5.E: النسبية (تمارين)
- Page ID
- 196642
أسئلة مفاهيمية
5.1 ثبات القوانين الفيزيائية
1. أي من افتراضات أينشتاين للنسبية الخاصة تتضمن مفهومًا لا يتناسب مع أفكار الفيزياء الكلاسيكية؟ اشرح.
2. هل الأرض إطار مرجعي بالقصور الذاتي؟ هي الشمس؟ برر ردك.
3. عندما تسافر في طائرة تجارية، قد يبدو لك أن الطائرة ثابتة والأرض تتحرك تحتك. هل وجهة النظر هذه صالحة؟ ناقش باختصار.
5.3 تمدد الوقت
4. (أ) هل تؤثر الحركة على معدل الساعة كما يقيسها مراقب يتحرك معها؟
(ب) هل تؤثر الحركة على كيفية قيام الراصد المتحرّك بالنسبة إلى الساعة بقياس معدلها؟
5. لمن يبدو الوقت المنقضي للعملية أطول، أو المراقب الذي يتحرك بالنسبة للعملية أو المراقب الذي يتحرك مع العملية؟ ما الراصد الذي يقيس الفترة الزمنية المناسبة؟
6. (أ) كيف يمكنك السفر بعيدًا في مستقبل الأرض دون أن تتقدم في العمر بشكل كبير؟
(ب) هل يمكن أن تسمح لك هذه الطريقة أيضًا بالسفر إلى الماضي؟
5.4 تقلص الطول
7. لمن يبدو الكائن أكبر في الطول، أو المراقب الذي يتحرك مع الكائن أو المراقب يتحرك بالنسبة إلى الكائن؟ ما الراصد الذي يقيس الطول الصحيح للكائن؟
8. توجد تأثيرات نسبية مثل تمدد الوقت وتقلص الطول للسيارات والطائرات. لماذا تبدو هذه التأثيرات غريبة بالنسبة لنا؟
9. لنفترض أن رائد الفضاء يتحرك بالنسبة إلى الأرض بجزء كبير من سرعة الضوء.
(أ) هل يلاحظ تباطؤ معدل ساعاته؟
(ب) ما التغيير في معدل الساعات الأرضية الذي يراه؟
(ج) هل يبدو له أن سفينته تقصر مدتها؟
(د) ماذا عن المسافة بين نجمين يقعان في اتجاه حركته؟ (ﻫ) هل يتفق هو وراصد موجود على الأرض على سرعته بالنسبة إلى الأرض؟
5.7 تأثير دوبلر للضوء
10. اشرح معنى مصطلحي «التحول الأحمر» و «التحول الأزرق» من حيث صلتهما بتأثير دوبلر النسبي.
11. ماذا يحدث لتأثير دوبلر النسبي عندما تكون السرعة النسبية صفرًا؟ هل هذه هي النتيجة المتوقعة؟
12. هل تأثير دوبلر النسبي يتوافق مع تأثير دوبلر الكلاسيكي في المجال الأكبر\(\displaystyle λ_{obs}\) بالنسبة للحركة بعيدًا؟
13. تُظهر جميع المجرات البعيدة عن حوالي\(\displaystyle 50×10^6\) ly تحولًا أحمر في الضوء المنبعث منها يتناسب مع المسافة، حيث تتعرض تلك المجرات البعيدة والأبعد لتحولات حمراء أكبر تدريجيًا. ماذا يعني هذا، على افتراض أن المصدر الوحيد للتحول الأحمر هو الحركة النسبية؟
5.8 الزخم النسبي
14. كيف تعدل النسبية الحديثة قانون الحفاظ على الزخم؟
15. هل من الممكن لقوة خارجية أن تعمل على النظام والحفاظ على الزخم النسبي؟ اشرح.
5.9 الطاقة النسبية
16. كيف يتم تعديل القوانين الكلاسيكية للحفاظ على الطاقة والحفاظ على الكتلة بواسطة النسبية الحديثة؟
17. ماذا يحدث لكتلة الماء في الوعاء عندما يبرد، بافتراض عدم هروب الجزيئات أو إضافتها؟ هل هذا يمكن ملاحظته في الممارسة؟ اشرح.
18. فكر في تجربة فكرية. يمكنك وضع منطادًا موسعًا من الهواء على موازين الوزن بالخارج في الصباح الباكر. يظل البالون على المقاييس ويمكنك قياس التغيرات في كتلته. هل تتغير كتلة البالون مع تقدم اليوم؟ ناقش الصعوبات في تنفيذ هذه التجربة.
19. تتناقص كتلة الوقود في المفاعل النووي بمقدار يمكن ملاحظته عند إخراج الطاقة. هل ينطبق الأمر نفسه على الفحم والأكسجين مجتمعين في محطة طاقة تقليدية؟ إذا كان الأمر كذلك، فهل يمكن ملاحظة ذلك عمليًا بالنسبة للفحم والأكسجين؟ اشرح.
20. نعلم أن الحد الأعلى لسرعة جسم كتلته يساوي c. هل يوجد حد أعلى لزخمه؟ طاقتها؟ اشرح.
21. بالنظر إلى حقيقة أن الضوء ينتقل بسرعة c، فهل يمكن أن يكون له كتلة؟ اشرح.
