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1.6: 实数的属性

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    203944
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    学习目标

    在本节结束时,您将能够:

    • 使用交换和关联属性
    • 使用恒等式、反向和零的属性
    • 使用分布属性简化表达式

    使用交换和关联属性

    我们将两个数字相加的顺序不会影响结果。 如果我们加上\(8+9\)\(9+8\),结果是相同的,它们都等于 17。 所以,\(8+9=9+8\)。 我们添加的顺序无关紧要!

    同样,将两个数字相乘时,顺序不会影响结果。 如果我们相乘\(9·8\)或者\(8·9\)结果相同,它们都等于 72。 所以,\(9·8=8·9\)。 我们乘以的顺序并不重要! 这些示例说明了可交换属性

    可交换属性

    \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array} \]

    相加或乘法时,更改顺序会得到相同的结果。

    交换财产与秩序有关。 我们减去\(9−8\) and\(8−9\),然后看出来\(9−8\neq 8−9\)。 由于改变减法的顺序不会得到相同的结果,因此我们知道减法是不可交换的

    分区也不可交换。 因为\(12÷3\neq 3÷12\),改变除法顺序不会得出相同的结果。 交换属性仅适用于加法和乘法!

    • 加法和乘法是可交换的。
    • 减法和除法是不可交换的。

    将三个数字相加时,更改数字的分组会得到相同的结果。 例如\((7+8)+2=7+(8+2)\),因为方程的每一边都等于 17。

    乘法也是如此。 例如\(\left(5·\frac{1}{3}\right)·3=5·\left(\frac{1}{3}·3\right)\),因为方程的每一边等于 5。

    这些示例说明了关联属性

    关联属性

    \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array} \]

    相加或乘法时,更改分会得到相同的结果。

    关联属性与分组有关。 如果我们改变数字的分组方式,结果将相同。 请注意,这三个数字的顺序相同,唯一的区别是分组。

    我们看到减法和除法是不可交换的。 它们也不是联想的。

    \[\begin{array}{cc} (10−3)−2\neq 10−(3−2) & (24÷4)÷2\neq 24÷(4÷2) \\ 7−2\neq 10−1 & 6÷2\neq 24÷2 \\ 5\neq 9 & 3\neq 12 \end{array}\]

    在简化表达式时,计划步骤总是一个好主意。 为了在下一个示例中组合相似的术语,我们将使用加法的可交换属性将相似的术语写在一起。

    示例\(\PageIndex{1}\)

    简化:\(18p+6q+15p+5q\)

    回答

    \[\begin{array}{lc} \text{} & 18p+6q+15p+5q \\ \text{Use the Commutative Property of addition to} & 18p+15p+6q+5q \\ \text{reorder so that like terms are together.} & {} \\ \text{Add like terms.} & 33p+11q \end{array}\]

    示例\(\PageIndex{2}\)

    简化:\(23r+14s+9r+15s\)

    回答

    \(32r+29s\)

    示例\(\PageIndex{3}\)

    简化:\(37m+21n+4m−15n\)

    回答

    \(41m+6n\)

    当我们必须简化代数表达式时,我们通常可以通过先应用可交换属性或关联属性来简化工作。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    简化:\((\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4}\)

    回答

    \( \begin{array}{lc} \text{} & (\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4} \\ {\text{Notice that the last 2 terms have a common} \\ \text{denominator, so change the grouping.} } & \frac{5}{13}+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) \\ \text{Add in parentheses first.} & \frac{5}{13}+(\frac{4}{4}) \\ \text{Simplify the fraction.} & \frac{5}{13}+1 \\ \text{Add.} & 1\frac{5}{13} \\ \text{Convert to an improper fraction.} & \frac{18}{13} \end{array}\)

    示例\(\PageIndex{5}\)

    简化:\((\frac{7}{15}+\frac{5}{8})+\frac{3}{8}.\)

    回答

    \(1 \frac{7}{15}\)

    示例\(\PageIndex{6}\)

    简化:\((\frac{2}{9}+\frac{7}{12})+\frac{5}{12}\)

