书写的方程与现实情况有何关系。

通常，当线性方程模型使用真实数据时，变量使用不同的字母，而不是仅使用 x 和 y。变量名称提醒我们正在测量的数量。

此外，我们经常需要将矩形坐标系中的轴延伸到更大的正数和负数，以容纳应用程序中的数据。

示例$\PageIndex{22}$

$F=\frac{9}{5}C+32$该方程用于将摄氏度上的温度 C 转换为华氏度上的温度 F。

ⓐ 找到摄氏温度为 0 的华氏温度。

ⓑ 找出摄氏温度 20 摄氏度的华氏温度。

ⓓ 绘制方程图。

回答

ⓐ

$ \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 0.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=0.}} &{F=\frac{9}{5}(0)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=32} \\ \end{array} \nonumber$

ⓑ

$ \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 20.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=20.}} &{F=\frac{9}{5}(20)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=36+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=68} \\ \end{array} \nonumber$

ⓒ
解释方程的斜率和 F 截距。
尽管这个方程使用 F 和 C，但它仍然是斜率截距形式。

$y 等于 m x 加 b。F 等于 m C 加 b。y 和 F 用红色强调。 x 和 C 以蓝色突出显示。 F 等于 9 除以 5 C 加 32。$

斜率表示当摄氏度 (C) 升高 5 度时，华氏温度 (F) 升高 9 度。$\frac{9}{5}$
F 截距意味着当温度达到摄氏度时，它$32°$在华氏度上。$0°$
ⓓ 绘制方程图。
我们需要使用比平时更大的比例。从 F-intercept 开始$(0,32)$，然后计算 9 的上升和 5 的游程，得到第二个点，如图所示。

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的长度从负 40 到 80。 y 轴的长度从负 40 到 80。这条线穿过点 (0, 32) 和 (5, 41)。$

示例$\PageIndex{23}$

方程式$h=2s+50$ is used to estimate a woman’s height in inches, h，基于她的鞋码，s 。

ⓐ 估算穿女鞋尺码 0 的孩子的身高。

ⓑ 估算穿着 8 号鞋子的女士的身高。

ⓓ 绘制方程图。

回答

ⓐ 50 英寸
ⓑ 66 英寸
ⓒ 斜率 2 表示当鞋码 s 增加 1 时，高度 h 增加 2 英寸。 h 截距表示当鞋码为 0 时，高度为 50 英寸。
ⓓ

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴从负 1 延伸到 14。 y 轴的范围从负 1 到 80。这条线穿过点 (0, 50) 和 (10, 70)。$

示例$\PageIndex{24}$

方程$T=\frac{1}{4}n+40$ is used to estimate the temperature in degrees Fahrenheit, T，基于一分钟内蟋蟀 n 的数量。

ⓐ 估计没有啁时的温度。

ⓑ 当一分钟内的啁数为 100 时，估计温度。

ⓓ 绘制方程图。

回答

ⓐ 40 度
ⓑ 65 度
ⓒ 斜率表示当啁数 n 增加 4 时，温度华氏度 (F) 增加 1 度。$\frac{1}{4}$ T 截距表示当啁数为 0 时，温度为 40°。
ⓓ

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的范围从负 1 到 140。 y 轴的范围从负 1 到 80。这条线穿过点 (0, 40) 和 (40, 50)。$

经营某些类型的业务的成本有两个组成部分—— 固定成本和可变成本。无论生产多少单位，固定成本始终相同。这是必须定期支付的租金、保险、设备、广告和其他物品的费用。可变成本取决于生产的单位数量。它用于生产每件物品所需的材料和人力。

示例$\PageIndex{25}$

山姆开着一辆送货车。该方程$C=0.5m+60$模拟了他的每周成本 C（以美元计）与他行驶的里程数 m 之间的关系。

ⓐ 查找 Sam 行驶 0 英里时一周的费用。

ⓑ 找出他行驶 250 英里一周的费用。

ⓓ 绘制方程图。

回答

ⓐ
$ \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 0 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=0.}} &{C=0.5(0)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=60} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{60 when he drives 0 miles.}} \\ \end{array} \nonumber $
ⓑ
$ \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 250 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=250.}} &{C=0.5(250)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=185} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{185 when he drives 250 miles.}} \\ \end{array} \nonumber $
ⓒ 解释方程的斜率和 C 截距。