22. إذا كنت تستخدم تلسكوبًا أرضيًا لعرض شعاع ليزر على القمر، فيمكنك تحريك البقعة عبر سطح القمر بسرعة أكبر من سرعة الضوء. هل هذا ينتهك النسبية الحديثة؟ (لاحظ أن الضوء يتم إرساله من الأرض إلى القمر، وليس عبر سطح القمر.)
مشاكل
5.3 تمدد الوقت
23. (أ) ماذا\(\displaystyle γ\) لو\(\displaystyle v=0.250c\)؟
(ب) إذا\(\displaystyle v=0.500c\)؟
24. (أ) ماذا\(\displaystyle γ\) لو\(\displaystyle v=0.100c\)؟
(ب) إذا\(\displaystyle v=0.900c\)؟
25. يتم إنتاج الجسيمات التي تسمى\(\displaystyle π\) -mesons بواسطة أشعة مسرعة. إذا كانت هذه الجسيمات تنتقل\(\displaystyle 2.70×10^8m/s\) وتعيش\(\displaystyle 2.60×10^{−8}s\) عند الراحة بالنسبة إلى الراصد، فما المدة التي تستغرقها في الحياة كما تراها في المختبر؟
26. لنفترض أن جسيمًا يسمى الكاون يتكون من إشعاع كوني يضرب الغلاف الجوي. يتحرك بجانبك\(\displaystyle 0.980c\)، ويعيش\(\displaystyle 1.24×10^{−8}s\) عندما يكون في حالة راحة بالنسبة للمراقب. كم من الوقت تعيش كما تلاحظها؟
27. \(\displaystyle π\)الميزون المحايد هو جسيم يمكن إنشاؤه بواسطة أشعة مسرعة. إذا كان أحد هذه الجسيمات يعيش\(\displaystyle 1.40×10^{−16}s\) كما تم قياسه في المختبر،\(\displaystyle 0.840×10^{−16}s\) وعندما يكون في حالة سكون بالنسبة إلى الراصد، فما سرعته بالنسبة للمختبر؟
28. يعيش النيوترون 900 ثانية عندما يكون في حالة راحة بالنسبة إلى الراصد. ما السرعة التي يتحرَّك بها النيوترون بالنسبة إلى مُراصد يقيس عُمره حتى ٢٠٦٥ ثانية؟
29. إذا كانت التأثيرات النسبية أقل من 1٪،\(\displaystyle γ\) فيجب أن تكون أقل من 1.01. ما هي السرعة النسبية\(\displaystyle γ=1.01\)؟
30. إذا كانت التأثيرات النسبية أقل من 3٪،\(\displaystyle γ\) فيجب أن تكون أقل من 1.03. ما هي السرعة النسبية\(\displaystyle γ=1.03\)؟
5.4 تقلص الطول
31. تتحرَّك سفينة فضائية، طولها 200 متر كما تُرى على متنها، بالقرب من الأرض بسرعة 0.970 درجة مئوية. ما طوله الذي تم قياسه بواسطة راصد أرضي؟
32. ما مدى السرعة التي يجب أن تمر بها سيارة رياضية بطول 6.0 أمتار أمامك حتى تظهر بطول 5.5 مترًا فقط؟
33. (أ) إلى أي مدى ينتقل الميون في المثال 5.1 وفقًا للمراقب الأرضي؟
(ب) ما هي المسافة التي تقطعها كما يراها مراقب يتحرك معها؟ اعتمد في الحساب على سرعتها بالنسبة للأرض والوقت الذي تعيش فيه (الوقت المناسب).
(ج) تحقق من ارتباط هاتين المسافتين من خلال تقلص الطول\(\displaystyle γ=3.20\).
34. (أ) كم من الوقت سيعيش الميون في المثال 5.1 كما لوحظ على الأرض إذا كانت سرعته\(\displaystyle 0.0500c\)؟
(ب) إلى أي مدى كانت ستقطع كما رُصدت على الأرض؟
(ج) ما هذه المسافة في إطار الميون؟
35. نتائج غير معقولة تتجه سفينة فضائية مباشرة نحو الأرض بسرعة 0.800 درجة مئوية. يدعي رائد الفضاء على متن الطائرة أنه يستطيع إرسال علبة نحو الأرض عند 1.20 درجة مئوية بالنسبة إلى الأرض.
(أ) احسب السرعة التي يجب أن تكون بها العلبة بالنسبة لسفينة الفضاء.
(ب) ما هو الشيء غير المعقول في هذه النتيجة؟
(ج) ما هي الافتراضات غير المعقولة أو غير المتسقة؟
5.5 تحول لورنتز
36. وصف الأحداث المادية التالية كأحداث، أي في النموذج (x، y، z، t):
(أ) يقرع ساعي البريد جرس باب المنزل بالضبط عند الظهر.
(ب) في نفس الوقت الذي يدق فيه جرس الباب، تخرج شريحة خبز من محمصة تقع على بعد 10 أمتار من الباب في الاتجاه الشرقي من الباب.
(ج) بعد عشر ثوان، تصل طائرة إلى المطار، الذي يبعد 10 كيلومترات عن الباب في الاتجاه الشرقي وكيلومترين إلى الجنوب.
