1.5: 小数

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 四舍五入小数
• 加上和减去小数
• 乘以和除以小数
• 转换小数、分数和百分比
• 使用平方根简化表达式
• 识别整数、有理数、非理数和实数
• 在数字行上找到分数和小数

可以在基本代数章节 “基础” 中找到对本节所涵盖主题的更详尽的介绍。

四舍五进制小数

小数是另一种写分数的方式，分母是十的幂数。

$$\begin{array}{rcll} 0.1 & = & \dfrac{1}{10} & \text{is “one tenth”} \\ 0.01 & = & \dfrac{1}{100} & \text{is “one hundredth”} \\ 0.001 & = & \dfrac{1}{1000} & \text{is “one thousandth”} \\ 0.0001 & = & \dfrac{1}{10,000} & \text{is “one ten-thousandth”} \end{array}$$

就像整数一样，十进制的每位数字对应于基于十的幂的位值。 该@@ 图显示了小数点左侧和右侧的位置值的名称。

图 1。

当我们处理小数时，通常需要将数字四舍五入到最接近的所需位值。 我们在此总结四舍五入小数的步骤。

四舍五入小数。

1. 找到给定的位值并用箭头标记。
2. 为位值右边的数字加下划线。
3. 带下划线的数字是否大于或等于 5？
   • 是：在给定位数值的数字上加 1。
   • 否：请勿更改给定位数值中的数字
4. 重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。

示例$\PageIndex{1}$

四舍五入$18.379$到最接近的 ⓐ 第一百 ⓑ 十 ⓒ 整数。

回答

回合$18.379.$

ⓐ 到最接近的百分之一

用箭头找到第100个位置。
为给定位数右边的数字加下划线。
因为 9 大于或等于 5，所以将 1 与 7 相加。
重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。
请注意，删除的数字并未替换为零。

ⓑ 到最接近的十分之一

用箭头找到第十个位置。
为给定位数右边的数字加下划线。
由于 7 大于或等于 5，因此将 1 与 3 相加。
重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。
请注意，删除的数字并未替换为零。

ⓒ 到最接近的整数

用箭头找到那个地方。
为给定位数右边的数字加下划线。
由于 3 不大于或等于 5，因此请勿将 1 与 8 相加。
重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。

示例$\PageIndex{2}$

四舍五入$6.582$到最接近的 ⓐ 第一百 ⓑ 十 ⓒ 整数。

回答

ⓐ$6.58$ ⓑ$6.6$ ⓒ$7$

示例$\PageIndex{3}$

四舍五入$15.2175$到最接近的 ⓐ 千分之一 ⓑ 第一百 ⓒ 十分之一。

回答

ⓐ$15.218$ ⓑ$15.22$

ⓒ$15.2$

加上和减去小数

要加上或减去小数，我们将小数点对齐。 通过以这种方式排列小数点，我们可以加上或减去相应的位值。 然后，我们将数字相加或减去，就好像它们是整数一样，然后将小数点放在总和中。

加上或减去小数。

1. 确定总和或差值的符号。
2. 写下数字，使小数点垂直排列。
3. 根据需要使用零作为占位符。
4. 将数字相加或减去，就好像它们是整数一样。 然后将答案中的
   小数点放在给定数字的小数点下方。
5. 用相应的符号写下总和或差值。