$y 等于 m x 加 b。C 等于 0.5 p 加 60。 y 和 C 以红色突出显示。 x 和 p 以蓝色突出显示。$

斜率 0.5 表示当行驶里程数 n 增加 1 时，每周成本 C 增加 0.50 美元。
C-intercept 表示当行驶里程数为 0 时，每周成本为 60 美元。
ⓓ 绘制方程图。
我们需要使用比平时更大的比例。从 C 截距开始$(0,60)$。

为了计算斜率$m= 0.5$，我们将其重写为等效分数，这样可以更轻松地绘制图形。

$ \begin{array} {ll} {} &{m=0.5} \\ {\text{Rewrite as a fraction.}} &{m=\frac{0.5}{1}} \\ {\text{Multiply numerator and}} &{} \\ {\text{denominator by 100}} &{m=\frac{0.5(100)}{1(100)}} \\ {\text{Simplify.}} &{m=\frac{50}{100}} \\ \end{array} \nonumber $

因此，要绘制下一个点，从 60 的截距上升 50，然后向右 100。第二点将是$(100, 110)$。

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的范围从负 1 到 350。 y 轴的长度从负 1 到 350。这条线穿过点 (0、60) 和 (200、160)。$

示例$\PageIndex{26}$

斯特拉有一家出售美味披萨的家庭企业。该方程$C=4p+25$模拟了她的每周成本 C（以美元计）与她出售的披萨数量 p 之间的关系。

ⓐ 查看 Stella 不卖披萨一周的费用。

ⓑ 找出她卖出 15 个披萨一周的费用。

ⓓ 绘制方程图。

回答

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的长度从负 2 到 20。 y 轴的长度从负 10 到 `00。这条线穿过点 (0, 25) 和 (1, 29)。$

示例$\PageIndex{27}$

洛琳有一家书法生意。该方程$C=1.8n+35$模拟了她每周花费 C（以美元计）与她写的结婚请柬数量 n 之间的关系。

ⓐ 查看 Loreen 没有写邀请函时一周的费用。

ⓑ 找出她写了 75 份邀请函时一周的费用。

ⓓ 绘制方程图。

回答

$此图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 轴的范围从负 1 到 350。 y 轴的长度从负 1 到 350。这条线穿过点 (0、35) 和 (75、170)。$

使用斜率识别平行线和垂直线

两条具有相同斜率的线称为平行线。平行线具有相同的陡度，从不相交。

我们用矩形坐标系更正式地说这句话。两条具有相同斜率和不同 y 截距的直线称为平行线。见图。

此图显示了 x y 坐标平面上两条直线的图形。 x 轴的长度从负 8 到 8。 y 轴的长度从负 8 到 8。第一条线穿过点 (0, 3) 和 (5, 5)。第二条线穿过点（0，负 2）和（5，0）。这些线是平行的，这意味着它们之间的距离将始终相同，并且永远不会相交。它们以相同的角度倾斜。 — 图$\PageIndex{3}$

验证两条线是否具有相同的斜率和不同的 y 截距。$m=\frac{2}{5}$

垂直线呢？垂直线的斜率未定义，因此垂直线不符合上述定义。我们说具有不同 x 截距的垂直线是平行的，就像这张图中显示的线一样。

此图显示了 x y 坐标平面上两条直垂直线的图形。 x 轴的长度从负 8 到 8。 y 轴的长度从负 8 到 8。第一条线穿过点 (2, 0) 和 (2, 1)。第二条线穿过点 (5, 0) 和 (5, 1)。这些线是平行的，这意味着它们之间的距离将始终相同，并且永远不会相交。 — 图$\PageIndex{4}$

平行线

平行线是同一平面中不相交的线。

平行线具有相同的斜率和不同的 y 截距。
如果 m1m1 和 m2m2 是两条平行线的斜率，那么 m1=m2.m1=m2。
平行垂直线有不同的 x 截距

由于平行线具有相同的斜率和不同的 y 截距，我们现在可以只看直线方程的坡度截距形式，然后决定线是否平行。

示例$\PageIndex{28}$

使用斜率和 y 截距来确定直线是否平行：

ⓐ$3x−2y=6$ 和$y=\frac{3}{2}x+1$ ⓑ$y=2x−3$ 和$−6x+3y=−9$。

回答: ⓐ
$ \begin{array} {llll} {} &{3x−2y=6} &{\text{and}} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{−2y=−3x+6} &{} &{} \\ {\text{Solve the first equation for y.}} &{\frac{-2y}{-2}=\frac{-3x+6}{-2}} &{} &{} \\ {\text{The equation is now in slope–intercept form.}} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{} \\ {\text{The equation of the second line is already}} &{} &{} &{} \\ {\text{in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {Identify the slope andy-intercept of both lines.} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=\frac{3}{2}} &{} &{y=\frac{3}{2}} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,1)} \\ \end{array} \nonumber$
这些直线具有相同的斜率和不同的 y 截距，因此它们是平行的。
您可能需要绘制线条图以确认它们是否平行。

