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2.8: 求解绝对值不等式

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    204224
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    学习目标

    在本节结束时,您将能够:

    • 求解绝对值方程
    • 用 “小于” 求解绝对值不等式
    • 用 “大于” 求解绝对值不等式
    • 用绝对值求解应用程序

    在开始之前,请参加这个准备测验。

    1. 评估:\(−|7|\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
    2. \(=\)为以下每对数字填写\(<,>,<,>,\)或。
      \(|−8|\text{___}−|−8|\)\(12\text{___}−|−12|\)\(|−6|\text{___}−6\)\(−(−15)\text{___}−|−15|\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
    3. 简化:\(14−2|8−3(4−1)|\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]

    求解绝对值方程

    在我们准备求解绝对值方程时,我们会回顾我们对绝对值的定义。

    绝对值

    数字的绝对值是它在数字线上与零的距离。

    数字 n 的绝对值写成所有数字\(|n|\)\(|n|\geq 0\) and。

    绝对值始终大于或等于零。

    我们了解到,在数字线上,数字及其对数与零的距离是相同的。 由于它们与零的距离相同,因此它们的绝对值相同。 例如:

    • \(−5\)距离 0 有 5 个单位的距离,所以\(|−5|=5\)
    • \(5\)距离 0 有 5 个单位的距离,所以\(|5|=5\)

    该图\(\PageIndex{1}\)说明了这个想法。

    该图是一条数字线,刻度线分别为负 5、0 和 5。 负 5 和 0 之间的距离以 5 个单位给出,因此负 5 的绝对值为 5。 5 和 0 之间的距离为 5 个单位,因此 5 的绝对值为 5。
    \(\PageIndex{1}\):数字 5 和 5\(−5\) 均距离零五个单位。

    对于方程 |x|=5, |x|=5,我们正在寻找所有能使其成为真实陈述的数字。 我们正在寻找与零的距离为 5 的数字。 我们刚刚看到 5 和 −5−5 在数字行上都是从零开始的五个单位。 它们是方程的解。

    \(\begin{array} {ll} {\text{If}} &{|x|=5} \\ {\text{then}} &{x=−5\text{ or }x=5} \\ \end{array}\)

    通过写作,可以将解决方案简化为单个语句\(x=\pm 5\)。 读作 “x 等于正或负 5”。

    我们可以将其概括为绝对值方程的以下属性。

    绝对值方程

    对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a

    \[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=a} \\ {\text{then}} &{u=−a \text{ or }u=a} \\ \nonumber \end{array}\]

    请记住,绝对值不能是负数。

    示例\(\PageIndex{1}\)

    解决:

    1. \(|x|=8\)
    2. \(|y|=−6\)
    3. \(|z|=0\)
    解决方案 a

    \(\begin{array} {ll} {} &{|x|=8} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{x=−8 \text{ or } x=8} \\ {} &{x=\pm 8} \\ \end{array}\)

    解决方案 b

    \(\begin{array} {ll} {} &{|y|=−6} \\ {} &{\text{No solution}} \\ \end{array}\)
    由于绝对值始终为正,因此该方程没有解。

    解决方案 c

    \(\begin{array} {ll} {} &{|z|=0} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{z=−0\text{ or }z=0} \\ {\text{Since }−0=0,} &{z=0} \\ \end{array}\)
    两个方程都告诉我们 z=0z=0 所以只有一个解。

    锻炼\(\PageIndex{2}\)

    解决:

    1. \(|x|=2\)
    2. \(|y|=−4\)
    3. \(|z|=0\)
    回答 a

    \(\pm 2\)

    答案 b

    没有解决办法

    答案 c

    0

    锻炼\(\PageIndex{3}\)

    解决:

    1. \(|x|=11\)
    2. \(|y|=−5\)
    3. \(|z|=0\)
    回答 a

    \(\pm 11\)

    答案 b

    没有解决办法

    答案 c

    0

    为了求解绝对值方程,我们首先使用与求解线性方程相同的程序隔离绝对值表达式。 隔离绝对值表达式后,我们将其重写为两个等效方程。

    如何求解绝对值方程

    示例\(\PageIndex{4}\)

    解决\(|5x−4|−3=8\)

