7.E: ميكانيكا الكم (تمارين)
- Page ID
- 196781
أسئلة مفاهيمية
7.1 وظائف الموجة
1. ما الوحدة الفيزيائية لدالة الموجة\(\displaystyle Ψ(x,t)\)؟ ما الوحدة الفيزيائية لمربع دالة الموجة هذه؟
2. هل يمكن أن\(\displaystyle (Ψ∗(x,t)Ψ(x,t))\) يكون حجم دالة الموجة رقمًا سالبًا؟ اشرح.
3. ما نوع الكمية الفيزيائية التي تمثلها الدالة الموجية للإلكترون؟
4. ما المعنى الفيزيائي للدالة الموجية للجسيم؟
5. ما معنى تعبير «قيمة التوقع»؟ اشرح.
7.2 مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ
6. إذا كانت شكلية ميكانيكا الكم «أكثر دقة» من الميكانيكا الكلاسيكية، فلماذا لا نستخدم ميكانيكا الكم لوصف حركة الضفدع القافز؟ اشرح.
7. هل يمكن معرفة الطول الموجي لجسيم de Broglie بدقة؟ هل يمكن معرفة موضع الجسيم بدقة؟
8. هل يمكننا قياس طاقة الجسيمات المحلية الحرة بدقة تامة؟
9. هل يمكننا قياس كل من موضع وزخم الجسيم بدقة تامة؟
7.3 معادلة شوردينجر
10. ما الفرق بين دالة\(\displaystyle ψ(x,y,z)\) الموجة ووظيفة الموجة\(\displaystyle Ψ(x,y,z,t)\) لنفس الجسيم؟
11. إذا كان الجسيم الكمومي في حالة ثابتة، فهل يعني ذلك أنه لا يتحرك؟
12. اشرح الفرق بين معادلات Schrdinger المعتمدة على الوقت والمعادلات المستقلة.
13. لنفترض أن دالة الموجة متقطعة في مرحلة ما. هل يمكن أن تمثل هذه الدالة الحالة الكمومية لبعض الجسيمات الفيزيائية؟ لماذا؟ لماذا لا؟
7.4 الجسيم الكمومي في صندوق
14. باستخدام الجسيم الكمومي في النموذج الصندوقي، وصف كيفية ارتباط الطاقات المحتملة للجسيم بحجم الصندوق.
15. هل من الممكن عندما نقيس طاقة جسيم كمي في صندوق، أن يُرجِع القياس قيمة أصغر من طاقة الحالة الأرضية؟ ما أعلى قيمة للطاقة التي يمكننا قياسها لهذا الجسيم؟
16. بالنسبة للجسيم الكمومي في صندوق، فإن الحالة المثارة الأولى (\(\displaystyle Ψ_2\)) لها قيمة صفرية عند موضع نقطة الوسط في المربع، بحيث تكون الكثافة الاحتمالية لإيجاد جسيم عند هذه النقطة صفرًا تمامًا. اشرح الخطأ في المنطق التالي: «إذا كان احتمال العثور على جسيم كمي عند نقطة الوسط هو صفر، فإن الجسيم لا يصل أبدًا إلى هذه النقطة، أليس كذلك؟ كيف يمكن للجسيم إذن عبور هذه النقطة في طريقه من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن من الصندوق؟
7.5 المذبذب التوافقي الكمي
17. هل من الممكن قياس طاقة المذبذب التوافقي الكمي؟\(\displaystyle 0.75ℏω\) لماذا؟ لماذا لا؟ اشرح.
18. اشرح العلاقة بين فرضية بلانك عن كميات الطاقة وطاقات المذبذب التوافقي الكمومي.
19. إذا كان المذبذب التوافقي الكلاسيكي يمكن أن يكون في حالة سكون، فلماذا لا يكون المذبذب التوافقي الكمي في حالة راحة أبدًا؟ هل هذا ينتهك شروط بوهر
مبدأ المراسلات؟
20. استخدم مثالاً لجسيم كمي في صندوق أو مذبذب كمي لشرح المعنى المادي لمبدأ المراسلات في Bohr.