    回答

    \(1\frac{2}{9}\)

    使用恒等式、逆向和零的属性

    当我们将0加到任何数字时会发生什么? 添加 0 不会更改该值。 出于这个原因,我们称0为加法恒等式。 加法的 I dentity Property 表示对于任何实数\(a,a+0=a\)\(0+a=a.\)

    当我们将任何数字乘以一时会发生什么? 乘以 1 不会改变该值。 所以我们称1为乘法恒等式。 乘法的身份属性,它指出对于任何实数\(a,a·1=a\)\(1⋅a=a.\)

    我们在此总结身份属性。

    身份财产

    \[\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \\ \\ \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \\ \\ \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}\]

    将哪个数字与 5 相加得出加法恒等号,0? 我们知道

    alt

    缺少的数字与数字相反!

    我们称之\(−a\)为的加法反向\(a\)与数字相反的是其相加的逆数。 一个数字及其对立方加起来为零,这是加法恒等式。 这就导致了加法的逆属性,它表示任何实数\(a,a+(−a)=0.\)

    将哪个数字乘以得\(\frac{2}{3}\)出乘法恒等式,即 1? 换句话说,\(\frac{2}{3}\)乘以 1 的结果是多少? 我们知道

    alt

    缺少的数字是该数字的倒数!

    我们称\(\frac{1}{a}\)之为 a乘法逆函数。 数字@@ 的倒数是其乘法逆数。 这就产生了乘法的逆属性,它指出,对于任何实数\(a,a\neq 0,a·\frac{1}{a}=1.\)

    我们将在这里正式陈述反向属性。

    反向属性

    \[\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}\]

    加法的 Identity Property 表示,当我们将 0 与任意数字相加时,结果是相同的数字。 当我们将一个数字乘以 0 时会发生什么? 乘以 0 使乘积等于零。

    那涉及零的分割呢? 什么是\(0÷3\)? 想一个真实的例子:如果饼干罐里没有饼干,而要有三个人分享它们,那么每个人会得到多少饼干? 没有可共享的 cookie,因此每人获得 0 个 cookie。 所以,\(0÷3=0.\)

    我们可以用相关的乘法数来检查除法。 所以我们知道是\(0÷3=0\)因为\(0·3=0\)

    现在考虑除零。 将 4 除以 0 的结果是什么? 想想相关的乘法事实:

    alt

    有没有一个数字乘以 0 得出 4? 由于任何实数乘以 0 都会得到 0,因此没有实数可以乘以 0 得到 4。 我们得出结论,没有答案\(4÷0\),所以我们说除以 0 是未定义的。

    我们在这里总结零的属性。

    零的属性

    乘以零:对于任何实数 a

    \[a⋅0=0 \; \; \; 0⋅a=0 \; \; \; \; \text{The product of any number and 0 is 0.}\]

    除以零:对于任何实数 a\(a\neq 0\)

    \[\begin{array}{cl} \dfrac{0}{a}=0 & \text{Zero divided by any real number, except itself, is zero.} \\ \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} & \text{Division by zero is undefined.} \end{array}\]

    我们现在将练习使用恒等式、反向和零的属性来简化表达式。

    示例\(\PageIndex{7}\)

    简化:\(−84n+(−73n)+84n.\)

    回答

    \(\begin{array}{lc} \text{} & −84n+(−73n)+84n \\ \text{Notice that the first and third terms are} \\ \text{opposites; use the Commutative Property of} & −84n+84n+(−73n) \\ \text{addition to re-order the terms.} \\ \text{Add left to right.} & 0+(−73n) \\ \text{Add.} & −73n \end{array}\)

    示例\(\PageIndex{8}\)

    简化:\(−27a+(−48a)+27a\)

    回答

    \(−48a\)

    示例\(\PageIndex{9}\)

    简化:\(39x+(−92x)+(−39x)\)

    回答

    \(−92x\)

    现在我们将看看承认互惠是如何有帮助的。 在从左到右乘法之前,先寻找倒数——它们的乘积为 1。

    示例\(\PageIndex{10}\)

