Skip to main content
Global

15S: التذبذبات (ملخص)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200097

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الشروط الرئيسية

    السعة (A) الحد الأقصى للإزاحة من موضع توازن جسم يتذبذب حول موضع التوازن
    مخمد بشكل حاسم الحالة التي يؤدي فيها تخميد المذبذب إلى عودته في أسرع وقت ممكن إلى موضع توازنه دون التذبذب ذهابًا وإيابًا حول هذا الموضع
    طاقة كامنة مرنة الطاقة المحتملة المخزنة نتيجة تشوه جسم مرن، مثل تمدد الزنبرك
    وضع التوازن الموضع الذي لا يكون فيه الزنبرك ممتدًا أو مضغوطًا
    ثابت القوة (ك) خاصية الزنبرك التي تُعرّف بأنها نسبة القوة المطبقة على الزنبرك إلى الإزاحة الناتجة عن القوة
    التردد (و) عدد الأحداث لكل وحدة زمنية
    تردد زاوي طبيعي التردد الزاوي لنظام يتذبذب في SHM
    ذبذبة التذبذب الفردي للكمية، أو التقلبات المتكررة والمنتظمة للكمية، بين قيمتين متطرفتين حول قيمة التوازن أو القيمة المتوسطة
    مغمور الحالة التي يؤدي فيها تخميد المذبذب إلى عودته إلى التوازن دون التذبذب؛ يتحرك المذبذب بشكل أبطأ نحو التوازن مقارنة بالنظام المثبط بشدة
    الفترة (T) الوقت المستغرق لإكمال التذبذب الواحد
    حركة دورية الحركة التي تكرر نفسها على فترات زمنية منتظمة
    التحول المرحلي الزاوية، بالراديان، التي تُستخدم في دالة جيب التمام أو الجيب لتحويل الدالة يسارًا أو يمينًا، وتُستخدم لمطابقة الدالة مع الشروط الأولية للبيانات
    البندول المادي أي كائن موسع يتأرجح مثل البندول
    رنين تذبذبات ذات سعة كبيرة في نظام ينتج عن قوة دافعة ذات سعة صغيرة، لها تردد يساوي التردد الطبيعي
    استعادة القوة قوة تعمل في مواجهة القوة الناجمة عن التشوه
    الحركة التوافقية البسيطة (SHM) حركة تذبذبية في نظام تتناسب فيه قوة الاستعادة مع الإزاحة، والتي تعمل في الاتجاه المعاكس للإزاحة
    مذبذب توافقي بسيط جهاز يتأرجح في SHM حيث تتناسب قوة الاستعادة مع الإزاحة وتعمل في الاتجاه المعاكس للإزاحة
    بندول بسيط كتلة نقطية، تسمى بندول بوب، متصلة بخيط شبه عديم الكتلة
    نقطة توازن مستقرة نقطة تكون فيها القوة الصافية في النظام صفرًا، لكن الإزاحة الصغيرة للكتلة ستؤدي إلى قوة استعادة تشير إلى نقطة التوازن
    البندول الالتوائي أي جسم معلق يتأرجح عن طريق لف التعليق
    تحت التخميد الحالة التي يؤدي فيها تخميد المذبذب إلى انخفاض سعة تذبذبات المذبذب التوافقي المثبط بمرور الوقت، ويقترب في النهاية من الصفر