示例$\PageIndex{4}$

加上或减去：ⓐ$−23.5−41.38$ ⓑ$14.65−20.$

回答

ⓐ

$\begin{array}{ll} \text{} & −23.5−41.38 \\ \\ \\ {\text{The difference will be negative. To subtract, we add the} \\ \text{numerals. Write the numbers so the decimal points line} \\ \text{up vertically.}} & { \; \; 23.5 \\ \underline{+41.38}} \\ \\ \\ { \text{Put 0 as a placeholder after the 5 in 23.5.} \\ \text{Remember, } \frac{5}{10}=\frac{50}{100} \text{ so } 0.5=0.50.} & { \; \; 23.50 \\ \underline{+41.38}} \\ \\ \\ {\text{Add the numbers as if they were whole numbers.} \\ \text{Then place the decimal point in the sum.}} & {\; \; 23.50 \\ \underline{+41.38} \\ \; \; 64.88 } \\ \\ \\ \text{ Write the result with the correct sign.} & 64.88−23.5−41.38=−64.88 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array}{ll} \text{} & 14.65−20 \\ \\ \\ {\text{The difference will be negative. To subtract, we} \\ \text{subtract 14.65 from 20.}} \\ \\ \\ {\text{Write the numbers so the decimal points line up} \\ \text{vertically.}} & { \; \; 20 \\ \underline{−14.65}} \\ \\ \\ {\text{Remember, 20 is a whole number, so place the} \\ \text{decimal point after the 0.}} \\ \\ \\ \text{Put in zeros to the right as placeholders.} & { \; \; 20.00 \\ \underline{−14.65}} \\ \\ \\ \text{Subtract and place the decimal point in the answer.} & {\begin{array}{lcccc} {} & 9 & {} & 9 & {} \\ 1 & \cancel{10} & {} & \cancel{10} & 10 \\ 2 & 0 & . & 0 & 0 \\ −1 & 4 & . & 6 & 5 \end{array} \\ \text{______________________} \\ \begin{array}{lcccc} {\; \; \; \; \; \; \; \; \; } & 5 & . & 3 & 5 \end{array}} \\ \\ \\ \text{Write the result with the correct sign.} & 14.65−20=−5.35 \end{array}$

示例$\PageIndex{5}$

加上或减去：ⓐ$−4.8−11.69$ ⓑ$9.58−10$。

回答

ⓐ$−16.49$ ⓑ$−0.42$

示例$\PageIndex{6}$

加上或减去：ⓐ$−5.123−18.47$ ⓑ$37.42−50$。

回答

ⓐ$−23.593$ ⓑ$−12.58$

乘以和除以小数

当我们乘以有符号小数时，首先我们确定乘积的符号，然后相乘，就好像数字都是正数一样。 我们暂时将数字相乘，忽略小数点，然后计算因子中的小数点数，该总和告诉我们乘积中的小数位数。 最后，我们在产品上写上相应的标志。

乘以小数。

1. 确定产品的标志。
2. 以垂直格式书写，将右边的数字排成一列。 将数字相乘，就好像它们是整数一样，暂时忽略小数点。
3. 放置小数点。 乘积中的小数位数是因子中小数位数的总和。
   
4. 在产品上写上相应的标志。

乘以：$(−3.9)(4.075)$。

回答

	$(−3.9)(4.075)$
迹象不同。 该产品 将是负面的。	该产品将是负面的。
以垂直格式书写，将右边的 数字对齐。
乘。
将因子中的 小数位数相加 (1 + 3)。 将小数点置于右边 4 位。
迹象不同，所以产品是负面的。	$(−3.9)(4.075)=−15.8925$

乘以：$−4.5(6.107)$。

回答

$−27.4815$

示例$\PageIndex{9}$

乘以：$−10.79(8.12)$。

回答

$−87.6148$

通常，尤其是在科学领域，你会将小数乘以 10 的乘方（10、100、1000 等）。 如果你将纸上的几个产品相乘，你可能会注意到一种模式，它将 10 的次方零数与小数位数联系起来，我们将小数点向右移动以得到该乘积。

将@@ 十进制乘以十的乘方。

1. 将小数点向右移动，其位
   数与 10 的幂次数相同。
2. 根据需要在数字末尾添加零。

示例$\PageIndex{10}$

乘以：5.63 乘以 ⓐ 10 ⓑ 100 ⓒ 1000。

回答

通过查看十倍数中的零数，我们可以看到向右移动十进制所需的位数。

ⓐ

10 中有 1 个零，因此将小数点向右移动 1 位。

ⓑ

100 中有 2 个零，因此将小数点向右移动 2 位。

ⓒ

1,000 中有 3 个零，因此将小数点向右移动 3 位。
必须将零加到末尾。

示例$\PageIndex{11}$

将 2.58 乘以 ⓐ 10 ⓑ 100 ⓒ 1000。

回答

ⓐ 25.8 ⓑ 258 ⓒ 2,580

示例$\PageIndex{12}$

将 14.2 乘以 ⓐ 10 ⓑ 100 ⓒ 1000。

回答

ⓐ 142 ⓑ 1,420 ⓒ 14,200

就像乘法一样，有符号小数的除法与整数相除非常相似。 我们只需要弄清楚小数点必须放在哪里以及商的符号即可。 除以有符号小数时，首先确定商的符号，然后像数字都是正数一样进行除法。 最后，用适当的符号写下商。

