5.S: النسبية (ملخص)

الشروط الرئيسية

إضافة السرعة الكلاسيكية (الجاليلية)	طريقة إضافة السرعات عندما$\displaystyle v<<c$؛ تضيف السرعات مثل الأرقام العادية في حركة أحادية البعد:$\displaystyle u=v+u'$، حيث v هي السرعة بين مراقبين اثنين، u هي سرعة كائن بالنسبة لمراقب واحد،$\displaystyle u'$ وهي السرعة بالنسبة للآخر مراقب
حدث	الحدوث في المكان والزمان المحددين من خلال إحداثيات الموقع والوقت (x، y، z، t) المقاسة بالنسبة للإطار المرجعي
الافتراض الأول للنسبية الخاصة	قوانين الفيزياء هي نفسها في جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي
النسبية الجاليلية	إذا قام مراقب بقياس سرعة في إطار مرجعي واحد، وكان هذا الإطار المرجعي يتحرك بسرعة تتجاوز الإطار المرجعي الثاني، فإن الراصد في الإطار الثاني يقيس السرعة الأصلية كمجموع متجه لهذه السرعات
تحول جاليليو	العلاقة بين إحداثيات الموقع والوقت لنفس الأحداث كما هو موضح في الأطر المرجعية المختلفة، وفقًا للميكانيكا الكلاسيكية
إطار مرجعي بالقصور الذاتي	إطار مرجعي يظل فيه الجسم في حالة سكون ويتحرك الجسم المتحرك بسرعة ثابتة في خط مستقيم ما لم تؤثر عليه قوة خارجية
تقلص الطول	انخفاض الطول الملحوظ لجسم ما من طوله المناسب$\displaystyle L_0$ إلى طوله L عند ملاحظة طوله في إطار مرجعي حيث يتحرك بسرعة v
تحول لورنتز	العلاقة بين إحداثيات الموقع والوقت لنفس الأحداث كما هو موضح في الأطر المرجعية المختلفة، وفقًا لنظرية النسبية الخاصة
تجربة ميشيلسون مورلي	أظهر التحقيق الذي تم إجراؤه في عام 1887 أن سرعة الضوء في الفراغ هي نفسها في جميع الأطر المرجعية التي يُنظر إليها من خلالها
الطول المناسب	$\displaystyle L_0$؛ المسافة بين نقطتين يقيسها مراقب في حالة راحة بالنسبة إلى كلتا النقطتين؛ على سبيل المثال، يقيس المراقبون الموجودون حول الأرض الطول المناسب عند قياس المسافة بين نقطتين ثابتتين بالنسبة إلى الأرض
الوقت المناسب	$\displaystyle Δτ$هو الفاصل الزمني الذي يقيسه مراقب يرى بداية ونهاية العملية التي تحدث فيها قياسات الفاصل الزمني في نفس الموقع
طاقة حركية نسبية	الطاقة الحركية لجسم يتحرك بسرعات نسبية
الزخم النسبي	$\displaystyle \vec{p}$، قوة دفع جسم يتحرَّك بسرعة نسبية؛$\displaystyle \vec{p}=γm\vec{u}$
إضافة السرعة اللاتفية	طريقة إضافة سرعات لجسم يتحرك بسرعات نسبية
طاقة الراحة	الطاقة المخزنة في كائن قيد الراحة:$\displaystyle E_0=mc^2$
إطار الراحة	الإطار المرجعي الذي يكون فيه المراقب في حالة راحة
كتلة الراحة	كتلة الجسم كما تم قياسها بواسطة مراقب في حالة سكون بالنسبة للكائن
الافتراض الثاني للنسبية الخاصة	ينتقل الضوء في فراغ بنفس السرعة c في أي اتجاه في جميع الإطارات بالقصور الذاتي
نظرية النسبية الخاصة	النظرية التي اقترحها ألبرت أينشتاين في عام 1905 والتي تفترض أن جميع قوانين الفيزياء لها نفس الشكل في كل إطار مرجعي بالقصور الذاتي، وأن سرعة الضوء هي نفسها داخل جميع الإطارات بالقصور الذاتي
سرعة الضوء	الحد الأقصى للسرعة لأي جسيم له كتلة
تمدد الوقت	إطالة الفاصل الزمني بين حدثين عند رؤيته في إطار القصور الذاتي المتحرك بدلاً من الإطار المتبقي للأحداث (حيث تحدث الأحداث في نفس الموقع)
إجمالي الطاقة	مجموع كل الطاقات اللازمة لجسيم، بما في ذلك طاقة السكون والطاقة الحركية، بمعلومية لجسيم كتلته m وسرعته u$\displaystyle E=γmc^2$، حيث$\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}$
خط عالمي	مسار من خلال الزمكان

