2.8: 求解绝对值不等式

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 求解绝对值方程
• 用 “小于” 求解绝对值不等式
• 用 “大于” 求解绝对值不等式
• 用绝对值求解应用程序

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 评估：$−|7|$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
2. $=$为以下每对数字填写$<,>,<,>,$或。
   ⓐ$|−8|\text{___}−|−8|$ ⓑ$12\text{___}−|−12|$ ⓒ$|−6|\text{___}−6$ ⓓ$−(−15)\text{___}−|−15|$
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。
3. 简化：$14−2|8−3(4−1)|$。
   如果你错过了这个问题，请查看 [链接]。

求解绝对值方程

在我们准备求解绝对值方程时，我们会回顾我们对绝对值的定义。

绝对值

数字的绝对值是它在数字线上与零的距离。

数字 n 的绝对值写成所有数字$|n|$的$|n|\geq 0$ and。

绝对值始终大于或等于零。

我们了解到，在数字线上，数字及其对数与零的距离是相同的。 由于它们与零的距离相同，因此它们的绝对值相同。 例如：

• $−5$距离 0 有 5 个单位的距离，所以$|−5|=5$。
• $5$距离 0 有 5 个单位的距离，所以$|5|=5$。

该图$\PageIndex{1}$说明了这个想法。

图$\PageIndex{1}$：数字 5 和 5$−5$ 均距离零五个单位。

对于方程 |x|=5, |x|=5，我们正在寻找所有能使其成为真实陈述的数字。 我们正在寻找与零的距离为 5 的数字。 我们刚刚看到 5 和 −5−5 在数字行上都是从零开始的五个单位。 它们是方程的解。

$\begin{array} {ll} {\text{If}} &{|x|=5} \\ {\text{then}} &{x=−5\text{ or }x=5} \\ \end{array}$

通过写作，可以将解决方案简化为单个语句$x=\pm 5$。 读作 “x 等于正或负 5”。

我们可以将其概括为绝对值方程的以下属性。

绝对值方程

对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a

$$\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=a} \\ {\text{then}} &{u=−a \text{ or }u=a} \\ \nonumber \end{array}$$

请记住，绝对值不能是负数。

示例$\PageIndex{1}$

解决：

1. $|x|=8$
2. $|y|=−6$
3. $|z|=0$

解决方案 a

$\begin{array} {ll} {} &{|x|=8} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{x=−8 \text{ or } x=8} \\ {} &{x=\pm 8} \\ \end{array}$

解决方案 b

$\begin{array} {ll} {} &{|y|=−6} \\ {} &{\text{No solution}} \\ \end{array}$
由于绝对值始终为正，因此该方程没有解。

解决方案 c

$\begin{array} {ll} {} &{|z|=0} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{z=−0\text{ or }z=0} \\ {\text{Since }−0=0,} &{z=0} \\ \end{array}$
两个方程都告诉我们 z=0z=0 所以只有一个解。

锻炼$\PageIndex{2}$

解决：

1. $|x|=2$
2. $|y|=−4$
3. $|z|=0$

回答 a

$\pm 2$

答案 b

没有解决办法

答案 c

0

锻炼$\PageIndex{3}$

解决：

1. $|x|=11$
2. $|y|=−5$
3. $|z|=0$

回答 a

$\pm 11$

答案 b

没有解决办法

答案 c

0

为了求解绝对值方程，我们首先使用与求解线性方程相同的程序隔离绝对值表达式。 隔离绝对值表达式后，我们将其重写为两个等效方程。

如何求解绝对值方程

示例$\PageIndex{4}$

解决$|5x−4|−3=8$。

解决方案

锻炼$\PageIndex{5}$

解决：$|3x−5|−1=6$。

回答

$x=4, \space x=−\frac{2}{3}$

锻炼$\PageIndex{6}$

解决：$|4x−3|−5=2$。

回答

$x=−1,\space x=\frac{5}{2}$

这里总结了求解绝对值方程的步骤。

求解绝对值方程。

1. 隔离绝对值表达式。
2. 写出等效方程式。
3. 求解每个方程。
4. 检查每种解决方案。

示例$\PageIndex{7}$

解决$2|x−7|+5=9$.