我们回顾一下除法的符号和词汇：

为了便于参考，我们将写出除以小数时要采取的步骤。

除以小数。

1. 确定商的符号。
2. 将小数点一直向右 “移动”，使除数成为整数。 将除数中的小数点 “移动” 到相同数量的位数——根据需要添加零。
3. 除以。 将小数点置于除息小数点上方的商数中。
4. 用适当的符号写出商。

示例$\PageIndex{13}$

除以：$−25.65÷(−0.06)$。

回答

请记住，由于等效分数属性，你可以 “移动” 除数和除数中的小数。

迹象是一样的。	商是正数。
将小数点一直向右 “移动”，使除数成为整数。
将除数中的小数点 “移动” 相同的位数。
除以。 将小数点置于除息小数点上方的商数中。
用适当的符号写出商。

示例$\PageIndex{14}$

除以：$−23.492÷(−0.04)$。

回答

$587.3$

示例$\PageIndex{15}$

除以：$−4.11÷(−0.12)$。

回答

$34.25$

转换小数、分数和百分比

在我们的工作中，通常需要更改数字的形式。 我们可能需要将分数更改为小数或将小数更改为百分比。

我们通过识别最后一个（最右边）数字的位值将小数转换为分数。 在十进制 0.03 中，3 位于百分之一位，所以 100 是等于 0.03 的分数的分母。

$$0.03=\dfrac{3}{100}$$

过程框中总结了将小数转换为分数所要采取的步骤。

将小数转换为正确的分数，将分数转换为十进制。

1. 要将小数转换为正确的分数，请确定最后一个数字的位值。
2. 写下分数。
   • 分子-小数点右边的 “数字”
   • 分母-与最后一位数字对应的位值
3. 要将分数转换为十进制，请将分数的分子除以分数的分母。

示例$\PageIndex{16}$

写:ⓐ$0.374$ 作为分数 ⓑ$−\frac{5}{8}$ 作为十进制。

回答

ⓐ

确定最后一位数字的位值。
写下 0.374 的分数：分子是 374。 分母为 1,000。
简化分数。
除去常见因素。

ⓑ 由于分数条表示除法，因此我们首先将分数写$\frac{5}{8}$为$8\sqrt{5}$。 现在分开。

示例$\PageIndex{17}$

写:ⓐ$0.234$ 作为分数 ⓑ$−\frac{7}{8}$ 作为十进制。

回答

ⓐ$\frac{117}{500}$ ⓑ$−0.875$

示例$\PageIndex{18}$

写:ⓐ$0.024$ 作为分数 ⓑ$−\frac{3}{8}$ 作为十进制。

回答

ⓐ$\frac{3}{125}$ ⓑ$−0.375$

百分比是分母为 100 的比率。 百分比表示每百。 我们使用百分比符号% 来显示百分比。 由于百分比是一个比率，因此可以很容易地将其表示为分数。 百分比表示每 100，因此分数的分母为 100。 然后，我们将分子除以分母，将分数更改为十进制。 做了很多次之后，你可能会看到图案。

