5.10: الطاقة النسبية
- Page ID
- 196672
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- اشرح كيف تؤدي نظرية الشغل والطاقة إلى التعبير عن طاقة الحركة النسبية لجسم ما
- أظهر كيفية ارتباط الطاقة النسبية بالطاقة الحركية الكلاسيكية، ويضع حدًا لسرعة أي جسم بكتلته
- وصف كيفية ارتباط الطاقة الكلية للجسيم بكتلته وسرعته
- شرح كيفية ارتباط النسبية بتكافؤ الطاقة والكتلة، وبعض الآثار العملية لتعادل كتلة الطاقة
والتوكاماك في الشكل\(\PageIndex{1}\) هو شكل من أشكال مفاعل الاندماج التجريبي، الذي يمكن أن يغير الكتلة إلى طاقة. المفاعلات النووية هي دليل على العلاقة بين الطاقة والمادة.
يعد الحفاظ على الطاقة أحد أهم القوانين في الفيزياء. لا تحتوي الطاقة على العديد من الأشكال المهمة فحسب، بل يمكن تحويل كل شكل إلى أي شكل آخر. نحن نعلم أنه من الناحية الكلاسيكية، تظل الكمية الإجمالية للطاقة في النظام ثابتة. من الناحية النسبية، لا تزال الطاقة محفوظة، ولكن يجب الآن أخذ تكافؤ كتلة الطاقة في الاعتبار، على سبيل المثال، في التفاعلات التي تحدث داخل مفاعل نووي. يتم تعريف الطاقة النسبية عن قصد بحيث يتم حفظها في جميع الأطر بالقصور الذاتي، تمامًا كما هو الحال بالنسبة للزخم النسبي. ونتيجة لذلك، ترتبط العديد من الكميات الأساسية بطرق غير معروفة في الفيزياء الكلاسيكية. تم التحقق من كل هذه العلاقات من خلال النتائج التجريبية ولها عواقب أساسية. يحتوي التعريف المعدل للطاقة على بعض الأفكار الجديدة الأساسية والمذهلة للطبيعة في التاريخ الحديث.
الطاقة الحركية وحد السرعة النهائي
تنص الفرضية الأولى للنسبية على أن قوانين الفيزياء هي نفسها في جميع الإطارات بالقصور الذاتي. أظهر أينشتاين أن قانون الحفاظ على طاقة الجسيم صالح من الناحية النسبية، ولكن بالنسبة للطاقة المعبر عنها من حيث السرعة والكتلة بطريقة تتفق مع النسبية. فكر أولاً في التعبير النسبي للطاقة الحركية. نستخدم\(u\) السرعة مرة أخرى لتمييزها عن السرعة النسبية\(v\) بين المراقبين. من الناحية الكلاسيكية، ترتبط الطاقة الحركية بالكتلة والسرعة من خلال التعبير المألوف
\[K = \dfrac{1}{2} mu^2. \nonumber \]
يمكن الحصول على التعبير النسبي المقابل للطاقة الحركية من نظرية الشغل والطاقة. تنص هذه النظرية على أن العمل الكلي على النظام يدخل في الطاقة الحركية. على وجه التحديد، إذا كانت القوة، معبرًا عنها بـ
\[\vec{F} = \dfrac{d\vec{p}}{dt} = m\dfrac{d(\gamma \vec{u})}{dt} \nonumber \]
يسرع الجسيم من السكون إلى سرعته النهائية، يجب أن يكون العمل المنجز على الجسيم مساويًا لطاقته الحركية النهائية. في شكل رياضي، للحركة أحادية البعد:
\[\begin{align*} K &= \int Fdx = \int m \dfrac{d}{dt} (\gamma u) dx \nonumber \\[4pt] &= m \int \dfrac{d(\gamma u)}{dt} \dfrac{dx}{dt} \\[4pt] &= m \int u \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{u}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}\right) dt. \end{align*} \nonumber \]
قم بدمج هذا حسب الأجزاء للحصول عليه
\[\begin{align*} K &= \left. \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}\right|_{0}^{u} - m\int \dfrac{u}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}\dfrac{du}{dt}dt \\[4pt] &= \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} - m\int \dfrac{u}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}du \\[4pt] &= \left. \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} - mc^2 (\sqrt{1 - (u/c)^2})\right|_0^u \\[4pt] &= \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} + \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} - m c^2 \\[4pt] &= mc^2 \left[ \dfrac{(u^2/c^2) + 1 - (u^2/c^2)}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}\right] - mc^2 \nonumber \\[4pt] &= \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} - mc^2. \end{align*} \nonumber \]
