1.3: 整数

摘要

在本节结束时，您将能够：

• 使用绝对值简化表达式
• 加上和减去整数
• 整数的乘法和除法
• 使用整数简化表达式
• 使用整数计算变量表达式
• 将短语翻译成带整数的表达式
• 在应用程序中使用整数

可以在基本代数章节 “基础” 中找到对本节所涵盖主题的更详尽的介绍。

使用绝对值简化表达式

负数是小于 0 的数字。 负数位于数字行零的左边（图$\PageIndex{1}$）。

图$\PageIndex{1}$。 数字线显示正数和负数的位置。

你可能已经注意到，在数字行上，负数是正数的镜像，中间为零。 由于数字$2$和距离零$−2$的距离相同，因此每个数字和被称为相反的数字。 与$2$ is 相反$−2$，与$−2$ is 相反$2$。

对面

与数字相反的是数字线上与零的距离相同但与零相反的数字。

该@@ 图$\PageIndex{2}$说明了定义。

图$\PageIndex{2}$。 3 的反面是$−3$。

相反的符号

$$\begin{align} & -a \text{ means the opposite of the number }a \\ & \text{The notation} -a \text{ is read as “the opposite of }a \text{.”} \end{align}$$

我们看到诸如 3 和 −3 之类的数字是相反的，因为它们与数字线上的 0 的距离相同。 它们都是从 0 开始的三个单位。 0 与数字线上任何数字之间的距离称为该数字的绝对值。

定义：绝对值

数字的绝对值是它在数字线上距离 0 的距离。

数字$n$的绝对值以所有数字$|n|$$|n|≥0$的形式写入。

绝对值始终大于或等于零。

例如，

$$\begin{align} & -5 \text{ is } 5 \text{ units away from 0, so } |-5|=5. \\ & 5 \text{ is }5\text{ units away from 0, so }|5|=5. \end{align}$$

该图$\PageIndex{3}$说明了这个想法。

图$\PageIndex{3}$：数字 5 和 −5 与 0 相距 5 个单位。

数字的绝对值永远不会为负数，因为距离不能为负。 绝对值等于零的唯一数字是数字零本身，因为数字线上从 0 到 0 的距离是零个单位。

在下一个示例中，我们将对具有绝对值的表达式进行排序。

示例$\PageIndex{1}$

$=$为以下每对数字填写$<,\,>,$或：

1. $\mathrm{|−5|}\_\_\mathrm{−|−5|}\_\_\mathrm{−|5|}$
2. $\text{8__−|−8|}$
3. $\text{−9__−|−9|}$
4. (\ text {− (−16) __|−16|}\)。

回答

一个。

$\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {|−5| \\ 5 \\ 5 \\ |−5|} & {\_\_ \\ \_\_ \\ > \\ >} & {−|−5| \\ −5 \\ −5 \\ −|−5|} \end{array}$

b。

$\begin{array}{llcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {8 \\ 8 \\ 8 \\ 8} & {\_\_ \\ \_\_ \\ > \\ >} & {−|−8| \\ −8 \\ −8 \\ −|−8|} \end{array}$

c。

$\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {−9 \\ −9 \\ −9 \\ −9} & {\_\_ \\ \_\_ \\ = \\ =} & {−|−9| \\ −9 \\ −9 \\ −|−9|} \end{array}$

d。

$\begin{array}{lrcc} { \text{ } \\ \text{Simplify.} \\ \text{Order.} \\ \text{ } } & {−(−16) \\ 16 \\ 16 \\ −(−16)} & {\_\_ \\ \_\_ \\ = \\ =} & {−|−16| \\ 16 \\ 16 \\ |−16|} \end{array}$

