7.4: معادلة شوردينجر
- Page ID
- 196759
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- وصف الدور الذي تلعبه معادلة Schrdinger في ميكانيكا الكم
- اشرح الفرق بين معادلات Schrdinger المعتمدة على الوقت والمستقلة
- تفسير حلول معادلة شوردينجر
في القسمين السابقين، وصفنا كيفية استخدام دالة الموجة الميكانيكية الكمومية وناقشنا مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ. في هذا القسم، نقدم نظرية كاملة ورسمية لميكانيكا الكم التي يمكن استخدامها لعمل تنبؤات. عند تطوير هذه النظرية، من المفيد مراجعة نظرية الموجة للضوء. بالنسبة للموجة الضوئية،\(E(x,t)\) يخضع المجال الكهربائي للعلاقة
\[\dfrac{\partial^2E}{\partial x^2} = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2E}{\partial t^2}, \label{eq1} \]
\(c\)أين سرعة الضوء\(∂\) ويمثل الرمز مشتقًا جزئيًا. (تذكر من التذبذبات أن المشتق الجزئي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمشتق العادي، ولكنه يتضمن وظائف لأكثر من متغير واحد. عند أخذ المشتق الجزئي للدالة بواسطة متغير معين، تظل جميع المتغيرات الأخرى ثابتة.) تتكون الموجة الضوئية من عدد كبير جدًا من الفوتونات، لذلك\(|E(x,t)|^2\) يمكن تفسير الكمية على أنها كثافة احتمالية للعثور على فوتون واحد في نقطة معينة في الفضاء (على سبيل المثال، على شاشة عرض).
هناك العديد من الحلول لهذه المعادلة. أحد الحلول ذات الأهمية الخاصة هو
\[E(x,t) = A \, \sin \, (kx - \omega t), \label{eq2} \]
أين\(A\) سعة المجال الكهربائي،\(k\) هو رقم الموجة،\(ω\) وهو التردد الزاوي. يؤدي دمج هذه المعادلة مع المعادلة\ ref {eq1} إلى
\[k^2 = \dfrac{\omega^2}{c^2},\label{eq3} \]
وفقًا لمعادلات دي برولي، لدينا\(p=ℏk\) و\(E=ℏω\). يعطي استبدال هذه المعادلات بالمعادلة\ ref {eq3}
\[p = \dfrac{E}{c}, \nonumber \]
أو
\[E = pc. \label{eq5} \]
لذلك، وفقًا لمعادلة الطاقة والزخم العامة لأينشتاين (المعادلة 5.10.26)، تصف المعادلة\ ref {eq5} جسيمًا بكتلة راحة صفرية. هذا يتفق مع معرفتنا بالفوتون.
يمكن عكس هذه العملية. يمكننا أن نبدأ بمعادلة الطاقة والزخم للجسيم ثم نسأل عن معادلة الموجة المقابلة له. معادلة الطاقة والزخم لجسيم غير نسبي في بُعد واحد هي
\[E = \dfrac{p^2}{2m} + U(x,t), \nonumber \]
حيث p هي الزخم، m هي الكتلة، و U هي الطاقة الكامنة للجسيم. تبين أن معادلة الموجة المصاحبة لها هي معادلة رئيسية في ميكانيكا الكم، تسمى معادلة Schrdinger المعتمدة على الوقت.
تُعرف المعادلة التي تصف طاقة وزخم دالة الموجة بمعادلة Schrdinger:
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi \, (x,t)}{\partial x^2} + U \, (x,t) \, \Psi \, (x,t) = i \hbar \dfrac{\partial \Psi \, (x,t)}{\partial t}. \label{SchroDep} \]
كما هو موضح في الطاقة الكامنة وحفظ الطاقة، فإن القوة المؤثرة على الجسيم الموصوفة في هذه المعادلة تُعطى بواسطة
\[F = - \dfrac{\partial U \, (x,t)}{\partial x}. \label{7.24} \]
تلعب هذه المعادلة دورًا في ميكانيكا الكم على غرار قانون نيوتن الثاني في الميكانيكا الكلاسيكية. بمجرد تحديد الطاقة الكامنة للجسيم - أو، بشكل مكافئ، بمجرد تحديد القوة على الجسيم - يمكننا حل هذه المعادلة التفاضلية لدالة الموجة. إن حل معادلة قانون نيوتن الثانية (وهي أيضًا معادلة تفاضلية) في بُعد واحد هو الدالة x (t) التي تحدد مكان وجود الكائن في أي وقت t. يوفر حل معادلة Schrdinger المعتمدة على الوقت أداة - وظيفة الموجة - يمكن استخدامها لتحديد المكان المحتمل أن يكون فيه الجسيم. يمكن كتابة هذه المعادلة أيضًا في بعدين أو ثلاثة أبعاد. غالبًا ما يتطلب حل معادلة Schrdinger التي تعتمد على الوقت مساعدة الكمبيوتر.
