1.6: 实数的属性

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用交换和关联属性
• 使用恒等式、反向和零的属性
• 使用分布属性简化表达式

使用交换和关联属性

我们将两个数字相加的顺序不会影响结果。 如果我们加上$8+9$或$9+8$，结果是相同的，它们都等于 17。 所以，$8+9=9+8$。 我们添加的顺序无关紧要！

同样，将两个数字相乘时，顺序不会影响结果。 如果我们相乘$9·8$或者$8·9$结果相同，它们都等于 72。 所以，$9·8=8·9$。 我们乘以的顺序并不重要！ 这些示例说明了可交换属性。

可交换属性

$$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

相加或乘法时，更改顺序会得到相同的结果。

交换财产与秩序有关。 我们减去$9−8$ and$8−9$，然后看出来$9−8\neq 8−9$。 由于改变减法的顺序不会得到相同的结果，因此我们知道减法是不可交换的。

分区也不可交换。 因为$12÷3\neq 3÷12$，改变除法顺序不会得出相同的结果。 交换属性仅适用于加法和乘法！

• 加法和乘法是可交换的。
• 减法和除法是不可交换的。

将三个数字相加时，更改数字的分组会得到相同的结果。 例如$(7+8)+2=7+(8+2)$，因为方程的每一边都等于 17。

乘法也是如此。 例如$\left(5·\frac{1}{3}\right)·3=5·\left(\frac{1}{3}·3\right)$，因为方程的每一边等于 5。

这些示例说明了关联属性。

关联属性

$$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

相加或乘法时，更改分组会得到相同的结果。

关联属性与分组有关。 如果我们改变数字的分组方式，结果将相同。 请注意，这三个数字的顺序相同，唯一的区别是分组。

我们看到减法和除法是不可交换的。 它们也不是联想的。

$$\begin{array}{cc} (10−3)−2\neq 10−(3−2) & (24÷4)÷2\neq 24÷(4÷2) \\ 7−2\neq 10−1 & 6÷2\neq 24÷2 \\ 5\neq 9 & 3\neq 12 \end{array}$$

在简化表达式时，计划步骤总是一个好主意。 为了在下一个示例中组合相似的术语，我们将使用加法的可交换属性将相似的术语写在一起。

示例$\PageIndex{1}$

简化：$18p+6q+15p+5q$。

回答

$$\begin{array}{lc} \text{} & 18p+6q+15p+5q \\ \text{Use the Commutative Property of addition to} & 18p+15p+6q+5q \\ \text{reorder so that like terms are together.} & {} \\ \text{Add like terms.} & 33p+11q \end{array}$$

示例$\PageIndex{2}$

简化：$23r+14s+9r+15s$。

回答

$32r+29s$

示例$\PageIndex{3}$

简化：$37m+21n+4m−15n$。

回答

$41m+6n$

当我们必须简化代数表达式时，我们通常可以通过先应用可交换属性或关联属性来简化工作。

示例$\PageIndex{4}$

简化：$(\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4}$。

回答

$\begin{array}{lc} \text{} & (\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4} \\ {\text{Notice that the last 2 terms have a common} \\ \text{denominator, so change the grouping.} } & \frac{5}{13}+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) \\ \text{Add in parentheses first.} & \frac{5}{13}+(\frac{4}{4}) \\ \text{Simplify the fraction.} & \frac{5}{13}+1 \\ \text{Add.} & 1\frac{5}{13} \\ \text{Convert to an improper fraction.} & \frac{18}{13} \end{array}$

示例$\PageIndex{5}$

简化：$(\frac{7}{15}+\frac{5}{8})+\frac{3}{8}.$

回答

$1 \frac{7}{15}$

示例$\PageIndex{6}$

简化：$(\frac{2}{9}+\frac{7}{12})+\frac{5}{12}$。

回答

$1\frac{2}{9}$

使用恒等式、逆向和零的属性

当我们将0加到任何数字时会发生什么？ 添加 0 不会更改该值。 出于这个原因，我们称0为加法恒等式。 加法的 I dentity Property 表示对于任何实数$a,a+0=a$和$0+a=a.$

当我们将任何数字乘以一时会发生什么？ 乘以 1 不会改变该值。 所以我们称1为乘法恒等式。 乘法的身份属性，它指出对于任何实数$a,a·1=a$和$1⋅a=a.$

我们在此总结身份属性。

身份财产

$$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \\ \\ \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \\ \\ \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

将哪个数字与 5 相加得出加法恒等号，0？ 我们知道

缺少的数字与数字相反！

我们称之$−a$为的加法反向$a$。 与数字相反的是其相加的逆数。 一个数字及其对立方加起来为零，这是加法恒等式。 这就导致了加法的逆属性，它表示任何实数$a,a+(−a)=0.$

