8.3: फैक्टरिंग और फाइंडिंग पॉलीनोमियल सॉल्यूशंस (ज़ीरो)

बहुपदों के समाधान खोजने के कई तरीके हैं जो प्रपत्र के त्रिनोमियल हैं\(ax^2 + bx + c = 0\)। इन समाधानों को बहुपदों का वास्तविक शून्य भी कहा जाता है।

1. ट्रायल एंड चेक फैक्टरिंग मेथड: इस पद्धति के साथ, लक्ष्य दो द्विपद बनाना है, जो एक साथ गुणा करने पर दिए गए त्रिनोमियल में परिणाम देते हैं। यह विधि तब बहुत कठिन हो सकती है जब दिए गए त्रिनोमियल के बड़े मूल्य हों\(a\) और\(c\)। एक बार फैक्टरिंग पूरी हो जाने के बाद जीरो फैक्टर प्रॉपर्टी का उपयोग करके सभी वास्तविक शून्य ढूंढें और प्रत्येक कारक को इसके बराबर सेट करें\(0\) और हल\(x\) करें।
2. फैक्टरिंग विधि का कारक: इस पद्धति के साथ, लक्ष्य मध्य अवधि को दो शब्दों में विभाजित करके चार शब्दों का निर्माण करना है, जिनके गुणांकों का एक उत्पाद है\(a ∗ c\) और उनका एक योग है\(b\)। केंद्र की शर्तों के क्रम में कोई फर्क नहीं पड़ता। एक बार चार शब्द बन जाने के बाद, पहले दो शब्दों को कोष्ठक के साथ जोड़ दें, दूसरे दो शब्दों को कोष्ठक के साथ जोड़ दें, और दोनों जोड़ियों से GCF को फैक्टर आउट करें। परिणामी बार-बार द्विपद एक कारक है, और जीसीएफ कारक दूसरे द्विपद बनाने के लिए गठबंधन करते हैं। यह फ़ॉर्म के किसी भी फैक्टरेबल ट्रिनोमियल पर उपयोग करने का सबसे आसान तरीका है\(ax^2 + bx + c\), लेकिन इसमें सीखने की अवस्था थोड़ी सी हो सकती है। एक बार फैक्टरिंग पूरी हो जाने के बाद जीरो फैक्टर प्रॉपर्टी का उपयोग करके सभी वास्तविक शून्य ढूंढें और प्रत्येक कारक को इसके बराबर सेट करें\(0\) और हल\(x\) करें।
3. द्विघात सूत्र: वर्गबद्ध सूत्र का उपयोग फैक्टरेबल त्रिनोमियल के वास्तविक शून्य का पता लगाने के लिए किया जा सकता है। क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का उपयोग करने के तरीके के बारे में बताते हुए अनुभाग खोजने के लिए कृपया सामग्री की तालिका देखें।

उदाहरण Template:index

इस अनुभाग में चर्चा की गई किसी भी विधि का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को फैक्टर करें (ये उदाहरण समस्याएं फैक्टर बाय ग्रुपिंग विधि का प्रदर्शन करेंगी):

1. \(4x^2 − 3x − 10\)
2. \(8x^2 − 2x − 3\)
3. \(12x − 14x^3 + 22x^2\)
4. \(\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}\)
5. \(\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1}\)