解决方案

	$2|x−7|+5=9$
隔离绝对值表达式。	$2|x−7|=4$
	$|x−7|=2$
写出等效方程式。	$x−7=−2$或$x−7=2$
求解每个方程。	$x=5$或$x=9$
查看：

练习$\PageIndex{8}$

解决：$3|x−4|−4=8$。

回答

$x=8,\space x=0$

练习$\PageIndex{9}$

解决：$2|x−5|+3=9$。

回答

$x=8,\space x=2$

记住，绝对值总是正数！

示例$\PageIndex{10}$

解决：$|\frac{2}{3}x−4|+11=3$。

解决方案

$\begin{array} {ll} {} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{Isolate the absolute value term.}} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{An absolute value cannot be negative.}} &{\text{No solution}} \\ \end{array}$

练习$\PageIndex{11}$

解决：$|\frac{3}{4}x−5|+9=4$。

回答

没有解决办法

练习$\PageIndex{12}$

解决：$|\frac{5}{6}x+3|+8=6$。

回答

没有解决办法

我们的一些绝对值方程可能采用其$|u|=|v|$中 u 和 v 是代数表达式的形式。 例如，$|x−3|=|2x+1|$。

我们将如何解决这些问题？ 如果两个代数表达式的绝对值相等，则它们要么彼此相等，要么彼此为负数。 绝对值方程的属性表示，对于任何代数表达式 u 和正实数，a、if$|u|=a$、then$u=−a$ 或$u=a$。

这告诉我们了

\ (\ begin {array}
{lll} {\ text {if}} & {|u|=|v|}
& {}\\ {\ text {then}} & {|u|=v} & {|u|=−v}
\\ {\ text {and so}} & {u=v\ text {or} u = −v} & {\ text {or}} & {u=−v\ text {or} u = − (−v)}
\\\ end {array}\)

这使我们得出具有两个绝对值的方程的以下属性。

具有两个绝对值的方程

对于任何代数表达式 u 和 v，

$$\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=|v|} \\ {\text{then}} &{u=−v\text{ or }u=v} \\ \nonumber \end{array}$$

当我们取与数量相反的值时，我们必须谨慎对待符号，并在需要时添加圆括号。

示例$\PageIndex{13}$

解决：$|5x−1|=|2x+3|$。

解决方案

$\begin{array} {ll} {} &{} &{|5x−1|=|2x+3|} &{} \\ {} &{} &{} &{} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{5x−1=−(2x+3)} &{\text{or}} &{5x−1=2x+3} \\ {} &{5x−1=−2x−3} &{\text{or}} &{3x−1=3} \\ {\text{Solve each equation.}} &{7x−1=−3} &{} &{3x=4} \\ {} &{7x=−2} &{} &{x=43} \\ {} &{x=−27} &{\text{or}} &{x=43} \\ {\text{Check.}} &{} &{} &{} \\ {\text{We leave the check to you.}} &{} &{} &{} \\ \end{array}$

练习$\PageIndex{14}$

解决：$|7x−3|=|3x+7|$。

回答

$x=−\frac{2}{5}, \space x=\frac{5}{2}$

练习$\PageIndex{15}$

解决：$|6x−5|=|3x+4|$。

回答

$x=3, x=19$

用 “小于” 求解绝对值不等式

现在让我们来看看当我们存在绝对值不等式时会发生什么。 我们所学到的关于解决不平等的一切仍然有效，但我们必须考虑绝对价值如何影响我们的工作。 再说一遍，我们将看看我们对绝对值的定义。 数字的绝对值是它在数字线上与零的距离。 对于方程$|x|=5$，我们看到数字线上$−5$的 5 和 5 都是 0 的五个单位。 它们是方程的解。

$$\begin{array} {lll} {} &{|x|=5} &{} \\ {x=−5} &{\text{or}} &{x=5} \\ \nonumber \end{array}$$

那不平等$|x|\leq 5$呢？ 距离小于或等于 5 的数字在哪里？ 我们知道$−5$和 5 都是从零开始的五个单位。 $−5$和 5 之间的所有数字从零开始小于五个单位（图$\PageIndex{2}$）。

图$\PageIndex{2}$。

用更一般的方式，我们可以看出 if$|u|\leq a$，那么$−a\leq u\leq a$（图$\PageIndex{3}$）。

图$\PageIndex{3}$。

此处总结了此结果。

绝对值不等式$<$ OR $\leq$

对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a

$$\text{if} \quad |u|<a, \quad \text{then} \space −a<u<a \\ \text{if} \quad |u|\leq a, \quad \text{then} \space−a\leq u\leq a \nonumber$$

求解不等式后，检查一些点以查看解是否有意义通常会很有帮助。 解的图形将数字线分为三个部分。 在每个部分中选择一个值，然后将其替换为原始不等式，以查看它是否使不等式成立。 虽然这不是一项完整的检查，但它通常有助于验证解决方案。

示例$\PageIndex{16}$

解决$|x|<7$。 绘制解图并用区间表示法写出解。

解决方案

写下等效的不等式。
绘制解决方案的图表。
使用间隔表示法写出解。

查看：

要进行验证，请检查显示解决方案的数字行的每个部分中的一个值。 选择诸如 −8、−8、1 和 9 之类的数字。

锻炼$\PageIndex{17}$

绘制解图并用区间表示法写出解:$|x|<9$.