示例$\PageIndex{2}$

$=$为以下每对数字填写$<,\,>,$或：

ⓐ$−9 \_\_−|−9|$ ⓑ$2 \_\_−|−2|$ ⓒ$−8 \_\_|−8|$ ⓓ$−(−9) \_\_|−9|.$

回答

ⓐ$>$ ⓑ$>$ ⓒ$<$

ⓓ$=$

示例$\PageIndex{3}$

$=$为以下每对数字填写$<,>,$或：

1. $7 \_\_ −|−7|$
2. $−(−10) \_ \_|−10|$
3. $|−4| \_\_ −|−4|$
4. $−1 \_\_ |−1|.$

回答

ⓐ$>$ ⓑ$=$ ⓒ$>$

ⓓ$<$

现在，我们在分组符号列表中添加绝对值条。 当我们使用运算顺序时，首先我们尽可能简化绝对值柱的内部，然后取结果数字的绝对值。

分组符号

$$\begin{array}{lclc} \text{Parentheses} & () & \text{Braces} & \{ \} \\ \text{Brackets} & [] & \text{Absolute value} & ||\end{array}$$

在下一个示例中，我们首先简化绝对值柱内的表达式，就像使用圆括号一样。

示例$\PageIndex{4}$

简化：$\mathrm{24−|19−3(6−2)|}$。

回答

$\begin{array}{lc} \text{} & 24−|19−3(6−2)| \\ \text{Work inside parentheses first:} & \text{} \\ \text{subtract 2 from 6.} & 24−|19−3(4)| \\ \text{Multiply 3(4).} & 24−|19−12| \\ \text{Subtract inside the absolute value bars.} & 24−|7| \\ \text{Take the absolute value.} & 24−7 \\ \text{Subtract.} & 17 \end{array}$

示例$\PageIndex{5}$

简化：$19−|11−4(3−1)|$。

回答

16

示例$\PageIndex{6}$

简化：$9−|8−4(7−5)|$。

回答

9

加减整数

到目前为止，在我们的示例中，我们只使用了计数数字和整数。

$$\begin{array}{ll} \text{Counting numbers} & 1,2,3… \\ \text{Whole numbers} 0,1,2,3…. \end{array}$$

我们使用对立面为我们提供了一种定义整数的方法。 整数及其对立面称为整数。 整数是数字$…−3,−2,−1,0,1,2,3…$

定义：整数

整数及其对立面称为整数。

整数是数字

$$…-3,-2,-1,0,1,2,3…,$$

大多数学生都对正数的加法和减法数值感到满意。 但是，同时使用正数和负数进行加法或减法可能更具挑战性。

我们将使用两个颜色计数器来模拟负数的加法和减法，这样你就可以直观地看到过程而不是记住规则。

我们让一种颜色（蓝色）代表正数。 另一种颜色（红色）将代表底片。

如果我们有一个正计数器和一个负计数器，则该对的值为零。 它们形成中性对。 这个中性货币对的价值为零。

我们将使用计数器来显示如何添加：

$$5+3 \; \; \; \; \; \; −5+(−3) \; \; \; \; \; \; −5+3 \; \; \; \; \; \; \; 5+(−3)$$

第一个例子$5+3,$将 5 个正数和 3 个正数相加，均为正数。

第二个例子$−5+(−3),$将 5 个负数和 3 个负数相加，均为负数。

当标志相同时，计数器都是相同的颜色，因此我们添加它们。 在每种情况下，我们得到 8 个正面或 8 个负面。

那么，当迹象不同时会发生什么？ 让我们添加$−5+3$和$5+(−3)$。

当我们使用计数器对正整数和负整数的加法进行建模时，很容易看出正数计数器还是更多负计数器。 因此，我们知道总和是正数还是负数。

示例$\PageIndex{7}$

添加：ⓐ$−1+(−4)$ ⓑ$−1+5$ ⓒ$1+(−5)$。

回答

ⓐ

1 个负面加上 4 个负面是 5 个负面

ⓑ

有更多的正数，所以总和是正数。

ⓒ

还有更多的负数，所以总和是负数。

示例$\PageIndex{8}$

添加：ⓐ$−2+(−4)$ ⓑ$−2+4$ ⓒ$2+(−4)$。

回答

ⓐ$−6$ ⓑ$2$ ⓒ$−2$

示例$\PageIndex{9}$

添加：ⓐ$−2+(−5)$ ⓑ$−2+5$ ⓒ$2+(−5)$。

回答

ⓐ$−7$ ⓑ$3$ ⓒ$−3$

我们将继续使用计数器对减法进行建模。 也许当你年轻的时候，你会读$“5−3”$作 “5 take away 3”。 当你使用计数器时，你可以用同样的方式考虑减法！