    解决方案

    步骤 1 是隔离绝对值表达式。 数量 5 x 减去 4 和 3 的绝对值之差等于 8。 在两边加 3。 结果是量 5 x 减去 4 等于 11 的绝对值。步骤 2 是写出等效方程,5 x 减 4 等于负 11,5 x 减 4 等于 11。步骤 3 是求解每个方程。 每边加 4。5 x 等于负 7 或 5 x 等于 15。 将每边除以 5。 结果是 x 等于负五分之七或 x 等于 3。第 4 步是检查每种解决方案。 将 3 和负五分之七代入原始方程中,量 5 x 减去 4 和 3 的绝对值之差等于 8。 用 3 代替 x。数量 5 乘以 3 减去 4 和 3 的绝对值之间的差值是否等于 8? 数量 15 减去 4 和 3 的绝对值之间的差值是否等于 8? 11 和 3 的绝对值之差等于 8 吗? 11 减去 3 等于 8 吗? 8 等于 8,因此解 x 等于 3 个校验。 用负五分之七代替 x。数量的绝对值乘以负五分之七减去 4 和 3 之间的差值是否等于 8? 数量的绝对值为负 7 减去 4 和 3 的绝对值之间的差值是否等于 8? 负 11 和 3 的绝对值之差是否等于 8? 11 减去 3 等于 8 吗? 8 等于 8,因此解 x 等于负五分之七校验。

    锻炼\(\PageIndex{5}\)

    解决:\(|3x−5|−1=6\)

    回答

    \(x=4, \space x=−\frac{2}{3}\)

    锻炼\(\PageIndex{6}\)

    解决:\(|4x−3|−5=2\)

    回答

    \(x=−1,\space x=\frac{5}{2}\)

    这里总结了求解绝对值方程的步骤。

    求解绝对值方程。
    1. 隔离绝对值表达式。
    2. 写出等效方程式。
    3. 求解每个方程。
    4. 检查每种解决方案。
    示例\(\PageIndex{7}\)

    解决\(2|x−7|+5=9\).

    解决方案
      \(2|x−7|+5=9\)
    隔离绝对值表达式。 \(2|x−7|=4\)
      \(|x−7|=2\)
    写出等效方程式。 \(x−7=−2\)\(x−7=2\)
    求解每个方程。 \(x=5\)\(x=9\)
    查看:
    。
     
    练习\(\PageIndex{8}\)

    解决:\(3|x−4|−4=8\)

    回答

    \(x=8,\space x=0\)

    练习\(\PageIndex{9}\)

    解决:\(2|x−5|+3=9\)

    回答

    \(x=8,\space x=2\)

    记住,绝对值总是正数!

    示例\(\PageIndex{10}\)

    解决:\(|\frac{2}{3}x−4|+11=3\)

    解决方案

    \(\begin{array} {ll} {} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{Isolate the absolute value term.}} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{An absolute value cannot be negative.}} &{\text{No solution}} \\ \end{array}\)

    练习\(\PageIndex{11}\)

    解决:\(|\frac{3}{4}x−5|+9=4\)

    回答

    没有解决办法

    练习\(\PageIndex{12}\)

    解决:\(|\frac{5}{6}x+3|+8=6\)

    回答

    没有解决办法

    我们的一些绝对值方程可能采用其\(|u|=|v|\)uv 是代数表达式的形式。 例如,\(|x−3|=|2x+1|\)

    我们将如何解决这些问题? 如果两个代数表达式的绝对值相等,则它们要么彼此相等,要么彼此为负数。 绝对值方程的属性表示,对于任何代数表达式 u 和正实数,a、if\(|u|=a\)、then\(u=−a\)\(u=a\)

    这告诉我们了

    \ (\ begin {array}
    {lll} {\ text {if}} & {|u|=|v|}
    & {}\\ {\ text {then}} & {|u|=v} & {|u|=−v}
    \\ {\ text {and so}} & {u=v\ text {or} u = −v} & {\ text {or}} & {u=−v\ text {or} u = − (−v)}
    \\\ end {array}\)

    这使我们得出具有两个绝对值的方程的以下属性。

    具有两个绝对值的方程

    对于任何代数表达式 uv

    \[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=|v|} \\ {\text{then}} &{u=−v\text{ or }u=v} \\ \nonumber \end{array}\]

    当我们取与数量相反的值时,我们必须谨慎对待符号,并在需要时添加圆括号。

    示例\(\PageIndex{13}\)

    解决:\(|5x−1|=|2x+3|\)