لذلك، فإن الطاقة الحركية النسبية لأي جسيم من الكتلة\(m\) هي
\[K_{rel} = (\gamma - 1)mc^2. \label{RKE} \]
عندما يكون الجسم بلا حراك، تكون سرعته\(u = 0\) و
\[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}} = 1 \nonumber \]
بحيث تكون\(K_{rel} = 0\) في حالة راحة، كما هو متوقع. ومع ذلك، فإن التعبير عن الطاقة الحركية النسبية (مثل الطاقة الكلية وطاقة الراحة) لا يشبه إلى حد كبير التعبير الكلاسيكي\(\dfrac{1}{2} mu^2\). ولتوضيح أن التعبير الذي\(K_{rel}\) يساوي التعبير الكلاسيكي للطاقة الحركية عند السرعات المنخفضة، نستخدم التوسعة ذات الحدين للحصول على تقدير تقريبي للقيمة\((1 + ε)^n\) للصغير\(ε\):
\[(1 + ε)^n = 1 + nε + \dfrac{n(n−1)}{2!}ε^2 + \dfrac{n(n−1)(n−2)}{3!}ε^3 +⋯ ≈ 1 + nε \nonumber \]
من خلال إهمال المصطلحات الصغيرة جدًا\(ε^2\) والقوى العليا لـ\(ε\). \(n = -\dfrac{1}{2}\)يؤدي الاختيار\(ε = −u^2/c^2\) إلى استنتاج مفاده أنه\(\gamma\) عند السرعات غير النسبية، عندما\(ε = u/c\) تكون صغيرة، ترضي
\[\gamma = (1 - u^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{u^2}{c^2}\right). \nonumber \]
التوسعة ذات الحدين هي طريقة للتعبير عن كمية جبرية في صورة مجموع سلسلة لا نهائية من الحدود. في بعض الحالات، كما هو الحال في الحد الأقصى للسرعة الصغيرة هنا، تكون معظم المصطلحات صغيرة جدًا. وبالتالي، فإن التعبير المشتق هنا\(\gamma\) ليس دقيقًا، ولكنه تقريب دقيق جدًا. لذلك، بسرعة منخفضة:
\[\gamma - 1 \approx \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{u^2}{c^2}\right). \nonumber \]
إدخال هذا في التعبير عن الطاقة الحركية النسبية (المعادلة\ ref {RKE}) يعطي
\[\begin{align*} K_{rel} &\approx \left[\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{u^2}{c^2}\right)\right] mc^2 \\[4pt] &\approx \dfrac{1}{2} mu^2 \\[4pt] &\approx K_{class}. \end{align*} \nonumber \]
أي أن الطاقة الحركية النسبية تصبح نفس الطاقة الحركية الكلاسيكية عندما\(u \ll c\).
بل إن الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو التحقق مما يحدث للطاقة الحركية عندما تقترب سرعة الجسم من سرعة الضوء. نحن نعلم أن هذا\(\gamma\) يصبح غير محدود مع\(u\) اقتراب الوقت\(c\)، بحيث يصبح\(K_{rel}\) أيضًا غير محدود مع اقتراب السرعة من سرعة الضوء (الشكل\(\PageIndex{2}\)). الزيادة في\(K_{rel}\) أكبر بكثير منها\(K_{class}\) مع\(v\) اقتراب\(c\). مطلوب قدر لا نهائي من العمل (وبالتالي كمية لا حصر لها من مدخلات الطاقة) لتسريع الكتلة إلى سرعة الضوء.
لا يمكن لأي جسم ذو كتلة أن يصل إلى سرعة الضوء.
سرعة الضوء هي الحد الأقصى للسرعة لأي جسيم له كتلة. كل هذا يتوافق مع حقيقة أن السرعات الأقل من c تضيف دائمًا إلى أقل من\(c\). تم تأكيد كل من الشكل النسبي للطاقة الحركية والحد الأقصى للسرعة\(c\) بالتفصيل في العديد من التجارب. بغض النظر عن مقدار الطاقة التي يتم تسخيرها لتسريع الكتلة، فإن سرعتها يمكن أن تقترب فقط من سرعة الضوء ولا تصل إليها.