    简化:\(\frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7}\)

    回答

    \(\begin{array}{lc} \text{} & \frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7} \\ \text{Notice the first and third terms} \\ {\text{are reciprocals, so use the Commutative} \\ \text{Property of multiplication to re-order the} \\ \text{factors.}} & \frac{7}{15}·\frac{15}{7}·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply left to right.} & 1·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply.} & \frac{8}{23} \end{array}\)

    示例\(\PageIndex{11}\)

    简化:\(\frac{9}{16}⋅\frac{5}{49}⋅\frac{16}{9}\)

    回答

    \(\frac{5}{49}\)

    简化:\(\frac{6}{17}⋅\frac{11}{25}⋅\frac{17}{6}\)

    回答

    \(\frac{11}{25}\)

    下一个例子让我们意识到 0 除以某个数字或将某个数字除以 0 之间的区别。

    简化:a.\(\frac{0}{n+5}\),其中\(n\neq −5\) b.\(\frac{10−3p}{0}\) 哪里\(10−3p\neq 0.\)

    回答

    一个。

    \(\begin{array}{lc} {} & \dfrac{0}{n+5} \\ \text{Zero divided by any real number except itself is 0.} & 0 \end{array}\)

    b。

    \(\begin{array}{lc} {} & \dfrac{10−3p}{0} \\ \text{Division by 0 is undefined.} & \text{undefined} \end{array}\)

    示例\(\PageIndex{14}\)

    简化:a.\(\frac{0}{m+7}\),其中\(m\neq −7\) b.\(\frac{18−6c}{0}\),哪里\(18−6c\neq 0\)

    回答

    a. 0
    b. 未定义

    示例\(\PageIndex{15}\)

    简化:a.\(\frac{0}{d−4}\),其中\(d\neq 4\) b.\(\frac{15−4q}{0}\),哪里\(15−4q\neq 0\)

    回答

    a. 0
    b. 未定义

    使用分布属性简化表达式

    假设三个朋友要去看电影。 他们每人需要 9.25 美元(即 9 美元和 1 个季度)来支付门票。 他们总共需要多少钱?

    你可以将美元与季度分开考虑。 他们需要 3 倍 9 美元,所以 27 美元,1 个季度需要 3 倍,所以 75 美分。 他们总共需要27.75美元。 如果你考虑用这种方式进行数学运算,你就是在使用分布属性。

    分配财产

    \(\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}\)

    在代数中,我们在简化表达式时使用分布属性删除括号。

    示例\(\PageIndex{16}\)

    简化:\(3(x+4)\)

    回答

    \(\begin{array} {} & 3(x+4) \\ \text{Distribute.} \; \; \; \; \; \; \; \; & 3·x+3·4 \\ \text{Multiply.} & 3x+12 \end{array}\)

    简化:\(4(x+2)\)

    回答

    \(4x8\)

    示例\(\PageIndex{18}\)

    简化:\(6(x+7)\)

    回答

    \(6x42\)

    有些学生发现用箭头来提醒他们如何使用分布式财产会很有帮助。 然后,示例中的第一步将如下所示:

    alt

    示例\(\PageIndex{19}\)

    简化:\(8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})\)

    回答
      alt
    分发。 alt
    乘以。 alt
    示例\(\PageIndex{20}\)

    简化:\(6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})\)

    回答

    \(5y+3\)

    示例\(\PageIndex{21}\)

    简化:\(12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})\)

    回答

    \(4n+9\)

    当我们在后面的章节中解决货币申请时,使用下一个示例中所示的 Distributive Property 将非常有用。

    示例\(\PageIndex{22}\)

    简化:\(100(0.3+0.25q)\)

    回答
      alt
    分发。 alt
    乘以。 alt
    示例\(\PageIndex{23}\)

    简化:\(100(0.7+0.15p).\)

    回答

    \(70+15p\)

    示例\(\PageIndex{24}\)

    简化:\(100(0.04+0.35d)\)

    回答

    \(4+35d\)

    当我们分配一个负数时,我们需要格外小心,使符号正确!