    المعادلات الرئيسية

    العلاقة بين التردد والفترة $$f =\ frac {1} {T} $$
    المركز في SHM مع\(\phi\) = 0.00 $$x (t) = A\ cos (\ أوميغا تي) $$
    المنصب العام في SHM $$x (t) = A\ cos (\ أوميغا تي +\ فاي) $$
    السرعة العامة في SHM $$v (t) = -A\ أوميغا\ سين (\ أوميغا تي +\ فاي) $$
    التسارع العام في SHM $a (t) = -A\ أوميغا ^ {2}\ كوس (\ أوميغا تي +\ فاي) $$
    الحد الأقصى للإزاحة (السعة) لـ SHM $x_ {الحد الأقصى} = A$$
    السرعة القصوى لـ SHM $|v_ {ماكس} | = A\ أوميغا $$
    أقصى تسارع لـ SHM $|a_ {max} | = A\ أوميغا ^ {2} $$
    التردد الزاوي لنظام الزنبرك الشامل في SHM $$\ أوميغا =\ sqrt {\ frac {k} {م}} $$
    فترة نظام الربيع الشامل في SHM $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {m} {k}} $$
    تردد نظام الزنبرك الشامل في SHM $f =\ frac {1} {2\ pi}\ sqrt {\ frac {k} {م}} $$
    الطاقة في نظام الينابيع الشامل في SHM $E_ {المجموع} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ فراك {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} kA^ {2} $$
    سرعة الكتلة في نظام الكتلة الزنبركية في SHM $v =\ pm\ sqrt {\ frac {k} {م} (A^ {2} - x^ {2})} $$
    المكون x لنصف قطر القرص الدوار $$x (t) = A\ cos (\ أوميغا تي +\ فاي) $$
    المكون x لسرعة حافة القرص الدوار $v (t) = -v_ {ماكس}\ سين (\ أوميغا تي +\ فاي) $$
    المكون x لتسريع حافة القرص الدوار $a (t) = -a_ {max}\ كوس (\ أوميغا تي +\ فاي) $$
    معادلة القوة لبندول بسيط $$\ frac {d^ {2}\ ثيتا} {dt^ {2}} = -\ frac {g} {L}\ theta$$
    تردد زاوي لبندول بسيط $$\ أوميغا =\ sqrt {\ frac {g} {L}} $$
    فترة البندول البسيط $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {L} {g}} $$
    التردد الزاوي للبندول المادي $$\ أوميغا =\ sqrt {\ frac {mGL} {I}} $$
    فترة البندول المادي $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {mGL}} $$
    فترة البندول الالتوائي $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {\ كابا}} $$
    قانون نيوتن الثاني للحركة التوافقية $$m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} + ب\ فراك {dx} {dt} + kx = 0 دولار
    حل للحركة التوافقية المخففة $x (t) = A_ {0} e^ {-\ frac {b} {2m} t}\ كوس (\ أوميغا تي +\ فاي) $$
    التردد الزاوي الطبيعي لنظام الزنبرك الشامل $$\ أوميغا _ {0} =\ sqrt {\ frac {k} {م}} $$
    التردد الزاوي للحركة التوافقية المخففة $$\ أوميغا =\ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2} -\ يسار (\ dfrac {b} {2}\ يمين) ^ {2}} $$
    قانون نيوتن الثاني للتذبذب القسري المخفف $-kx -kx -b\ frac {dx} {dt} + F_ {0}\ سين (\ أوميغا تي) = m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} $$
    حل لقانون نيوتن الثاني للتذبذبات القسرية المخففة $$x (t) = A\ cos (\ أوميغا تي +\ فاي) $$
    سعة النظام التي تخضع لتذبذبات قسرية مخففة $A =\ frac {F_ {0}} {\ sqrt {m (\ أوميغا ^ {2} -\ أوميغا _ {0} ^ {2}) ^ {2} + b^ {2}\ أوميغا ^ {2}} $$

    ملخص

    15.1 حركة توافقية بسيطة

    • الحركة الدورية هي تذبذب متكرر. وقت التذبذب الواحد هو الفترة T وعدد التذبذبات لكل وحدة زمنية هو التردد f وترتبط هذه الكميات بـ\(f = \frac{1}{T}\).
    • الحركة التوافقية البسيطة (SHM) هي حركة تذبذبية لنظام تكون فيه قوة الاستعادة متناسبة مع الإزاحة وتعمل في الاتجاه المعاكس للإزاحة.
    • الحد الأقصى للإزاحة هو السعة A. يتم إعطاء التردد\(\omega\) الزاوي والفترة T والتردد f لمذبذب توافقي بسيط بواسطة\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)\(\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)، T = 2\(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\)، و f =، حيث m هي كتلة النظام و k هي ثابت القوة.
    • يتم إعطاء الإزاحة كدالة للوقت في SHM بواسطة x (t) = Acos\(\left(\dfrac{2 \pi}{T} t + \phi \right)\) = Acos (\(\omega t + \phi\)).
    • يتم إعطاء السرعة بواسطة v (t) = -A\(\omega\) sin (\(\omega t + \phi\)) = -v max sin (\(\omega t + \phi\))، حيث v max = A\(\omega\) = A\(\sqrt{\frac{k}{m}}\).
    • يتم إعطاء التسارع بواسطة a (t) = -A\(\omega^{2}\) cos (\(\omega t + \phi\)) = -a max cos (\(\omega t + \phi\))، حيث الحد الأقصى = A\(\omega^{2}\) = A\(\frac{k}{m}\).