الإلكترون له سرعة\(v = 0.990 c\).
- احسب طاقة الحركة بMeV للإلكترون.
- قارن ذلك بالقيمة الكلاسيكية للطاقة الحركية بهذه السرعة. (كتلة الإلكترون هي\(9.11 \times 10^{-31}kg\).)
إستراتيجية
دائمًا ما يكون التعبير عن الطاقة الحركية النسبية صحيحًا، ولكن بالنسبة إلى (أ)، يجب استخدامه لأن السرعة نسبية للغاية (قريبة من\(c\)). أولاً، نحسب العامل النسبي\(\gamma\)، ثم نستخدمه لتحديد الطاقة الحركية النسبية. بالنسبة إلى (b)، نحسب الطاقة الحركية الكلاسيكية (التي ستكون قريبة من القيمة النسبية إذا\(v\) كانت أقل من بضعة بالمائة\(c\)) ونرى أنها ليست هي نفسها.
حل لـ (أ)
- التعرف على الأشياء المعروفة:\(v = 0.990c\)؛\(m = 9.11 \times 10^{-31}kg\)
- حدد المجهول:\(K_{rel}\).
- عبِّر عن الإجابة في صورة معادلة:\(K_{rel} = (\gamma - 1)mc^2\) باستخدام\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}.\)
- قم بالحساب. احسب أولاً\(\gamma\). احتفظ بأرقام إضافية لأن هذا حساب وسيط:\[\begin{align*} \gamma &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \nonumber \\[4pt] &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{(0.990c)^2}{c^2}}} \nonumber \\[4pt] &= 7.0888. \end{align*} \nonumber \] الآن استخدم هذه القيمة لحساب الطاقة الحركية (المعادلة\ ref {RKE}):
\[\begin{align*} K_{rel} &= (\gamma - 1)mc^2 \nonumber \\[4pt] &= (7.0888 - 1)(9.11 \times 10^{-31}\, kg)(3.00 \times 10^8\, m/s^2) \nonumber \\[4pt] &= 4.9922 \times 10^{−13}\, J \end{align*} \nonumber \]
- تحويل الوحدات:
\[\begin{align*} K_{rel} &= (4.9922 \times 10^{−13}\, J) \left(\dfrac{1\, MeV}{1.60 \times 10^{−13} J}\right) \\[4pt] &= 3.12\, MeV.\end{align*} \nonumber \]
حل لـ (ب)
- قائمة بالمعروف:\(v = 0.990c\);\(m = 9.11 \times 10^{−31}kg\).
- ضع قائمة بالمجهول:\(K_{rel}\)
- عبِّر عن الإجابة في صورة معادلة:
- قم بالحساب:
\[\begin{align*} K_{class} &= \dfrac{1}{2} mu^2 \\[4pt] &= \dfrac{1}{2} (9.11 \times 10^{-31} kg)(0.990)^2(3.00 \times 10^8\, m/s)^2 \\[4pt] &= 4.0179 \times 10^{−14}J.\end{align*} \nonumber \]
- تحويل الوحدات:
\[\begin{align*} K_{class} &= 4.0179 \times 10^{-14} J \left(\dfrac{1\, MeV}{1.60 \times 10^{-13} J}\right) \\[4pt] &= 0.251\, MeV.\end{align*} \nonumber \]
الدلالة
كما هو متوقع، نظرًا لأن السرعة تبلغ 99.0٪ من سرعة الضوء، فإن الطاقة الحركية الكلاسيكية تختلف اختلافًا كبيرًا عن القيمة النسبية الصحيحة. لاحظ أيضًا أن القيمة الكلاسيكية أصغر بكثير من القيمة النسبية. في الواقع،\(K_{rel}/K_{class} = 12.4\) في هذه الحالة. يوضح هذا مدى صعوبة تحريك الكتلة بالقرب من سرعة الضوء. هناك حاجة إلى طاقة أكثر بكثير مما كان متوقعًا بشكل كلاسيكي. هناك حاجة إلى كميات متزايدة من الطاقة لجعل سرعة الكتلة أقرب قليلاً إلى سرعة الضوء. الطاقة التي تبلغ 3 MeV هي كمية صغيرة جدًا للإلكترون، ويمكن تحقيقها باستخدام مسرعات الجسيمات الحالية. يمكن لـ SLAC، على سبيل المثال، تسريع الإلكترونات إلى الأعلى\(50 \times 10^9 eV = 50,000\, MeV\).