    解决方案

    \(\begin{array} {ll} {} &{} &{|5x−1|=|2x+3|} &{} \\ {} &{} &{} &{} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{5x−1=−(2x+3)} &{\text{or}} &{5x−1=2x+3} \\ {} &{5x−1=−2x−3} &{\text{or}} &{3x−1=3} \\ {\text{Solve each equation.}} &{7x−1=−3} &{} &{3x=4} \\ {} &{7x=−2} &{} &{x=43} \\ {} &{x=−27} &{\text{or}} &{x=43} \\ {\text{Check.}} &{} &{} &{} \\ {\text{We leave the check to you.}} &{} &{} &{} \\ \end{array}\)

    练习\(\PageIndex{14}\)

    解决:\(|7x−3|=|3x+7|\)

    回答

    \(x=−\frac{2}{5}, \space x=\frac{5}{2}\)

    练习\(\PageIndex{15}\)

    解决:\(|6x−5|=|3x+4|\)

    回答

    \(x=3, x=19\)

    用 “小于” 求解绝对值不等式

    现在让我们来看看当我们存在绝对值不等式时会发生什么。 我们所学到的关于解决不平等的一切仍然有效,但我们必须考虑绝对价值如何影响我们的工作。 再说一遍,我们将看看我们对绝对值的定义。 数字的绝对值是它在数字线上与零的距离。 对于方程\(|x|=5\),我们看到数字线上\(−5\)的 5 和 5 都是 0 的五个单位。 它们是方程的解。

    \[\begin{array} {lll} {} &{|x|=5} &{} \\ {x=−5} &{\text{or}} &{x=5} \\ \nonumber \end{array}\]

    那不平等\(|x|\leq 5\)呢? 距离小于或等于 5 的数字在哪里? 我们知道\(−5\)和 5 都是从零开始的五个单位。 \(−5\)和 5 之间的所有数字从零开始小于五个单位(图\(\PageIndex{2}\))。

    该图是一条显示负数 5、0 和 5 的数字线。 负数 5 处有左括号,5 处有右括号。 负 5 和 0 之间的距离以 5 个单位给出,5 和 0 之间的距离以 5 个单位给出。 它说明如果 x 的绝对值小于或等于 5,则负 5 小于或等于 x,后者小于或等于 5。
    \(\PageIndex{2}\)

    用更一般的方式,我们可以看出 if\(|u|\leq a\),那么\(−a\leq u\leq a\)(图\(\PageIndex{3}\))。

    该图是一条数字线,负数为 0,显示的是。 负数 a 处有一个左括号,a 处有一个右括号。负 a 和 0 之间的距离以单位给出,a 和 0 之间的距离以单位给出。 它表明,如果 u 的绝对值小于或等于 a,则负 a 小于或等于 a 的 u。
    \(\PageIndex{3}\)

    此处总结了此结果。

    绝对值不等式\(<\) OR \(\leq\)

    对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a

    \[ \text{if} \quad |u|<a, \quad \text{then} \space −a<u<a \\ \text{if} \quad |u|\leq a, \quad \text{then} \space−a\leq u\leq a \nonumber\]

    求解不等式后,检查一些点以查看解是否有意义通常会很有帮助。 解的图形将数字线分为三个部分。 在每个部分中选择一个值,然后将其替换为原始不等式,以查看它是否使不等式成立。 虽然这不是一项完整的检查,但它通常有助于验证解决方案。

    示例\(\PageIndex{16}\)

    解决\(|x|<7\)。 绘制解图并用区间表示法写出解。

    解决方案
      。
    写下等效的不等式。 。
    绘制解决方案的图表。 。
    使用间隔表示法写出解。 。

    查看:

    要进行验证,请检查显示解决方案的数字行的每个部分中的一个值。 选择诸如 −8、−8、1 和 9 之类的数字。

    该图是一条数字线,左括号为负 7,右括号为 7,括号之间为阴影。 负值 8、1 和 9 用点标记。 负 8 的绝对值小于 7 是错误的。 它不满足 x 小于 7 的绝对值。 1 的绝对值小于 7 是真的。 它确实满足 x 的绝对值小于 7。 9 的绝对值小于 7 是错误的。 它不满足 x 小于 7 的绝对值。

    锻炼\(\PageIndex{17}\)

    绘制解图并用区间表示法写出解:\(|x|<9\).

    回答

    解为负 9 小于 x,后者小于 9。 数字线显示负9和9处的空心圆圈,圆圈之间有阴影。 括号内的间隔表示法是负数 9 到 9。

    锻炼\(\PageIndex{18}\)

    绘制解图并用区间表示法写出解:\(|x|<1\).