    示例\(\PageIndex{25}\)

    简化:\(−11(4−3a).\)

    回答

    \(\begin{array}{lc} {} & −11(4−3a) \\ \text{Distribute. } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;& −11·4−(−11)·3a \\ \text{Multiply.} & −44−(−33a) \\ \text{Simplify.} & −44+33a \end{array}\)

    请注意,你也可以将结果写成 “\(33a−44.\)你知道为什么吗?

    简化:\(−5(2−3a)\)

    回答

    \(−10+15a\)

    示例\(\PageIndex{27}\)

    简化:\(−7(8−15y).\)

    回答

    \(−56+105y\)

    在下一个示例中,我们将演示如何使用分布属性来查找与表达式相反的内容。

    简化:\(−(y+5)\)

    回答

    \(\begin{array}{lc} {} & −(y+5) \\ \text{Multiplying by }−1 \text{ results in the opposite.}& −1(y+5) \\ \text{Distribute.} & −1·y+(−1)·5 \\ \text{Simplify.} & −y+(−5) \\ \text{Simplify.} & −y−5 \end{array} \)

    示例\(\PageIndex{29}\)

    简化:\(−(z−11)\)

    回答

    \(−z+11\)

    示例\(\PageIndex{30}\)

    简化:\(−(x−4)\)

    回答

    \(−x+4\)

    有时我们需要使用分布式财产作为操作顺序的一部分。 首先看圆括号。 如果括号内的表达式无法简化,则下一步是使用分布属性进行乘法,这将删除圆括号。 接下来的两个例子将说明这一点。

    示例\(\PageIndex{31}\)

    简化:\(8−2(x+3)\)

    回答

    我们遵循操作顺序。 乘法先于减法,所以我们先分配 2 然后减去。

    \(\begin{array}{lc} {} & \text{8−2(x+3)} \\ \text{Distribute.} & 8−2·x−2·3 \\ \text{Multiply.} & 8−2x−6 \\ \text{Combine like terms.} &−2x+2 \end{array}\)

    示例\(\PageIndex{32}\)

    简化:\(9−3(x+2)\)

    回答

    \(3−3x\)

    示例\(\PageIndex{33}\)

    简化:\(7x−5(x+4)\)

    回答

    \(2x−20\)

    示例\(\PageIndex{34}\)

    简化:\(4(x−8)−(x+3)\)

    回答

    \(\begin{array}{lc} {} & 4(x−8)−(x+3) \\ \text{Distribute.} & 4x−32−x−3 \\ \text{Combine like terms.} & 3x−35 \end{array}\)

    示例\(\PageIndex{35}\)

    简化:\(6(x−9)−(x+12)\)

    回答

    \(5x−66\)

    示例\(\PageIndex{36}\)

    简化:\(8(x−1)−(x+5)\)

    回答

    \(7x−13\)

    这里总结了我们在本章中使用的所有实数属性。

    可交换财产

    相加或乘法时,更改顺序会得到相同的结果

    \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array} \]
    关联财产

    相加或乘法时,更改分会得到相同的结果。

    \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array} \]
    分销财产

    \[\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}\]

    身份财产
    \[\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}\]
    反向属性

    \[\begin{array}{lc} \textbf{of addition } \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}\]

    零的属性
    \[\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}\]

    关键概念

    Commutative Pro perty 相加或乘法
    时,更改顺序会得到相同的结果

    \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array} \]

    关联属性相加或乘法时,更改分会得到相同的结果。 \[\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array} \]
    分销财产

    \[\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}\]

    身份财产

    \[\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}\]

    反向属性

    \[\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}\]

    零的属性

    \[\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}\]

    词汇表

    加法身份
    数字 0 是加法标识,因为将 0 与任何数字相加都不会改变其值。
    加法反向
    与数字相反的是其相加的逆数。
    乘法身份
    数字 1 是乘法恒等式,因为将 1 乘以任何数字都不会改变其值。
    乘法逆函数
    数字的倒数是其乘法逆数。