7.S: ميكانيكا الكم (ملخص)
- Page ID
- 196779
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
الشروط الرئيسية
| وظيفة مضادة للتناظر | دالة غريبة |
| تفسير مولود | تنص على أن مربع دالة الموجة هو الكثافة الاحتمالية |
| وظيفة معقدة | وظيفة تحتوي على أجزاء حقيقية وخيالية |
| تفسير كوبنهاغن | ينص على أنه عندما لا ينظر الراصد أو عندما لا يتم إجراء القياس، يكون للجسيم العديد من القيم للكميات القابلة للقياس، مثل الموضع |
| مبدأ المراسلات | في حدود الطاقات الكبيرة، تتفق تنبؤات ميكانيكا الكم مع تنبؤات الميكانيكا الكلاسيكية |
| مستويات الطاقة | حالات الطاقة المحددة، والتي غالبًا ما يتم تمثيلها بخطوط أفقية في مخطط «سلم» الطاقة |
| رقم كمومي للطاقة | فهرس يصف حالات الطاقة المسموح بها |
| مبدأ عدم اليقين في وقت الطاقة | علاقة الطاقة بالوقت لأوجه عدم اليقين في القياسات المتزامنة لطاقة الحالة الكمومية وعمرها |
| وظيفة متساوية | في بُعد واحد، دالة متماثلة مع أصل نظام الإحداثيات |
| قيمة التوقع | متوسط قيمة الكمية الفيزيائية بافتراض وجود عدد كبير من الجسيمات بنفس وظيفة الموجة |
| الانبعاثات الميدانية | انبعاث الإلكترون من أسطح الموصلات عند تطبيق مجال كهربائي خارجي قوي في الاتجاه العادي على سطح الموصل |
| طاقة الأرض | أدنى حالة طاقة في طيف الطاقة |
| مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ | يضع قيودًا على ما يمكن معرفته من القياسات المتزامنة للموضع والزخم؛ ينص على أنه إذا كان عدم اليقين بشأن الموقف صغيرًا، فإن عدم اليقين بشأن الزخم يكون كبيرًا، والعكس صحيح |
| بئر مربع لانهائي | دالة محتملة تساوي صفرًا في نطاق ثابت وتتجاوز هذا النطاق بلا حدود |
| مشغل الزخم | عامل يتوافق مع زخم الجسيم |
| تقنية النانو | التكنولوجيا التي تعتمد على معالجة الهياكل النانوية مثل الجزيئات أو الذرات الفردية لإنتاج أجهزة النانو مثل الدوائر المتكاملة |
| حالة التطبيع | يتطلب أن تؤدي كثافة الاحتمالات المدمجة في الفضاء المادي بأكمله إلى الرقم واحد |
| دالة غريبة | في بُعد واحد، دالة غير متماثلة مع أصل نظام الإحداثيات |
| مشغل الموضع | عامل يتوافق مع موضع الجسيم |
| حاجز محتمل | وظيفة محتملة ترتفع وتنخفض مع زيادة قيم المركز |
| عدد الكم الرئيسي | رقم كمومي للطاقة |
| الكثافة الاحتمالية | مربع دالة الموجة للجسيم |
| النقطة الكمومية | منطقة صغيرة من الكريستال النانوي لأشباه الموصلات المضمنة في بلورة نانوية أخرى من أشباه الموصلات، تعمل كبئر محتمل للإلكترونات |
| النفق الكمومي | ظاهرة تخترق فيها الجسيمات حاجز طاقة محتمل بارتفاع أكبر من الطاقة الكلية للجسيمات |
| نفق الرنين | حفر الإلكترونات عبر بئر محتمل ذو ارتفاع محدود يحدث فقط عندما تتطابق طاقات الإلكترون مع مستوى الطاقة في البئر، يحدث في النقاط الكمومية |
| الصمام الثنائي النفقي بالرنين | نقطة كمية مع تحيز الجهد المطبق عبرها |