37. وصف ما يحدث للزاوية\(\displaystyle α=tan(v/c)\)، وبالتالي للمحاور المحولة في الشكل 5.17، عندما تقترب السرعة النسبية v لـ S\(\displaystyle S'\) والإطارات المرجعية c.
38. وصف شكل الخط العالمي في مخطط الزمكان لـ
(أ) كائن يظل في وضع ثابت في موضع محدد على طول المحور x؛
(ب) جسم يتحرك بسرعة ثابتة u في اتجاه x؛
(ج) جسم يبدأ عند السكون ويتسارع بمعدل ثابت في اتجاه x الموجب.
39. رجل يقف ثابتًا في محطة قطار يشاهد صبيين يرميان كرة بيسبول في قطار متحرك. لنفترض أن القطار يتحرك شرقًا بسرعة ثابتة تبلغ ٢٠ م/ث وأن أحد الصبيين يرمي الكرة بسرعة ٥ م/ث فيما يتعلق بنفسه تجاه الصبي الآخر، الذي يبعد مسافة ٥ أمتار غربًا عنه. ما سرعة الكرة التي لاحظها الرجل على المحطة؟
40. عند الملاحظة من الشمس في لحظة معينة، يبدو أن الأرض والمريخ يتحركان في اتجاهين متعاكسين بسرعة 108000 كم/ساعة و 86,871 كم/ساعة، على التوالي. ما سرعة المريخ في هذه اللحظة عند ملاحظتها من الأرض؟
41. رجل يجري على طريق مستقيم عمودي على مسار قطار بعيدًا عن المسار بسرعة ١٢ م/ث، ويتحرك القطار بسرعة ٣٠ م/ث بالنسبة للمسار. ما سرعة الرجل بالنسبة للراكب الذي يجلس مستريحًا في القطار؟
42. رجل يركض على طريق مستقيم يبلغ 30 درجة مع مسار القطار. يسير الرجل في الاتجاه على الطريق البعيد عن المسار بسرعة ١٢ م/ث، ويتحرك القطار بسرعة ٣٠ م/ث بالنسبة للمسار. ما سرعة الرجل بالنسبة للراكب الذي يجلس مستريحًا في القطار؟
43. في إطار ثابت بالنسبة لطاولة البلياردو، تضرب كرة بلياردو كتلتها م تتحرك بسرعة v كرة بلياردو أخرى كتلتها م عند السكون. تستقر الكرة الأولى بعد التصادم بينما تنطلق الكرة الثانية بسرعة v في الاتجاه الأصلي لحركة الكرة الأولى. هذا يدل على الحفاظ على الزخم في هذا الإطار.
(أ) الآن، قم بوصف التصادم نفسه من منظور إطار يتحرك بالسرعة v في اتجاه حركة الكرة الأولى.
(ب) هل تم الحفاظ على الزخم في هذا الإطار؟
44. في إطار ثابت بالنسبة لطاولة البلياردو، تتحرَّك كرتان من نفس الكتلة m نحو بعضهما البعض بنفس السرعة v. بعد الاصطدام، تستريح الكرتان.
(أ) إظهار الحفاظ على الزخم في هذا الإطار.
(ب) الآن، قم بوصف التصادم نفسه من منظور إطار يتحرك بالسرعة v في اتجاه حركة الكرة الأولى.
(ج) هل يتم الحفاظ على الزخم في هذا الإطار؟
45. في الإطار S، يتم ملاحظة حدثين: الحدث 1: يتم إنشاء بيون عند الراحة عند الأصل والحدث 2: يتفكك البيون بعد مرور الوقت\(\displaystyle τ\). \(\displaystyle S'\)يتحرك راصد آخر في إطار في الاتجاه الإيجابي على طول المحور السيني الموجب بسرعة ثابتة v ويلاحظ نفس الحدثين في إطاره. تتطابق أصول الإطارين في\(\displaystyle t=t'=0\).
(أ) ابحث عن مواضع وتوقيتات هذين الحدثين في الإطار\(\displaystyle S'\) (أ) وفقًا لتحول غاليليو، و
(ب) وفقًا لتحول لورنتز.
5.6 تحويل السرعة النسبية
46. إذا كانت سفينتان فضائيتان متجهتان مباشرةً نحو بعضهما البعض عند درجة حرارة 0.800 درجة مئوية، فما السرعة التي يجب أن تُطلق بها عبوة من السفينة الأولى للاقتراب من الأخرى عند درجة حرارة 0.999 درجة مئوية كما تراها السفينة الثانية؟
47. يقع كوكبان في مسار تصادمي، يتجهان مباشرة نحو بعضهما البعض عند 0.250 درجة مئوية. تقترب سفينة الفضاء المرسلة من أحد الكواكب من الكوكب الثاني عند 0.750 درجة مئوية كما يراها الكوكب الثاني. ما سرعة السفينة بالنسبة إلى الكوكب الأول؟
48. عندما يُطلَق صاروخ من سفينة فضائية باتجاه سفينة أخرى، فإنه يغادر الأول عند 0.950 درجة مئوية ويقترب من الآخر عند 0.750 درجة مئوية. ما السرعة النسبية للسفينتين؟
49. ما السرعة النسبية لسفينتين فضائيتين إذا أطلقت إحداهما صاروخًا على الأخرى عند 0.750 درجة مئوية ولاحظت الأخرى اقترابها عند 0.950 درجة مئوية؟
50. أثبت أنه بالنسبة لأي سرعة نسبية v بين مراقبين، فإن شعاع الضوء المرسل من أحدهما إلى الآخر سيقترب بسرعة c (بشرط أن تكون v أقل من c، بالطبع).