回答

锻炼$\PageIndex{18}$

绘制解图并用区间表示法写出解:$|x|<1$.

回答

示例$\PageIndex{19}$

解决$|5x−6|\leq 4$。 绘制解图并用区间表示法写出解。

解决方案

第 1 步。 隔离绝对值表达式。 它是孤立的。	$|5x−6|\leq 4$
第 2 步。 写出等效的复合不等式。	$−4\leq 5x−6\leq 4$
第 3 步。 解决复合不等式。	$2\leq 5x\leq 10$ $\frac{2}{5}\leq x\leq 2$
第 4 步。 绘制解决方案的图表。
第 5 步。 使用间隔表示法写出解。	$[\frac{2}{5}, 2]$
支票： 支票留给你。

锻炼$\PageIndex{20}$

解决$|2x−1|\leq 5$。 绘制解图并用区间表示法写出解：

回答

锻炼$\PageIndex{21}$

解决$|4x−5|\leq 3$。 绘制解图并用区间表示法写出解：

回答

用以下方法求解绝对值不等式$<$ OR $\leq$

1. 隔离绝对值表达式。
2. 写出等效的复合不等式。

   $$\begin{array} {lll} {|u|<a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{−a<u<a} \\ {|u|\leq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{−a\leq u\leq a} \\ \nonumber \end{array}$$

3. 解决复合不等式。
4. 绘制解决方案的图表
5. 使用间隔表示法写出解。

用 “大于” 求解绝对值不等式

“大于” 的绝对值不等式会怎样？ 再说一遍，我们将看看我们对绝对值的定义。 数字的绝对值是它在数字线上与零的距离。

我们从不平等开始$|x|\leq 5$。 我们看到，数字线上距离小于或等于零到五的数字是$−5$和 5，所有介于和 5 之间的$−5$数字都是（图$\PageIndex{4}$）。

图$\PageIndex{4}$。

现在我们要看看不平等性$|x|\geq 5$。 与零的距离大于或等于五的数字在哪里？

同样，$−5$和 5 都是从零开始的五个单位，因此包含在解中。 与零的距离大于五个单位的数字在数字行上将小于$−5$或大于 5（图$\PageIndex{5}$）。

图$\PageIndex{5}$。

更一般地说，我们可以看出 if$|u|\geq a$、then$u\leq −a$ 或$u\leq a$。 见图。

图$\PageIndex{6}$。

此处总结了此结果。

绝对值不等式$>$ OR $\geq$

对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a

$$\begin{array} {lll} {\text{if}} &{\quad |u|>a,} &{\quad \text{then } u<−a \text{ or } u>a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\geq a,} &{\quad \text{then } u\leq −a \text{ or } u\geq a} \\ \nonumber \end{array}$$

示例$\PageIndex{22}$

解决$|x|>4$。 绘制解图并用区间表示法写出解。

解决方案

	$|x|>4$
写下等效的不等式。	$x<−4$或$x>4$
绘制解决方案的图表。
使用间隔表示法写出解。	$(−\inf ,−4)\cup (4,\inf )$
查看：

要进行验证，请检查显示解决方案的数字行的每个部分中的一个值。 选择诸如 −6、−6、0 和 7 之类的数字。

锻炼$\PageIndex{23}$

解决$|x|>2$。 绘制解图并用区间表示法写出解。

回答

锻炼$\PageIndex{24}$

解决$|x|>1$。 绘制解图并用区间表示法写出解。

回答

示例$\PageIndex{25}$

解决$|2x−3|\geq 5$。 绘制解图并用区间表示法写出解。

解决方案

	$|2x−3|\geq 5$
第 1 步。 隔离绝对值表达式。 它是孤立的。
第 2 步。 写出等效的复合不等式。	$2x−3\leq −5$或$2x−3\geq 5$
第 3 步。 解决复合不等式。	$2x\leq −2$或者$2x\geq 8$ $x\leq −1$或$x\geq 4$
第 4 步。 绘制解决方案的图表。
第 5 步。 使用间隔表示法写出解。	$(−\inf ,−1]\cup [4,\inf )$
支票： 支票留给你。

锻炼$\PageIndex{26}$

解决$|4x−3|\geq 5$。 绘制解图并用区间表示法写出解。

回答

锻炼$\PageIndex{27}$

解决$|3x−4|\geq 2$。 绘制解图并用区间表示法写出解。

回答

用以下方法求解绝对值不等式$>$ OR $\geq$.

