15S: التذبذبات (ملخص)
الشروط الرئيسية
السعة (A) | الحد الأقصى للإزاحة من موضع توازن جسم يتذبذب حول موضع التوازن |
مخمد بشكل حاسم | الحالة التي يؤدي فيها تخميد المذبذب إلى عودته في أسرع وقت ممكن إلى موضع توازنه دون التذبذب ذهابًا وإيابًا حول هذا الموضع |
طاقة كامنة مرنة | الطاقة المحتملة المخزنة نتيجة تشوه جسم مرن، مثل تمدد الزنبرك |
وضع التوازن | الموضع الذي لا يكون فيه الزنبرك ممتدًا أو مضغوطًا |
ثابت القوة (ك) | خاصية الزنبرك التي تُعرّف بأنها نسبة القوة المطبقة على الزنبرك إلى الإزاحة الناتجة عن القوة |
التردد (و) | عدد الأحداث لكل وحدة زمنية |
تردد زاوي طبيعي | التردد الزاوي لنظام يتذبذب في SHM |
ذبذبة | التذبذب الفردي للكمية، أو التقلبات المتكررة والمنتظمة للكمية، بين قيمتين متطرفتين حول قيمة التوازن أو القيمة المتوسطة |
مغمور | الحالة التي يؤدي فيها تخميد المذبذب إلى عودته إلى التوازن دون التذبذب؛ يتحرك المذبذب بشكل أبطأ نحو التوازن مقارنة بالنظام المثبط بشدة |
الفترة (T) | الوقت المستغرق لإكمال التذبذب الواحد |
حركة دورية | الحركة التي تكرر نفسها على فترات زمنية منتظمة |
التحول المرحلي | الزاوية، بالراديان، التي تُستخدم في دالة جيب التمام أو الجيب لتحويل الدالة يسارًا أو يمينًا، وتُستخدم لمطابقة الدالة مع الشروط الأولية للبيانات |
البندول المادي | أي كائن موسع يتأرجح مثل البندول |
رنين | تذبذبات ذات سعة كبيرة في نظام ينتج عن قوة دافعة ذات سعة صغيرة، لها تردد يساوي التردد الطبيعي |
استعادة القوة | قوة تعمل في مواجهة القوة الناجمة عن التشوه |
الحركة التوافقية البسيطة (SHM) | حركة تذبذبية في نظام تتناسب فيه قوة الاستعادة مع الإزاحة، والتي تعمل في الاتجاه المعاكس للإزاحة |
مذبذب توافقي بسيط | جهاز يتأرجح في SHM حيث تتناسب قوة الاستعادة مع الإزاحة وتعمل في الاتجاه المعاكس للإزاحة |
بندول بسيط | كتلة نقطية، تسمى بندول بوب، متصلة بخيط شبه عديم الكتلة |
نقطة توازن مستقرة | نقطة تكون فيها القوة الصافية في النظام صفرًا، لكن الإزاحة الصغيرة للكتلة ستؤدي إلى قوة استعادة تشير إلى نقطة التوازن |
البندول الالتوائي | أي جسم معلق يتأرجح عن طريق لف التعليق |
تحت التخميد | الحالة التي يؤدي فيها تخميد المذبذب إلى انخفاض سعة تذبذبات المذبذب التوافقي المثبط بمرور الوقت، ويقترب في النهاية من الصفر |
المعادلات الرئيسية
العلاقة بين التردد والفترة | f= frac1T |
المركز في SHM معϕ = 0.00 | x(t)=A cos( أوميغاتي) |
المنصب العام في SHM | x(t)=A cos( أوميغاتي+ فاي) |
السرعة العامة في SHM | v(t)=−A أوميغا سين( أوميغاتي+ فاي) |
التسارع العام في SHM | $a (t) = -A\ أوميغا ^ {2}\ كوس (\ أوميغا تي +\ فاي) $$ |
الحد الأقصى للإزاحة (السعة) لـ SHM | $x_ {الحد الأقصى} = A$$ |