समाधान

1. \(\begin{array} &&4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)है\(4∗(−10) = −40\), योग है\(b = −3\)। समूह द्वारा कारक का उपयोग करने के लिए,}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ टेक्स्ट {दो मध्यम शब्दों की आवश्यकता होती है जो किसी उत्पाद के उत्पाद में गुणा करें\(−40\) और एक योग में जोड़ें}\(−3\).}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ पाठ {\(8\)और \(5\)अच्छे उम्मीदवार हैं; चूंकि उत्पाद नकारात्मक होना चाहिए, इसलिए इनमें से एक मान नकारात्मक होना चाहिए।}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ पाठ {\(−8\)और सकारात्मक काम\(5\) करेगा, क्योंकि उनका उत्पाद है\(−40\) और उनका योग है\(−3\).}\\ & ; 4x^2 − 8x+ 5x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ पाठ {चार शब्द, दो मध्यम शब्दों का योग मूल मध्य शब्द है,\\(−3x\)}\ & (4x^2 − 8x) + (5x − 10) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ टेक्स्ट {शब्दों के जोड़े बनाएं}\\ &4 x (x − 2) + 5 (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ टेक्स्ट {प्रत्येक जोड़ी से GCF को फैक्टर आउट करें- एक दोहराया गया द्विपद कारक हमेशा होता है वर्तमान}\\ & (4x+ 5) (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\ पाठ {समाधान। FOIL द्वारा जांचना सुनिश्चित करें।} \ end {array}\)

2. \(\begin{array} &&8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)है\(8∗(−3) = −24\), योग है\(b = −2\)। समूह द्वारा कारक का उपयोग करने के लिए,}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\ टेक्स्ट {दो मध्यम शब्दों की आवश्यकता होती है जो किसी उत्पाद के योग में गुणा करें\(−24\) और एक योग में जोड़ें\(−2\).}\\ &\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ पाठ {\(6\)और अच्छे\(4\) हैं उम्मीदवार; चूंकि उत्पाद नकारात्मक होना चाहिए, इसलिए इनमें से एक मान नकारात्मक होना चाहिए।}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ text {\(−6\)और सकारात्मक काम\(4\) करेगा, क्योंकि उनका उत्पाद है\(−24\) और उनका योग है\(−2\).}\\\ 8x^2+ 4x - 6x - 3 &\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ पाठ {चार शब्द, दो मध्यम शब्दों का योग मूल मध्य शब्द है,}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ पाठ {दो मध्यम शब्दों का क्रम मायने नहीं रखता।}\\ & (8x^2+ 4x) + (−6x − 3) &\;\;\\(−2x\) ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ पाठ {शब्दों के जोड़े बनाएं। कोष्ठक के बीच में जोड़ पर ध्यान दें;}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ पाठ {चार शब्दों में से तीसरा यहां नकारात्मक था, इसलिए संकेत शब्द के साथ रहता है.}\\ &4x (2x + 1) + (−3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ टेक्स्ट {फैक्टर आउट द फैक्टर आउट द प्रत्येक जोड़ी से GCF- एक बार-बार द्विपद कारक हमेशा मौजूद रहता है}\\ & (4x − 3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\\ पाठ {समाधान। FOIL द्वारा जांचना सुनिश्चित करें।} \ end {array}\)