هل هناك أي فائدة في جعل v أقرب قليلاً إلى c من 99.0٪ أو 99.9٪؟ الجواب هو نعم. نحن نتعلم الكثير من خلال القيام بذلك. يمكن تحويل الطاقة التي تدخل إلى كتلة عالية السرعة إلى أي شكل آخر، بما في ذلك إلى جزيئات جديدة تمامًا. في مصادم الهدرونات الكبير في الشكل\(\PageIndex{1}\)، تتسارع الجسيمات المشحونة قبل الدخول إلى الهيكل الشبيه بالحلقة. هناك، يتم تسريع شعاعين من الجسيمات إلى سرعتهما النهائية البالغة حوالي 99.7٪ من سرعة الضوء في اتجاهين متعاكسين، ويتم صنعهما للتصادم، مما ينتج أنواعًا جديدة تمامًا من الجسيمات. لقد تم تعلم معظم ما نعرفه عن البنية التحتية للمادة وجمع الجسيمات الغريبة قصيرة العمر في الطبيعة بهذه الطريقة. تشير الأنماط في خصائص هذه الجسيمات غير المعروفة سابقًا إلى بنية تحتية أساسية لجميع المواد. ستتم مناقشة هذه الجسيمات وبعض خصائصها في فصل لاحق عن فيزياء الجسيمات.
إجمالي الطاقة النسبية
يمكن إعادة ترتيب تعبير الطاقة الحركية إلى:
\[\begin{align*} E &= \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \\[4pt] &= K + mc^2. \end{align*} \nonumber \]
جادل أينشتاين في مقال منفصل، نُشر أيضًا لاحقًا في عام 1905، أنه إذا تغيرت طاقة الجسيم\(\Delta E\)، فإن كتلته تتغير بمقدار\(\Delta m = \Delta E/C^2\). تؤكد الأدلة التجريبية الوفيرة منذ ذلك الحين أنها\(mc^2\) تتوافق مع الطاقة التي يمتلكها جسيم الكتلة\(m\) عند الراحة. على سبيل المثال، عندما يتحلل البيون المحايد ذو الكتلة\(m\) أثناء الراحة إلى فوتونين، يكون للفوتونات كتلة صفرية ولكن يُلاحظ أن طاقتها الإجمالية تقابل البيون.\(mc^2\) وبالمثل، عندما\(m\) يتحلل جسيم من الكتلة إلى جسيمين أو أكثر بكتلة إجمالية أصغر، فإن الطاقة الحركية المرصودة المنقولة إلى منتجات الاضمحلال تتوافق مع انخفاض الكتلة. وبالتالي،\(E\) هي الطاقة النسبية الكلية للجسيم،\(mc^2\) وهي طاقة الراحة.
إجمالي الطاقة (\(E\)) للجسيم هو
\[E = \gamma mc^2 \nonumber \]
أين\(m\) الكتلة،\(c\) هي سرعة الضوء\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}}\)،\(u\) وهي سرعة الكتلة بالنسبة للراصد.
طاقة الراحة للكائن هي
\[E_0 = mc^2. \label{rest energy} \]
المعادلة\ ref {rest energy} هي الشكل الصحيح لمعادلة أينشتاين الأكثر شهرة، والتي أظهرت لأول مرة أن الطاقة مرتبطة بكتلة جسم في حالة سكون. على سبيل المثال، إذا تم تخزين الطاقة في الكائن، تزداد كتلة الراحة. هذا يعني أيضًا أنه يمكن تدمير الكتلة لإطلاق الطاقة. إن الآثار المترتبة على هاتين المعادلتين الأوليين فيما يتعلق بالطاقة النسبية واسعة جدًا لدرجة أنه لم يتم التعرف عليها تمامًا لبضع سنوات بعد أن نشرها أينشتاين في عام 1905، ولم يكن الدليل التجريبي على صحتها معروفًا على نطاق واسع في البداية. تجدر الإشارة إلى أن أينشتاين قد فهم ووصف معاني وآثار نظريته.