    回答

    解为负 1 小于 x,后者小于 1。 数字线显示负数 1 和 1 处的空心圆圈,圆圈之间有阴影。 括号内的间隔表示法是负数 1 到 1。

    示例\(\PageIndex{19}\)

    解决\(|5x−6|\leq 4\)。 绘制解图并用区间表示法写出解。

    解决方案
    第 1 步。 隔离绝对值表达式。
    它是孤立的。
    \(|5x−6|\leq 4\)
    第 2 步。 写出等效的复合不等式。 \(−4\leq 5x−6\leq 4\)
    第 3 步。 解决复合不等式。 \(2\leq 5x\leq 10\)
    \(\frac{2}{5}\leq x\leq 2\)
    第 4 步。 绘制解决方案的图表。 。
    第 5 步。 使用间隔表示法写出解。 \([\frac{2}{5}, 2]\)
    支票:
    支票留给你。
     
    锻炼\(\PageIndex{20}\)

    解决\(|2x−1|\leq 5\)。 绘制解图并用区间表示法写出解:

    回答

    解为负 2 小于或等于 x,后者小于或等于 3。 数字线显示负数 2 和 3 处的封闭圆圈,圆圈之间有阴影。 方括号内的间隔符号为负 2 到 3。

    锻炼\(\PageIndex{21}\)

    解决\(|4x−5|\leq 3\)。 绘制解图并用区间表示法写出解:

    回答

    解为一半小于或等于 x,后者小于或等于 2。 数字线显示一半和 2 处的闭合圆圈,圆圈之间有阴影。 方括号内的间隔表示法为一半到 2。

    用以下方法求解绝对值不等式\(<\) OR \(\leq\)
    1. 隔离绝对值表达式。
    2. 写出等效的复合不等式。

      \[\begin{array} {lll} {|u|<a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{−a<u<a} \\ {|u|\leq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{−a\leq u\leq a} \\ \nonumber \end{array}\]

    3. 解决复合不等式。
    4. 绘制解决方案的图表
    5. 使用间隔表示法写出解。

    用 “大于” 求解绝对值不等式

    “大于” 的绝对值不等式会怎样? 再说一遍,我们将看看我们对绝对值的定义。 数字的绝对值是它在数字线上与零的距离。

    我们从不平等开始\(|x|\leq 5\)。 我们看到,数字线上距离小于或等于零到五的数字是\(−5\)和 5,所有介于和 5 之间的\(−5\)数字都是(图\(\PageIndex{4}\))。

    该图是一条显示负数 5、0 和 5 的数字线。 在负数 5 处有一个右括号,右边有阴影,右方括号在 5 处,左边有阴影。 它说明如果 x 的绝对值小于或等于 5,则负 5 小于或等于 x 小于或等于 5。
    \(\PageIndex{4}\)

    现在我们要看看不平等性\(|x|\geq 5\)。 与零的距离大于或等于五的数字在哪里?

    同样,\(−5\)和 5 都是从零开始的五个单位,因此包含在解中。 与零的距离大于五个单位的数字在数字行上将小于\(−5\)或大于 5(图\(\PageIndex{5}\))。

    该图是一条显示负数 5、0 和 5 的数字线。 负数 5 处有一个右括号,左边有阴影,左方括号在 5 处,右边有阴影。 负 5 和 0 之间的距离以 5 个单位给出,5 和 0 之间的距离以 5 个单位给出。 它说明如果 x 的绝对值大于或等于 5,则 x 小于或等于负 5 或 x 大于或等于 5。
    \(\PageIndex{5}\)

    更一般地说,我们可以看出 if\(|u|\geq a\)、then\(u\leq −a\)\(u\leq a\)。 见

    该图是一条显示负数 a、0 和 a 的数字线。 在负 a 处有一个右方括号,左边有阴影,a 处有一个左括号,右边有阴影。 负 a 和 0 之间的距离以单位给出,a 和 0 之间的距离以单位给出。 它说明如果 u 的绝对值大于或等于 a,则 u 小于或等于负 a 或 u 大于或等于 a。
    \(\PageIndex{6}\)

    此处总结了此结果。

    绝对值不等式\(>\) OR \(\geq\)