المعادلات الرئيسية

تمدد الوقت	$\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=γτ$
عامل لورنتز	$\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}$
تقلص الطول	$\displaystyle L=L_0\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}=\frac{L_0}{γ}$
تحول جاليليو	$\displaystyle x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'$
تحول لورنتز	$\displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}$ $\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1−v^2/c^2}}$ $\displaystyle y=y'$ $\displaystyle z=z'$
تحويل لورنتز العكسي	$\displaystyle t'=\frac{t−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}$ $\displaystyle x'=\frac{x−vt}{\sqrt{1−v^2/c^2}}$ $\displaystyle y'=y$ $\displaystyle z'=z$
ثوابت الزمكان	$\displaystyle (Δs)^2=(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2−c^2(Δt)^2$ $\displaystyle (Δτ)^2=−(Δs)^2/c^2=(Δt)^2−\frac{[(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2]}{c^2}$
إضافة السرعة النسبية	$\displaystyle u_x=(\frac{u′_x+v}{1+vu′_x/c^2}),u_y=(\frac{u′_y/γ}{1+vu′_x/c^2}),u_z=(\frac{u′_z/γ}{1+vu′_x/c^2})$
تأثير دوبلر النسبي للطول الموجي	$\displaystyle λ_{obs}=λ_s\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1−\frac{v}{c}}}$
تأثير دوبلر النسبي للتردد	$\displaystyle f_{obs}=f_s\sqrt{\frac{1−\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$
الزخم النسبي	$\displaystyle \vec{p}=γm\vec{u}=\frac{m\vec{u}}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}$
إجمالي الطاقة النسبية	$\displaystyle E=γmc^2$، أين$\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}$
طاقة حركية نسبية	$\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2$، أين$\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}$

ملخص

5.1 ثبات القوانين الفيزيائية

• النسبية هي دراسة كيفية قيام المراقبين في الأطر المرجعية المختلفة بقياس نفس الحدث.
• تنقسم النسبية الحديثة إلى قسمين. تتعامل النسبية الخاصة مع المراقبين بحركة موحدة (غير متسارعة)، بينما تتضمن النسبية العامة الحركة النسبية المتسارعة والجاذبية. تتوافق النسبية الحديثة مع جميع الأدلة التجريبية حتى الآن، وفي حدود السرعة المنخفضة والجاذبية الضعيفة، تعطي اتفاقًا وثيقًا مع تنبؤات النسبية الكلاسيكية (الجاليلية).
• الإطار المرجعي بالقصور الذاتي هو إطار مرجعي يظل فيه الجسم في حالة السكون ويتحرك الجسم المتحرك بسرعة ثابتة في خط مستقيم ما لم تتأثر به قوة خارجية.
• تعتمد النسبية الحديثة على فرضيتي أينشتاين. الافتراض الأول للنسبية الخاصة هو أن قوانين الفيزياء هي نفسها في جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي. الافتراض الثاني للنسبية الخاصة هو أن سرعة الضوء c هي نفسها في جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي، بغض النظر عن الحركة النسبية للمراقب ومصدر الضوء.
• أظهرت تجربة Michelson-Morley أن سرعة الضوء في الفراغ مستقلة عن حركة الأرض حول الشمس.

5.2 نسبية التزامن

• يتم تعريف حدثين على أنهما متزامنان إذا قام المراقب بقياسهما على أنهما يحدثان في نفس الوقت (مثل استقبال الضوء من الأحداث).
• لا يكون حدثان في مواقع متباعدة ومتزامنين بالنسبة للمراقب أثناء الراحة في إطار مرجعي واحد متزامنين بالضرورة بالنسبة للمراقب أثناء الراحة في إطار مرجعي مختلف.

