16.S: الموجات (ملخص)
- Page ID
- 199837
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
الشروط الرئيسية
| مضاد | موقع السعة القصوى في الموجات الدائمة |
| تدخل بنّاء | عندما تصل موجتان إلى نفس النقطة بالضبط في الطور؛ أي أن قمم الموجتين محاذاة بدقة، وكذلك الأحواض |
| تدخل مدمر | عندما تصل موجتان متطابقتان إلى نفس النقطة تمامًا خارج الطور؛ أي محاذاة القمة بدقة مع الحوض |
| حالة الحدود الثابتة | عندما تكون الوسيطة عند الحدود ثابتة في مكانها بحيث لا يمكن تحريكها |
| حالة الحدود الحرة | موجود عندما تكون الوسيطة عند الحدود حرة في التحرك |
| التردد الأساسي | أدنى تردد ينتج موجة دائمة |
| الكثافة (I) | الطاقة لكل وحدة مساحة |
| التداخل | تداخل موجتين أو أكثر في نفس النقطة والوقت |
| معادلة الموجة الخطية | معادلة تصف الموجات الناتجة عن قوة الاستعادة الخطية للوسط؛ أي دالة تمثل حلًا لمعادلة الموجة تصف موجة تتحرك في الاتجاه السيني الموجب أو الاتجاه السيني السالب بسرعة موجة ثابتة v |
| موجة طولية | الموجة التي يكون فيها الاضطراب موازيًا لاتجاه الانتشار |
| موجة ميكانيكية | موجة تحكمها قوانين نيوتن وتتطلب وسيطًا |
| عقدة | النقطة التي لا تتحرك فيها السلسلة؛ بشكل عام، تكون العقد هي المكان الذي يكون فيه اضطراب الموجة صفرًا في الموجة الدائمة |
| الوضع العادي | نمط الموجة الدائمة المحتمل لموجة دائمة على سلسلة |
| نغمة | التردد الذي ينتج موجات ثابتة وهو أعلى من التردد الأساسي |
| نبض | اضطراب واحد ينتقل عبر وسيط وينقل الطاقة ولكن ليس الكتلة |
| موجة دائمة | موجة يمكن أن ترتد ذهابًا وإيابًا عبر منطقة معينة، وتصبح ثابتة بشكل فعال |
| تراكب | ظاهرة تحدث عندما تصل موجتان أو أكثر إلى نفس النقطة |
| موجة عرضية | الموجة التي يكون فيها الاضطراب عموديًا على اتجاه الانتشار |
| موجة | اضطراب ينتقل من مصدره ويحمل الطاقة |
| دالة الموجة | نموذج رياضي لموضع جسيمات الوسط |
| رقم الموجة | $$\ frac {2\ pi} {\ lambda} $$ |
| سرعة الموجة | حجم سرعة الموجة |
| سرعة الموجة | السرعة التي يتحرك بها الاضطراب؛ وتسمى أيضًا سرعة الانتشار |
| الطول الموجي | المسافة بين الأجزاء المتطابقة المتجاورة من الموجة |
المعادلات الرئيسية
| سرعة الموجة | $v =\ frac {\ lambda} {T} =\ لامدا f$$ |
| كثافة الكتلة الخطية | $$\ mu =\ frac {الكتلة\; من\; السلسلة} {الطول\; من\; السلسلة\;} $$ |
| سرعة الموجة أو النبض على الخيط تحت التوتر | $|v| =\ sqrt {\ frac {F_ {T}} {\ mu}} $$ |
| سرعة موجة الضغط في السائل | $$v =\ sqrt {\ frac {B} {\ rho}} $$ |
| الموجة الناتجة من تراكب موجتين جيبيتين متطابقتين باستثناء التحول الطوري | \ [y_ {R} (x, t) =\ بيج [2A\ cos\ يسار (\ dfrac {\ phi} {2}\ يمين)\ بيج]\ الخطيئة\ اليسار (kx -\ أوميغا t+\ dfrac {\ phi} {2}\ اليمين) $$ |
| رقم الموجة | $$k =\ equiv\ frac {2\ pi} {\ lambda} $$ |
| سرعة الموجة | $$v =\ frac {\ أوميغا} {k} $$ |
| الموجة الدورية | $$y (x, t) = A\ sin (kx\ mp\ أوميغا +\ phi) $$ |
| مرحلة الموجة | $$kx\ mp\ أوميغا تي +\ phi$$ |
| معادلة الموجة الخطية | $$\ frac {\ frac {\ جزئيًا^ {2} y (x، t)} {\ جزئي x^ {2}} =\ frac {1} {v_ {w} ^ {2}\ frac {\ جزئيًا^ {2} y (x, t)} {\ جزئي ^ {2}} $$ |
| قوة في موجة لطول موجة واحدة | $P_ {ave} =\ frac {E_ {\ لامدا}} {T} =\ فراك {1} {2}\ مو A^ {2}\ أوميجا ^ {2}\ فراك {\ لامدا} {T} =\ فراك {1} {2}\ مو ^ {2}\ أوميغا ^ {2} v$$ |
| الكثافة | $$I =\ frac {P} {A} $$ |
| شدة الموجة الكروية | $$I =\ frac {P} {2\ pi r^ {2}} $$ |
| معادلة الموجة الدائمة | \ [y (x, t) = [2A\ sin (kx)]\ كوس (\ أوميغا تي) $$ |
| الطول الموجي لظروف الحدود المتماثلة | $$\ lambda_ {n} =\ frac {2} {n} L،\ quad n = 1، 2، 3، 4، 5\ ldots$$ |
| التردد الخاص بشروط الحدود المتماثلة | $f_ {n} = n\ frac {v} {2L} = nf_ {1}،\ رباعي n = 1، 2، 3، 4، 5\ ldots$$ |
ملخص
16.1 موجات السفر
- الموجة هي اضطراب يتحرك من نقطة المنشأ بسرعة الموجة v.
