Skip to main content
Global

5.A: النسبية (الإجابات)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    196674

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    تحقق من فهمك

    5.1. تنطبق النسبية الخاصة فقط على الأجسام التي تتحرك بسرعة ثابتة، بينما تنطبق النسبية العامة على الأجسام التي تخضع للتسارع.

    5.2. \(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{(0.650c)^2}{c^2}}}=1.32\)

    5.3. أ\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{2.10×10^{−8}s}{\sqrt{1−\frac{(1.90×10^8m/s)^2}{(3.00×10^8m/s)^2}}}=2.71×10^{−8}s\).

    ب- لا يهم سوى السرعة النسبية للمركبتين الفضائيتين لأنه لا توجد حركة مطلقة عبر الفضاء. تنبعث الإشارة من موقع ثابت في الإطار المرجعي لـ A، وبالتالي فإن الفاصل الزمني المناسب لانبعاثها هو\(\displaystyle τ=1.00s\). يتم بعد ذلك تحديد مدة الإشارة المقاسة من الإطار المرجعي B

    \(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1.00s}{\sqrt{1−\frac{(4.00×10^7m/s)^2}{(3.00×10^8m/s)^2}}}=1.01s\).

    5.4. \(\displaystyle L=L_0\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}=(2.50km)\sqrt{1−\frac{(0.750c)^2}{c^2}}=1.65km\)

    5.5. ابدأ بتعريف الزيادة الزمنية المناسبة:

    \(\displaystyle dτ=\sqrt{−(ds)^2/c^2}=\sqrt{dt^2−(dx^2+dx^2+dx^2)/c^2}\).

    حيث\(\displaystyle (dx, dy, dx, cdt)\) يتم قياسها في إطار القصور الذاتي لمراقب لا يرى بالضرورة هذا الجسيم في حالة سكون. لذلك يصبح هذا

    \(\displaystyle d_τ=\sqrt{−(ds)^2/c^2}=\sqrt{dt^2−[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]/c^2}\)

    \(\displaystyle =dt\sqrt{1−[(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2]/c^2}\)

    \(\displaystyle =dt\sqrt{1−v^2/c^2}\)

    \(\displaystyle dt=γdτ\).

    5.6. على الرغم من أن الإزاحات العمودية على الحركة النسبية هي نفسها في كلا الإطارين المرجعيين، فإن الفاصل الزمني بين الأحداث يختلف،\(\displaystyle dt'\) وتؤدي الاختلافات في dt إلى سرعات مختلفة تظهر من الإطارين.

    5.7. يمكننا استبدال البيانات مباشرة في المعادلة لتردد دوبلر النسبي:

    \(\displaystyle f_{obs}=f_s\sqrt{\frac{1−\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}=(1.50GHz)\sqrt{\frac{1−\frac{0.350c}{c}}{1+\frac{0.350c}{c}}}=1.04GHz.\)

    5.8. استبدل البيانات بالمعادلة المعطاة:

    \(\displaystyle p=γmu=\frac{mu}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{(9.11×10^{−31}kg)(0.985)(3.00×10^8m/s)}{\sqrt{1−\frac{(0.985c)^2}{c^2}}}=1.56×10^{−21}kg-m/s\).

    5.9. \(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2=(\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}mc^2=(\frac{1}{\sqrt{1−\frac{(0.992c)^2}{c^2}}−1}(9.11×10^{−31}kg)(3.00×10^8m/s)^2=5.67×10^{−13}J\)

    أسئلة مفاهيمية

    1. الافتراض الثاني، الذي يتضمن سرعة الضوء؛ تضمنت الفيزياء الكلاسيكية بالفعل فكرة أن قوانين الميكانيكا، على الأقل، كانت هي نفسها في جميع الإطارات بالقصور الذاتي، ولكن سرعة النبض الضوئي كانت مختلفة في الإطارات المختلفة التي تتحرك فيما يتعلق ببعضها البعض

    3. نعم، شريطة أن تطير الطائرة بسرعة ثابتة بالنسبة إلى الأرض؛ في هذه الحالة، فإن الجسم الذي ليس له قوة تؤثر عليه داخل الطائرة ليس له أي تغيير في السرعة بالنسبة للطائرة ولا تغيير في السرعة بالنسبة للأرض؛ كل من الطائرة والأرض عبارة عن إطارات بالقصور الذاتي للوصف حركة الكائن

    5. يرى الراصد الذي يتحرك مع العملية الفاصل الزمني المناسب، وهو أقصر وقت يراه أي مراقب.

    7. يكون طول الجسم أكبر بالنسبة للمراقب الذي يتحرك مع الجسم، وبالتالي يقيس طوله الصحيح.

    9. أ- لا، ليس ضمن الإطار المرجعي لرائد الفضاء.

    ب- يرى أن ساعات الأرض في إطار الراحة تتحرك بجانبه، وبالتالي يراها بطيئة.

    ج- لا، ليس ضمن الإطار المرجعي لرائد الفضاء.

    د- نعم، يقيس المسافة بين النجمين لتكون أقصر.

    (هـ) يتفق المراقبان على سرعتهما النسبية.