3. \(\begin{array} && 12x − 14x^3 + 22x^2 &\text{Example problem} \\ &−14x^3 + 22x^2 + 12x &\text{Reorder the terms in decreasing order of variable degree.} \\ &2x(−7x^2 + 11x + 6) &\text{Factor out the GCF so a trinomial results that can be factored using factor by grouping.} \\ & &\text{The GCF of \(2x\)अंतिम उत्तर में शामिल किया जाएगा, इसलिए इसके बारे में मत भूलो।}\\ &−7x^2 + 11x+ 6 &\ text {उत्पाद\(ac\) है\(−7 ∗ 6 = −42\), योग है\(b = 11\)। समूह द्वारा कारक का उपयोग करने के लिए,}\\ & &\ text {दो मध्यम शब्दों की आवश्यकता होती है जो किसी उत्पाद के योग में गुणा करते हैं\(−42\) और इसमें जोड़ते हैं.}\\ & &\ text {ऐसी कोई संख्या नहीं है जो इन दोनों आवश्यकताओं को पूरा करती है,}\\ &\ text {जिसका अर्थ है कि त्रिनोमियल फैक्टरेबल नहीं है\(11\) पूर्णांक कारक.}\\ &−7x^2 + 11x+ 6 &\ text {बहुपद के कारकों और शून्यों का पता लगाने के लिए, वर्गबद्ध सूत्र का उपयोग करें.}\\ &\ text {Let\(a = −7\),}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {11^2 − 4 (−7) (6)\(c = 6\)} {2 (−7)}} {2 (−7)}} {2 (−7)} {2 (−7)}} {2 (−7)}\ text {क्वाड्रैटिक फॉर्मूला}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\\(b = 11\) sqrt {121 + 168}} {-14} और\ text {सरल बनाएं}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} &\ text {सभी शब्दों\(−1\) से विभाजित करें}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} = 2,\\; x =\ dfrac {11 -\ sqrt {289} = 2,\\; x =\ dfrac {11 −\ sqrt {28} 9}} {14} = −\ dfrac {3} {7} और\ text {रैडिकल रूप में शून्य के लिए सटीक उत्तर, इसके बाद वास्तविक संख्या आती है प्रपत्र.}\\ & (x - 2),\;\; (x + -\ dfrac {3} {7}) &\ text {कारक। कारकों\(±\) में सही डालने का ध्यान रखें.}\\ &\ text {समाधान ढूंढें, और फिर उस समाधान का निर्माण करने वाले कारक का पता लगाने के लिए रिवर्स-इंजीनियर।}\\ & &\ text {वर्गबद्ध सूत्र का पहला समाधान था.}\\ & &\ text {का एक कारक था\(x = 2\).}\\ & &\ text {का एक कारक था \((x − 2)\)जब बराबर सेट किया\(0\) जाएगा तो इसका समाधान उत्पन्न होगा\(x = 2\).}\\ &\ text {क्वैड्रैटिक फॉर्मूला से दूसरा समाधान था\(x = −\dfrac{3}{7}\)।}\\ &\ text {का एक कारक}\\ &2x (x − 2) (x +\ dfrac {3} {7}) और\ text {{7}) और\ text {{3} {7}} का समाधान उत्पन्न\((x + −\dfrac{3}{7})\) करेगा\(x = −\dfrac{3}{7}\) बहुपद कारक, जिनमें मूल GCF भी शामिल है, जो इस समस्या की शुरुआत में निहित था।} \ end {array}\)

4. \(\begin{array} && \dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{2(x^2 + 1)[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Factor out the GCF from the numerator.} \\ &\dfrac{2\cancel{(x^2 + 1)}[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{\cancel{(x^2 + 1)}(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[−x^2 − 1 + 4x^2]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &\dfrac{2(3x^2 − 1)}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)

5. \(\begin{array} &&\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} −\dfrac{(x + 2)}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the expression with a positive exponent (move it to the denominator).} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)}{\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}{2x + 1}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the numerator with a common denominator.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} (2x + 1)} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplified.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{3}{2}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)

व्यायाम Template:index

इस अनुभाग में चर्चा की गई किसी भी विधि का उपयोग करने का कारक:

1. \(5x^2 − 23x − 10\)
2. \(8x^2 + 2x − 3\)
3. \(3x^2 − 7x − 6\)
4. \(10x^2 + 13x − 5\)
5. \(12x^5 − 17x^4 + 6x^3\)
6. \(\dfrac{(2x^2 − 1)^2 (−2) + (2x)2(2x^2 − 1)(2x)}{(2x^2 − 1)^4}\)
7. \(\dfrac{2(2x − 3)^{\frac{1}{3}} − (x − 1)(2x − 3)^{-\frac{2}{3}}}{2x − 3^{\frac{2}{3}}}\)

क्वाड्रैटिक फॉर्मूला

परिभाषा: क्वाड्रैटिक फॉर्मूला

द्विघात सूत्र का उपयोग\(2\) उस डिग्री के बहुपद (वर्गबद्ध समीकरण) के शून्य को हल करने (या खोजने) के लिए किया जाता है, जो कि रूप में है\(ax^2 + bx + c = 0\)। क्वाड्रैटिक फॉर्मूला है:

\[x = \dfrac{−b ± \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a} \nonumber \]