我们将使用计数器来显示减去：

$$5−3 \; \; \; \; \; \; −5−(−3) \; \; \; \; \; \; −5−3 \; \; \; \; \; \; 5−(−3)$$

第一个例子是$5−3$，我们从 5 个正数中减去 3 个正数，最后得到 2 个正数。

在第二个例子中，$−5−(−3),$我们从 5 个负数中减去 3 个负数，最后得到 2 个负数。

每个例子只使用一种颜色的计数器，而且 “外卖” 减法模型很容易应用。

当我们必须减去一个正数和一个负数时会发生什么？ 我们需要同时使用蓝色和红色计数器以及一些中性对子。 如果我们没有带走所需的计数器数量，则添加中性对。 添加中性货币对不会改变该值。 这就像将季度改为镍一样——价值相同，但看起来不同。

让我们来看看$−5−3$和$5−(−3)$。

对第一个数字进行建模。
我们现在添加所需的中性对。
我们删除以第二个数字建模的计数器数量。
数一下还剩下什么。

示例$\PageIndex{10}$

减去：ⓐ$3−1$ ⓑ$−3−(−1)$ ⓒ$−3−1$ ⓓ$3−(−1)$。

回答

ⓐ

从 3 个阳性中取出 1 个阳性，得到 2 个阳性。

ⓑ

从 3 个阴性中取出 1 个阳性，得到 2 个阴性。

ⓒ

从添加的一对中性线中取出 1 个正数。

ⓓ

从添加的一对中性线中取出 1 个负数。

示例$\PageIndex{11}$

减去：ⓐ$6−4$ ⓑ$−6−(−4)$ ⓒ$−6−4$ ⓓ$6−(−4)$。

回答

ⓐ$2$ ⓑ$−2$ ⓒ$−10$ ⓓ$10$

示例$\PageIndex{12}$

减去：ⓐ$7−4$ ⓑ$−7−(−4)$ ⓒ$−7−4$ ⓓ$7−(−4)$。

回答

ⓐ$3$ ⓑ$−3$ ⓒ$−11$ ⓓ$11$

你有没有注意到有符号数字的减法可以通过相反的相加来完成？ 在最后一个示例$−3−1$中，等$3−(−1)$于$−3+(−1)$和相同$3+1$。 你经常会看到这个概念，即减法属性，内容如下：

定义：减法属性

$$a−b=a+(−b)$$

减去一个数字等于将其相反的数字相加。

示例$\PageIndex{13}$

简化：ⓐ$13−8$ 和$13+(−8)$ ⓑ$−17−9$ 和$−17+(−9)$ ⓒ$9−(−15)$ 和$9+15$ ⓓ$−7−(−4)$ 和$−7+4$。

回答

ⓐ

$\begin{array}{lccc} \text{} & 13−8 & \text{and} & 13+(−8) \\ \text{Subtract.} & 5 & \text{} & 5 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array}{lccc} \text{} & −17−9 & \text{and} & −17+(−9) \\ \text{Subtract.} & −26 & \text{} & −26 \end{array}$

ⓒ

$\begin{array}{lccc} \text{} & 9−(−15) & \text{and} & 9+15 \\ \text{Subtract.} & 24 & \text{} & 24 \end{array}$

ⓓ

$\begin{array}{lccc} \text{} & −7−(−4) & \text{and} & −7+4 \\ \text{Subtract.} & −3 & \text{} & −3 \end{array}$

示例$\PageIndex{14}$

简化：ⓐ$21−13$ 和$21+(−13)$ ⓑ$−11−7$ 和$−11+(−7)$ ⓒ$6−(−13)$ 和$6+13$ ⓓ$−5−(−1)$ 和$−5+1$。