51. أظهر أنه بالنسبة لأي سرعة نسبية v بين مراقبين، فإن شعاع الضوء المسقط من قبل أحدهما بعيدًا عن الآخر سيتحرك بعيدًا بسرعة الضوء (بشرط أن تكون v أقل من c، بالطبع).
5.7 تأثير دوبلر للضوء
52. يستخدم ضابط دورية الطرق السريعة جهازًا يقيس سرعة المركبات عن طريق ارتداد الرادار عنها وقياس تحول دوبلر. يبلغ تردد الرادار الصادر 100 جيجا هرتز ويكون تردد الصدى العائد أعلى بمقدار 15.0 كيلو هرتز. ما سرعة المركبة؟ لاحظ أن هناك تحولين دوبلر في الأصداء. تأكد من عدم الانتهاء حتى نهاية المشكلة، لأن التأثير صغير.
5.8 الزخم النسبي
53. أوجد كمية حركة نواة هيليوم كتلتها\(\displaystyle 6.68×10^{−27}kg\) تتحرَّك عند ٠٫٢٠٠ درجة مئوية.
54. ما مقدار حركة الإلكترون الذي ينتقل بسرعة 0.980 c؟
55. (أ) أوجد قوة دفع\(\displaystyle 1.00×10^9-kg\) كويكب متجه نحو الأرض بسرعة 30.0 كم/ثانية.
(ب) أوجد نسبة هذا الزخم إلى الزخم الكلاسيكي. (تلميح: استخدم التقريب\(\displaystyle γ=1+(1/2)v^2/c^2\) عند السرعات المنخفضة.)
56. (أ) ما مقدار قوة دفع ساتل وزنه 2000 كجم يدور حول 4 كيلومترات في الثانية؟ (ب) أوجد نسبة هذا الزخم إلى الزخم الكلاسيكي. (تلميح: استخدم التقريب\(\displaystyle γ=1+(1/2)v^2/c^2\) عند السرعات المنخفضة.)
57. ما سرعة الإلكترون الذي مقدار زخمه\(\displaystyle 3.04×10^{−21}kg⋅m/s\)؟ لاحظ أنه يجب حساب السرعة إلى أربعة أرقام على الأقل لمعرفة الفرق عن c.
58. أوجد سرعة بروتون له قوة دفع مقدارها\(\displaystyle 4.48×10^{−19}kg⋅m/s\).
5.9 الطاقة النسبية
59. ما الطاقة المتبقية للإلكترون، بمعلومية كتلته\(\displaystyle 9.11×10^{−31}kg\)؟ أعط إجابتك بالجول و MeV.
60. أوجد طاقة السكون بالجول وMeV لبروتون، بمعلومية كتلته\(\displaystyle 1.67×10^{−27}kg\).
61. إذا كانت الطاقات المتبقية لبروتون ونيوترون (مكونا النواة) هي 938.3 و939.6 MeV، على التوالي، فما الفرق في كتلتها بالكيلوجرامات؟
62. تشير التقديرات إلى أن الانفجار الكبير الذي بدأ الكون قد أطلق\(\displaystyle 10^{68}J\) طاقة. ما عدد النجوم التي يمكن أن يولدها نصف هذه الطاقة، بافتراض أن متوسط كتلة النجم هو\(\displaystyle 4.00×10^{30}kg\)؟
63. ينتج\(\displaystyle 1.00×10^{44}J\) انفجار سوبر نوفا\(\displaystyle 2.00×10^{31}kg\) لنجم طاقة.
(أ) ما عدد الكيلوجرامات من الكتلة التي حُوِّلت إلى طاقة في الانفجار؟
(ب) ما\(\displaystyle Δm/m\) نسبة الكتلة المدمّرة إلى الكتلة الأصلية للنجم؟
64. (أ) باستخدام بيانات من الطاقة الكامنة للنظام، احسب الكتلة المحولة إلى طاقة بانشطار 1.00 كجم من اليورانيوم.
(ب) ما هي نسبة الدمار الشامل إلى الكتلة الأصلية،\(\displaystyle Δm/m\)؟
65. (أ) باستخدام بيانات من الطاقة المحتملة للنظام، احسب كمية الكتلة المحولة إلى طاقة عن طريق دمج 1.00 كجم من الهيدروجين.
(ب) ما هي نسبة الدمار الشامل إلى الكتلة الأصلية،\(\displaystyle Δm/m\)؟
(ج) كيف يمكن مقارنة\(\displaystyle Δm/m\) ذلك بانشطار 1.00 كغم من اليورانيوم؟
66. هناك ما يقرب\(\displaystyle 10^{34}J\) من الطاقة المتاحة من اندماج الهيدروجين في محيطات العالم.
