7.1: स्लोप ऑफ़ ए लाइन

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

याद रखें कि आदेशित जोड़े को आयताकार समन्वय विमान में बिंदुओं के रूप में रेखांकन किया जा सकता है। किसी भी दो अलग-अलग बिंदुओं के माध्यम से, एक सीधी रेखा को ग्राफ़$l$ करें,।

$l$बीजगणितीय रूप से रेखा का वर्णन करने के लिए, पहले एक रेखा सूत्र के ढलान पर विचार करें।

परिभाषा: स्लोप ऑफ़ अ लाइन

एक रेखा$m$ का ढलान$l$ जो बिन्दु से होकर गुजरता$(x_2, y_2)$ है$(x_1, y_1)$ और है

\[m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \text{ where } x_2 \neq x_1 \nonumber \]

$clipboard_ef5b30d9d90d175767e807356eeeb09d5.png$

उदाहरण Template:index

नीचे दिए गए चित्र में रेखा के ढलान का पता लगाएं।

$clipboard_e363ff7b3bb533d1487bf37ba2e55050d.png$

समाधान

लाइन फॉर्मूला की ढलान की उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, रेखा के ढलान को इस प्रकार लिखा जा सकता है$m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$। किसी भी दो बिंदुओं को चुनकर शुरू करें$Q$,$P$ और, लाइन पर। बिन्दु$P$ को चुनें$(2, 2)$ और होने$Q$ की ओर इशारा$(1, 0)$ करें।

बिंदु पर शुरू करते हुए$Q$, ऊपर की ओर$2$ ग्रिड वर्गों की गणना$P$ करके बिंदु तक ऊपर उठें, जिसका अर्थ है$\text{rise} = 2$। अब, बिंदु पर पहुंचने के लिए$P$, दाईं ओर$\text{run}$$1$ ग्रिड स्क्वायर, जिसका अर्थ है कि$\text{run} = 1$, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_eb782dfab92d784f98c38e932215ff3af.png$

इस प्रकार,

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(2$और$1$}\\ &= 2\ end {array}\) चलाएं

इसलिए, आकृति में रेखा का ढलान है$m = 2$।

उदाहरण Template:index

नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई रेखा के ढलान का पता लगाएं।

$clipboard_e19cd2064387c2c10ad2af63dccc6440d.png$

समाधान

उदाहरण के समान$1$, किसी भी दो बिंदुओं को चुनकर शुरू करें$Q$,$P$ और, लाइन पर।

ध्यान दें: चूंकि लाइन पर किसी भी$2$ बिंदु को चुना जा सकता है, इसलिए दो बिंदुओं को चुनना आसान होगा जो पूर्णांक हैं। वे बिंदु लाइन पर और दो ग्रिड लाइनों के चौराहे पर भी स्थित हैं। उदाहरण के लिए, इस आंकड़े में दी गई पंक्ति पर निम्नलिखित में से किसी भी दो बिंदुओं को चुनना आसान होगा:$(2, 0)$$(0, 1)$,$(4, −1)$,$(6, −2)$,$(−4, 3)$,$(−6, 4)$, और इसी तरह...

ढलान किसी भी दो बिंदुओं$P$ और रेखा$Q$ पर समान है। बिन्दु$P_1$ को चुनें$(0, 1)$ और होने$Q_1$ की ओर इशारा$(2, 0)$ करें। बिंदु पर शुरू करते हुए$P_1$, दाईं ओर$2$ ग्रिड चौकों को पहले$Q_1$ चलाकर बिंदु तक पहुंचें, जिसका अर्थ है कि$\text{run} = 2$। अब, बिंदु पर पहुंचने के लिए नीचे$Q_1$ की ओर$1$ ग्रिड स्क्वायर गिनें। ध्यान दें,$\text{rise} = -1$ जिसका अर्थ है$1$ यूनिट को नीचे ले जाना जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_eae1964d11eb4f5c0410a5ca79250683d.png$