将哪个数字乘以得$\frac{2}{3}$出乘法恒等式，即 1？ 换句话说，$\frac{2}{3}$乘以 1 的结果是多少？ 我们知道

缺少的数字是该数字的倒数！

我们称$\frac{1}{a}$之为 a 的乘法逆函数。 数字@@ 的倒数是其乘法逆数。 这就产生了乘法的逆属性，它指出，对于任何实数$a,a\neq 0,a·\frac{1}{a}=1.$

我们将在这里正式陈述反向属性。

反向属性

$$\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

加法的 Identity Property 表示，当我们将 0 与任意数字相加时，结果是相同的数字。 当我们将一个数字乘以 0 时会发生什么？ 乘以 0 使乘积等于零。

那涉及零的分割呢？ 什么是$0÷3$？ 想一个真实的例子：如果饼干罐里没有饼干，而要有三个人分享它们，那么每个人会得到多少饼干？ 没有可共享的 cookie，因此每人获得 0 个 cookie。 所以，$0÷3=0.$

我们可以用相关的乘法数来检查除法。 所以我们知道是$0÷3=0$因为$0·3=0$。

现在考虑除以零。 将 4 除以 0 的结果是什么？ 想想相关的乘法事实：

有没有一个数字乘以 0 得出 4？ 由于任何实数乘以 0 都会得到 0，因此没有实数可以乘以 0 得到 4。 我们得出结论，没有答案$4÷0$，所以我们说除以 0 是未定义的。

我们在这里总结零的属性。

零的属性

乘以零：对于任何实数 a，

$$a⋅0=0 \; \; \; 0⋅a=0 \; \; \; \; \text{The product of any number and 0 is 0.}$$

除以零：对于任何实数 a，$a\neq 0$

$$\begin{array}{cl} \dfrac{0}{a}=0 & \text{Zero divided by any real number, except itself, is zero.} \\ \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} & \text{Division by zero is undefined.} \end{array}$$

我们现在将练习使用恒等式、反向和零的属性来简化表达式。

示例$\PageIndex{7}$

简化：$−84n+(−73n)+84n.$

回答

$\begin{array}{lc} \text{} & −84n+(−73n)+84n \\ \text{Notice that the first and third terms are} \\ \text{opposites; use the Commutative Property of} & −84n+84n+(−73n) \\ \text{addition to re-order the terms.} \\ \text{Add left to right.} & 0+(−73n) \\ \text{Add.} & −73n \end{array}$

示例$\PageIndex{8}$

简化：$−27a+(−48a)+27a$。

回答

$−48a$

示例$\PageIndex{9}$

简化：$39x+(−92x)+(−39x)$。

回答

$−92x$

现在我们将看看承认互惠是如何有帮助的。 在从左到右乘法之前，先寻找倒数——它们的乘积为 1。

示例$\PageIndex{10}$

简化：$\frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7}$。

回答

$\begin{array}{lc} \text{} & \frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7} \\ \text{Notice the first and third terms} \\ {\text{are reciprocals, so use the Commutative} \\ \text{Property of multiplication to re-order the} \\ \text{factors.}} & \frac{7}{15}·\frac{15}{7}·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply left to right.} & 1·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply.} & \frac{8}{23} \end{array}$

示例$\PageIndex{11}$

简化：$\frac{9}{16}⋅\frac{5}{49}⋅\frac{16}{9}$。

回答

$\frac{5}{49}$

简化：$\frac{6}{17}⋅\frac{11}{25}⋅\frac{17}{6}$。

回答

$\frac{11}{25}$

下一个例子让我们意识到 0 除以某个数字或将某个数字除以 0 之间的区别。

简化：a.$\frac{0}{n+5}$，其中$n\neq −5$ b.$\frac{10−3p}{0}$ 哪里$10−3p\neq 0.$

回答

一个。

$\begin{array}{lc} {} & \dfrac{0}{n+5} \\ \text{Zero divided by any real number except itself is 0.} & 0 \end{array}$

b。

$\begin{array}{lc} {} & \dfrac{10−3p}{0} \\ \text{Division by 0 is undefined.} & \text{undefined} \end{array}$

示例$\PageIndex{14}$

简化：a.$\frac{0}{m+7}$，其中$m\neq −7$ b.$\frac{18−6c}{0}$，哪里$18−6c\neq 0$。

回答

a. 0
b. 未定义

示例$\PageIndex{15}$

简化：a.$\frac{0}{d−4}$，其中$d\neq 4$ b.$\frac{15−4q}{0}$，哪里$15−4q\neq 0$。

回答

a. 0
b. 未定义

使用分布属性简化表达式

假设三个朋友要去看电影。 他们每人需要 9.25 美元（即 9 美元和 1 个季度）来支付门票。 他们总共需要多少钱？

你可以将美元与季度分开考虑。 他们需要 3 倍 9 美元，所以 27 美元，1 个季度需要 3 倍，所以 75 美分。 他们总共需要27.75美元。 如果你考虑用这种方式进行数学运算，你就是在使用分布属性。