    15.2 الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة

    • يرتبط أبسط أنواع التذبذبات بالأنظمة التي يمكن وصفها بقانون هوك، F = −kx، حيث F هي قوة الاستعادة، x هي الإزاحة من التوازن أو التشوه، و k هو ثابت القوة للنظام.
    • يتم إعطاء الطاقة الكامنة المرنة U المخزنة في تشوه النظام الذي يمكن وصفه بقانون Hooke بواسطة U =\(\frac{1}{2}\) kx 2.
    • يتم تقاسم الطاقة في المذبذب التوافقي البسيط بين الطاقة الكامنة المرنة والطاقة الحركية، بحيث يكون الإجمالي ثابتًا: $E_ {المجموع} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ frac {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} {2} kA^ {2} = ثابت\ ldotp $$
    • يمكن العثور على حجم السرعة كدالة لموضع المذبذب التوافقي البسيط باستخدام $$v =\ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2} - x^ {2})}\ ldotp$$

    15.3 مقارنة الحركة التوافقية البسيطة والحركة الدائرية

    • يخضع إسقاط الحركة الدائرية المنتظمة لتذبذب توافقي بسيط.
    • ضع في اعتبارك دائرة نصف قطرها A تتحرك بسرعة زاوية ثابتة\(\omega\). تتحرك نقطة على حافة الدائرة بسرعة عرضية ثابتة تبلغ v max = A\(\omega\). إسقاط نصف القطر على المحور السيني هو x (t) = Acos (\(\omega\)t +\(\phi\))، حيث (\(\phi\)) هو التحول الطوري. المكون x للسرعة العرضية هو v (t) = −A\(\omega\) sin (\(\omega\)t +\(\phi\)).

    15.4 البندول

    • الكتلة m المعلقة بسلك طوله L وكتلة ضئيلة هي بندول بسيط ويخضع لـ SHM لسعات أقل من حوالي 15 درجة. فترة البندول البسيط هي T = 2\(\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)، حيث L هي طول السلسلة و g هي التسارع الناتج عن الجاذبية.
    • \(\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}\)يمكن العثور على فترة البندول المادي T = 2 إذا كانت لحظة القصور الذاتي معروفة. الطول بين نقطة الدوران ومركز الكتلة هو L.
    • \(\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}}\)يمكن العثور على فترة البندول الالتوائي T = 2 إذا كانت لحظة القصور الذاتي وثابت الالتواء معروفة.

    15.5 تذبذبات مخمدة

    • تحتوي المذبذبات التوافقية المخففة على قوى غير محافظة تبدد طاقتها.
    • يؤدي التخميد الحرج إلى إعادة النظام إلى حالة التوازن بأسرع ما يمكن دون تجاوز الحد.
    • سوف يتذبذب النظام المثبط من خلال وضع التوازن.
    • يتحرك النظام المثبط بشكل أبطأ نحو التوازن من النظام المثبط بشدة.

    15.6 التذبذبات القسرية

    • التردد الطبيعي للنظام هو التردد الذي يتأرجح فيه النظام إذا لم يتأثر بقوى القيادة أو التخميد.
    • تنتج القوة الدورية التي تدفع المذبذب التوافقي بتردده الطبيعي الرنين. ويقال أن النظام يتردد صداه.
    • كلما قل التخميد في النظام، زادت سعة التذبذبات القسرية بالقرب من الرنين. وكلما زاد التخميد الذي يتمتع به النظام، زادت استجابته على نطاق أوسع لترددات القيادة المختلفة.

    المساهمون والصفات