(أ)\(\displaystyle 10^{33}J\) في حالة استخدام هذه الطاقة، ماذا سيكون الانخفاض في كتلة المحيطات؟
(ب) ما مقدار حجم الماء الذي يتوافق معه هذا؟
(ج) التعليق على ما إذا كان هذا يمثل جزءا كبيرا من الكتلة الكلية للمحيطات.
67. تبلغ طاقة كتلة الميون 105.7 MeV، ويتحلل إلى إلكترون وجسيم بلا كتلة.
(أ) إذا تم تحويل كل الكتلة المفقودة إلى طاقة حركية للإلكترون، فابحث عن\(\displaystyle γ\) الإلكترون.
(ب) ما سرعة الإلكترون؟
68. \(\displaystyle π\)الميزون هو جسيم يتحلل إلى ميون وجسيم بلا كتلة. تبلغ طاقة كتلة السكون\(\displaystyle π\) -meson 139.6 mEV، وتبلغ طاقة كتلة الراحة لدى الميزون 105.7 MeV. لنفترض أن\(\displaystyle π\) -meson في حالة سكون وأن كل الكتلة المفقودة تدخل في الطاقة الحركية للميون. ما مدى السرعة التي سيتحرك بها القمر؟
69. (أ) احسب طاقة الحركة النسبية لسيارة وزنها 1000 كجم تتحرك بسرعة 30.0 m/s إذا كانت سرعة الضوء 45.0 m/s فقط.
(ب) أوجد نسبة طاقة الحركة النسبية إلى الطاقة الكلاسيكية.
70. تحلل ألفا هو الاضمحلال النووي الذي تنبعث منه نواة الهيليوم. إذا كانت كتلة نواة الهيليوم تبلغ\(\displaystyle 6.80×10^{−27}kg\) ٥٫٠٠ MeV من طاقة حركتها، فما سرعتها؟
71. (أ) اضمحلال بيتا هو تحلل نووي ينبعث فيه إلكترون. إذا أُعطي الإلكترون 0.750 MeV من طاقة الحركة، فما سرعته؟
(ب) التعليق على كيفية اتساق السرعة العالية مع الطاقة الحركية بالمقارنة مع طاقة كتلة الراحة للإلكترون.
مشاكل إضافية
72. (أ) ما هي السرعة النسبية\(\displaystyle γ=1.50\)؟
(ب) ما هي السرعة النسبية\(\displaystyle γ=100\)؟ ¹= 100؟
73. (أ) ما هي السرعة النسبية\(\displaystyle γ=2.00\)؟
(ب) ما هي السرعة النسبية\(\displaystyle γ=10.0\)؟
74. نتائج غير معقولة (أ) ابحث عن القيمة\(\displaystyle γ\) المطلوبة للحالة التالية. يبلغ قياس مرور الراصد المتجه إلى الأرض 23.9 ساعة، بينما تشير الإشارات الصادرة من مسبار فضائي عالي السرعة إلى مرور 24.0 ساعة على متن الطائرة.
(ب) ما هو الشيء غير المعقول في هذه النتيجة؟
(ج) ما هي الافتراضات غير المعقولة أو غير المتسقة؟
75. (أ) ما هي المدة التي يستغرقها رائد الفضاء في المثال 5.5 للسفر بمعدل 4.30\(\displaystyle 0.99944c\) درجة بالطائرة (حسب قياس الراصد الأرضي)؟
(ب) كم من الوقت يستغرق الأمر وفقًا لرائد الفضاء؟
(ج) تحقق من أن هاتين المرتين مرتبطتان من خلال الامتداد الزمني\(\displaystyle γ=30.00\) كما هو محدد.
76. (أ) ما هي السرعة التي يحتاجها الرياضي للركض\(\displaystyle m\) لسباق 100 عام ليبدو طوله 100 عام؟
(ب) هل الإجابة تتفق مع حقيقة أن الآثار النسبية يصعب ملاحظتها في الظروف العادية؟ اشرح.
77. (أ) ابحث\(\displaystyle γ\) عن قيمة الحالة التالية. يقيس رائد فضاء طول سفينة الفضاء الخاصة به 100 متر، بينما يقيسها مراقب موجود على الأرض ليكون 25.0 مترًا.
(ب) ما سرعة سفينة الفضاء بالنسبة إلى الأرض؟
78. تبلغ الساعة في سفينة الفضاء عُشر معدل تشغيل ساعة مماثلة على الأرض. ما سرعة سفينة الفضاء؟
79. يبلغ معدل ضربات قلب رائد الفضاء 66 نبضة في الدقيقة كما تم قياسها أثناء الفحص البدني على الأرض. يتم قياس معدل ضربات قلب رائد الفضاء عندما يكون في سفينة فضائية تسير بسرعة 0.5 درجة مئوية فيما يتعلق بالأرض بواسطة مراقب (A) في السفينة وبمراقب (B) على الأرض.
(أ) وصف طريقة تجريبية يستطيع من خلالها الراصد B على الأرض تحديد معدل ضربات قلب رائد الفضاء عندما يكون رائد الفضاء في سفينة الفضاء.