回答

ⓐ$8,8$ ⓑ$−18,−18$

ⓒ$19,19$ ⓓ$−4,−4$

示例$\PageIndex{15}$

简化：ⓐ$15−7$ 和$15+(−7)$ ⓑ$−14−8$ 和$−14+(−8)$ ⓒ$4−(−19)$ 和$4+19$ ⓓ$−4−(−7)$ 和$−4+7$。

回答

ⓐ$8,8$ ⓑ$−22,−22$

ⓒ$23,23$ ⓓ$3,3$

当整数超过三个时会发生什么？ 我们照常使用操作顺序。

示例$\PageIndex{16}$

简化：$7−(−4−3)−9.$

回答

$\begin{array}{lc} \text{} & 7−(−4−3)−9 \\ \text{Simplify inside the parentheses first.} & 7−(−7)−9 \\ \text{Subtract left to right.} & 14−9 \\ \text{Subtract.} & 5 \end{array}$

简化：$8−(−3−1)−9.$

回答

3

示例$\PageIndex{18}$

简化：$12−(−9−6)−14.$

回答

13

乘以和除以整数

由于乘法是重复加法的数学简写，因此我们的模型可以很容易地应用于显示整数的乘法。 让我们来看看这个具体的模型，看看我们注意到了什么模式。 我们将使用与加法和减法相同的示例。 在这里，我们使用模型只是为了帮助我们发现模式。

我们记得 a⋅ba·b 的意思是加 a, b 倍。

接下来的两个例子更有趣。 将 5 乘以 −3 是什么意思？ 这意味着减去 5,3 倍。 将减法视为 “带走”，这意味着扣除5、3次。 但是没有什么可带走的，所以我们首先在工作空间中添加中性对。

总而言之：

$$\begin{array}{ll} 5·3=15 & −5(3)=−15 \\ 5(−3)=−15 & (−5)(−3)=15 \end{array}$$

请注意，要将两个有符号数字相乘，当

$$\text{signs are the } \textbf{same} \text{, the product is } \textbf{positive.} \\ \text{signs are } \textbf{different} \text{, the product is } \textbf{negative.}$$

那分裂呢？ 除法是乘法的逆运算。 所以，$15÷3=5$因为$15·3=15$。 换句话说，这个表达式说15可以分成3组，每组5个，因为将五加三次得出15。 如果你看一些整数相乘的例子，你可能会想出整数除以的规则。

$$\begin{array}{lclrccl} 5·3=15 & \text{so} & 15÷3=5 & \text{ } −5(3)=−15 & \text{so} & −15÷3=−5 \\ (−5)(−3)=15 & \text{so} & 15÷(−3)=−5 & \text{ } 5(−3)=−15 & \text{so} & −15÷(−3)=5 \end{array}$$

在符号方面，除法遵循与乘法相同的规则。

有符号数字的乘法和除法

用于两个有符号数字的乘法和除法：

同样的迹象	结果
• 两个积极因素	阳性
• 两张底片	阳性

如果信号相同，则结果为阳性。

不同的迹象	结果
• 正面和负面	负面的
• 负面和阳性	负面的

如果符号不同，则结果为负数。

示例$\PageIndex{19}$

乘以或除以：ⓐ$−100÷(−4)$ ⓑ$7⋅6$ ⓒ$4(−8)$ ⓓ$−27÷3.$

回答

ⓐ

$\begin{array}{lc} \text{} & −100÷(−4) \\ \text{Divide, with signs that are} \\ \text{the same the quotient is positive.} & 25 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array} {lc} \text{} & 7·6 \\ \text{Multiply, with same signs.} & 42 \end{array}$

ⓒ

$\begin{array} {lc} \text{} & 4(−8) \\ \text{Multiply, with different signs.} & −32 \end{array}$

ⓓ

$\begin{array}{lc} \text{} & −27÷3 \\ \text{Divide, with different signs,} \\ \text{the quotient is negative.} & −9 \end{array}$