| مجهر المسح النفقي (STM) | جهاز يستخدم ظاهرة حفر الأنفاق الكمومية على الأسطح المعدنية للحصول على صور للهياكل النانوية |
| معادلة Schrdinger التي تعتمد على الوقت | معادلة في المكان والزمان تسمح لنا بتحديد وظائف الموجة للجسيم الكمومي |
| معادلة Schrdinger المستقلة عن الوقت | معادلة في الفضاء تسمح لنا بتحديد وظائف الموجة للجسيم الكمومي؛ يجب ضرب وظيفة الموجة هذه بعامل تعديل الوقت للحصول على وظيفة الموجة المعتمدة على الوقت |
| حالة الموجة الدائمة | حالة ثابتة تتأرجح فيها الأجزاء الحقيقية والتخيلية من (x، t) (x، t) لأعلى ولأسفل مثل الموجة الواقفة (غالبًا ما يتم تصميمها بدوال الجيب وجيب التمام) |
| تخفيض الدولة | عملية افتراضية «يقفز فيها الجسيم المرصود أو المكتشف إلى» حالة محددة، غالبًا ما يتم وصفها من حيث انهيار وظيفة الموجة للجسيم |
| حالة ثابتة | الحالة التي لا تختلف فيها دالة الكثافة الاحتمالية في الوقت\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\) |
| عامل تعديل الوقت | عامل\(\displaystyle e^{−iωt}\) يضاعف وظيفة الموجة المستقلة عن الوقت عندما تكون الطاقة الكامنة للجسيم مستقلة عن الوقت |
| احتمال الإرسال | يُطلق عليه أيضًا احتمال حفر الأنفاق، وهو احتمال مرور جسيم عبر حاجز محتمل |
| الصمام الثنائي النفقي | تقاطع نفق الإلكترون بين اثنين من أشباه الموصلات المختلفة |
| احتمالية حفر الأنفاق | يُطلق عليه أيضًا احتمال الإرسال، وهو احتمال مرور جسيم عبر حاجز محتمل |
| دالة الموجة | دالة تمثل الحالة الكمية للجسيم (النظام الكمومي) |
| انهيار دالة الموجة | يعادل تخفيض الدولة |
| حزمة الموجة | تراكب العديد من موجات المادة المستوية التي يمكن استخدامها لتمثيل جسيم موضعي |
المعادلات الرئيسية
| حالة التطبيع في بُعد واحد | \(\displaystyle P(x=−∞,+∞)=∫_{−∞}^∞∣Ψ(x,t)∣^2dx=1\) |
| احتمال العثور على جسيم في فترة ضيقة من الموضع في بُعد واحد\(\displaystyle (x,x+dx)\) | \(\displaystyle P(x,x+dx)=Ψ^∗(x,t)Ψ(x,t)dx\) |
| القيمة المتوقعة للموضع في بُعد واحد | \(\displaystyle ⟨x⟩=∫_{−∞}^∞Ψ^∗(x,t)xΨ(x,t)dx\) |
| مبدأ عدم اليقين بشأن الموقف والزخم لهايزنبرغ | \(\displaystyle ΔxΔp≥\frac{ℏ}{2}\) |
| مبدأ عدم اليقين في وقت الطاقة لهايزنبرغ | \(\displaystyle ΔEΔt≥\frac{ℏ}{2}\) |
| معادلة Schrdinger التي تعتمد على الوقت | \(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2Ψ(x,t)}{∂x^2}+U(x,t)Ψ(x,t)=iℏ\frac{∂Ψ(x,t)}{∂t}\) |
| الشكل العام لوظيفة الموجة لإمكانية مستقلة عن الوقت في بُعد واحد | \(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)e^{−iω}\) |
| معادلة Schrdinger المستقلة عن الوقت | \(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2}+U(x)ψ(x)=Eψ(x)\) |
| معادلة شوردينجر (جسيم حر) | \(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2ψ(x)}{∂x^2}=Eψ(x)\) |
