Skip to main content
Global

2.4: الصور التي تكونت بواسطة الانكسار

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    196756

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • وصف تكوين الصورة بواسطة سطح منكسر واحد
    • حدد موقع الصورة واحسب خصائصها باستخدام مخطط الأشعة
    • حدِّد موقع الصورة واحسب خواصها باستخدام المعادلة الخاصة بسطح انكسار واحد

    عندما تنتشر أشعة الضوء من وسط إلى آخر، تخضع هذه الأشعة للانكسار، وهو عندما تنحني موجات الضوء عند الواجهة بين وسيطين. يمكن أن يشكل السطح المنكسر صورة بطريقة مشابهة للسطح العاكس، باستثناء أن قانون الانكسار (قانون سنيل) يقع في قلب العملية بدلاً من قانون الانعكاس.

    الانكسار عند واجهة مستوية - العمق الظاهري

    إذا نظرت إلى قضيب مستقيم مغمور جزئيًا في الماء، يبدو أنه ينحني على السطح. السبب وراء هذا التأثير الغريب هو أن صورة القضيب داخل الماء تتشكل أقرب قليلاً إلى السطح من الموضع الفعلي للقضيب، لذلك لا تصطف مع جزء القضيب الموجود فوق الماء. تفسر نفس الظاهرة لماذا تبدو السمكة في الماء أقرب إلى السطح مما هي عليه في الواقع.

    يصور الشكل المنظر الجانبي لقضيب مغموس في الماء. يتم عرض صورة الخط الأخف للقضيب بطريقة تظهر كما لو كان القضيب مثنيًا عند تقاطع الهواء والماء. النقطة P موجودة على القضيب والنقطة Q على صورة القضيب. يظهر الخط المنقط PQ عموديًا على سطح الماء. ينشأ شعاعان من P، وينتقلان لأعلى إلى سطح الماء، وينحنيان بزاوية ويصلان إلى عين الراصد. يبدو أن الامتدادات الخلفية للأشعة المنحنية تنشأ من النقطة Q.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): ثني قضيب عند واجهة الماء والهواء. يبدو أن النقطة الموجودة\(P\) على القضيب هي النقطة\(Q\)، وهي النقطة التي تتشكل فيها صورة النقطة P بسبب الانكسار عند واجهة الهواء والماء.

    لدراسة تكوين الصورة نتيجة الانكسار، ضع في اعتبارك الأسئلة التالية:

    1. ماذا يحدث لأشعة الضوء عندما تدخل أو تمر عبر وسيط مختلف؟
    2. هل تلتقي الأشعة المنكسرة المنبعثة من نقطة واحدة في نقطة ما أو تبتعد عن بعضها البعض؟

    ولكي نكون ملموسين، فإننا نعتبر نظامًا بسيطًا يتكون من وسيطتين مفصولتين بواجهة مستوية (الشكل\(\PageIndex{2}\)). الكائن في وسيط واحد والمراقب في الآخر. على سبيل المثال، عندما تنظر إلى سمكة من فوق سطح الماء، تكون السمكة في الوسط 1 (الماء) مع معامل الانكسار 1.33، وتكون عينك في الوسط 2 (الهواء) مع معامل الانكسار 1.00، وسطح الماء هو الواجهة. العمق الذي «تراه» هو ارتفاع\(h_i\) الصورة ويسمى العمق الظاهر. العمق الفعلي للأسماك هو ارتفاع الكائن\(h_o\).

    يوضح الشكل المنظر الجانبي لبعض كمية المياه. تقع النقطة P داخلها. تنبع شعاعتان من النقطة P، وتنحني على سطح الماء وتصل إلى عين الراصد. تتقاطع الامتدادات الخلفية لهذه الأشعة المنكسرة عند النقطة Q. يكون PQ عموديًا على سطح الماء ويتقاطعه عند النقطة O. المسافة OP تسمى h sopcept o والمسافة OQ تسمى h nopcept i. الزاوية المتكونة من الشعاع المنكسر بخط عمودي على سطح الماء يسمى ثيتا.
    الشكل\(\PageIndex{2}\): العمق الظاهري بسبب الانكسار. يقوم الكائن الحقيقي عند النقطة P بإنشاء صورة عند النقطة Q. الصورة ليست بنفس عمق الكائن، لذلك يرى الراصد الصورة في «عمق واضح».