احسب طاقة الراحة لكتلة مقدارها ١٫٠٠ جم.
إستراتيجية
الجرام الواحد عبارة عن كتلة صغيرة - أقل من نصف كتلة الفلس الواحد. يمكننا ضرب هذه الكتلة، بوحدات SI، في سرعة مربع الضوء لإيجاد طاقة الراحة المكافئة.
الحل
- التعرف على الأشياء المعروفة:\(m = 1.00 \times 10^{-3} kg\)؛\(c = 3.00 \times 10^8 m/s\).
- حدد المجهول:\(E_0\).
- عبّر عن الإجابة كمعادلة:\(E_0 = mc^2\).
- قم بالحساب:
\[E_0 = mc^2 = (1.00 \times 10^{-3} kg) (3.00 \times 10^8 m/s)^2 = 9.00 \times 10^{13} kg \cdot m^2/s^2. \nonumber \]
- تحويل الوحدات. مع ملاحظة أننا\(1\, kg \cdot m^2/s^2 = 1\, J\) نرى أن الطاقة المتبقية هي:
\[E_0 = 9.00 \times 10^{13}\, J. \nonumber \]
الدلالة
هذه كمية هائلة من الطاقة لكتلة 1.00-g. طاقة الراحة كبيرة لأن سرعة الضوء c هي رقم كبير\(c^2\) وهي رقم كبير جدًا، لذا\(mc^2\) فهي ضخمة لأي كتلة مجهرية. تبلغ طاقة الكتلة\(9.00 \times 10^{13} J\) الباقية لـ 1.00 g حوالي ضعف الطاقة المنبعثة من قنبلة هيروشيما الذرية وحوالي 10000 مرة من الطاقة الحركية لحاملة طائرات كبيرة.
اليوم، أصبحت التطبيقات العملية لتحويل الكتلة إلى شكل آخر من أشكال الطاقة، كما هو الحال في الأسلحة النووية ومحطات الطاقة النووية، معروفة جيدًا. لكن الأمثلة كانت موجودة أيضًا عندما اقترح أينشتاين لأول مرة الشكل الصحيح للطاقة النسبية، وقد وصف بعضًا منها. وقد تم اكتشاف الإشعاع النووي في العقد الماضي، وكان الغموض يكتنف مصدر الطاقة. كان التفسير هو أنه في بعض العمليات النووية، يتم تدمير كمية صغيرة من الكتلة وإطلاق الطاقة ونقلها بواسطة الإشعاع النووي. لكن كمية الدمار الشامل صغيرة جدًا بحيث يصعب اكتشاف أي منها مفقودًا. على الرغم من أن أينشتاين اقترح هذا كمصدر للطاقة في الأملاح المشعة التي كانت قيد الدراسة، فقد مرت سنوات عديدة قبل أن يكون هناك اعتراف واسع بأن الكتلة يمكن أن تتحول، وفي الواقع، عادة ما يتم تحويلها إلى طاقة (الشكل\(\PageIndex{4}\)).
نظرًا للعلاقة بين طاقة الراحة والكتلة، فإننا نعتبر الكتلة الآن شكلاً من أشكال الطاقة بدلاً من شيء منفصل. لم يكن هناك حتى تلميح لهذا قبل عمل أينشتاين. من المعروف الآن أن تكافؤ كتلة الطاقة هو مصدر طاقة الشمس، وطاقة التحلل النووي، وحتى أحد مصادر الطاقة التي تحافظ على حرارة باطن الأرض.
الطاقة المخزنة والطاقة المحتملة
ماذا يحدث للطاقة المخزنة في جسم في حالة سكون، مثل الطاقة التي يتم وضعها في البطارية عن طريق شحنها، أو الطاقة المخزنة في الزنبرك المضغوط لمسدس الألعاب؟ تصبح مدخلات الطاقة جزءًا من إجمالي طاقة الجسم وبالتالي تزيد من كتلة الراحة. تصبح كل الطاقة المخزنة والمحتملة كتلة في النظام. في تناقض ظاهر، كان مبدأ الحفاظ على الكتلة (بمعنى أن الكتلة الكلية ثابتة) أحد القوانين العظيمة التي تم التحقق منها بواسطة علم القرن التاسع عشر. لماذا لم يتم ملاحظة أنها غير صحيحة؟ يساعد المثال التالي في الإجابة على هذا السؤال.