(ب) ما هو معدل ضربات قلب رائد الفضاء الذي يبلغ عنه المراقبان ألف وباء؟
80. تتحرك سفينة الفضاء (A) بسرعة c/2 فيما يتعلق بسفينة فضائية أخرى (B). يقوم المراقبون في A و B بتعيين ساعاتهم بحيث يكون للحدث عند (x، y، z، t) لتشغيل الليزر في سفينة الفضاء B إحداثيات (0، 0، 0، 0) في A وأيضًا (0، 0، 0، 0) في B. يقوم مراقب في أصل B بتشغيل الليزر عند تشغيله\(\displaystyle t=0\) وإيقاف تشغيله\(\displaystyle t=τ\) في وقته. ما المدة الزمنية بين التشغيل والإيقاف كما يراها المراقب في A؟
81. نفس المراقبين كما في التمرين السابق، لكننا الآن ننظر إلى حدثين يحدثان في سفينة الفضاء A. يصل الفوتون إلى أصل A في وقته\(\displaystyle t=0\) ويصل فوتون آخر\(\displaystyle (x=1.00m,0,0)\)\(\displaystyle t=0\) في إطار السفينة A.
(أ) أوجد إحداثيات وأوقات الحدثين كما يراها أحد المراقبين في الإطار باء.
(ب) في أي إطار يكون الحدثان متزامنين وفي أي إطار لا يتزامنان؟
82. نفس المراقبين كما في التدريبات السابقة. تم وضع قضيب طوله 1 متر على المحور x في إطار B من الأصل إلى\(\displaystyle (x=1.00m,0,0)\). ما طول القضيب الذي لاحظه راصد في إطار سفينة الفضاء A؟
83. يرى مراقب في أصل الإطار بالقصور الذاتي S مصباحًا ينفجر في\(\displaystyle x=150km,y=15.0km\)\(\displaystyle z=1.00km\) الوقت المناسب\(\displaystyle t=4.5×10^{−4}s\). في أي وقت وموضع في\(\displaystyle S'\) النظام حدث الفلاش، إذا كان\(\displaystyle S'\) يتحرك في اتجاه x المشترك مع S بسرعة\(\displaystyle v=0.6c\)؟
84. يرى راصد حدثين\(\displaystyle 1.5×10^{−8}s\) منفصلين على مسافة 800 متر. ما السرعة التي يجب أن يتحرك بها الراصد الثاني بالنسبة إلى الحدث الأول لرؤية الحدثين يحدثان في آن واحد؟
85. يرى أحد المراقبين الواقفين بجانب خطوط السكة الحديدية برغيين من البرق يضربان طرفي قطار طوله 500 متر في آن واحد في اللحظة التي يمر فيها منتصف القطار بسرعة 50 متر/ثانية، استخدم تحويل لورنتز لإيجاد الوقت بين ضربات البرق كما تم قياسه بواسطة راكب جالس في في منتصف القطار.
86. لوحظ حدثان فلكيان من الأرض يحدثان في وقت يفصل بينهما مسافة 1 ثانية ومسافة منفصلة\(\displaystyle 1.5×10^9m\) عن بعضهما البعض.
(أ) تحديد ما إذا كان الفصل بين الحدثين يشبه المكان أو الزمن.
(ب) حدد ما يعنيه ذلك بشأن ما إذا كان من المتسق مع النسبية الخاصة أن يتسبب حدث ما في الآخر؟
87. لوحظ حدثان فلكيان من الأرض يحدثان في وقت يفصل بينهما 0.30 ثانية ومسافة منفصلة عن بعضهما البعض.\(\displaystyle 2.0×10^9m\) ما السرعة التي يجب أن تنتقل بها مركبة فضائية من موقع حدث إلى آخر لجعل الأحداث تحدث في نفس الوقت عند قياسها في الإطار المرجعي للمركبة الفضائية؟
88. تبدأ المركبة الفضائية من السكون عند نقطة الأصل وتتسارع بمعدل ثابت g، كما يُرى من الأرض، ويُعتبر إطارًا يعمل بالقصور الذاتي، حتى تصل إلى سرعة c/2.
(أ) إثبات أن زيادة الوقت المناسب مرتبطة بالوقت المنقضي في إطار الأرض من خلال:
\[dτ=\sqrt{1−v2^/c^2}dt \nonumber \].
(ب) ابحث عن تعبير للوقت المنقضي للوصول إلى السرعة c/2 كما يظهر في إطار الأرض.
(ج) استخدم العلاقة في (أ) للحصول على تعبير مماثل عن الوقت المناسب المنقضي للوصول إلى c/2 كما هو موضح في المركبة الفضائية، وتحديد نسبة الوقت الذي يُرى من الأرض مع الوقت على المركبة الفضائية للوصول إلى السرعة النهائية.
89. (أ) تنحسر جميع المجرات باستثناء أقرب المجرات من مجرة درب التبانة الخاصة بنا. إذا انحسرت مجرة\(\displaystyle 12.0×10^9ly\) بعيدة عنا عند 0.900 درجة مئوية، فما السرعة بالنسبة إلينا التي يجب أن نرسل بها مسبارًا استكشافيًا للاقتراب من المجرة الأخرى عند 0.990 درجة مئوية كما تم قياسها من تلك المجرة؟
(ب) كم من الوقت سيستغرق المسبار للوصول إلى المجرة الأخرى كما تم قياسها من الأرض؟ قد تفترض أن سرعة المجرة الأخرى تظل ثابتة.