ⓑ
$ \begin{array} {llll} {} &{y=2x−3} &{\text{and}} &{−6x+3y=−9} \\ {\text{The first equation is already in slope–intercept form.}} &{y=2x−3} &{} &{} \\ {} &{} &{} &{−6x+3y=−9} \\ {} &{} &{} &{3y=6x−9} \\ {\text{Solve the second equation for y.}} &{} &{} &{\frac{3y}{3}=\frac{6x−9}{3}} \\ {} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{The second equation is now in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=2x−3} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{Identify the slope andy-intercept of both lines.}} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=2} &{} &{m=2} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,-3)} \\ \end{array} \nonumber$
这些线的斜率相同，但它们也有相同的 y 截距。它们的方程表示同一条线，我们说这些线是重合的。它们不是平行的；它们是同一条线。

示例$\PageIndex{29}$

使用斜率和 y 截距来确定直线是否平行：

ⓐ$2x+5y=5$ 和$y=−\frac{2}{5}x−4$ ⓑ$y=−\frac{1}{2}x−1$ 和$x+2y=−2$。

回答: ⓐ 平行 ⓑ 不平行；同一条线

示例$\PageIndex{30}$

使用斜率和 y 截距来确定直线是否平行：

ⓐ$4x−3y=6$ 和$y=\frac{4}{3}x−1$ ⓑ$y=\frac{3}{4}x−3$ 和$3x−4y=12$。

回答: ⓐ 平行 ⓑ 不平行；同一条线

示例$\PageIndex{31}$

使用斜率和 y 截距来确定直线是否平行：

ⓐ$y=−4$ 和$y=3$ ⓑ$x=−2$ 和$x=−5$。

回答

ⓐ$y=−4$ 和$y=3$

我们立即从方程中识别出这些是水平线，因此我们知道它们的斜率均为 0。
由于水平线在 y=−4y=−4 和 y=3、y=3 处穿过 y 轴，因此我们知道 y 截距是 (0, −4) (0, −4) 和 (0,3)。(0,3)。
这些直线具有相同的斜率和不同的 y 截距，因此它们是平行的。

ⓑ$x=−2$ 和$x=−5$

我们立刻从方程中识别出这些是垂直线，因此我们知道它们的斜率是未定义的。
由于垂直线在 and 处穿过 x 轴$x=−2$$x=−5$，因此我们知道 y 截距是$(−2,0)$ and$(−5,0)$。
这些直线是垂直的，具有不同的 x 截距，因此它们是平行的。

示例$\PageIndex{32}$

使用斜率和 y 截距来确定直线是否平行：

ⓐ$y=8$ 和$y=−6$ ⓑ$x=1$ 和$x=−5$。

回答: ⓐ 平行 ⓑ 平行

示例$\PageIndex{33}$

使用斜率和 y 截距来确定直线是否平行：

ⓐ$y=1$ 和$y=−5$ ⓑ$x=8$ 和$x=−6$。

回答: ⓐ 平行 ⓑ 平行

让我们来看看方程为$y=\frac{1}{4}x−1$和的直线$y=−4x+2$，如图所示。

此图显示了 x y 坐标平面上两条垂直直线的图形。 x 轴的长度从负 8 到 8。 y 轴的长度从负 8 到 8。第一条线穿过点（0，负 1）和（4，0）。第一行被标记为 y 等于 1 除以 4 x 减去 1。第二条线穿过点 (0, 2) 和 (1, 负 2)。第二行被标记为 y 等于负 4 x 加 2。这些线是垂直的，这意味着它们在相交处形成直角。 — 图$\PageIndex{5}$