示例$\PageIndex{20}$

乘以或除以：ⓐ$−115÷(−5)$ ⓑ$5⋅12$ ⓒ$9(−7)$ ⓓ$−63÷7.$

回答

ⓐ 23 ⓑ 60 ⓒ −63 ⓓ −9

乘以或除以：ⓐ$−117÷(−3)$ ⓑ$3⋅13$ ⓒ$7(−4)$ ⓓ$−42÷6$。

回答

ⓐ 39 ⓑ 39 ⓒ −28 ⓓ −7

当我们将一个数字乘以 1 时，结果是相同的数字。 每当我们将一个数字乘以 −1 时，我们就会得到相反的数字！

乘以 −1

$$−1a=−a$$

将数字乘以得$−1$出相反的结果。

使用整数简化表达式

当表达式中有两个以上的数字时会发生什么？ 当包含负数时，运算顺序仍然适用。 记得请原谅我亲爱的莎莉阿姨吗？

让我们试试一些例子。 我们将简化使用所有四个整数运算（加法、减法、乘法和除法）的表达式。 记住要遵循操作顺序。

示例$\PageIndex{22}$

简化：ⓐ$(−2)^4$ ⓑ$−2^4$。

回答

注意 (a) 和 (b) 部分的区别。 在 (a) 部分中，指数表示将括号中的内容，即 −2 提高到^第 4 次方。 在 (b) 部分中，指数意味着只将 2 提高到^第 4 次方，然后取相反的次方。

ⓐ

$\begin{array}{lc} \text{} & (−2)^4 \\ \text{Write in expanded form.} & (−2)(−2)(−2)(−2) \\ \text{Multiply.} & 4(−2)(−2) \\ \text{Multiply.} & −8(−2) \\ \text{Multiply.} & 16 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array}{lc} \text{} & −2^4 \\ \text{Write in expanded form.} & −(2·2·2·2) \\ \text{We are asked to find} & \text{} \\ \text{the opposite of }24. & \text{} \\ \text{Multiply.} & −(4·2·2) \\ \text{Multiply.} & −(8·2) \\ \text{Multiply.} & −16 \end{array}$

简化：ⓐ$(−3)^4$ ⓑ$−3^4$。

回答

ⓐ 81 ⓑ −81

示例$\PageIndex{24}$

简化：ⓐ$(−7)^2$ ⓑ$−7^2$。

回答

ⓐ 49 ⓑ −49

最后一个例子向我们展示了$(−2)^4$和之间的区别$−2^4$。 这种区别对于防止将来出现错误很重要。 下一个例子提醒我们按从左到右的顺序进行乘法和除法。

示例$\PageIndex{25}$

简化：ⓐ$8(−9)÷(−2)^3$ ⓑ$−30÷2+(−3)(−7)$。

回答

ⓐ

$\begin{array}{lc} \text{} & 8(−9)÷(−2)^3 \\ \text{Exponents first.} & 8(−9)÷(−8) \\ \text{Multiply.} & −72÷(−8) \\ \text{Divide.} & 9 \end{array}$

ⓑ

$\begin{array}{lc} \text{} & −30÷2+(−3)(−7) \\ \text{Multiply and divide} \\ \text{left to right, so divide first.} & −15+(−3)(−7) \\ \text{Multiply.} & −15+21 \\ \text{Add.} & 6 \end{array}$