要将百分数转换为十进制数，我们将小数点向左移动两位。

要将小数转换为百分比，请记住百分比表示每百。 如果我们将十进制更改为分母为 100 的分数，则很容易将该分数更改为百分比。 经过多次转换，你可能会认出这种模式。

要将小数转换为百分比，我们将小数点向右移动两位，然后添加百分号。

将@@ 百分比转换为十进制，将小数转换为百分比。

1. 要将百分比转换为小数，请在删除百分号后将小数点向左移动两位。
2. 要将小数转换为百分比，请将小数点向右移动两位，然后添加百分号。

示例$\PageIndex{19}$

分别转换：

ⓐ 百分比到十进制：62%、135% 和 13.7%。

ⓑ 十进制到百分比：0.51、1.25 和 0.093。

回答

ⓐ

将小数点向左移动两位。

ⓑ

将小数点向右移动两位。

示例$\PageIndex{20}$

分别转换：

ⓐ 百分比到十进制：9%、87% 和 3.9%。

ⓑ 十进制到百分比：0.17、1.75 和 0.0825。

回答

ⓐ 0.09、0.87、0.039 ⓑ 17%、175%、8.25%

示例$\PageIndex{21}$

分别转换：

ⓐ 百分比到十进制：3%、91% 和 8.3%。

ⓑ 十进制到百分比：0.41、2.25 和 0.0925。

回答

ⓐ 0.03、0.91、0.083 ⓑ 41%、225%、9.25%

使用平方根简化表达式

请记住，当一个数字$n$乘以自身时，我们将其写入$n^2$和读取 “$n$平方”。 结果称为数字 n 的平方。 例如，读$\frac{8}{2}$为 “8 平方”，64 被称为 8 的平方。 同样，121 是 11 的平方，因为$11^2$是 121。 学会识别完美的平方数会很有帮助。

数字的平方

if$n^2=m$，那么 m 是 n 的平方。

那负数的平方呢？ 我们知道，当两个数字的符号相同时，它们的乘积是正数。 因此，任何负数的平方也是正数。

$$(−3)^2=9 \; \; \; \; \; \; \; \; \; (−8)^2=64 \; \; \; \; \; \; \; \; \; (−11)^2=121 \; \; \; \; \; \; \; \; \; (−15)^2=225$$

因为$10^2=100$，我们说 100 是 10 的平方。 我们还说 10 是 100 的平方根。 平方为 m 的数字称为数字 m 的平方根。

数字的平方根

if$n^2=m$，则 n 是 m 的平方根。

$(−10)^2=100$另请注意，所以 −10 也是 100 的平方根。 因此，10 和 −10 都是 100 的平方根。 因此，每个正数都有两个平方根——一个正数和一个负数。 激进符号$\sqrt{m}$，表示正平方根。 正平方根称为主平方根。 当我们使用激进符号时，这总是意味着我们想要主平方根。

平方根表示法

$\sqrt{m}$读作 “mm 的平方根”。

如果$m=n^2$，那么$\sqrt{m}=n$，对于$n≥0$。

m 的平方根是正数$\sqrt{m}$，其平方为 m。

我们知道每个正数都有两个平方根，激进符号表示正数。 我们写$\sqrt{100}=10$。 如果我们想找到一个数字的负平方根，我们在激进符号前面放一个负数。 例如，$−\sqrt{100}=−10$。 我们读$−\sqrt{100}$作 “与 10 的主平方根相反”。

练习$\PageIndex{22}$

简化：ⓐ$\sqrt{25}$ ⓑ$\sqrt{121}$ ⓒ$−\sqrt{144}$。

回答

ⓐ

$\begin{array}{ll} \text{} & \sqrt{25} \\ \text{Since }5^2=25 & 5 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array}{ll} \text{} & \sqrt{121} \\ \text{Since }11^2=121 & 11 \end{array}$

ⓒ

$\begin{array}{ll} {} & −\sqrt{144} \\ \text{The negative is in front of} & −12 \\ \text{the radical sign.} \end{array}$

练习$\PageIndex{23}$

简化：ⓐ$\sqrt{36}$ ⓑ$\sqrt{169}$ ⓒ$−\sqrt{225}$

回答

ⓐ 6 ⓑ 13 ⓒ −15

练习$\PageIndex{24}$

简化：ⓐ$\sqrt{16}$ ⓑ$\sqrt{196}$ ⓒ$−\sqrt{100}$

回答

ⓐ 4 ⓑ 14 ⓒ −10

识别整数、有理数、非理数和实数

我们已经将数字描述为计数数字 s、整数 s 和整数。 这些类型的数字有什么区别？ 差异可能与减法混淆。 问问我们如何区分这些类型的数字怎么样？

$$\begin{array}{ll} \text{Counting numbers} & 1,2,3,4,….. \\ \text{Whole numbers} & 0,1,2,3,4,…. \\ \text{Integers} & ….−3,−2,−1,0,1,2,3,…. \end{array}$$