21. هل يمكننا قياس موضع وطاقة المذبذب الكمي في نفس الوقت؟ لماذا؟ لماذا لا؟
7.6 النفق الكمي للجسيمات من خلال الحواجز المحتملة
22. عندما يواجه إلكترون وبروتون لهما نفس الطاقة الحركية حاجزًا محتملاً بنفس الارتفاع والعرض، أي منهما سيفعل ذلك
نفق عبر الحاجز بسهولة أكبر؟ لماذا؟
23. ما الذي يقلل احتمالية حفر الأنفاق أكثر من غيرها: مضاعفة عرض الحاجز أو خفض الطاقة الحركية للجسيم الساقط إلى النصف؟
24. اشرح الفرق بين إمكانات الصندوق وإمكانات النقطة الكمومية.
25. هل يمكن لجسيم كمي «الهروب» من إمكانات لا نهائية مثل تلك الموجودة في الصندوق؟ لماذا؟ لماذا لا؟
26. يستخدم كل من الصمام الثنائي النفقي والصمام الثنائي النفقي بالرنين نفس المبدأ الفيزيائي للأنفاق الكمومية. ما هي الطريقة المهمة التي يختلفون بها؟
مشاكل
7.1 وظائف الموجة
27. احسب\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\) الدالة\(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)sinωt\)،\(\displaystyle ω\) أين الثابت الحقيقي.
28. بالنظر إلى الدالة ذات القيمة المعقدة\(\displaystyle f(x,y)=(x−iy)/(x+iy)\)، قم بالحساب\(\displaystyle |f(x,y)|^2\).
29. أي من الوظائف التالية، ولماذا، تؤهل لتكون دالة موجة لجسيم يمكنه التحرك على طول المحور الحقيقي بأكمله؟
(أ)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x^2}\)؛
(ب)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x};\)
(ج)\(\displaystyle ψ(x)=Atanx\);
(د)\(\displaystyle ψ(x)=A(sinx)/x\);
(هـ)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−|x|}\).
30. يتم تمثيل جسيم كتلته m يتحرك على طول المحور x وحالته الكمومية بواسطة دالة الموجة التالية:\(\displaystyle Ψ(x,t)=\begin{cases}0&x<0\\Axe^{−αx}e^{−iEt/ℏ}&,x≥0\end{cases}\), أين\(\displaystyle α=2.0×10^{10}m^{−1}\).
(أ) ابحث عن ثابت التطبيع.
(ب) أوجد احتمال العثور على الجسيم في الفترة الفاصلة\(\displaystyle 0≤x≤L\).
(ج) إيجاد القيمة المتوقعة للمركز.
(د) أوجد القيمة المتوقعة للطاقة الحركية.
31. تُعطى الدالة الموجية لجسيم كتلته m بواسطة\(\displaystyle ψ(x)=\begin{cases}Acosαx&−\frac{π}{2α}≤x≤+\frac{π}{2α}\\0&otherwise\end{cases}\)، أين\(\displaystyle α=1.00×10^{10}/m\).
(أ) ابحث عن ثابت التطبيع.
(ب) أوجد احتمال العثور على الجسيم في الفترة الفاصلة\(\displaystyle 0≤x≤0.5×10^{−10}m\).
(ج) أوجد متوسط موضع الجسيم.
(د) تحديد متوسط زخمها.
(هـ) أوجد متوسط طاقة حركته\(\displaystyle −0.5×10^{−10}m≤x≤+0.5×10^{−10}m\).
7.2 مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ
32. تم قياس سرعة\(\displaystyle α\) جسيم على شكل حرف C بدقة مقدارها 0.02 ملم/ثانية. ما هو الحد الأدنى من عدم اليقين في موضعه؟
33. يوجد غاز من ذرات الهيليوم بسرعة 273 K في حاوية مكعبة على طول ضلعها ٢٥٫٠ سم.
(أ) ما هو الحد الأدنى من عدم اليقين في مكونات الزخم لذرات الهيليوم؟
(ب) ما هو الحد الأدنى من عدم اليقين في مكونات السرعة؟
(ج) تحديد نسبة حالات عدم اليقين في
(ب) بمتوسط سرعة الذرة في كل اتجاه.