    يعتمد العمق الظاهري h i على الزاوية التي تعرض بها الصورة. للحصول على عرض من الأعلى (ما يسمى بالرؤية «العادية»)، يمكننا تقريب زاوية الانكسار\(θ\) لتكون صغيرة، واستبدالها\(\sin θ\) في قانون سنيل بـ\(\tan θ\). باستخدام هذا التقريب، يمكنك استخدام المثلثات\(ΔOPR\) وإظهار\(ΔOQR\) أن العمق الظاهري يُعطى بواسطة

    \[h_i= \left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)h_o. \nonumber \]

    يتم ترك استنتاج هذه النتيجة كتمرين. وهكذا، تظهر السمكة عند 3/4 من العمق الحقيقي عند النظر إليها من الأعلى.

    الانكسار عند واجهة كروية

    تلعب الأشكال الكروية دورًا مهمًا في البصريات بشكل أساسي لأن الأشكال الكروية عالية الجودة أسهل بكثير في التصنيع من الأسطح المنحنية الأخرى. لدراسة الانكسار على سطح كروي واحد، نفترض أن الوسط ذي السطح الكروي في أحد طرفيه يستمر إلى أجل غير مسمى (وسط «شبه لانهائي»).

    الانكسار على سطح محدب

    ضع في اعتبارك مصدرًا نقطيًا للضوء عند النقطة P أمام سطح محدب مصنوع من الزجاج (الشكل\(\PageIndex{3}\)). \(R\)فليكن نصف قطر الانحناء، n 1 يكون معامل انكسار الوسيط الذي توجد فيه نقطة الجسم P، و n 2 يكون معامل انكسار الوسيط مع السطح الكروي. نريد أن نعرف ما يحدث نتيجة الانكسار في هذه الواجهة.

    يوضِّح الشكل مقطعًا من كرة. معامل انكسار الهواء هو الرمز 1 ومعامل انكسار الكرة في المقتطف 2. مركز الكرة هو C ونصف القطر هو R. شعاع ينشأ من النقطة P على المحور البصري خارج الكرة ويصطدم بالسطح المحدب للكرة وينكسر داخلها. وهي تتقاطع مع المحور عند النقطة P الأولية داخل الكرة، على الجانب الآخر من المركز. يربط الخط المنقط المسمى «عادي إلى الواجهة» مركز الكرة بنقطة الإصابة. إنها تصنع زاوية phi مع المحور البصري. تجعل الأشعة الساقطة والمكسرة الزوايا ألفا وبيتا على التوالي مع المحور البصري والزوايا theta 1 و theta 2 على التوالي مع الزاوية العادية للواجهة.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): الانكسار على سطح محدب (\(n_2>n_1\)).

    بسبب التماثل الذي ينطوي عليه الأمر، يكفي فحص الأشعة في مستوى واحد فقط. يوضح الشكل شعاع الضوء الذي يبدأ عند نقطة الكائن\(P\)، وينكسر عند الواجهة، ويمر عبر نقطة الصورة\(P′\). نستمد صيغة تتعلق بمسافة\(d_o\) الكائن ومسافة\(d_i\) الصورة ونصف قطر الانحناء\(R\).

    \(P\)يعطي تطبيق قانون سنيل على الشعاع المنبعث من النقطة

    \[n_1\sin θ_1=n_2 \sin θ_2. \nonumber \]

    ضمن تقريب الزاوية الصغيرة

    \[\sin θ≈θ, \nonumber \]

    ثم يأخذ قانون سنيل الشكل

    \[n_1θ_1≈n_2θ_2. \label{eq8} \]

    من هندسة الشكل\(\PageIndex{3}\)، نرى ذلك

    \[θ_1=α+ϕ, \nonumber \]

    \[θ_2=ϕ−β. \nonumber \]

    إدراج كلا التعبيرين في المعادلة\ ref {eq8} يعطي

    \[n_1(α+ϕ)≈n_2(ϕ−β). \label{eq10} \]