    对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a

    \[\begin{array} {lll} {\text{if}} &{\quad |u|>a,} &{\quad \text{then } u<−a \text{ or } u>a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\geq a,} &{\quad \text{then } u\leq −a \text{ or } u\geq a} \\ \nonumber \end{array}\]

    示例\(\PageIndex{22}\)

    解决\(|x|>4\)。 绘制解图并用区间表示法写出解。

    解决方案
      \(|x|>4\)
    写下等效的不等式。 \(x<−4\)\(x>4\)
    绘制解决方案的图表。 。
    使用间隔表示法写出解。 \((−\inf ,−4)\cup (4,\inf )\)
    查看:  

    要进行验证,请检查显示解决方案的数字行的每个部分中的一个值。 选择诸如 −6、−6、0 和 7 之类的数字。

    该图是一条数字线,右括号为负 4,左边是阴影,右边是 4 处的左括号阴影。 负值 6、0 和 7 用点标记。 负 6 的绝对值大于负 4 的绝对值是真的。 它不满足 x 大于 4 的绝对值。 0 大于 4 的绝对值是假的。 它不满足 x 大于 4 的绝对值。 7 的绝对值小于 4 是真的。 它确实满足 x 的绝对值大于 4。

    锻炼\(\PageIndex{23}\)

    解决\(|x|>2\)。 绘制解图并用区间表示法写出解。

    回答

    解是 x 小于负 2 或 x 大于 2。 数字线在负 2 处显示一个空心圆圈,左边有阴影,右边是阴影 2 处有一个空心圆圈。 区间表示法是圆括号内负无穷大与负 2 的并集,括号内的 2 到无穷大的并集。

    锻炼\(\PageIndex{24}\)

    解决\(|x|>1\)。 绘制解图并用区间表示法写出解。

    回答

    解是 x 小于负 1 或 x 大于 1。 数字线显示一个负数 1 处的空心圆圈,左边有阴影,在 1 处显示一个空心圆圈,右边有阴影。 区间表示法是圆括号内负无穷大与负 1 的并集,括号内的 1 到无穷大的并集。

    示例\(\PageIndex{25}\)

    解决\(|2x−3|\geq 5\)。 绘制解图并用区间表示法写出解。

    解决方案
      \(|2x−3|\geq 5\)
    第 1 步。 隔离绝对值表达式。 它是孤立的。  
    第 2 步。 写出等效的复合不等式。 \(2x−3\leq −5\)\(2x−3\geq 5\)
    第 3 步。 解决复合不等式。 \(2x\leq −2\)或者\(2x\geq 8\)
    \(x\leq −1\)\(x\geq 4\)
    第 4 步。 绘制解决方案的图表。 。
    第 5 步。 使用间隔表示法写出解。 \((−\inf ,−1]\cup [4,\inf )\)
    支票:
    支票留给你。
     
    锻炼\(\PageIndex{26}\)

    解决\(|4x−3|\geq 5\)。 绘制解图并用区间表示法写出解。

    回答

    解是 x 小于或等于负一半或 x 大于或等于 2。 数字线在负一半处显示一个封闭的圆圈,左边有阴影,右边是一个封闭的圆圈,右边是阴影。 间隔表示法是在括号和括号内将负无穷大与负一半的并集,以及方括号和括号内的 2 到无穷大的并集

    锻炼\(\PageIndex{27}\)

    解决\(|3x−4|\geq 2\)。 绘制解图并用区间表示法写出解。

    回答

    解是 x 小于或等于三分之二或 x 大于或等于 2。 数字线在三分之二处显示一个封闭的圆圈,左边是阴影,右边是阴影 2 处有一个封闭的圆圈,右边是阴影。 间隔表示法是指在圆括号和括号内负无穷大到三分之二的并集,以及括号和括号内的 2 到无穷大的并集。

    用以下方法求解绝对值不等式\(>\) OR \(\geq\).
    1. 隔离绝对值表达式。
    2. 写出等效的复合不等式。

      \ [\ begin {array}
      {ll} {|u| >a} & {\ quad\ text {相当于}} & {u<−a\ quad\ text {或}
      \ quad u>a}\\ {|u|\ geq a} & {\ quad\ text {或}\ quad u\ geq a}
      \\ {|u| >a} & {\ quad\ text {相当于}} & {u<−a\ quad\ text {或}
      \ quad u>a}\\ {|u|\ geq a} & {\ quad\ text {或}\ quad u\ geq a}
      \\\nonumber\ end {array}\]

    3. 解决复合不等式。
    4. 绘制解决方案的图表
    5. 使用间隔表示法写出解。

    使用绝对值求解应用程序

    绝对值不等式通常用于制造过程。 商品必须以接近完美的规格制成。 通常,允许的规格差异有一定的差。 如果与规格的差异超过容差,则该商品将被拒收。

    \[|\text{actual-ideal}|\leq \text{tolerance} \nonumber\]

    示例\(\PageIndex{28}\)

    机器所需杆的理想直径为 60 mm。 实际直径可能与理想直径之间有\(0.075\) mm 的差异。 在不导致棒材被拒收的情况下,客户可以接受哪种直径范围?