ضع في اعتبارك الحالة الخاصة للجسيم الحر. لا يواجه الجسيم الحر أي قوة (\(F = 0\)) .استنادًا إلى المعادلة\ ref {7.24}، يتطلب هذا فقط ذلك
\[U \, (x,t) = U_0 = constant. \label{7.25} \]
من أجل البساطة، وضعنا\(U_0 = 0\). ثم تنخفض معادلة Schrdinger إلى
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi \, (x,t)}{\partial x^2} = i \hbar \dfrac{\partial \Psi \, (x,t)}{\partial t}.\label{7.26} \]
الحل الصحيح لهذه المعادلة هو
\[\Psi \, (x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}.\label{7.27} \]
ليس من المستغرب أن يحتوي هذا الحل على رقم وهمي (\(i = \sqrt{-1}\)) لأن المعادلة التفاضلية نفسها تحتوي على رقم وهمي. ولكن كما تم التأكيد عليه من قبل، تعتمد التنبؤات الكمومية والميكانيكية فقط على\(|\Psi \, (x,t)|^2\) ما ينتج عنه قيم حقيقية تمامًا. لاحظ أن حلول الموجة المستوية الحقيقية\(\Psi \, (x,t) = A \, cos \, (kx - \omega t)\)،\(\Psi \, (x,t) = A \, sin \, (kx - \omega t)\) ولا تخضع لمعادلة شرودنغر. يتم التخلص من إغراء الاعتقاد بأن دالة الموجة يمكن رؤيتها ولمسها والشعور بها في الطبيعة من خلال ظهور رقم وهمي. في نظرية Schrdinger لميكانيكا الكم، فإن دالة الموجة هي مجرد أداة لحساب الأشياء.
إذا كانت وظيفة الطاقة المحتملة (U) لا تعتمد على الوقت، فمن الممكن إظهار ذلك
\[\Psi \, (x,t) = \psi (x) \, e^{-i\omega t} \label{7.28} \]
تفي بمعادلة Schrdinger المعتمدة على الوقت، حيث\(\psi (x)\) توجد دالة مستقلة عن الوقت وe−ite−it دالة مستقلة عن الفضاء. بمعنى آخر، يمكن فصل وظيفة الموجة إلى جزأين: جزء للفضاء فقط وجزء مخصص للوقت فقط. يشار إلى العامل\(e^{-i\omega t}\) أحيانًا كعامل تعديل الوقت لأنه يعدل وظيفة الفضاء فقط. وفقًا لـ de Broglie، يتم إعطاء طاقة موجة المادة من خلال\(E = \hbar \omega\)، حيث E هي طاقتها الإجمالية. وبالتالي، يمكن أيضًا كتابة المعادلة أعلاه كـ
\[\Psi \, (x,t) = \psi (x) \, e^{-iEt/\hbar}. \label{stationary} \]
أي مزيج خطي من هذه الحالات (الحالة المختلطة للطاقة أو الزخم) هو أيضًا حل صالح لهذه المعادلة. يمكن لمثل هذه الحالات، على سبيل المثال، وصف جسيم موضعي (انظر الشكل 7.3.1)
يتحرك جسيم كتلته m على طول المحور x في جهد ناتج عن دالة الطاقة الكامنة\(U(x) = 0.5 m \, \omega^2x^2\). قم بحساب المنتج\(\Psi \, (x,t)^* U(x) \, \Psi \, (x,t)\). عبر عن إجابتك من حيث وظيفة الموجة المستقلة عن الوقت،\(\psi (x)\).
الإجابة:
\(0.5 \, m\omega^2 x^2 \, \psi (x)^* \psi(x)\)
من خلال الجمع بين المعادلة\ ref {stationary} والمعادلة\ ref {SchroDep}، تقلل معادلة شرودنغر المعتمدة على الوقت إلى معادلة Schrdinger المستقلة عن الوقت.
\[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + U \, (x) \, \psi (x) = E \, \psi(x), \label{SchroIndep} \]
\(E\)أين الطاقة الكلية للجسيم (رقم حقيقي).
لاحظ أننا نستخدم «big psi» (\(\Psi\)) لوظيفة الموجة المعتمدة على الوقت و «little psi» (\(\psi\)) لوظيفة الموجة المستقلة عن الوقت. يجب ضرب حل دالة الموجة لهذه المعادلة بعامل تعديل الوقت للحصول على دالة الموجة المعتمدة على الوقت.
في الأقسام التالية، نحل معادلة Schrdinger المستقلة عن الوقت لثلاث حالات: جسيم كمي في صندوق، ومذبذب توافقي بسيط، وحاجز كمي. توفر هذه الحالات دروسًا مهمة يمكن استخدامها لحل الأنظمة الأكثر تعقيدًا. يجب أن تفي\(\psi(x)\) حلول وظيفة الموجة المستقلة عن الوقت بثلاثة شروط:
- \(\psi (x)\)يجب أن تكون وظيفة مستمرة.
- يجب أن يكون المشتق الأول\(\psi(x)\) فيما يتعلق بالفضاء مستمرًا، ما لم\(V (x) = \infty\).\(d\psi (x) /dx\)
- \(\psi (x)\)يجب ألا تتباعد («تفجير») في\(x = \pm \infty\).
الشرط الأول يتجنب القفزات المفاجئة أو الفجوات في وظيفة الموجة. يتطلب الشرط الثاني أن تكون وظيفة الموجة سلسة في جميع النقاط، باستثناء الحالات الخاصة. (في دورة أكثر تقدمًا في ميكانيكا الكم، على سبيل المثال، تُستخدم المسامير المحتملة ذات العمق والارتفاع اللانهائي لنمذجة المواد الصلبة). يتطلب الشرط الثالث أن تكون وظيفة الموجة قابلة للتطبيع. يأتي هذا الشرط الثالث من تفسير بورن لميكانيكا الكم. \(|\psi(x)|^2\)إنه يضمن وجود رقم محدود حتى نتمكن من استخدامه لحساب الاحتمالات.
أي من الدوال الموجية التالية يُعد حلًا صالحًا لدالة الموجة لمعادلة Schrdinger؟
الإجابة:
لا شيء. تحتوي الدالة الأولى على انقطاع؛ المنحنى الثاني ليس حتى دالة - إنها ذات قيمة مزدوجة؛ وتتباعد الوظيفة الثالثة بحيث لا يمكن تطبيعها.