34. إذا كانت درجة عدم اليقين في\(\displaystyle y\) المكون -لموضع البروتون هي ٢٫٠ pm، فأوجد الحد الأدنى من عدم اليقين في القياس المتزامن\(\displaystyle y\) لمكون سرعة البروتون. ما الحد الأدنى من عدم اليقين في القياس المتزامن لمكون السرعة x للبروتون؟
35. تحتوي بعض الجسيمات الأولية غير المستقرة على طاقة راحة تبلغ 80.41 GeV وعدم يقين في طاقة الراحة يبلغ 2.06 GeV. قم بتقدير عمر هذا الجسيم.
36. يبلغ عمر الذرة في الحالة غير المستقرة 5.2 مللي ثانية. ابحث عن الحد الأدنى من عدم اليقين في قياس طاقة الحالة المثارة.
37. تشير القياسات إلى أن الذرة تظل في حالة مثيرة لمتوسط وقت قدره 50.0 ns قبل الانتقال إلى الحالة الأرضية مع الانبعاث المتزامن لفوتون 2.1-eV.
(أ) تقدير عدم اليقين في تردد الفوتون.
(ب) ما الكسر الذي يمثل هذا الكسر من متوسط تردد الفوتون؟
38. لنفترض أن الإلكترون يقتصر على منطقة طولها 0.1 نانومتر (بترتيب حجم ذرة الهيدروجين).
(أ) ما هو الحد الأدنى من عدم اليقين بشأن زخمها؟
(ب) ماذا سيكون عدم اليقين في الزخم إذا تضاعفت منطقة الطول المحصور إلى 0.2 نانومتر؟
7.3 معادلة شوردينجر
39. اجمع بين المعادلة\(7.4.1\)\(7.4.2\) والمعادلة للعرض\(\displaystyle k^2=\frac{ω^2}{c^2}\).
40. أظهر أن\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\) هذا حل صالح لمعادلة Schrdinger التي تعتمد على الوقت.
41. أظهر ذلك\(\displaystyle Ψ(x,t)=Asin(kx−ωt)\)\(\displaystyle Ψ(x,t)=Acos(kx−ωt)\) ولا تطيع معادلة Schrdinger التي تعتمد على الوقت.
42. أظهر أنه عندما\(\displaystyle Ψ_1(x,t)\)\(\displaystyle Ψ_2(x,t)\) تكون هناك حلول لمعادلة Schrdinger التي تعتمد على الوقت وأن A و B هي أرقام، فإن الدالة\(\displaystyle Ψ(x,t)\) التي تمثل تراكبًا لهذه الدوال هي الحل أيضًا:\(\displaystyle Ψ(x,t)=AΨ_1(x,t)+BΨ_1(x,t)\).
43. يتم وصف جسيم كتلته m بواسطة دالة الموجة التالية:\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx+Bsinkx\)، حيث A و B و k هي ثوابت. بافتراض أن الجسيم حر، أظهر أن هذه الدالة هي حل معادلة Schrdinger الثابتة لهذا الجسيم، وأوجد الطاقة التي يمتلكها الجسيم في هذه الحالة.
44. أوجد القيمة المتوقعة للطاقة الحركية للجسيم في الحالة،\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\). ما هي النتيجة التي يمكنك استخلاصها من الحل الخاص بك؟
45. أوجد قيمة التوقع لمربع مربع كمية الحركة للجسيم في الحالة،\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\). ما هي النتيجة التي يمكنك استخلاصها من الحل الخاص بك؟
46. للبروتون الحر وظيفة موجة تُعطى بواسطة\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(5.02×10^{11}x−8.00×10^{15}t)}\). معامل x هو عدادات عكسية (\(\displaystyle m^{−1}\)) والمعامل على t هو الثواني العكسية (\(\displaystyle s^{−1}\)). ابحث عن زخمها وطاقتها.
7.4 الجسيم الكمومي في صندوق
47. افترض أن الإلكترون الموجود في الذرة يمكن معالجته كما لو كان محصورًا في صندوق عرض\(\displaystyle 2.0Å\). ما طاقة الحالة الأرضية للإلكترون؟ قارن النتيجة بالطاقة الحركية للحالة الأرضية لذرة الهيدروجين في نموذج Bohr لذرة الهيدروجين.
48. افترض أنه يمكن معالجة البروتون الموجود في النواة كما لو كان محصورًا في صندوق أحادي البعد بعرض 10.0 fm.