简化：ⓐ$12(−9)÷(−3)^3$ ⓑ$−27÷3+(−5)(−6).$

回答

ⓐ 4 ⓑ 21

示例$\PageIndex{27}$

简化：ⓐ$18(−4)÷(−2)^3$ ⓑ$−32÷4+(−2)(−7).$

回答

ⓐ 9 ⓑ 6

使用整数计算变量表达式

请记住，计算表达式意味着用数字代替表达式中的变量。 现在我们可以使用负数和正数。

示例$\PageIndex{28}$

评估$4x^2−2xy+3y^2$时间$x=2,y=−1$。

回答

简化指数。
乘以。
减去。
添加。

示例$\PageIndex{29}$

评估：$3x^2−2xy+6y^2$何时$x=1,y=−2$。

回答

31

示例$\PageIndex{30}$

评估：$4x^2−xy+5y^2$何时$x=−2,y=3$。

回答

67

将短语翻译成带整数的表达式

我们之前将英语翻译成代数的工作也适用于包含正数和负数的短语。

示例$\PageIndex{31}$

翻译和简化：8 和 −12 的总和增加 3。

回答

$\begin{array}{lc} \text{} & \text{the } \textbf{sum } \underline{\text{of}} \; –8 \; \underline{\text{and}} −12 \text{ increased by } 3 \\ \text{Translate.} & [8+(−12)]+3 \\ \text{Simplify. Be careful not to confuse the} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & (−4)+3 \\ \text{brackets with an absolute value sign.} \\ \text{Add.} & −1 \end{array}$

示例$\PageIndex{32}$

翻译并简化 9 和 −16，增加 4。

回答

$(9+(−16))+4;−3$

示例$\PageIndex{33}$

翻译并简化 −8 和 −12 的总和，增加 7。

回答

$(−8+(−12))+7;−13$

在应用程序中使用整数

我们将概述解决应用程序的计划。 如果我们不知道自己在寻找什么或者该怎么称呼它，就很难找到东西！ 因此，当我们解决应用程序时，我们首先需要确定问题要求我们找到什么。 然后我们将写一个短语来提供找到它的信息。 我们将把这个短语翻译成一个表达式，然后简化这个表达式以得到答案。 最后，我们用一句话总结答案，以确保答案合理。

示例$\PageIndex{34}$: How to Solve Application Problems Using Integers

一天早晨，印第安纳州肯德尔维尔的温度为11度。 到下午中旬，温度已降至−9−9度。 早上和下午的温度有什么区别？

回答

示例$\PageIndex{35}$

一天早晨，阿拉斯加安克雷奇的温度为15度。 到下午中旬，温度已降至零下30度。 早上和下午的温度有什么区别？

回答

温度差为 45 华氏度。

示例$\PageIndex{36}$

午餐时间丹佛的温度为零下6度。 到了日落时分，温度已降至−15度。 午餐时间和日落温度有什么区别？

回答

温度差为9度。

在应用程序中使用整数。

1. 阅读问题。 确保所有文字和想法都被理解。
2. 确定我们被要求查找的内容。
3. 写一个短语，提供找到它的信息。
4. 将短语@@ 翻译成表达式。
5. 简化表达式。
6. 用完整的句子@@ 回答问题。

访问此在线资源以获取更多指导和整数练习。

• 用计数器减去整数

关键概念

• $$\begin{align} & −a \text{ means the opposite of the number }a \\ & \text{The notation} −a \text{ is read as “the opposite of }a \text{.”} \end{align}$$
• 数字的绝对值是它在数字线上距离 0 的距离。

  数字 n 的绝对值写成所有数字$|n|$的$|n|≥0$ and。

  绝对值始终大于或等于零。

• $$\begin{array}{lclc} \text{Parentheses} & () & \text{Braces} & \{ \} \\ \text{Brackets} & [] & \text{Absolute value} & ||\end{array}$$
• 减法属性
  $a−b=a+(−b)$
  减去一个数字等于将其相反的值相加。
• 用于两个有符号数字的乘法和除法：

  同样的迹象	结果
  • 两个积极因素	阳性
  • 两张底片	阳性

  如果信号相同，则结果为阳性。

  不同的迹象	结果
  • 正面和负面	负面的
  • 负面和阳性	负面的

  如果符号不同，则结果为负数。
• 乘以$−1$

  $−1a=−a$

  将数字乘以得$−1$出相反的结果。

• 如何在应用程序中使用整数。
  1. 阅读问题。 确保所有文字和想法都被理解
  2. 确定我们被要求查找的内容。
  3. 写一个短语，提供找到它的信息。
  4. 将短语@@ 翻译成表达式。
  5. 简化表达式。
  6. 用完整的句子@@ 回答问题。

词汇表

绝对值

数字的绝对值是它与数字线$0$上的距离。

整数

整数及其对立面称为整数。

负数

小于$0$的数字是负数。

相反的

与数字相反的是数字线上与零的距离相同但与零相反的数字。