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{−1}{2} &\text{rise = \(-1$और रन =$2$}\ एंड {सरणी}\)

इसलिए, ऊपर की आकृति में रेखा का ढलान है$m = −\dfrac{1}{2}$।

अब, बिन्दु$P_2$ को चुनें$(-2, 2)$ और ऊपर दिए गए चित्र में$(-6, 4)$ दिखाए अनुसार इंगित$Q_2$ करें। बिंदुओं पर शुरू करते हुए$P_2$, बाईं ओर$4$ ग्रिड चौकों को पहले$Q_2$ चलाकर बिंदु तक पहुंचें, जिसका अर्थ है कि$\text{run} = -4$। अब, बिंदु पर पहुंचने के लिए ऊपर$Q_2$ की ओर$2$ ग्रिड वर्गों की गणना करें। इस प्रकार,$\text{rise} = 2$। ढलान है$m = \dfrac{2}{−4} = −\dfrac{1}{2}$। ध्यान दें, ढलान वही है, चाहे हम किसी दिए गए लाइन पर किन$2$ बिंदुओं पर विचार करें।

उदाहरण Template:index

उस रेखा के ढलान का पता लगाएं, जो ढलान के सूत्र से होकर गुजरती है$(3, 2)$ और उसका$(4, 4)$ उपयोग करती है। दिए गए बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा को ग्राफ़ करें।

ध्यान दें: जिन बिंदुओं को लेबल किया गया है, वह लाइन फॉर्मूला के ढलान में तब तक कोई अंतर नहीं रखेगा जब तक कि स्थिरता न हो।

समाधान

चलो$(x_1, y_1) = (3, 2)$ और$(x_2, y_2) = (4, 4)$ फिर,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{4 − 2}{4 − 3} & \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(= 2$और$= 1$}\\ &= 2 &\ end {array}\) चलाएं

इसलिए, रेखा का ढलान बिंदुओं से होकर गुजरता$(4, 4)$ है$(3, 2)$ और है$m = 2$। दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई है।

$clipboard_e274e9e3b46b3eff108909c81ba819a08.png$

ध्यान दें कि जब रेखा बाएं से दाएं बढ़ती है, तो रेखा में सकारात्मक ढलान होता है।

उदाहरण Template:index

बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा के ढलान का पता लगाएं$(−1, 2)$ और$(3, −4)$। बिंदुओं को प्लॉट करें और लाइन को ग्राफ़ करें।

समाधान

चलो$(x_1, y_1) = (-1, 2)$ और$(x_2, y_2) = (3, -4)$ फिर,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{-4 − 2}{3 − (-1)} & \\ &= \dfrac{-6}{4} &\text{Simplify} \\ &= -\dfrac{3}{2} & \end{array}$

परिभाषा: नकारात्मक ढलान

अब, दिए गए बिंदुओं के माध्यम से रेखा को ग्राफ करने के लिए, पहले दो बिंदुओं को प्लॉट करें, फिर उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_e8812e320ff1738607c4d0a7b47b2cb52.png$

ध्यान दें कि जब रेखा बाएं से दाएं गिरती है, तो रेखा का एक नकारात्मक ढलान होता है।

व्यायाम Template:index

समस्याओं के$1$ माध्यम से ग्राफ में प्रत्येक पंक्ति की ढलानों का पता लगाएं$4$

$clipboard_e2069ff2347366ba7a41bdc2ce9b3e73f.png$

$clipboard_eef225bb0ac28f968c0341273544f4c10.png$

$clipboard_e529b1bdc19f0e169b699c7c48d14cd9f.png$

$clipboard_e02a729d98b0411466737730bd716df03.png$

व्यायाम Template:index

समस्याओं$5$ के माध्यम से दिए गए बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा का ढलान ज्ञात$7$ करें।

$(−3, 5)$और$(4, −5)$
$(2, 5)$और$(0, −1)$
$(4, 1)$और$(0, 0)$