(أ) ما هي طاقات البروتون عندما يكون في الحالات المقابلة لـ\(\displaystyle n=1, n=2,\) و\(\displaystyle n=3\)؟
(ب) ما هي طاقات الفوتونات المنبعثة عندما يقوم البروتون بالانتقال من الحالة المثارة الأولى والثانية إلى الحالة الأرضية؟
49. تبلغ طاقة الحالة الأرضية للإلكترون المحصور في صندوق 2.5 eV. ما عرض الصندوق؟
50. ما طاقة الحالة الأرضية (بالكيلو فولت) لبروتون محصورة في صندوق أحادي البعد بحجم نواة اليورانيوم الذي يبلغ نصف قطره 15.0 fm تقريبًا؟
51. ما طاقة الحالة الأرضية (بeV) لجسيم ألفا المحصور في صندوق أحادي البعد بحجم نواة اليورانيوم الذي يبلغ نصف قطره 15.0 fm تقريبًا؟
52. يتطلب إثارة إلكترون في صندوق أحادي البعد من حالته المثيرة الأولى إلى حالته المثيرة الثالثة 20.0 eV. ما عرض الصندوق؟
53. يُصدر إلكترون محصور في صندوق بعرض 0.15 نانومتر بواسطة حواجز طاقة كامنة لا نهائية فوتون عندما ينتقل من حالة الإثارة الأولى إلى الحالة الأرضية. أوجد الطول الموجي للفوتون المنبعث.
54. إذا كانت طاقة الحالة المثارة الأولى للإلكترون في الصندوق 25.0 eV، فما عرض الصندوق؟
55. لنفترض أن الإلكترون المحصور في صندوق يصدر فوتونات. أطول طول موجي تم تسجيله هو 500.0 nm. ما عرض الصندوق؟
56. يتم الاحتفاظ\(\displaystyle H_2\) بجزيئات الهيدروجين عند 300.0 K في حاوية مكعبة بطول ضلعها 20.0 سم. افترض أنه يمكنك معالجة الجزيئات كما لو كانت تتحرك في صندوق أحادي البعد.
(أ) أوجد طاقة الحالة الأرضية لجزيء الهيدروجين في الحاوية.
(ب) افترض أن الجزيء يحتوي على طاقة حرارية معطاة\(\displaystyle k_BT/2\) ووجد العدد الكمي المقابل n للحالة الكمومية التي تتوافق مع هذه الطاقة الحرارية.
57. يقتصر الإلكترون على صندوق بعرض 0.25 نانومتر.
(أ) ارسم مخططًا لمستوى الطاقة يمثل الحالات الخمس الأولى للإلكترون.
(ب) احسب الأطوال الموجية للفوتونات المنبعثة عندما يقوم الإلكترون بالانتقال بين الحالة المثارة الرابعة والثانية، وبين الحالة المثارة الثانية والحالة الأرضية، وبين الحالة المثارة الثالثة والثانية.
58. يوجد إلكترون في صندوق في الحالة الأرضية بطاقة 2.0 eV.
(أ) ابحث عن عرض المربع.
(ب) ما مقدار الطاقة اللازمة لإثارة الإلكترون إلى حالته المثيرة الأولى؟
(ج) إذا انتقل الإلكترون من الحالة المثارة إلى الحالة الأرضية بالانبعاث المتزامن للفوتون 30.0 eV، فأوجد العدد الكمي للحالة المثارة؟
7.5 المذبذب التوافقي الكمي
59. أظهر أن حالتي الطاقة الأدنى للمذبذب التوافقي البسيط،\( ψ_0(x) \)\( ψ_1(x) \)\[\psi_n (x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2} H_n (\beta x) \nonumber \] وبدءًا من\(n = 0,1,2,3, ...\) عند استيفاء معادلة Schrdinger المستقلة عن الوقت\[-\dfrac{\hbar}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \dfrac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi (x). \nonumber \]
60. إذا كانت طاقة الحالة الأرضية لمذبذب توافقي بسيط تساوي 1.25 eV، فما تردد حركته؟
61. عندما ينتقل المذبذب التوافقي الكمومي من\(\displaystyle (n+1)\) الحالة إلى الحالة n ويصدر فوتون بقوة 450 نانومتر، ما تردده؟
62. \(\displaystyle H_2\)يمكن نمذجة اهتزازات جزيء الهيدروجين كمذبذب توافقي بسيط مع ثابت الزنبرك\(\displaystyle k=1.13×10^3N/m\) والكتلة\(\displaystyle m=1.67×10^{−27}kg\).