السرعة القصوى لـ SHM | $|v_ {ماكس} | = A\ أوميغا $$ |
أقصى تسارع لـ SHM | $|a_ {max} | = A\ أوميغا ^ {2} $$ |
التردد الزاوي لنظام الزنبرك الشامل في SHM | أوميغا= sqrt frackم |
فترة نظام الربيع الشامل في SHM | T=2 pi sqrt fracmk |
تردد نظام الزنبرك الشامل في SHM | $f =\ frac {1} {2\ pi}\ sqrt {\ frac {k} {م}} $$ |
الطاقة في نظام الينابيع الشامل في SHM | $E_ {المجموع} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ فراك {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} kA^ {2} $$ |
سرعة الكتلة في نظام الكتلة الزنبركية في SHM | $v =\ pm\ sqrt {\ frac {k} {م} (A^ {2} - x^ {2})} $$ |
المكون x لنصف قطر القرص الدوار | x(t)=A cos( أوميغاتي+ فاي) |
المكون x لسرعة حافة القرص الدوار | $v (t) = -v_ {ماكس}\ سين (\ أوميغا تي +\ فاي) $$ |
المكون x لتسريع حافة القرص الدوار | $a (t) = -a_ {max}\ كوس (\ أوميغا تي +\ فاي) $$ |
معادلة القوة لبندول بسيط | fracd2 ثيتاdt2=− fracgL theta |
تردد زاوي لبندول بسيط | أوميغا= sqrt fracgL |
فترة البندول البسيط | T=2 pi sqrt fracLg |
التردد الزاوي للبندول المادي | أوميغا= sqrt fracmGLI |
فترة البندول المادي | T=2 pi sqrt fracImGL |
فترة البندول الالتوائي | T=2 pi sqrt fracI كابا |
قانون نيوتن الثاني للحركة التوافقية | $$m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} + ب\ فراك {dx} {dt} + kx = 0 دولار |
حل للحركة التوافقية المخففة | $x (t) = A_ {0} e^ {-\ frac {b} {2m} t}\ كوس (\ أوميغا تي +\ فاي) $$ |
التردد الزاوي الطبيعي لنظام الزنبرك الشامل | أوميغا0= sqrt frackم |
التردد الزاوي للحركة التوافقية المخففة | أوميغا= sqrt omega20− يسار( dfracb2 يمين)2 |
قانون نيوتن الثاني للتذبذب القسري المخفف | $-kx -kx -b\ frac {dx} {dt} + F_ {0}\ سين (\ أوميغا تي) = m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} $$ |
حل لقانون نيوتن الثاني للتذبذبات القسرية المخففة | x(t)=A cos( أوميغاتي+ فاي) |
سعة النظام التي تخضع لتذبذبات قسرية مخففة | $A =\ frac {F_ {0}} {\ sqrt {m (\ أوميغا ^ {2} -\ أوميغا _ {0} ^ {2}) ^ {2} + b^ {2}\ أوميغا ^ {2}} $$ |
ملخص
15.1 حركة توافقية بسيطة
- الحركة الدورية هي تذبذب متكرر. وقت التذبذب الواحد هو الفترة T وعدد التذبذبات لكل وحدة زمنية هو التردد f وترتبط هذه الكميات بـf=1T.
- الحركة التوافقية البسيطة (SHM) هي حركة تذبذبية لنظام تكون فيه قوة الاستعادة متناسبة مع الإزاحة وتعمل في الاتجاه المعاكس للإزاحة.
- الحد الأقصى للإزاحة هو السعة A. يتم إعطاء الترددω الزاوي والفترة T والتردد f لمذبذب توافقي بسيط بواسطةω=√kmπ√mk، T = 212π√km، و f =، حيث m هي كتلة النظام و k هي ثابت القوة.