5.3 تمدد الوقت

• يتم تعريف حدثين على أنهما متزامنان إذا قام المراقب بقياسهما على أنهما يحدثان في نفس الوقت. فهي ليست بالضرورة متزامنة مع جميع المراقبين - فالتزامن ليس مطلقًا.
• تمدد الوقت هو إطالة الفاصل الزمني بين حدثين عند رؤيته في إطار القصور الذاتي المتحرك بدلاً من الإطار المتبقي للأحداث (حيث تحدث الأحداث في نفس الموقع).
• لا يقيس المراقبون الذين يتحركون بسرعة نسبية v نفس الوقت المنقضي بين حدثين. الوقت المناسب$\displaystyle Δτ$ هو الوقت الذي يتم قياسه في الإطار المرجعي حيث تحدث بداية ونهاية الفاصل الزمني في نفس الموقع. يرتبط الفاصل الزمني الذي$\displaystyle Δt$ يقيسه مراقب يرى إطار الأحداث يتحرك بسرعة v بالفاصل الزمني المناسب للأحداث$\displaystyle Δτ$ من خلال المعادلة:

$\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=γΔτ$،

حيث

$\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}$.

• فرضية المفارقة المزدوجة خاطئة لأن التوأم المتنقل يتسارع. الرحلة ليست متماثلة بالنسبة للتوأمين.
• عادةً ما يكون التمدد الزمني ضئيلًا عند السرعات النسبية المنخفضة، ولكنه يحدث، وقد تم التحقق منه عن طريق التجربة.
• الوقت المناسب هو أقصر مقياس لأي فترة زمنية. أي مراقب يتحرك بالنسبة للنظام الذي تتم ملاحظته يقيس فترة زمنية أطول من الوقت المناسب.

5.4 تقلص الطول

• يتفق جميع المراقبين على السرعة النسبية.
• تعتمد المسافة على حركة الراصد. الطول المناسب$\displaystyle L_0$ هو المسافة بين نقطتين يقيسها مراقب في حالة راحة بالنسبة لكلتا النقطتين.
• تقلص الطول هو الانخفاض في الطول الملحوظ لجسم ما من طوله المناسب$\displaystyle L_0$ إلى طوله L عندما يتم ملاحظة طوله في إطار مرجعي حيث يتحرك بسرعة v.
• الطول المناسب هو أطول قياس لأي فترة طول. أي مراقب يتحرك بالنسبة للنظام الذي تتم ملاحظته يقيس طولًا أقصر من الطول المناسب.

5.5 تحول لورنتز

• تصف معادلات تحويل جاليليو كيف تظهر، في الميكانيكا الكلاسيكية غير النسبية، الموضع والسرعة والتسرعات المقاسة في إطار واحد في إطار آخر. تظل الأطوال دون تغيير ويفترض تطبيق مقياس زمني عالمي واحد على جميع الإطارات بالقصور الذاتي.
• تخضع قوانين نيوتن للميكانيكا لمبدأ وجود نفس الشكل في جميع الإطارات بالقصور الذاتي في ظل التحول الجليلي، الذي قدمه

$\displaystyle x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'$.

ومع ذلك، فإن المفهوم القائل بأن الأوقات والمسافات هي نفسها في جميع الأطر بالقصور الذاتي في التحول الجليلي لا يتوافق مع افتراضات النسبية الخاصة.

• معادلات تحويل لورنتز الصحيحة نسبيًا هي

تحول لورنتز	تحويل لورنتز العكسي
$\displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}$ $\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1−v^2/c^2}}$√ $\displaystyle y=y'$ $\displaystyle z=z'$	$\displaystyle t'=\frac{t−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}$ $\displaystyle x'=\frac{x−vt}{\sqrt{1−v^2/c^2}}$ $\displaystyle y'=y$ $\displaystyle z'=z$

يمكننا الحصول على هذه المعادلات من خلال مطالبة إشارة الضوء الكروي المتوسعة بأن يكون لها نفس شكل وسرعة النمو، c، في كلا الإطارين المرجعيين.

• يمكن تفسير الظواهر النسبية من حيث الخصائص الهندسية للزمكان رباعي الأبعاد، حيث تتوافق تحويلات لورنتز مع دوران المحاور.
• يتوافق تحول لورنتز مع دوران محور الزمكان، ويشبه في بعض النواحي دوران محاور الفضاء، ولكن يتم فيه تحديد الفصل المكاني الثابت بالمسافات$\displaystyle Δs$ بدلاً من المسافات$\displaystyle Δr$، والذي لا يحافظ عليه تحول لورنتز الذي يتضمن محور الوقت تعامد المحاور أو المقاييس على طول المحاور.
• يدعم تحليل الظواهر النسبية من حيث مخططات الزمكان الاستنتاج بأن هذه الظواهر ناتجة عن خصائص المكان والزمان نفسه، وليس من قوانين الكهرومغناطيسية.