(أ) ما التردد الاهتزازي لهذا الجزيء؟
(ب) ما هي الطاقة والطول الموجي للفوتون المنبعث عندما ينتقل الجزيء بين حالتي الاستثارة الثالثة والثانية؟
63. يتذبذب جسم كتلته 0.030 kg ذهابًا وإيابًا على زنبرك بتردد 4.0 Hz. عند وضع الاتزان، تبلغ سرعته ٠٫٦٠ م/ث، وإذا كان الجسم في حالة طاقة محددة، فأوجد العدد الكمي لطاقته.
64. أوجد قيمة التوقع\(\displaystyle x^2\) ³من مربع موضع المذبذب التوافقي الكمومي في الحالة الأرضية. ملاحظة:\(\displaystyle ∫^{+∞}_{−∞}dxx^2e ^{−ax^2}=\sqrt{π}(2a^{3/2})^{−1}\).
65. حدد القيمة المتوقعة للطاقة الكامنة للمذبذب التوافقي الكمي في الحالة الأرضية. استخدم هذا لحساب القيمة المتوقعة للطاقة الحركية.
66. تحقق من\(\displaystyle ψ_1(x)\) أن المعادلة 7.57 تمثل حلًا لمعادلة Schrdinger للمذبذب التوافقي الكمومي.
67. قم بتقدير طاقة الحالة الأرضية للمذبذب التوافقي الكمي من خلال مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ. ابدأ بافتراض أن ناتج حالات عدم اليقين\(\displaystyle Δx\)\(\displaystyle Δp\) هو الحد الأدنى. اكتب\(\displaystyle Δp\) بدلالة\(\displaystyle Δx\) الحالة الأرضية وافترضها\(\displaystyle p≈Δp\)،\(\displaystyle x≈Δx\) ثم اكتب طاقة الحالة الأرضية بدلالة x. وأخيرًا، ابحث عن قيمة x التي تقلل الطاقة واعثر على الحد الأدنى من الطاقة.
68. تتأرجح كتلة مقدارها ٠٫٢٥٠ كجم على زنبرك بقوة ثابتة ١١٠ نيوتن/م، احسب مستوى طاقة الأرض والفصل بين مستويات الطاقة المتجاورة. عبّر عن النتائج بالجول والفولت الإلكتروني. هل التأثيرات الكمومية مهمة؟
7.6 النفق الكمي للجسيمات من خلال الحواجز المحتملة
69. أظهر أن وظيفة الموجة في
(أ) المعادلة 7.68 تفي بالمعادلة 7.61، و
(ب) المعادلة 7.69 تفي بالمعادلة 7.63.
70. يؤثر إلكترون بقوة 6.0 فولت على حاجز بارتفاع 11.0 eV. أوجد احتمال مرور الإلكترون عبر الحاجز إذا كان عرض الحاجز
(أ) 0.80 نانومتر و
(ب) 0.40 نانومتر.
71. يؤثر إلكترون بقوة 5.0-eV على حاجز مقداره 0.60 نانومتر. أوجد احتمال مرور الإلكترون عبر الحاجز إذا كان ارتفاع الحاجز
(أ) 7.0 فولت؛
(ب) 9.0 فولت؛
(ج) 13.0 فولت.
72. يواجه إلكترون بقوة 12.0-eV حاجزًا بارتفاع 15.0 eV. إذا كان احتمال مرور الإلكترون عبر الحاجز هو 2.5%، فأوجد عرضه.
73. يواجه جسيم كمي بطاقة حركية أولية 32.0 eV حاجزًا مربعًا بارتفاع 41.0 eV وعرض 0.25 نانومتر. أوجد احتمال مرور الجسيم عبر هذا الحاجز إذا كان الجسيم
(أ) إلكترون،
(ب) بروتون.