- يتم إعطاء الإزاحة كدالة للوقت في SHM بواسطة x (t) = Acos(2πTt+ϕ) = Acos (ωt+ϕ).
- يتم إعطاء السرعة بواسطة v (t) = -Aω sin (ωt+ϕ) = -v max sin (ωt+ϕ)، حيث v max = Aω = A√km.
- يتم إعطاء التسارع بواسطة a (t) = -Aω2 cos (ωt+ϕ) = -a max cos (ωt+ϕ)، حيث الحد الأقصى = Aω2 = Akm.
15.2 الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة
- يرتبط أبسط أنواع التذبذبات بالأنظمة التي يمكن وصفها بقانون هوك، F = −kx، حيث F هي قوة الاستعادة، x هي الإزاحة من التوازن أو التشوه، و k هو ثابت القوة للنظام.
- يتم إعطاء الطاقة الكامنة المرنة U المخزنة في تشوه النظام الذي يمكن وصفه بقانون Hooke بواسطة U =12 kx 2.
- يتم تقاسم الطاقة في المذبذب التوافقي البسيط بين الطاقة الكامنة المرنة والطاقة الحركية، بحيث يكون الإجمالي ثابتًا: $E_ {المجموع} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ frac {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} {2} kA^ {2} = ثابت\ ldotp $$
- يمكن العثور على حجم السرعة كدالة لموضع المذبذب التوافقي البسيط باستخدام v= sqrt frackm(A2−x2) ldotp
15.3 مقارنة الحركة التوافقية البسيطة والحركة الدائرية
- يخضع إسقاط الحركة الدائرية المنتظمة لتذبذب توافقي بسيط.
- ضع في اعتبارك دائرة نصف قطرها A تتحرك بسرعة زاوية ثابتةω. تتحرك نقطة على حافة الدائرة بسرعة عرضية ثابتة تبلغ v max = Aω. إسقاط نصف القطر على المحور السيني هو x (t) = Acos (ωt +ϕ)، حيث (ϕ) هو التحول الطوري. المكون x للسرعة العرضية هو v (t) = −Aω sin (ωt +ϕ).
15.4 البندول
- الكتلة m المعلقة بسلك طوله L وكتلة ضئيلة هي بندول بسيط ويخضع لـ SHM لسعات أقل من حوالي 15 درجة. فترة البندول البسيط هي T = 2π√Lg، حيث L هي طول السلسلة و g هي التسارع الناتج عن الجاذبية.
- π√ImgLيمكن العثور على فترة البندول المادي T = 2 إذا كانت لحظة القصور الذاتي معروفة. الطول بين نقطة الدوران ومركز الكتلة هو L.
- π√Iκيمكن العثور على فترة البندول الالتوائي T = 2 إذا كانت لحظة القصور الذاتي وثابت الالتواء معروفة.
15.5 تذبذبات مخمدة
- تحتوي المذبذبات التوافقية المخففة على قوى غير محافظة تبدد طاقتها.
- يؤدي التخميد الحرج إلى إعادة النظام إلى حالة التوازن بأسرع ما يمكن دون تجاوز الحد.
- سوف يتذبذب النظام المثبط من خلال وضع التوازن.
- يتحرك النظام المثبط بشكل أبطأ نحو التوازن من النظام المثبط بشدة.
15.6 التذبذبات القسرية
- التردد الطبيعي للنظام هو التردد الذي يتأرجح فيه النظام إذا لم يتأثر بقوى القيادة أو التخميد.
- تنتج القوة الدورية التي تدفع المذبذب التوافقي بتردده الطبيعي الرنين. ويقال أن النظام يتردد صداه.
- كلما قل التخميد في النظام، زادت سعة التذبذبات القسرية بالقرب من الرنين. وكلما زاد التخميد الذي يتمتع به النظام، زادت استجابته على نطاق أوسع لترددات القيادة المختلفة.