| الطاقات المسموح بها (جسيم في صندوق بطول L) | \(\displaystyle E_n=n^2\frac{π^2ℏ^2}{2mL^2},n=1,2,3,...\) |
| الحالات الثابتة (جسيم في صندوق بطول L) | \(\displaystyle ψ_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sin\frac{nπx}{L},n=1,2,3,...\) |
| دالة الطاقة الكامنة للمذبذب التوافقي | \(\displaystyle U(x)=\frac{1}{2}mω^2x^2\) |
| معادلة Schrdinger (مذبذب توافقي) | \(\displaystyle −\frac{ℏ^{2}}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2}+\frac{1}{2}mω^2x^2ψ(x)=Eψ(x)\) |
| طيف الطاقة | \(\displaystyle E_n=(n+\frac{1}{2})ℏω,n=0,1,2,3,...\) |
| وظائف موجة الطاقة | \(\displaystyle ψ_n(x)=N_ne^{−β^2x^2/2}H_n(βx),n=0,1,2,3,...\) |
| حاجز محتمل | \(\displaystyle U(x)=\begin{cases}0,& \mathrm{when} \: x<0\\ U_0,& \mathrm{when} \: 0≤x≤L\\0,& \mathrm{when} \: x>L\end{cases}\) |
| تعريف معامل الإرسال | \(\displaystyle T(L,E)=\frac{|ψ_{tra}(x)|^2}{|ψ_{in}(x)|^2}\) |
| معلمة في معامل الإرسال | \(\displaystyle β^2=\frac{2m}{ℏ^2}(U_0−E)\) |
| معامل الإرسال، بالضبط | \(\displaystyle T(L,E)=\frac{1}{cosh^2βL+(γ/2)^2sinh^2βL}\) |
| معامل الإرسال، تقريبي | \(\displaystyle T(L,E)=16\frac{E}{U_0}(1−\frac{E}{U_0})e^{−2βL}\) |
ملخص
7.1: وظائف الموجة
- في ميكانيكا الكم، يتم تمثيل حالة النظام الفيزيائي بواسطة دالة الموجة.
- في تفسير بورن، يمثل مربع دالة الموجة للجسيم الكثافة الاحتمالية لإيجاد الجسيم حول موقع معين في الفضاء.
- يجب أولاً تطبيع وظائف الموجة قبل استخدامها لإجراء تنبؤات.
- قيمة التوقع هي متوسط قيمة الكمية التي تتطلب دالة الموجة والتكامل.
7.2: مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ
- ينص مبدأ عدم اليقين في Heisenberg على أنه من المستحيل قياس المكونات x للموضع وزخم الجسيم في وقت واحد بدقة عالية بشكل تعسفي. دائمًا ما يكون ناتج حالات عدم اليقين التجريبية أكبر من أو يساوي\(\displaystyle ℏ/2\).
- لا علاقة لقيود هذا المبدأ بجودة الجهاز التجريبي ولكنها تنشأ في طبيعة المادة الشبيهة بالموجة.
- يعبر مبدأ عدم اليقين في وقت الطاقة عن الملاحظة التجريبية بأن الحالة الكمومية الموجودة فقط لفترة قصيرة لا يمكن أن تحتوي على طاقة محددة.
7.3: معادلة شوردينجر
- معادلة Schrdinger هي المعادلة الأساسية لميكانيكا الكم الموجي. يسمح لنا بعمل تنبؤات حول وظائف الموجة.
- عندما يتحرك جسيم في جهد مستقل عن الوقت، فإن حل معادلة Schrdinger المعتمدة على الوقت هو نتاج دالة موجة مستقلة عن الوقت وعامل تعديل الوقت.
- يمكن تطبيق معادلة Schrdinger على العديد من المواقف المادية.
7.4: الجسيم الكمومي في صندوق
- تُوجد حالات الطاقة للجسيم الكمومي في صندوق من خلال حل معادلة Schrdinger المستقلة عن الوقت.