这些线位于同一个平面上，以直角相交。我们称这些线为垂直。

如果我们看第一条线的斜率和第二条线的斜率$m_2=−4$，我们可以看出它们是彼此的负倒数。$m_1=\frac{1}{4}$ 如果我们乘以它们，它们的乘积就是$−1$。

\[\begin{array} {l} {m_1·m_2} \\ {14(−4)} \\ {−1} \\ \end{array} \nonumber\]

对于垂直线来说，这总是正确的，这使我们得出了这个定义。

垂直线

垂直线是同一平面上形成直角的线。

如果$m_1$和$m_2$是两条垂直线的斜率，则：
- 它们的斜率是彼此的负倒数，$m_1=−\frac{1}{m_2}$。
- 他们斜率的乘积是$−1$，$m_1·m_2=−1$。
垂直线和水平线始终相互垂直

我们能够观察线性方程的斜率截距形式，并确定这些线是否平行。我们可以对垂直线做同样的事情。

我们找到方程的斜率截距形式，然后查看斜率是否与倒数相反。如果斜率的乘积为$−1$，则线是垂直的。

示例$\PageIndex{34}$

使用斜率来确定直线是否垂直：

ⓐ$y=−5x−4$ 和$x−5y=5$ ⓑ$7x+2y=3$ 和$2x+7y=5$

回答: ⓐ
第一个方程采用斜率—截距形式。求解第二个方程。确定每条线的斜率。y=−5x−4yym1=−5x−4=mx+b=−5x−5y−5y−5y=−x+5=−x+5=15x−1=15x−1=15x−1=15x−1=15x−1=mx+15x−1=15x−1=mx+15x−1=15x−1=mx+15x−1=15x−b=15x−1=15x−b=15x−1=15x−1=15x−1=mx+15x−1=15x−1=mx+15x−1=15x−第一个方程采用斜率—截距形式。y=−5x−4Solve 第二个方程 fory.x−5y=5−5y=−x+5y−5=−x+5−5y=15x−1确定每条线的斜率。y=−5x−4y=mx+bm1=−5y=15x−1y=mx+bm2=15
斜率是彼此的负倒数，因此线是垂直的。我们通过乘以斜率进行检查，由于 −5 (15) =−1，−5 (15) =−1，它会进行检查。

ⓑ
求解方程。确定每条线的斜率。7x+2y2Y2Y2Y=3=−7x+3=−7x+32=−7x+32=−72x+32ym1=mx+b=−722x+7y7y7y=5=−2x+57=−27x+mx=27x+mx=27x+b=27x+mx=27solve 方程式 fory.7x+2Y=32Y=−7x+32Y2=−7x+32Y=−7x+322x+7y=−2x+57y=−2x+57y=−2x+57y=−27x+57Distendity每条线的斜率。y=mx+bm1=−72y=mx+bm1=−27
斜率是彼此的倒数，但它们的符号相同。由于它们不是负倒数，因此线不垂直。

示例$\PageIndex{3}$

使用斜率来确定直线是否垂直：

ⓐ$y=−3x+2$ 和$x−3y=4$ ⓑ$5x+4y=1$ 和$4x+5y=3$。

回答: ⓐ 垂直 ⓑ 不垂直

示例$\PageIndex{3}$

使用斜率来确定直线是否垂直：

ⓐ$y=2x−5$ 和$x+2y=−6$ ⓑ$2x−9y=3$ 和$9x−2y=1$。

回答: ⓐ 垂直 ⓑ 不垂直

关键概念

直线的斜率
- 直线的斜率为$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$。
- 上升衡量垂直变化，运行衡量水平变化。
如何使用图表中找到直线的斜率$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$。
1. 在坐标为整数的直线上找到两个点。
2. 从一个点开始，画一个直角三角形，从第一个点到第二个点。
3. 计算三角形腿上的上升和跑步。
4. 取上升比率得出斜率:$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$.