如果我们从所有整数开始，然后包括所有分数，我们会得到什么类型的数字？ 我们会得到的数字构成了有理数的集合。 有理数是一个可以写成两个整数之比的数字。

通常，任何在数位后结尾的十进制（例如 7.3 或 −1.2684）都是有理数。 当将十进制写成分数时，我们可以使用最后一位数字的位值作为分母。 的十进制$\frac{1}{3}$是数字$0.\overline{3}$。 3 上方的条形表示数字 3 无限重复。 持续在微积分中具有重要意义。 条形图下方的数字称为重复方块，它会连续重复。

由于所有整数都可以写成分母为 1 的分数，因此整数（以及计数和整数）都是有理数。

每个有理数既可以写成整数的比率$\frac{p}{q}$，其中 p 和 q 是整数和$q≠0$，也可以写成停止或重复的十进制。

有理数

有理数是一种形式的数字$\frac{p}{q}$，其中 p 和 q 是整数和$q≠0$。

它的十进制形式停止或重复。

有没有不停止或重复的小数？ 是的！ 数字（希腊字母 pi，发音为 “pie”）在描述圆圈时非常重要，其十进制形式不会停止或重复。 我们使用三个点 (...) 来表示十进制不停止或重复。

$$π=3.141592654...$$

不是完美平方的数字的平方根是不会停止或重复的十进制。

十进制形式不停止或重复的数字不能写成整数的分数。 我们称之为非理性数字。

非理性数

非理数是不能写成两个整数之比的数字。

它的十进制形式不会停止，也不会重复。

让我们总结一种方法，我们可以用来确定一个数字是有理的还是非理性的。

理性还是非理性

如果是数字的十进制形式

• 重复或停止，该数字是一个有理数。
• 不重复也不停止，这个数字是一个非理性的数字。

我们已经看到，所有计数数都是整数，所有整数都是整数，所有整数都是有理数。 非理性数是十进制形式不停止且不重复的数字。 当我们将有理数和非理数放在一起时，我们得到了一组实数 s。

实数

实数是有理或非理性的数字。

在本课程的后面部分，我们将介绍实数之外的数字。 该图说明了我们到目前为止使用的数字集是如何组合在一起的。

图 2。 此图表显示构成实数集的数字集。

“实数” 一词对你来说似乎很奇怪吗？ 有没有不是 “真实” 的数字，如果有，它们可能是什么？ 我们可以简化$−\sqrt{25}$吗？ 有数字的正方形$−25$吗？

$$()^2=−25?$$

到目前为止，我们处理的数字中没有一个是正方形$−25$。 为什么？ 任何正数的平方均为正数。 任何负数平方均为正数。 所以我们说没有实数等于$\sqrt{−25}$。 负数的平方根不是实数。

练习$\PageIndex{25}$

给定数字$−7,\frac{14}{5},8,\sqrt{5},5.9,−\sqrt{64}$，列出 ⓐ 整数 ⓑ 整数 ⓒ 有理数 ⓓ 非理性数字 ⓔ 实数。

回答

ⓐ 记住，整数$0,1,2,3,…,$是 8 是唯一给出的整数。

ⓑ 整数是整数及其对立面（包括 0）。 所以整数 8 是一个整数，而 −7 与整数相反，所以它也是一个整数。 另外，请注意，64 是 8 的平方，所以$−\sqrt{64}=−8$。 所以整数是$−7,8,$和$−\sqrt{64}$。

ⓒ 由于所有整数都是有理的，那么$−7,8,$和$−\sqrt{64}$都是有理的。 有理数还包括重复或停止的分数和小数，因此$\frac{14}{5}$$5.9$是有理的。 因此，有理数列表是$−7,\frac{14}{5},8,5.9,$和$−\sqrt{64}$。