74. يفترض نموذج بسيط للانحلال النووي الإشعاعي أن\(\displaystyle α\) الجسيمات - محاصرة داخل بئر ذات إمكانات نووية وأن الجدران هي حواجز بعرض محدود 2.0 متر وارتفاع 30.0 MeV. أوجد احتمال حفر الأنفاق عبر الحاجز المحتمل للجدار لجسيمات ألفا التي تحتوي على طاقة حركية
(أ) 29.0 ميللي فولت
(ب) 200 ميللي فولت. كتلة\(\displaystyle α\) الجسيم -هي\(\displaystyle m=6.64×10^{−27}kg\).
75. يسقط الميون، وهو جسيم كمي كتلته 200 ضعف كتلة الإلكترون تقريبًا، على حاجز محتمل ارتفاعه 10.0 eV. تبلغ الطاقة الحركية للميون المرتطم 5.5 فولت وحوالي 0.10٪ فقط من السعة المربعة لوظيفة الموجة الواردة تتسرب عبر الحاجز. ما هو عرض الحاجز؟
76. تسقط حبة رمل كتلتها ١٫٠ ميليجرام وطاقة حركتها ١٫٠ جول على حاجز طاقة محتمل بارتفاع 1.000001 J وعرض ٢٥٠٠ نانومترًا. ما عدد حبيبات الرمل التي يجب أن تسقط على هذا الحاجز قبل أن يمر المرء في المتوسط؟
مشاكل إضافية
77. أظهر أنه إذا كان عدم اليقين في موضع الجسيم في ترتيب الطول الموجي لـ de Broglie، فإن عدم اليقين في زخمه يكون بترتيب قيمة زخمه.
78. يتم قياس كتلة\(\displaystyle ρ\) -meson على أساس عدم اليقين بـ\(\displaystyle 100MeV/c^2\).\(\displaystyle 770MeV/c^2\) قم بتقدير عمر هذا الميزون.
79. يقتصر جسيم كتلته m على صندوق بعرض L. إذا كان الجسم في حالة الإثارة الأولى، فما احتمالات العثور على الجسيم في منطقة عرضها 0.020 L حول النقطة المُعطاة x:
(أ)\(\displaystyle x=0.25L\)؛
(ب)\(\displaystyle x=0.40L\);
(ج)\(\displaystyle x=0.75L\)؛
(د)\(\displaystyle x=0.90L\).
80. يوجد جسيم في صندوق [0؛ L] في حالة الإثارة الثالثة. ما هي مواقعه الأكثر احتمالاً؟
81. كرة بلياردو بوزن 0.20 كجم ترتد ذهابًا وإيابًا دون أن تفقد طاقتها بين وسائد طاولة طولها 1.5 متر
(أ) إذا كانت الكرة في حالتها الأرضية، فما عدد السنوات التي تحتاج إليها للانتقال من وسادة إلى أخرى؟ يمكنك مقارنة هذه الفترة الزمنية بعمر الكون.
(ب) ما مقدار الطاقة اللازمة لجعل الكرة تنتقل من حالتها الأرضية إلى حالة الإثارة الأولى؟ قارنها بالطاقة الحركية للكرة التي تتحرَّك بسرعة ٢٫٠ م/ث.
82. أوجد قيمة التوقع لموضع المربع عندما يكون الجسيم الموجود في الصندوق في حالته المثيرة الثالثة وطول الصندوق L.
83. فكر في بئر مربع لا نهائي مع حدود الجدار\(\displaystyle x=0\) و\(\displaystyle x=L\). أظهر أن الدالة\(\displaystyle ψ(x)=Asinkx\) هي الحل لمعادلة Schrdinger الثابتة للجسيم الموجود في صندوق فقط إذا\(\displaystyle k=\sqrt{2mE}/ℏ\). اشرح سبب كون هذه دالة موجة مقبولة فقط إذا كانت k عبارة عن عدد صحيح مضاعف لـ\(\displaystyle π/L\).
84. فكر في بئر مربع لا نهائي مع حدود الجدار\(\displaystyle x=0\) و\(\displaystyle x=L\). اشرح لماذا لا\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx\) تمثل الدالة حلًا لمعادلة Schrdinger الثابتة للجسيم الموجود في صندوق.