两点之间的直线的斜率。
- 两点$(x_1,y_1)$和之间的直线的斜率$(x_2,y_2)$为：
  \[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\]。
如何在给定点和斜率的情况下绘制直线。
1. 绘制给定点。
2. 使用斜率公式$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$来确定上升和游程。
3. 从给定点开始，计算上涨幅度，然后跑到第二个点。
4. 用直线连接各点。
直线方程的斜率截距形式
- 斜率为 m 和 y 截距的直线方程的斜率截距形式$(0,b)$为$y=mx+b$
- $该表的标题行是 “绘制线条的方法”。下面是四列。第一列包含以下内容：点图。包含两列四行的空白表。第一行是标题 “x” 和 “y” 的标题行。找到三点积分。绘制点图，确保它们排成一列，然后画出线条。第二列包含：斜率截距。 Y 等于 m x 加 b。求出斜率和 y 截距，然后计算斜率得出第二个点。第三列：拦截。包含两列四行的表。第一行是标题 “x” 和 “y” 的标题行。在第一行中，x 列中有 0。在第二行中，y 列中有 0。其余空格为空。第四列。识别垂直线和水平线。该方程只有一个变量。 X 等于垂直。 Y 等于 b 水平。$
平行线
- 平行线是同一平面中不相交的线。
  平行线具有相同的斜率和不同的 y 截距。
  如果$m_1$和$m_2$是两条平行线的斜率，那么$m_1=m_2$。
  平行垂直线有不同的 x 截距。
垂直线
- 垂直线是同一平面上形成直角的直线。
- 如果$m_1$和$m_2$是两条垂直线的斜率，那么：
  它们的斜率是彼此的负倒数，$m_1=−\frac{1}{m_2}$。
  他们斜率的乘积是$−1$，$m_1·m_2=−1$。
- 垂直线和水平线始终相互垂直。

词汇表

平行线: 平行线是同一平面中不相交的线。

垂直线: 垂直线是同一平面上形成直角的直线。

在图表上找到坐标为整数的两个点。	\((0,5)\)和\((3,3)\)
从开始\((0,5)\)，绘制一个直角三角形 \((3,3)\)，如下图所示。	$。$
算上涨幅度——既然下跌，就是负数。	上升是\(−2\)。
计算跑步次数。	跑步是 3。
使用斜率公式。	\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\)
替换上升和运行的值。	\(m=−23\)
简化。	\(m=−23\)
	直线的斜率为\(−23\)。
	因此，当 x 增加 3 个单位时，y 会减少 2 个单位。

	\(y=mx+b\)
方程采用斜率截距形式。	\(y=−x+4\)
确定斜率和 y 截距。	\(m=−1\) y-截距为\((0,4)\)
绘制 y 截距。	参见图表。
确定跑步过程中的涨幅。	\(m=−11\)
计算出上升幅度，然后跑到第二个点。	上升\(-1\)，跑\(1\) $。$

学习目标

找出直线的斜率

直线的斜率

使用以下方法从直线图中找出直线的斜率\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\)

示例\(\PageIndex{1}\)

示例\(\PageIndex{2}\)

示例\(\PageIndex{3}\)

水平线和垂直线的斜率

示例\(\PageIndex{4}\)

示例\(\PageIndex{5}\)

示例\(\PageIndex{6}\)

线条斜率快速指南

两点之间的直线的斜率

示例\(\PageIndex{7}\)

示例\(\PageIndex{9}\)

给定一个点和斜率绘制一条直线

示例\(\PageIndex{10}\): How to graph a Line Given a Point and the Slope

示例\(\PageIndex{11}\)

示例\(\PageIndex{12}\)

给定一个点和斜率绘制一条直线。

使用斜率和截距绘制直线图

直线方程的斜率截距形式

示例\(\PageIndex{13}\)

示例\(\PageIndex{14}\)

示例\(\PageIndex{15}\)

示例\(\PageIndex{16}\)

示例\(\PageIndex{17}\)

示例\(\PageIndex{18}\)

选择最方便的方法来绘制线条

选择最便捷的绘制线条方法的策略

示例\(\PageIndex{19}\)

示例\(\PageIndex{20}\)

示例\(\PageIndex{21}\)

绘制和解释斜率截距的应用

示例\(\PageIndex{22}\)

示例\(\PageIndex{23}\)

示例\(\PageIndex{24}\)

示例\(\PageIndex{25}\)

示例\(\PageIndex{26}\)

示例\(\PageIndex{27}\)

使用斜率识别平行线和垂直线

平行线

示例\(\PageIndex{28}\)

示例\(\PageIndex{29}\)

示例\(\PageIndex{30}\)

示例\(\PageIndex{31}\)

示例\(\PageIndex{32}\)

示例\(\PageIndex{33}\)

垂直线

示例\(\PageIndex{34}\)

示例\(\PageIndex{3}\)

示例\(\PageIndex{3}\)

关键概念

词汇表