分配财产

$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$

在代数中，我们在简化表达式时使用分布属性删除括号。

示例$\PageIndex{16}$

简化：$3(x+4)$。

回答

$\begin{array} {} & 3(x+4) \\ \text{Distribute.} \; \; \; \; \; \; \; \; & 3·x+3·4 \\ \text{Multiply.} & 3x+12 \end{array}$

简化：$4(x+2)$。

回答

$4x8$

示例$\PageIndex{18}$

简化：$6(x+7)$。

回答

$6x42$

有些学生发现用箭头来提醒他们如何使用分布式财产会很有帮助。 然后，示例中的第一步将如下所示：

示例$\PageIndex{19}$

简化：$8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})$。

回答

分发。
乘以。

示例$\PageIndex{20}$

简化：$6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})$。

回答

$5y+3$

示例$\PageIndex{21}$

简化：$12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})$

回答

$4n+9$

当我们在后面的章节中解决货币申请时，使用下一个示例中所示的 Distributive Property 将非常有用。

示例$\PageIndex{22}$

简化：$100(0.3+0.25q)$。

回答

分发。
乘以。

示例$\PageIndex{23}$

简化：$100(0.7+0.15p).$

回答

$70+15p$

示例$\PageIndex{24}$

简化：$100(0.04+0.35d)$。

回答

$4+35d$

当我们分配一个负数时，我们需要格外小心，使符号正确！

示例$\PageIndex{25}$

简化：$−11(4−3a).$

回答

$\begin{array}{lc} {} & −11(4−3a) \\ \text{Distribute. } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;& −11·4−(−11)·3a \\ \text{Multiply.} & −44−(−33a) \\ \text{Simplify.} & −44+33a \end{array}$

请注意，你也可以将结果写成 “$33a−44.$你知道为什么吗？

简化：$−5(2−3a)$。

回答

$−10+15a$

示例$\PageIndex{27}$

简化：$−7(8−15y).$

回答

$−56+105y$

在下一个示例中，我们将演示如何使用分布属性来查找与表达式相反的内容。

简化：$−(y+5)$。

回答

$\begin{array}{lc} {} & −(y+5) \\ \text{Multiplying by }−1 \text{ results in the opposite.}& −1(y+5) \\ \text{Distribute.} & −1·y+(−1)·5 \\ \text{Simplify.} & −y+(−5) \\ \text{Simplify.} & −y−5 \end{array}$

示例$\PageIndex{29}$

简化：$−(z−11)$。

回答

$−z+11$

示例$\PageIndex{30}$

简化：$−(x−4)$。

回答

$−x+4$

有时我们需要使用分布式财产作为操作顺序的一部分。 首先看圆括号。 如果括号内的表达式无法简化，则下一步是使用分布属性进行乘法，这将删除圆括号。 接下来的两个例子将说明这一点。

示例$\PageIndex{31}$

简化：$8−2(x+3)$

回答

我们遵循操作顺序。 乘法先于减法，所以我们先分配 2 然后减去。

$\begin{array}{lc} {} & \text{8−2(x+3)} \\ \text{Distribute.} & 8−2·x−2·3 \\ \text{Multiply.} & 8−2x−6 \\ \text{Combine like terms.} &−2x+2 \end{array}$

示例$\PageIndex{32}$

简化：$9−3(x+2)$。

回答

$3−3x$

示例$\PageIndex{33}$

简化：$7x−5(x+4)$。

回答

$2x−20$

示例$\PageIndex{34}$

简化：$4(x−8)−(x+3)$。

回答

$\begin{array}{lc} {} & 4(x−8)−(x+3) \\ \text{Distribute.} & 4x−32−x−3 \\ \text{Combine like terms.} & 3x−35 \end{array}$

示例$\PageIndex{35}$

简化：$6(x−9)−(x+12)$。

回答

$5x−66$

示例$\PageIndex{36}$

简化：$8(x−1)−(x+5)$。

回答

$7x−13$

这里总结了我们在本章中使用的所有实数属性。

可交换财产 相加或乘法时，更改顺序会得到相同的结果 $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

关联财产 相加或乘法时，更改分组会得到相同的结果。 $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

分销财产 $$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$$

身份财产 $$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

反向属性 $$\begin{array}{lc} \textbf{of addition } \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

零的属性 $$\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}$$

关键概念

Commutative Pro perty 相加或乘法 时，更改顺序会得到相同的结果 $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

关联属性相加或乘法时，更改分组会得到相同的结果。 $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

分销财产 $$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$$

身份财产 $$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

反向属性 $$\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

零的属性 $$\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}$$

词汇表

加法身份

数字 0 是加法标识，因为将 0 与任何数字相加都不会改变其值。

加法反向

与数字相反的是其相加的逆数。

乘法身份

数字 1 是乘法恒等式，因为将 1 乘以任何数字都不会改变其值。

乘法逆函数

数字的倒数是其乘法逆数。