(ج) كم من الوقت سيستغرق إرسال إشارة لاسلكية مرة أخرى؟ (كل هذا ممكن من حيث المبدأ، ولكنه غير عملي.)
90. لنفترض أن سفينة الفضاء المتجهة مباشرة نحو الأرض عند 0.750 درجة مئوية يمكنها إطلاق علبة بسرعة 0.500 درجة مئوية بالنسبة للسفينة.
(أ) ما هي سرعة العلبة بالنسبة إلى الأرض، إذا أُطلقت مباشرة على الأرض؟
(ب) إذا تم تصويره مباشرة بعيدًا عن الأرض؟
91. كرر المشكلة السابقة مع السفينة المتجهة مباشرة بعيدًا عن الأرض.
92. إذا كانت سفينة فضائية تقترب من الأرض بسرعة 0.100 درجة مئوية وأرسلت كبسولة رسائل نحوها عند درجة حرارة 0.100 درجة مئوية بالنسبة إلى الأرض، فما سرعة الكبسولة بالنسبة للسفينة؟
93. (أ) لنفترض أن سرعة الضوء كانت 3000 متر/ثانية فقط، فالمقاتل النفاث الذي يتحرك نحو هدف على الأرض بسرعة 800 متر/ثانية يطلق الرصاص، وتبلغ سرعة كمامة كل منهما 1000 متر/ثانية. ما سرعة الرصاصات بالنسبة للهدف؟
(ب) إذا كانت سرعة الضوء صغيرة إلى هذا الحد، فهل ستلاحظ التأثيرات النسبية في الحياة اليومية؟ ناقش.
94. إذا كانت سرعة المجرة التي تبتعد عن الأرض تبلغ 1000 كم/ثانية وتصدر ضوءًا يبلغ 656 نانومتر من خصائص الهيدروجين (العنصر الأكثر شيوعًا في الكون).
(أ) ما الطول الموجي الذي سنلاحظه على الأرض؟
(ب) ما نوع هذا الإشعاع الكهرومغناطيسي؟ (ج) لماذا تكون سرعة الأرض في مدارها ضئيلة هنا؟
95. يتحرك مسبار فضائي مسرعًا نحو أقرب نجم\(\displaystyle 0.250c\) ويرسل معلومات لاسلكية بتردد بث يبلغ 1.00 جيجا هرتز. ما التردد الذي يتم تلقيه على الأرض؟
96. بالقرب من مركز مجرتنا، يتحرك غاز الهيدروجين بعيدًا عنا مباشرة في مداره حول ثقب أسود. نتلقى إشعاعًا كهرومغناطيسيًا يبلغ 1900 نانومتر ونعلم أنه كان 1875 نانومتر عندما انبعث من غاز الهيدروجين. ما سرعة الغاز؟
97. (أ) احسب سرعة\(\displaystyle 1.00-μg\) جسيم من الغبار له نفس قوة دفع بروتون يتحرَّك بسرعة 0.999 c.
(ب) ماذا تخبرنا السرعة الصغيرة عن كتلة البروتون مقارنة حتى بكمية صغيرة من المادة العيانية؟
98. (أ) احسب\(\displaystyle γ\) البروتون الذي تبلغ قوة الدفع فيه\(\displaystyle 1.00kg⋅m/s\).
(ب) ما هي سرعته؟ تشكل هذه البروتونات مكونًا نادرًا من الإشعاع الكوني ذو الأصول غير المؤكدة.
99. أظهر أن الشكل النسبي لقانون نيوتن الثاني هو
(أ)\(\displaystyle F=m\frac{du}{dt}\frac{1}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\)؛
(ب) أوجد القوة اللازمة لتسريع كتلة مقدارها 1 كجم في 1\(\displaystyle m/s^2\) عندما تتحرك بسرعة c/2.
100. البوزيترون هو نسخة مضادة من الإلكترون، لها نفس الكتلة بالضبط. عندما يلتقي البوزيترون والإلكترون، يتم القضاء عليهما وتحويل كل كتلتهما إلى طاقة.
(أ) أوجد الطاقة المنبعثة، بافتراض وجود طاقة حركية ضئيلة قبل الإبادة.
(ب) إذا أُعطيت هذه الطاقة لبروتون في صورة طاقة حركية، فما سرعته؟
(ج) إذا أُعطيت هذه الطاقة لإلكترون آخر في صورة طاقة حركية، فما سرعتها؟
101. ما مقدار طاقة الحركة في MeV لجسم ميزون يعيش\(\displaystyle 1.40×10^{−16}s\) كما تم قياسه في المختبر، وفي\(\displaystyle 0.840×10^{−16}s\) حالة الراحة بالنسبة إلى الراصد، إذا كانت طاقة الراحة عنده تساوي 135 MeV؟
102. أوجد طاقة الحركة بMeV لنيوترون له عمر مُقاس قدره ٢٠٦٥ ثانية، إذا كانت طاقة سكون هذا النيوترون ٩٣٩,٦ ميجا فولت، وعمر الراحة هو ٩٠٠s.
103. (أ) أظهر ذلك\(\displaystyle (pc)^2/(mc^2)^2=γ^2−1\). هذا يعني أنه بسرعات كبيرة\(\displaystyle pc>>mc^2\).