    解决方案

    \(\begin{array} {ll} {} &{\text{Let }x=\text{ the actual measurement}} \\ {\text{Use an absolute value inequality to express this situation.}} &{|\text{actual-ideal}|\leq \text{tolerance}} \\ {} &{|x−60|\leq 0.075} \\ {\text{Rewrite as a compound inequality.}} &{−0.075\leq x−60\leq 0.075} \\ {\text{Solve the inequality.}} &{59.925\leq x\leq 60.075} \\ {\text{Answer the question.}} &{\text{The diameter of the rod can be between}} \\ {} &{59.925 mm \text{ and } 60.075 mm.} \\ \end{array}\)

    练习\(\PageIndex{29}\)

    机器所需杆的理想直径为 80 mm。 实际直径可能与理想直径相差 0.009 mm。 在不导致棒材被拒收的情况下,客户可以接受哪种直径范围?

    回答

    杆的直径可以在 79.991 到 80.009 毫米之间。

    练习\(\PageIndex{30}\)

    机器所需杆的理想直径为 75 mm。 实际直径可能与理想直径相差 0.05 mm。 在不导致棒材被拒收的情况下,客户可以接受哪种直径范围?

    回答

    杆的直径可以介于 74.95 和 75.05 毫米之间。

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    • 求解线性绝对值方程和不等式

    关键概念

    • 绝对值数字
      的绝对值是它在数字线上距离 0 的距离。
      数字 n 的绝对值写成所有数字\(|n|\)\(|n|\geq 0\) and。
      绝对值始终大于或等于零。
    • 绝对值方程
      对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a
      \(\begin{array} {ll} {\text{if}} &{\quad |u|=a} \\ {\text{then}} &{\quad u=−a \text{ or } u=a} \\ \end{array}\)
      请记住绝对值不能是负数。
    • 如何求解绝对值方程
      1. 隔离绝对值表达式。
      2. 写出等效方程式。
      3. 求解每个方程。
      4. 检查每种解决方案。
    • 具有两个绝对值的方程
      对于任何代数表达式 uv
      \(\begin{array} {ll} {\text{if}} &{\quad |u|=|v|} \\ {\text{then}} &{\quad u=−v \text{ or } u=v} \\ \end{array}\)
    • \(<\)或的绝对值不等式\(\leq\)
      对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a,
      \(\begin{array} {llll} {\text{if}} &{\quad |u|=a} &{\quad \text{then}} &{−a<u<a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\leq a} &{\quad \text{then}} &{−a\leq u\leq a} \\ \end{array}\)
    • 如何用\(<\)或求解绝对值不等式\(\leq\)
      1. 隔离绝对值表达式。
      2. 写出等效的复合不等式。
        \(\begin{array} {lll} {|u|<a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad −a<u<a} \\ {|u|\leq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad −a\leq u\leq a} \\ \end{array}\)
      3. 解决复合不等式。
      4. 绘制解决方案的图表
      5. 使用间隔表示法写出解
    • \(>\)或的绝对值不等式\(\geq\)
      对于任何代数表达式 u 和任何正实数 a,
      \(\begin{array} {lll} {\text{if}} &{\quad |u|>a,} &{\text{then } u<−a\text{ or }u>a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\geq a,} &{\text{then } u\leq −a\text{ or }u\geq a} \\ \end{array}\)
    • 如何用\(>\)或求解绝对值不等式\(\geq\)
      1. 隔离绝对值表达式。
      2. 写出等效的复合不等式。
        \(\begin{array} {lll} {|u|>a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad u<−a\text{ or }u>a} \\ {|u|\geq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad u\leq −a\text{ or }u\geq a} \\ \end{array}\)
      3. 解决复合不等式。
      4. 绘制解决方案的图表
      5. 使用间隔表示法写出解