85. تهتز الذرات في الشبكة البلورية بحركة توافقية بسيطة. بافتراض أن كتلة ذرة شبكية\(\displaystyle 9.4×10^{−26}kg\) تساوي، ما ثابت قوة الشبكة إذا انتقلت ذرة شبكية من الحالة الأرضية إلى حالة الإثارة الأولى عندما تمتص\(\displaystyle 525-µm\) الفوتون؟
86. يعمل الجزيء ثنائي الذرة مثل المذبذب التوافقي الكمي بقوة ثابتة 12.0 نيوتن/م وكتلته\(\displaystyle 5.60×10^{−26}kg\).
(أ) ما الطول الموجي للفوتون المنبعث عندما ينتقل الجزيء من الحالة المثارة الثالثة إلى الحالة المثارة الثانية؟
(ب) أوجد طاقة الحالة الأرضية للاهتزازات لهذا الجزيء ثنائي الذرة.
87. يواجه إلكترون ذو طاقة حركية 2.0 MeV حاجزًا محتملاً للطاقة يبلغ ارتفاعه 16.0 MeV وعرضه 2.00 nm. ما احتمال ظهور الإلكترون على الجانب الآخر من الحاجز؟
88. يسقط شعاع من البروتونات أحادية الطاقة بطاقة 2.0 MeV على حاجز طاقة محتمل بارتفاع 20.0 MeV وعرض 1.5 fm. ما النسبة المئوية للشعاع الذي ينتقل عبر الحاجز؟
مشاكل التحدي
89. يتصرف إلكترون في جزيء عضوي طويل يُستخدم في ليزر الصبغة تقريبًا مثل جسيم كمي في صندوق بعرض 4.18 nm. ابحث عن الفوتون المنبعث عندما ينتقل الإلكترون من الحالة المثارة الأولى إلى الحالة الأرضية ومن حالة الإثارة الثانية إلى الحالة المثيرة الأولى.
90. في STM، يمكن تحديد ارتفاع الطرف فوق السطح الذي يتم فحصه بدقة كبيرة، لأن تيار الإلكترون النفقي بين ذرات السطح وذرات الطرف حساس للغاية لتغير فجوة الفصل بينهما من نقطة إلى أخرى على طول السطح. بافتراض أن تيار الإلكترون النفقي يتناسب بشكل مباشر مع احتمال حفر الأنفاق وأن احتمال حفر النفق يمثل تقديرًا تقريبيًا جيدًا معبرًا عنه\(\displaystyle e^{−2βL}\) بالدالة الأسية\(\displaystyle β=10.0/nm\)، فأوجد نسبة تيار النفق عندما يكون الطرف أعلى بمقدار 0.500 nm سطح التيار عندما يكون الطرف 0.515 نانومتر فوق السطح.
91. إذا أرادت STM اكتشاف المعالم السطحية ذات الارتفاعات المحلية التي تبلغ 0.00200 نانومتر تقريبًا، فما النسبة المئوية للتغير في تيار الإلكترون النفقي الذي يجب أن تكون إلكترونيات STM قادرة على اكتشافه؟ افترض أن تيار الإلكترون النفقي له خصائص معطاة في المشكلة السابقة.
92. استخدم مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ لتقدير طاقة الحالة الأرضية لجسيم يتذبذب على زنبرك بتردد زاوي\(\displaystyle ω=\sqrt{k/m}\)، حيث k هو ثابت الزنبرك و m هو الكتلة.
93. لنفترض أن المربع اللانهائي يمتد من\(\displaystyle −L/2\) إلى\(\displaystyle +L/2\). حل معادلة Schrdinger المستقلة عن الوقت لإيجاد الطاقات المسموح بها والحالات الثابتة لجسيم كتلته m يقتصر على هذا البئر. ثم أظهر أنه يمكن الحصول على هذه الحلول من خلال إجراء تحويل الإحداثيات\(\displaystyle x'=x−L/2\) للحلول التي تم الحصول عليها للبئر الممتد بين 0 و L.
94. جسيم كتلته m محصور في صندوق بعرض L يكون في أول حالة إثارة له\(\displaystyle ψ_2(x)\).
(أ) ابحث عن متوسط مركزها (وهو القيمة المتوقعة للصفقة).
(ب) أين يوجد الجسيم الأكثر احتمالاً؟