تم تصنيف بطارية السيارة لتكون قادرة على نقل 600 أمبير في الساعة\((A \cdot h)\) من الشحن عند 12.0 فولت.
- احسب الزيادة في كتلة الراحة لهذه البطارية عندما يتم تحويلها من مرحلة النضوب الكامل إلى مرحلة الشحن الكامل، بافتراض عدم دخول أي من المواد الكيميائية المتفاعلة إلى البطارية أو مغادرتها.
- ما النسبة المئوية للزيادة هذه، بالنظر إلى أن كتلة البطارية تساوي ٢٠٫٠ كجم؟
إستراتيجية
في الجزء (أ)، يجب علينا أولاً العثور على الطاقة المخزنة كطاقة كيميائية\(E_{batt}\) في البطارية، والتي تساوي الطاقة الكهربائية التي يمكن أن توفرها البطارية. لأنه\(E_{batt} = qV\) يتعين علينا حساب الشحنة\(q\)\(600\, A \cdot h\)، وهي نتاج التيار\(I\) والوقت\(t\). ثم نضرب النتيجة في 12.0 فولت، ويمكننا بعد ذلك حساب زيادة كتلة البطارية باستخدام\(E_{batt} = (\Delta m)c^2\). الجزء (ب) عبارة عن نسبة بسيطة يتم تحويلها إلى نسبة مئوية.
حل لـ (أ)
- التعرف على الأشياء المعروفة:\[I \cdot t = 600\, A \cdot h;\, V = 12.0\, V;\, c = 3.00 \times 10^8\, m/s. \nonumber \]
- حدد المجهول:\(\Delta m\).
- عبِّر عن الإجابة في صورة معادلة:\[\begin{align*} E_{batt} &= (\Delta m)c^2 \\[4pt] \Delta m &= \dfrac{E_{batt}}{c^2} \\[4pt] &= \dfrac{qV}{c^2} \\[4pt] &= \dfrac{(It)V}{c^2}.\end{align*} \nonumber \]
- قم بالحساب:\[\Delta m = \dfrac{(600\, A \cdot h)(12.0\, V)}{(3.00 \times 10^8)^2}. \nonumber \]
- اكتب الأمبير A في صورة كولومبات في الثانية (C/s)، وقم بتحويل الساعات إلى ثوانٍ:
\[\begin{align*}\Delta m &= \dfrac{(600\, C/s \cdot h)\left(\dfrac{3600\, s}{1\, h}\right)(12.0\, J/C)}{(3.00 \times 10^8\, m/s)^2} \\[4pt] &= 2.88 \times 10^{-10}\, kg. \end{align*} \nonumber \]
حيث استخدمنا التحويل\(1\, kg \cdot m^2/s^2 = 1\, J.\).
حل لـ (ب)
بالنسبة للجزء (ب):
- التعرف على الأشياء المعروفة:\(\delta m = 2.88 \times 10^{-10}kg\)؛\(m = 20.0\, kg\).
- حدد المجهول: النسبة المئوية للتغيير.