5.6 تحويل السرعة النسبية

• مع إضافة السرعة الكلاسيكية، تجمع السرعات مثل الأرقام العادية في الحركة أحادية البعد:$\displaystyle u=v+u'$، حيث v هي السرعة بين مراقبين اثنين، u هي سرعة جسم بالنسبة لمراقب واحد، و u'u′ هي السرعة بالنسبة للمراقب الآخر.
• لا يمكن أن تكون السرعات أكبر من سرعة الضوء.
• تصف إضافة السرعة النسبية سرعات جسم يتحرك بسرعة نسبية.

5.7 تأثير دوبلر للضوء

• يرى مراقب الإشعاع الكهرومغناطيسي تأثيرات دوبلر النسبية إذا كان مصدر الإشعاع يتحرك بالنسبة للمراقب. يكون الطول الموجي للإشعاع أطول (يسمى التحول الأحمر) من ذلك المنبعث من المصدر عندما يتحرك المصدر بعيدًا عن الراصد وأقصر (يسمى التحول الأزرق) عندما يتحرك المصدر نحو الراصد. يتم وصف الطول الموجي المتحول بالمعادلة:

$\displaystyle λ_{obs}=λ_s\sqrt{1+\frac{v}{c}}{1−\frac{v}{c}}$.

أين$\displaystyle λ_{obs}$ الطول الموجي المرصود،$\displaystyle λ_s$ هو الطول الموجي للمصدر، و v هو السرعة النسبية للمصدر بالنسبة للمراقب.

5.8 الزخم النسبي

• قانون الحفاظ على الزخم صالح للزخم النسبي عندما تكون القوة الخارجية الصافية صفرًا. الزخم النسبي هو$\displaystyle p=γmu$، حيث m هي كتلة بقية الجسم، u هي سرعته بالنسبة للمراقب، والعامل النسبي هو$\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}$.
• في السرعات المنخفضة، يعادل الزخم النسبي الزخم الكلاسيكي.
• يقترب الزخم النسبي من اللانهاية مع اقترابنا من c. هذا يعني أن الجسم ذو الكتلة لا يمكنه الوصول إلى سرعة الضوء.

5.9 الطاقة النسبية

• نظرية العمل والطاقة النسبية هي$\displaystyle W_{net}=E−E_0=γmc^2−mc^2=(γ−1)mc^2$.
• من الناحية النسبية،$\displaystyle W_{net}=K_{rel}$ أين$\displaystyle K_{rel}$ هي الطاقة الحركية النسبية.
• جسم كتلته m عند السرعة u له طاقة حركية$\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2$، أين$\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}$.
• في السرعات المنخفضة، تنخفض الطاقة الحركية النسبية إلى طاقة حركية كلاسيكية.
• لا يمكن لأي جسم ذو كتلة أن يصل إلى سرعة الضوء، لأن قدرًا لا نهائيًا من العمل وكمية لا حصر لها من مدخلات الطاقة مطلوبان لتسريع الكتلة إلى سرعة الضوء.
• يتم الحفاظ على الطاقة النسبية طالما أننا نحددها لتشمل إمكانية تغيير الكتلة إلى طاقة.
• تُعرَّف الطاقة الكلية لجسيم كتلته m تتحرك بسرعة u على أنها$\displaystyle E=γmc^2$، حيث$\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}$ تشير u إلى سرعة الجسيم.
• الطاقة المتبقية لجسم كتلته m هي$\displaystyle E_0=mc^2$، بمعنى أن الكتلة هي شكل من أشكال الطاقة. إذا تم تخزين الطاقة في جسم ما، تزداد كتلته. يمكن تدمير الكتلة لإطلاق الطاقة.
• لا نلاحظ عادةً الزيادة أو النقصان في كتلة الجسم لأن التغيير في الكتلة صغير جدًا لزيادة كبيرة في الطاقة. $\displaystyle E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$تربط المعادلة الطاقة الكلية النسبية E والزخم النسبي p. عند السرعات العالية للغاية،$\displaystyle mc^2$ تصبح طاقة الباقي ضئيلة، و$\displaystyle E=pc$.