1. 隔离绝对值表达式。
2. 写出等效的复合不等式。

   \ [\ begin {array}
   {ll} {|u| >a} & {\ quad\ text {相当于}} & {u<−a\ quad\ text {或}
   \ quad u>a}\\ {|u|\ geq a} & {\ quad\ text {或}\ quad u\ geq a}
   \\ {|u| >a} & {\ quad\ text {相当于}} & {u<−a\ quad\ text {或}
   \ quad u>a}\\ {|u|\ geq a} & {\ quad\ text {或}\ quad u\ geq a}
   \\\nonumber\ end {array}\]

3. 解决复合不等式。
4. 绘制解决方案的图表
5. 使用间隔表示法写出解。

使用绝对值求解应用程序

绝对值不等式通常用于制造过程。 商品必须以接近完美的规格制成。 通常，允许的规格差异有一定的容差。 如果与规格的差异超过容差，则该商品将被拒收。

$$|\text{actual-ideal}|\leq \text{tolerance} \nonumber$$

示例$\PageIndex{28}$

机器所需杆的理想直径为 60 mm。 实际直径可能与理想直径之间有$0.075$ mm 的差异。 在不导致棒材被拒收的情况下，客户可以接受哪种直径范围？

解决方案

$\begin{array} {ll} {} &{\text{Let }x=\text{ the actual measurement}} \\ {\text{Use an absolute value inequality to express this situation.}} &{|\text{actual-ideal}|\leq \text{tolerance}} \\ {} &{|x−60|\leq 0.075} \\ {\text{Rewrite as a compound inequality.}} &{−0.075\leq x−60\leq 0.075} \\ {\text{Solve the inequality.}} &{59.925\leq x\leq 60.075} \\ {\text{Answer the question.}} &{\text{The diameter of the rod can be between}} \\ {} &{59.925 mm \text{ and } 60.075 mm.} \\ \end{array}$

练习$\PageIndex{29}$

机器所需杆的理想直径为 80 mm。 实际直径可能与理想直径相差 0.009 mm。 在不导致棒材被拒收的情况下，客户可以接受哪种直径范围？

回答

杆的直径可以在 79.991 到 80.009 毫米之间。

练习$\PageIndex{30}$

机器所需杆的理想直径为 75 mm。 实际直径可能与理想直径相差 0.05 mm。 在不导致棒材被拒收的情况下，客户可以接受哪种直径范围？

回答

杆的直径可以介于 74.95 和 75.05 毫米之间。

访问此在线资源，获取有关求解线性绝对值方程和不等式的更多指导和练习。

• 求解线性绝对值方程和不等式

关键概念

• 绝对值数字
  的绝对值是它在数字线上距离 0 的距离。
  数字 n 的绝对值写成所有数字$|n|$的$|n|\geq 0$ and。
  绝对值始终大于或等于零。
• 绝对值方程
  对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a，
  $\begin{array} {ll} {\text{if}} &{\quad |u|=a} \\ {\text{then}} &{\quad u=−a \text{ or } u=a} \\ \end{array}$
  请记住绝对值不能是负数。
• 如何求解绝对值方程
  1. 隔离绝对值表达式。
  2. 写出等效方程式。
  3. 求解每个方程。
  4. 检查每种解决方案。
• 具有两个绝对值的方程
  对于任何代数表达式 u 和 v，
  $\begin{array} {ll} {\text{if}} &{\quad |u|=|v|} \\ {\text{then}} &{\quad u=−v \text{ or } u=v} \\ \end{array}$
• 带$<$或的绝对值不等式$\leq$
  对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a,
  $\begin{array} {llll} {\text{if}} &{\quad |u|=a} &{\quad \text{then}} &{−a<u<a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\leq a} &{\quad \text{then}} &{−a\leq u\leq a} \\ \end{array}$
• 如何用$<$或求解绝对值不等式$\leq$
  1. 隔离绝对值表达式。
  2. 写出等效的复合不等式。
     $\begin{array} {lll} {|u|<a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad −a<u<a} \\ {|u|\leq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad −a\leq u\leq a} \\ \end{array}$
  3. 解决复合不等式。
  4. 绘制解决方案的图表
  5. 使用间隔表示法写出解
• 带$>$或的绝对值不等式$\geq$
  对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a,
  $\begin{array} {lll} {\text{if}} &{\quad |u|>a,} &{\text{then } u<−a\text{ or }u>a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\geq a,} &{\text{then } u\leq −a\text{ or }u\geq a} \\ \end{array}$
• 如何用$>$或求解绝对值不等式$\geq$
  1. 隔离绝对值表达式。
  2. 写出等效的复合不等式。
     $\begin{array} {lll} {|u|>a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad u<−a\text{ or }u>a} \\ {|u|\geq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad u\leq −a\text{ or }u\geq a} \\ \end{array}$
  3. 解决复合不等式。
  4. 绘制解决方案的图表
  5. 使用间隔表示法写出解