    باستخدام الشكل\(\PageIndex{3}\)، نحسب مماس الزوايا\(α\)\(β\)، و\(ϕ\):

    • \(\tan α≈\dfrac{h}{d_o}\)
    • \(\tan β≈\dfrac{h}{d_i}\)
    • \(\tan ϕ≈\dfrac{h}{R}\)

    مرة أخرى باستخدام تقريب الزاوية الصغيرة، نجد ذلك\(\tan θ≈ θ\)، لذلك تصبح العلاقات المذكورة أعلاه

    • \(α≈\dfrac{h}{d_o}\)
    • \(~β≈\dfrac{h}{d_i}\)
    • \(~ϕ≈\dfrac{h}{R}.\)

    يعطي وضع هذه الزوايا في المعادلة\ ref {eq10}

    \[n_1\left(\dfrac{h}{d_o}+\dfrac{h}{R}\right)=n_2 \left(\dfrac{h}{R}−\dfrac{h}{d_i}\right). \nonumber \]

    يمكننا كتابة هذا بسهولة أكبر

    \[\dfrac{n_1}{d_o}+\dfrac{n_2}{d_i}=\dfrac{n_2−n_1}{R}. \label{eq20} \]

    إذا تم وضع الكائن في نقطة خاصة تسمى التركيز الأول، أو تركيز الكائن\(F_1\)، فإن الصورة تتشكل عند اللانهاية، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{4a}\).

    يُظهر الشكل أ مقطعًا من كرة ونقطة F1 خارجها، على المحور البصري. تصطدم الأشعة الصادرة من F1 بالسطح المحدب وتنكسر داخل الكرة كأشعة متوازية. مسافة F1 من السطح هي 1 حرف منخفض 1. يُظهر الشكل (ب) الأشعة الموازية للمحور البصري التي تصطدم بالسطح المحدب وتتعرض للكسر. تتقارب عند النقطة F2 داخل الكرة. يقع F2 على المحور البصري بين السطح ومركز الكرة. مسافة F2 من السطح هي 1 في المائة. في كلا الشكلين، يكون معامل انكسار الهواء n1 ومعامل انكسار الكرة أكبر n2 من n1.
    الشكل\(\PageIndex{4}\): (أ) التركيز الأول (يسمى «تركيز الكائن») للانكسار على سطح محدب. (ب) التركيز الثاني (يسمى «تركيز الصورة») للانكسار على سطح محدب.

    يمكننا العثور على موقع التركيز الأول\(f_1\) من\(F_1\) خلال الإعداد\(d_i=\infty\) في المعادلة\ ref {eq20}.

    \[ \begin{align} \dfrac{n_1}{f_1}+\dfrac{n_2}{\infty} &=\dfrac{n_2−n_1}{R} \\[4pt] f_1 &=\dfrac{n_1R}{n_2−n_1} \end{align} \nonumber \]

    وبالمثل، يمكننا تحديد التركيز الثاني أو تركيز الصورة\(F_2\) حيث يتم تشكيل الصورة لكائن بعيد (الشكل\(\PageIndex{4b}\)). \(F_2\)يتم الحصول على موقع التركيز الثاني من المعادلة\ ref {eq20} عن طريق الإعداد\(d_0=\infty\):

    \[ \begin{align} \dfrac{n_1}{\infty}+\dfrac{n_2}{f_2}=\dfrac{n_2−n_1}{R} \\[4pt] f_2=\dfrac{n_2R}{n_2−n_1}. \end{align} \nonumber \]

    لاحظ أن تركيز الكائن يقع على مسافة مختلفة عن قمة الرأس عن تركيز الصورة بسبب\(n_1≠n_2\).

    اتفاقية التوقيع للأسطح أحادية الانكسار

    على الرغم من أننا توصلنا إلى هذه المعادلة للانكسار عند سطح محدب، إلا أن نفس التعبير ينطبق على سطح مقعر، شريطة أن نستخدم اصطلاح الإشارة التالي:

    1. \(R>0\)إذا كان السطح محدبًا تجاه الكائن؛ وإلا،\(R<0\).
    2. \(d_i>0\)إذا كانت الصورة حقيقية وعلى الجانب الآخر من الكائن؛ وإلا،\(d_i<0\).