ⓓ 请记住，5 不是一个完美的正方形，所以$\sqrt{5}$是不合理的。

ⓔ 列出的所有数字均为实数。

练习$\PageIndex{26}$

给定数字$−3,−\sqrt{2},0.\overline{3},\frac{9}{5},4,\sqrt{49},$列出 ⓐ 整数 ⓑ 整数 ⓒ 有理数

ⓓ 非理性数字 ⓔ 实数。

回答

ⓐ$4,\sqrt{49}$ ⓑ$−3,4,\sqrt{49}$

ⓒ$−3,0.\overline{3},\frac{9}{5},4,\sqrt{49}$ ⓓ$−\sqrt{2}$

ⓔ$−3,−\sqrt{2},0.\overline{3},\frac{9}{5},4,\sqrt{49}$

练习$\PageIndex{27}$

给定数字$−\sqrt{25},−\frac{3}{8},−1,6,\sqrt{121},2.041975...,$列出 ⓐ 整数 ⓑ 整数 ⓒ 有理数 ⓓ 非理性数字 ⓔ 实数。

回答

ⓐ$6,\sqrt{121}$

ⓑ$−\sqrt{25},−1,6,\sqrt{121}$

ⓒ$−\sqrt{25},−\frac{3}{8},−1,6,\sqrt{121}$

ⓓ$2.041975...$

ⓔ$−\sqrt{25},−\frac{3}{8},−1,6,\sqrt{121},2.041975...$

在数字行上找到分数和小数

我们现在要在数字行上包含分数和小数。 让我们从分数开始，在数字行$\frac{8}{3}$上找到$\frac{1}{5},−\frac{4}{5},3,\frac{7}{4},−\frac{9}{2},−5$和。

我们将从整数 3 和 −5 开始，因为它们最容易绘制。 参见图。

列出的正确分数是$\frac{1}{5}$，$−\frac{4}{5}.$我们知道正确的分$\frac{1}{5}$数的值小于一，因此将位于 0 和 1 之间。 分母为 5，因此我们将从 0 到 1 的单位分成 5 个相等的部分$\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}$。 我们策划$\frac{1}{5}$。

同样，介$−\frac{4}{5}$于 0 和 −1 之间。 将单位分成 5 个相等的部分后，我们绘制图样$−\frac{4}{5}$。

最后，看看不正确的分数$\frac{7}{4},\frac{9}{2},\frac{8}{3}$。 如果将每个点更改为混合数字，则定位这些点可能会更容易。

$$\dfrac{7}{4}=1\dfrac{3}{4} \; \; \; \; \; \; \; \; \; −\dfrac{9}{2}=−4\dfrac{1}{2} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3}$$

该图显示了绘制了所有点的数字线。

练习$\PageIndex{28}$

在数字行上找到并标记以下内容：$4,\frac{3}{4},−\frac{1}{4},−3,\frac{6}{5},−\frac{5}{2},$和$\frac{7}{3}$。

回答

找到并绘制整数，$4,−3.$

$\frac{3}{4}$首先找到正确的分数。 分数介$\frac{3}{4}$于 0 和 1 之间。 将 0 和 1 之间的距离分成四个相等的部分，然后我们绘制图$\frac{3}{4}$。 同样的情节$−\frac{1}{4}$。

现在找到不正确的分数$\frac{6}{5},−\frac{5}{2},$，然后$\frac{7}{3}$. 如果我们将它们转换为混合数字，然后如上所述绘制它们，则绘制它们会更容易:$\frac{6}{5}=1\frac{1}{5},−\frac{5}{2}=−2\frac{1}{2},\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$.

练习$\PageIndex{29}$

在数字行上找到并标记以下内容:$−1,\frac{1}{3},\frac{6}{5},−\frac{7}{4},\frac{9}{2},5,−\frac{8}{3}$.

回答

练习$\PageIndex{30}$

在数字行上找到并标记以下内容:$−2,\frac{2}{3},\frac{7}{5},−\frac{7}{4},\frac{7}{2},3,−\frac{7}{3}$.