जहाँ\(a\)\(b\), और एक द्विघात समीकरण के मानक रूप के गुणांक\(c\) हैं,\(ax^2 + bx + c = 0\)।

उदाहरण Template:index

निम्नलिखित कार्यों के लिए, क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का\(f\) उपयोग करने के सभी शून्य खोजें। अंतिम उत्तर को सटीक उत्तर (कट्टरपंथी रूप में) और दशमलव के रूप में, हज़ारवें स्थान पर गोल करके व्यक्त करें।

1. \(f(x) = −2x^2 + 4x − 1\)
2. \(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\)

समाधान

1. सेट\(f(x) = 0: −2x^2 + 4x − 1 = 0\)। यह फ़ंक्शन फ़ॉर्म में\(ax^2 + bx + c = 0\)\(a = −2\),\(b = 4\) और के साथ लिखा गया\(c = −1\) है।

इन मानों के साथ वर्गबद्ध सूत्र को बदलना\(a\),\(b\) और\(c\) उसमें:

\(\begin{array} &&x = \dfrac{−4 ± \sqrt{4^2 − 4(−2)(−1)}}{2(−2)} &\;\;\;\;\;\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{(16 − 8)}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{8}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± 2 \sqrt{2}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify the radical} \\ &x = \dfrac{2 ± \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers in radical form} \\ &x = \dfrac{2 − \sqrt{2}}{2} ,\;\; x = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers written as two roots} \\ &x = 0.293 \text{ and } x = 1.707 &\;\;\;\;\;\text{Approximation answers rounded to the thousandths place} \end{array}\)

2. फ़ंक्शन एक घन फ़ंक्शन\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\) है। त्रिनोमियल कारक पर द्विघात समीकरण का उपयोग करने\(x\) से पहले सभी तीन शब्दों से फ़ैक्टर आउट करें:\(x(x^2 − 3x − 4) = 0\), के साथ\(a = 1\),\(b = −3\) और\(c = −4\)।

यह मत भूलो कि\(x\) जो फैक्टर्ड किया गया था वह एक जड़ है, अर्थात्\(x = 0\)।

इन मानों के साथ वर्गबद्ध सूत्र को बदलना\(a\),\(b\) और\(c\) उसमें:

\(\begin{array} &&x = \dfrac{3 ± \sqrt{(−3)2 − 4(1)(−4)}}{2(1)} &\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{(16 + 9)}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{25}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± 5}{2} &\text{Simplify further} \\ &x = \dfrac{3 − 5}{2} ,\;\;x = \dfrac{−2}{2} ,\;\; x = −1 &\text{Second root (first root is \(x = 0\))}\\ &x =\ dfrac {3 + 5} {2},\;\; x =\ dfrac {8} {2},\;\; x = 4 &\ पाठ {तीसरा रूट}\ अंत {सरणी}\)

क्यूबिक फ़ंक्शन के तीन समाधान या जड़ें हैं\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x: x = 0\),\(x = −1\) और\(x = 4\)।

व्यायाम Template:index

निम्नलिखित कार्यों के लिए, क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का\(f\) उपयोग करने के सभी शून्य खोजें। अंतिम उत्तर को सटीक उत्तर (कट्टरपंथी रूप में) और दशमलव के रूप में, हज़ारवें स्थान पर गोल करके व्यक्त करें।

1. \(f(t) = 9t^3 − 18t^2 + 6t\)
2. \(f(x) = x^5 − 4x^4 − 32x^3\)
3. \(f(x) = 18 − 3x − 2x^2\)
4. \(f(x) = 12x^2 + 11x − 5\)
5. \(f(x) = 3x^2 − 6x + 2\)