- عبِّر عن الإجابة في صورة معادلة:\[\%\, increase = \dfrac{\delta m}{m} \times 100\%. \nonumber \]
- قم بالحساب:
\[\begin{align*} \%\, increase &= \dfrac{\Delta m}{m} \times 100\% \\[4pt] &= \dfrac{2.88 \times 10^{-10}\, kg}{20.0\, kg} \times 100\% \\[4pt] &= 1.44 \times 10^{-9} \% \end{align*} \nonumber \]
الدلالة
كل من الزيادة الفعلية في الكتلة والزيادة في النسبة المئوية صغيرتان جدًا، لأن الطاقة مقسمة على عدد كبير جدًا.\(c^2\) يجب أن نكون قادرين على قياس كتلة البطارية بدقة تبلغ مليار جزء من المائة، أو جزء واحد\(10^{11}\)، لملاحظة هذه الزيادة. لا عجب في عدم ملاحظة التباين الشامل بسهولة. في الواقع، هذا التغيير في الكتلة صغير جدًا لدرجة أننا قد نتساءل كيف يمكن لأي شخص التحقق من أنه حقيقي. تكمن الإجابة في العمليات النووية التي تكون فيها نسبة الدمار الشامل كبيرة بما يكفي ليتم قياسها بدقة. كتلة وقود المفاعل النووي، على سبيل المثال، تكون أصغر بشكل ملحوظ عند استخدام طاقته. في هذه الحالة، تم إطلاق الطاقة المخزنة (تم تحويلها في الغالب إلى طاقة حرارية لتشغيل المولدات الكهربائية) وانخفضت الكتلة المتبقية. يحدث انخفاض في الكتلة أيضًا من استخدام الطاقة المخزنة في البطارية، باستثناء أن الطاقة المخزنة أكبر بكثير في العمليات النووية، مما يجعل التغيير في الكتلة قابلاً للقياس عمليًا ونظريًا.
الطاقة النسبية والزخم
نحن نعلم بشكل كلاسيكي أن الطاقة الحركية والزخم مرتبطان ببعضهما البعض، للأسباب التالية:
\[K_{class} = \dfrac{p^2}{2m} = \dfrac{(mu)^2}{2m} = \dfrac{1}{2}mu^2. \nonumber \]
من الناحية النسبية، يمكننا الحصول على علاقة بين الطاقة والزخم من خلال التلاعب جبريًا بمعادلاتهما المحددة. ينتج هذا:
\[E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2, \label{5.11} \]
\(E\)أين الطاقة الكلية النسبية،
\[E = \dfrac{mc^2 }{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \nonumber \]
\(p\)وهو الزخم النسبي. هذه العلاقة بين الطاقة النسبية والزخم النسبي أكثر تعقيدًا من النسخة الكلاسيكية، ولكن يمكننا الحصول على بعض الأفكار الجديدة المثيرة للاهتمام من خلال فحصها. أولاً، ترتبط الطاقة الإجمالية بالزخم وكتلة الراحة. في حالة السكون، يكون الزخم صفرًا، وتعطي المعادلة إجمالي الطاقة لتكون طاقة الراحة\(mc^2\) (لذلك تتوافق هذه المعادلة مع مناقشة طاقة الراحة أعلاه). ومع ذلك، مع تسارع الكتلة،\(p\) يزداد زخمها، وبالتالي يزيد إجمالي الطاقة. عند السرعات العالية بما فيه الكفاية،\((mc^2)^2\) يصبح مصطلح الطاقة المتبقية ضئيلًا مقارنة بمصطلح الزخم\((pc)^2\)؛ وبالتالي،\(E = pc\) بسرعات نسبية للغاية.
إذا اعتبرنا\(p\) أن الزخم يختلف عن الكتلة، فيمكننا تحديد الآثار المترتبة على المعادلة
\[E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2, \nonumber \]
لجسيم ليس له كتلة. إذا اعتبرنا\(m\) صفرًا في هذه المعادلة، إذن\(E = pc,\, orp = E/c\). تمتلك الجسيمات عديمة الكتلة هذا الزخم. هناك العديد من الجسيمات عديمة الكتلة الموجودة في الطبيعة، بما في ذلك الفوتونات (وهي حزم من الإشعاع الكهرومغناطيسي). معنى آخر هو أن الجسيم عديم الكتلة يجب أن ينتقل بسرعة c وفقط بسرعة c. يقع فحص العلاقة في المعادلة\(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) بالتفصيل خارج نطاق هذا النص، ولكن يمكنك أن ترى أن العلاقة لها آثار مهمة في النسبية الخاصة.
ما طاقة حركة الإلكترون إذا كانت سرعته\(0.992c\)؟
- إجابة
-
\[ \begin{align*} K_{rel} &= (\gamma - 1)mc^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}} - 1 \right) mc^2 \nonumber \\[4pt] &= \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{(0.992 c)^2}{c^2}}} - 1 \right) (9.11 \times 10^{-31}\, kg)(3.00 \times 10^8\, m/s)^2 \nonumber \\[4pt] &= 5.67 \times 10^{-13}\, J \end{align*} \nonumber \]