- لحل معادلة Schrdinger المستقلة عن الوقت لجسيم في صندوق وإيجاد الحالات الثابتة والطاقات المسموح بها، نطلب أن تنتهي الدالة الموجية عند جدار الصندوق.
- يتم تحديد حالات الطاقة للجسيم في صندوق وفهرستها بالرقم الكمي الأساسي.
- تختلف الصورة الكمومية بشكل كبير عن الصورة الكلاسيكية عندما يكون الجسيم في حالة طاقة منخفضة برقم كمي منخفض.
- في حدود الأعداد الكمومية العالية، عندما يكون الجسيم الكمومي في حالة شديدة الإثارة، يتزامن الوصف الكمي للجسيم في صندوق مع الوصف الكلاسيكي، بروح مبدأ المراسلات في بوهر.
7.5: المذبذب التوافقي الكمي
- المذبذب التوافقي الكمي هو نموذج مبني على القياس مع نموذج المذبذب التوافقي الكلاسيكي. وهي تحدد سلوك العديد من الأنظمة الفيزيائية، مثل الاهتزازات الجزيئية أو حزم الموجات في البصريات الكمومية.
- تكون الطاقات المسموح بها للمذبذب الكمومي منفصلة ومتباعدة بشكل متساوٍ. تباعد الطاقة يساوي كمية طاقة بلانك.
- طاقة الحالة الأرضية أكبر من الصفر. وهذا يعني أنه، على عكس المذبذب الكلاسيكي، لا يكون المذبذب الكمومي في حالة راحة أبدًا، حتى في قاع البئر المحتمل، ويخضع لتقلبات كمية.
- تحتوي الحالات الثابتة (حالات الطاقة المحددة) على قيم غير صفرية أيضًا في المناطق الواقعة خارج نقاط التحول الكلاسيكية. عندما تكون في الحالة الأرضية، من المرجح أن يوجد مذبذب كمي حول موضع الحد الأدنى من البئر المحتمل، وهو الموضع الأقل احتمالًا للمذبذب الكلاسيكي.
- بالنسبة للأرقام الكمومية العالية، تصبح حركة المذبذب الكمومي أكثر تشابهًا مع حركة المذبذب الكلاسيكي، وفقًا لمبدأ المراسلات في Bohr.
7.6 النفق الكمي للجسيمات من خلال الحواجز المحتملة
- قد يعبر الجسيم الكمومي الذي يقع على حاجز محتمل بعرض وارتفاع محدودين الحاجز ويظهر على جانبه الآخر. هذه الظاهرة تسمى «الأنفاق الكمومية». ليس لديها نظير كلاسيكي.
- لإيجاد احتمال حفر نفق كمي، نفترض طاقة الجسيم الساقط ونحل معادلة Schrdinger الثابتة لإيجاد وظائف الموجة داخل الحاجز وخارجه. احتمال حفر الأنفاق هو نسبة السعات المربعة للموجة بعد الحاجز إلى الموجة الساقطة.
- تعتمد احتمالية حفر الأنفاق على طاقة الجسيم الساقط بالنسبة لارتفاع الحاجز وعلى عرض الحاجز. ويتأثر بشدة بعرض الحاجز بطريقة أسية غير خطية بحيث يؤدي التغيير الطفيف في عرض الحاجز إلى تغيير كبير بشكل غير متناسب في احتمال الإرسال.
- تتحكم ظواهر الأنفاق الكمومية في التحلل النووي الإشعاعي. يتم استخدامها في العديد من التقنيات الحديثة مثل STM والإلكترونيات النانوية. تسمح لنا STM برؤية الذرات الفردية على الأسطح المعدنية. أحدثت أجهزة الأنفاق الإلكترونية ثورة في الإلكترونيات وتسمح لنا ببناء أجهزة إلكترونية سريعة بأحجام مصغرة.