- للموجة طول الموجي\(\lambda\)، وهو المسافة بين الأجزاء المتطابقة المتجاورة من الموجة. ترتبط سرعة الموجة والطول الموجي بتردد الموجة والفترة بواسطة v =\(\frac{\lambda}{T}\) =\(\lambda\) f.
- الموجات الميكانيكية هي اضطرابات تنتقل عبر وسيط وتحكمها قوانين نيوتن.
- الموجات الكهرومغناطيسية هي اضطرابات في المجالات الكهربائية والمغناطيسية، ولا تتطلب وسيطًا.
- تعد موجات المادة جزءًا مركزيًا من ميكانيكا الكم وترتبط بالبروتونات والإلكترونات والنيوترونات والجسيمات الأساسية الأخرى الموجودة في الطبيعة.
- تحتوي الموجة العرضية على اضطراب عمودي على اتجاه انتشار الموجة، في حين أن الموجة الطولية لها اضطراب موازٍ لاتجاه انتشارها.
16.2 رياضيات الأمواج
- الموجة هي تذبذب (لكمية فيزيائية) ينتقل عبر وسيط، مصحوبًا بنقل الطاقة. تنتقل الطاقة من نقطة إلى أخرى في اتجاه حركة الموجة. تتأرجح جزيئات الوسط لأعلى ولأسفل، ذهابًا وإيابًا، أو صعودًا وهبوطًا ذهابًا وإيابًا، حول موضع التوازن.
- يمكن نمذجة لقطة لموجة جيبية في الوقت t = 0.00 ثانية كدالة للموضع. مثالان على هذه الوظائف هما y (x) = A sin (kx +\(\phi\)) و y (x) = A cos (kx +\(\phi\)).
- بالنظر إلى دالة الموجة التي هي لقطة للموجة، وهي دالة فقط للموضع x، يمكن نمذجة حركة النبض أو الموجة التي تتحرك بسرعة ثابتة باستخدام الدالة، واستبدال x بـ x vt. علامة الطرح هي للحركة في الاتجاه الإيجابي وعلامة الجمع للاتجاه السلبي.
- تُعطى دالة الموجة بواسطة y (x، t) = A sin (kx −\(\omega\) t +\(\phi\)) حيث\(\frac{2 \pi}{\lambda}\) يتم تعريف k = كرقم الموجة،\(\omega = \frac{2 \pi}{T}\) وهو التردد الزاوي،\(\phi\) وهو التحول الطوري.
- تتحرك الموجة بسرعة ثابتة v w، حيث تتأرجح جزيئات الوسط حول موضع التوازن. يمكن العثور على السرعة الثابتة للموجة بواسطة v =\(\frac{\lambda}{T}\) =\(\frac{\omega}{k}\).
16.3 سرعة الموجة على خيط ممتد
- تعتمد سرعة الموجة على الخيط على الكثافة الخطية للخيط والتوتر في السلسلة. الكثافة الخطية هي الكتلة لكل وحدة طول من السلسلة.
- بشكل عام، تعتمد سرعة الموجة على الجذر التربيعي لنسبة الخاصية المرنة إلى خاصية القصور الذاتي للوسيط.
- سرعة الموجة عبر السائل تساوي الجذر التربيعي لنسبة المعامل الكتلي للسائل إلى كثافة السائل.
- تبلغ سرعة الصوت عبر الهواء عند T = 20 درجة مئوية تقريبًا v s = 343.00 m/s.
16.4 طاقة الموجة وقوتها
- تتناسب طاقة الموجة وقوتها مع مربع سعة الموجة ومربع التردد الزاوي للموجة.
- يتم العثور على القوة المتوسطة الزمنية للموجة الجيبية على السلسلة بواسطة P ave =\(\frac{1}{2} \mu A^{2} \omega^{2} v\)، حيث\(\mu\) هي كثافة الكتلة الخطية للسلسلة، A هي سعة الموجة،\(\omega\) هي التردد الزاوي للموجة، و v هي سرعة الموجة.
- تُعرّف الكثافة بأنها القوة المقسمة على المنطقة. في الموجة الكروية، تكون المساحة A = 4\(\pi\) r 2 والشدة هي I =\(\frac{P}{4 \pi r^{2}}\). عندما تخرج الموجة من المصدر، يتم الحفاظ على الطاقة، ولكن الكثافة تنخفض مع زيادة المساحة.
16.5 تداخل الموجات
- التراكب هو مزيج من موجتين في نفس الموقع.
- يحدث التداخل البنائي من تراكب موجتين متطابقتين في الطور.
- يحدث التداخل المدمر من تراكب موجتين متطابقتين خارج الطور بمقدار 180 درجة (\(\pi\)راديان).
- الموجة التي تنتج عن تراكب موجتين جيبيتين تختلفان فقط عن طريق التحول الطوري هي موجة ذات سعة تعتمد على قيمة فرق الطور.
16.6 الموجات الدائمة والرنين
- الموجة الواقفة هي تراكب موجتين تنتج موجة تختلف في السعة ولكنها لا تنتشر.
- العقد هي نقاط عدم الحركة في الموجات الدائمة.
- المضاد هو موقع السعة القصوى للموجة الدائمة.
- الأنماط العادية للموجة على السلسلة هي أنماط الموجة الدائمة المحتملة. يُعرف أدنى تردد ينتج موجة دائمة بالتردد الأساسي. تسمى الترددات العالية التي تنتج موجات ثابتة بالإيحاءات.