    11. لا يوجد تغيير مُقاس في الطول الموجي أو التردد في هذه الحالة. يعتمد تأثير دوبلر النسبي فقط على السرعة النسبية للمصدر والراصد، وليس أي سرعة بالنسبة إلى وسيط لموجات الضوء.

    13. يُظهر أن النجوم تبتعد أكثر عن الأرض، وأن الكون يتوسع، ويفعل ذلك بمعدل متسارع، مع سرعة أكبر للنجوم البعيدة.]

    15. نعم. يمكن أن يحدث هذا إذا كانت القوة الخارجية متوازنة بقوى أخرى مطبقة خارجيًا، بحيث تكون القوة الخارجية الصافية صفرًا.

    17. نظرًا لأنها تفقد الطاقة الحرارية، وهي الطاقة الحركية للحركة العشوائية للجسيمات المكونة لها، فإن كتلتها تنخفض بمقدار صغير للغاية، كما هو موضح في تكافؤ كتلة الطاقة.

    19. نعم، من حيث المبدأ سيكون هناك تأثير مماثل على الكتلة لأي انخفاض في الطاقة، ولكن التغيير سيكون صغيرًا جدًا بالنسبة لتغيرات الطاقة في التفاعل الكيميائي بحيث لا يمكن اكتشافه عمليًا.

    21. ليس وفقًا للنسبية الخاصة. لا شيء بالكتلة يمكن أن يصل إلى سرعة الضوء.

    مشاكل

    23. أ. 1.0328؛

    (ب) 1.15

    25. \(\displaystyle 5.96×10^{−8}s\)

    27. 0.800 درجة مئوية

    29. 0.140 درجة مئوية

    31. 48.6 متر

    33. باستخدام القيم الواردة في المثال 5.3:

    أ. 1.39 كم؛

    ب. 0.433 كم؛

    كيلومتر مربع 0.433 كم

    35. أ. 10.0 ج؛

    ب- تكون السرعة الناتجة للعلبة أكبر من c، وهو أمر مستحيل.

    ج- من غير المعقول افتراض أن العلبة ستتحرك نحو الأرض عند 1.20 درجة مئوية.

    37. تقترب الزاوية α\(\displaystyle 45°\)،\(\displaystyle t'-\)\(\displaystyle x'-axes\) وتدور الرمال باتجاه حافة مخروط الضوء.

    39. 15 متر/ثانية شرقًا

    41. 32 متر/ثانية

    43. أ - تقترب الكرة الثانية بسرعة\(\displaystyle −v\) وتستريح بينما تستمر الكرة الأخرى بسرعة\(\displaystyle −v\)؛

    (ب) هذا يحافظ على الزخم.

    45. أ\(\displaystyle t_1'=0; x_1'=0\)؛

    \(\displaystyle t_2'=τ;x_2'=0;\)

    ب\(\displaystyle t_1'=0;x_1'=0\)؛

    \(\displaystyle t_2'=\frac{τ}{\sqrt{1−v^2/c^2}};x_2'=\frac{−vτ}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

    47. 0.615 سم

    49. 0.696 درجة مئوية

    51. (برهان)

    53. \(\displaystyle 4.09×10^{−19}kg⋅m/s\)

    55. أ\(\displaystyle 3.000000015×10^{13}kg⋅m/s\)؛

    (ب) 1.000000005

    57. \(\displaystyle 2.988×10^8m/s\)

    59. 0.512 MeV وفقًا لعدد الأرقام المهمة المذكورة. القيمة الدقيقة أقرب إلى 0.511 MeV.

    61. \(\displaystyle 2.3×10^{−30}kg\)؛ إلى رقمين لأن الفرق في طاقات كتلة الراحة يوجد في رقمين

    63. أ\(\displaystyle 1.11×10^{27}kg\)؛

    ب.\(\displaystyle 5.56×10−5\)

    65. أ.\(\displaystyle 7.1×10^{−3}kg;\)

    ب\(\displaystyle 7.1×10^{−3}=7.1×10^{−3}\)؛

    c. أكبر\(\displaystyle \frac{Δm}{m}\) بالنسبة للهيدروجين

    67. أ. 208؛

    ب. 0.999988c؛ ستة أرقام تستخدم لإظهار الفرق عن c

    69. أ\(\displaystyle 6.92×10^5J\)؛

    (ب) 1.54

    71. أ. 0.914 ج؛

    ب- طاقة كتلة الراحة للإلكترون هي 0.511 MeV، وبالتالي فإن الطاقة الحركية تبلغ حوالي 150٪ من طاقة كتلة الباقي. يجب أن يتحرك الإلكترون بالقرب من سرعة الضوء.

    مشاكل إضافية

    73. أ. 0.866 درجة مئوية؛

    ب. 0.995 ج

    75. أ. 4.303 y إلى أربعة أرقام لإظهار أي تأثير؛

    ب. 0.1434 ص؛

    ج\(\displaystyle 1/\sqrt{(1−v^2/c^2)}=29.88.\).