(ب) هل هي\(\displaystyle E≈pc\) متى\(\displaystyle γ=30.0\)، كما هو الحال بالنسبة لرائد الفضاء الذي تمت مناقشته في المفارقة المزدوجة؟
104. سرعة نيوترون واحد من الأشعة الكونية\(\displaystyle 0.250c\) بالنسبة للأرض.
(أ) ما الطاقة الكلية للنيوترون في MeV؟
(ب) اكتشف زخمها.
(ج) هل\(\displaystyle E≈pc\) في هذه الحالة؟ ناقش من حيث المعادلة الواردة في الجزء (أ) من المشكلة السابقة.
105. ما قيمة\(\displaystyle γ\) البروتون الذي تبلغ طاقته الكتلية 938.3 MeV تتسارع من خلال جهد فعال قدره 1.0 TV (تيرافولت)؟
106. (أ) ما هي إمكانات التسارع الفعالة للإلكترونات في معجل ستانفورد الخطي، إذا كان ذلك\(\displaystyle γ=1.00×10^5\) بالنسبة لها؟
(ب) ما هي طاقتها الإجمالية (تقريبًا نفس الطاقة الحركية في هذه الحالة) في GeV؟
107. (أ) باستخدام بيانات من الطاقة المحتملة للنظام، أوجد الكتلة المدمرة عند إطلاق الطاقة في برميل النفط الخام.
(ب) بالنظر إلى أن هذه البراميل تحتوي على 200 لتر وبافتراض كثافة النفط الخام\(\displaystyle 750kg/m^3\)، ما هي نسبة الكتلة المدمرة إلى الكتلة الأصلية\(\displaystyle Δm/m\)؟
108. (أ) احسب الطاقة المنبعثة من تدمير كتلة مقدارها 1.00 كجم.
(ب) ما عدد الكيلوجرامات التي يمكن رفعها إلى ارتفاع 10.0 كم بواسطة هذه الكمية من الطاقة؟
109. يستخدم مسرع Van de Graaff فرق جهد قدره 50.0 MV لتسريع الجسيمات المشحونة مثل البروتونات.
(أ) ما هي سرعة البروتون المعجل بهذه الإمكانية؟
(ب) إلكترون؟
110. لنفترض أنك تستخدم متوسط الطاقة الكهربائية شهريًا في منزلك.\(\displaystyle 500kW⋅h\)
(أ) ما المدة التي ستستغرقها 1.00 g من الكتلة المحولة إلى طاقة كهربائية بكفاءة تبلغ 38.0%؟
(ب) كم عدد المنازل التي يمكن إمدادها\(\displaystyle 500kW⋅h\) بالمعدل الشهري لمدة عام واحد باستخدام الطاقة المستمدة من التحويل الجماعي الموصوف؟
111. (أ) تقوم محطة الطاقة النووية بتحويل الطاقة من الانشطار النووي إلى كهرباء بكفاءة تبلغ 35.0%. ما مقدار الكتلة التي يتم تدميرها في عام واحد لإنتاج 1000 ميجاوات متواصلة من الطاقة الكهربائية؟
(ب) هل تعتقد أنه سيكون من الممكن ملاحظة فقدان الكتلة هذا إذا كانت الكتلة الكلية للوقود هي\(\displaystyle 10^4kg\)؟
112. تم البحث في الصواريخ التي تعمل بالطاقة النووية لعدة سنوات قبل أن تصبح مخاوف السلامة ذات أهمية قصوى.
(أ) ما هو الجزء من كتلة الصاروخ الذي سيتعين تدميره لإيصاله إلى مدار أرضي منخفض، مع إهمال انخفاض الجاذبية؟ (افترض أن الارتفاع المداري يبلغ 250 كم، واحسب كلاً من الطاقة الحركية (الكلاسيكية) وطاقة الجاذبية الكامنة المطلوبة.)
(ب) إذا كانت كتلة السفينة\(\displaystyle 1.00×10^5kg\) (100 طن)، فما القوة الإجمالية للانفجار النووي بالأطنان من مادة تي إن تي اللازمة؟
113. تنتج الشمس الطاقة بمعدل\(\displaystyle 3.85×10^{26}\) W عن طريق اندماج الهيدروجين. يذهب حوالي 0.7٪ من كل كيلوغرام من الهيدروجين إلى الطاقة المولدة من الشمس.
(أ) ما عدد الكيلوجرامات من الهيدروجين التي تخضع لعملية الاندماج في كل ثانية؟
(ب) إذا كانت نسبة الهيدروجين في الشمس تبلغ 90 في المائة ويمكن أن يخضع نصفها للانصهار قبل أن تتغير طبيعة الشمس، فما المدة التي يمكن أن تنتج فيها الطاقة بمعدلها الحالي؟
(ج) ما عدد الكيلوجرامات من الكتلة التي تفقدها الشمس في الثانية؟
(د) ما هو الجزء من كتلته الذي سيفقده في الوقت الموجود في الجزء (ب)؟
114. أظهر أنه\(\displaystyle E^2−p^2c^2\) بالنسبة للجسيم يكون ثابتًا في ظل تحويلات لورنتز.