回答

练习$\PageIndex{31}$

由于小数是分数的形式，因此在数字行上定位小数与在数字行上定位分数类似。

在数字行上找到：ⓐ 0.4 ⓑ −0.74。

回答

ⓐ 十进制数 0.4 等同于$\frac{4}{10}$一个恰当的分数，所以 0.4 位于 0 和 1 之间。 在数字线上，将 0 和 1 之间的间隔分成 10 个相等的部分。 现在给零件加上标签 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0。 我们将0写为0.0，将1写为1.0，这样数字就一致地以十分之一为单位。 最后，在数字行上标记 0.4。

ⓑ 十进制等同$−0.74$于$−\frac{74}{100}$，因此它位于 0 和 .−1 之间。 在数字行上，标记并标出 0 到 −1 间隔内的百分比。

练习$\PageIndex{32}$

在数字行上找到：ⓐ$0.6$ ⓑ$−0.25.$

回答

ⓐ

ⓑ

练习$\PageIndex{33}$

在数字行上找到：ⓐ 0.90.9 ⓑ −0.75.−0.75。

回答

ⓐ

ⓑ

访问此在线资源以获取更多指导和使用小数进行练习。

• 算术基础知识：除以小数

关键概念

• 如何四舍五入小数。
  1. 找到给定的位值并用箭头标记。
  2. 为位值右边的数字加下划线。
  3. 带下划线的数字是否大于或等于 5？
     • 是：在给定位数值的数字上加 1。
     • 否：请勿更改给定位数值中的数字
  4. 重写数字，删除四舍五入数字右侧的所有数字。
• 如何添加或减去小数。
  1. 确定总和或差值的符号。
  2. 写下数字，使小数点垂直排列。
  3. 根据需要使用零作为占位符。
  4. 将数字相加或减去，就好像它们是整数一样。 然后将答案中的小数点放在给定数字的小数点下方。
  5. 用相应的符号写下总和或差值
• 如何乘以小数。
  1. 确定产品的标志。
  2. 以垂直格式书写，将右边的数字排成一列。 将数字相乘，就好像它们是整数一样，暂时忽略小数点。
  3. 放置小数点。 乘积中的小数位数是因子中小数位数的总和。
  4. 在产品上写上相应的标志。
• 如何将十进制乘以十的乘方。
  1. 将小数点向右移动，其位数与 10 的幂次数相同。
  2. 根据需要在数字末尾添加零。
• 如何除以小数。
  1. 确定商的符号。
  2. 将小数点一直向右 “移动”，使除数成为整数。 将除数中的小数点 “移动” 到相同数量的位数——根据需要添加零。
  3. 除以。 将小数点置于除息小数点上方的商数中。
  4. 用适当的符号写出商。
• 如何将小数转换为正确的分数并将分数转换为十进制。
  1. 要将小数转换为正确的分数，请确定最后一个数字的位值。
  2. 写下分数。
     • 分子-小数点右边的 “数字”
     • 分母-与最后一位数字对应的位值
  3. 要将分数转换为十进制，请将分数的分子除以分数的分母。
• 如何将百分比转换为十进制并将小数转换为百分比。
  1. 要将百分比转换为小数，请在删除百分号后将小数点向左移动两位。
  2. 要将小数转换为百分比，请将小数点向右移动两位，然后添加百分号。
• 平方根表示法$\sqrt{m}$读作 “m 的平方根”。 如果$m=n^2$，那么$\sqrt{m}=n$，对于$n≥0$。 m 的平方根是正数$\sqrt{m}$，其平方为 m。
• 有理还是非理性如果是数字的十进制形式
  • 重复或停止，该数字是一个有理数。
  • 不重复也不停止，这个数字是一个非理性的数字。
• 实数

  

  图 4。

词汇表

非理性数

非理数是不能写成两个整数之比的数字。 它的十进制形式不会停止，也不会重复。

百分之

百分比是分母为 100 的比率。

主平方根

正平方根称为主平方根。

有理数

有理数是一种形式的数字$\frac{p}{q}$，其中 p 和 q 是整数和$q≠0$。 它的十进制形式停止或重复。

实数

实数是有理或非理性的数字。

数字的平方

if$n^2=m$，那么 m 是 n 的平方。

一个数字的平方根

if$n^2=m$，则 n 是 m 的平方根。