    77. أ. 4.00؛

    ب.\(\displaystyle v=0.867c\)

    79. أ- يرسل A نبضة راديوية عند كل نبضة قلب إلى B، الذي يعرف سرعتها النسبية ويستخدم صيغة التمدد الزمني لحساب الفاصل الزمني المناسب بين نبضات القلب من الإشارة المرصودة.

    ب.\(\displaystyle (66beats/min)\sqrt{1−v^2/c^2}=57.1\) نبضة/دقيقة

    81. أ. الفوتون الأول:\(\displaystyle (0,0,0)\) الدهون\(\displaystyle t=t′\)؛ الفوتون الثاني:

    \(\displaystyle t'=\frac{−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{−(c/2)(1.00m)/c^2}{\sqrt{0.75}}=\frac{0.577m}{c}=1.93×10^{−9}s\)

    \(\displaystyle x'=\frac{x}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{1.00m}{\sqrt{0.75}}\)= 1.15 متر\)

    ب. متزامن في A، غير متزامن في B

    83. \(\displaystyle t^{\prime}=\frac{t-v x / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)-(0.6 c)\left(\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}}{c^{2}}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}} \)

    \(\displaystyle = 1.88 \times 10^{-4} \: s\)

    \(\displaystyle x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}-(0.60)\left(3.00 \times 10^{8} \: \mathrm{m} / \mathrm{s}\right)\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}}\)

    \(\displaystyle = 8.6 \times 10^{4} \: m = 86 \: km\)

    \(\displaystyle y=y'=15 \: km\)

    \(\displaystyle z=z'=1 \: km\)

    85. \(\displaystyle Δt=\frac{Δt'+vΔx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

    \(\displaystyle 0=\frac{Δt'+v(500m)/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)؛

    \(\displaystyle v≪c\)حيث يمكننا تجاهل المصطلح\(\displaystyle v^2/c^2\) والعثور عليه

    \(\displaystyle Δt'=−\frac{(50m/s)(500m)}{(3.00×10^8m/s)^2}=−2.78×10^{−13}s\)

    إن انهيار التزامن النيوتوني صغير للغاية، ولكنه ليس صفرًا تمامًا، عند سرعات قطار واقعية تبلغ 50 متر/ثانية.

    87. \(\displaystyle Δt'=\frac{Δt−vΔx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

    \(\displaystyle 0=\frac{(0.30s)−\frac{(v)(2.0×10^9m)}{(3.00×10^8m/s)^2}}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

    \(\displaystyle v=\frac{(0.30s)}{(2.0×10^9m)}(3.00×10^8m/s)^2\)

    \(\displaystyle v=1.35×10^7m/s\)

    89. لاحظ أنه يتم الإبلاغ عن جميع الإجابات على هذه المشكلة إلى خمسة أرقام مهمة، لتمييز النتائج.

    أ. 0.99947 ج؛

    ب\(\displaystyle 1.2064×10^{11}y\)؛

    ج.\(\displaystyle 1.2058×10^{11}y\)

    91. أ. —0.400 درجة مئوية؛

    ب. —0.909 ج

    93. أ. 1.65 كم/ثانية؛

    ب- نعم، إذا كانت سرعة الضوء صغيرة إلى هذا الحد، فإن السرعات التي يمكننا تحقيقها في الحياة اليومية ستكون أكبر من 1٪ من سرعة الضوء ويمكننا ملاحظة التأثيرات النسبية في كثير من الأحيان.

    95. 775 ميجاهرتز

    97. أ\(\displaystyle 1.12×10^{−8}m/s\)؛

    ب- تخبرنا السرعة الصغيرة أن كتلة البروتين أصغر بكثير من كتلة حتى كمية صغيرة من المادة العيانية.

    99. أ\(\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{mu}{\sqrt{1−u^2/c^2}})=\frac{du}{dt}(\frac{m}{\sqrt{1−u^2/c^2}})−\frac{1}{2}\frac{mu^2}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}2\frac{du}{dt}=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}\)؛

    ب.\(\displaystyle F=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}=\frac{1kg}{(1−(\frac{1}{2})^2)^{3/2}}(1m/s^2)=1.53N\)

    101. 90.0 ميللي فولت

    103. أ\(\displaystyle γ^2−1\)؛

    ب. نعم

    105. \(\displaystyle 1.07×10^3\)

    107. أ\(\displaystyle 6.56×10^{−8}kg\)؛

    ب.\(\displaystyle m=(200L)(1m^3/1000L)(750kg/m^3)=150kg\)؛ لذلك،\(\displaystyle \frac{Δm}{m}=4.37×10^{−10}\)

    109. أ. 0.314 ج؛

    ب. 0.99995c (خمسة أرقام تستخدم لإظهار الفرق عن c)

    111. أ. 1.00 كجم؛

    ب- ستكون هذه الكتلة الكبيرة قابلة للقياس، ولكن ربما لا يمكن ملاحظتها بمجرد النظر لأنها تمثل 0.01٪ من الكتلة الكلية.

    113. أ.\(\displaystyle 6.06×10^{11}kg/s;\)

    ب.\(\displaystyle 4.67×10^{10}y;\)

    ج\(\displaystyle 4.27×10^9kg\).

    د.\(\displaystyle 0.32%\)