Skip to main content
Global

12.5: الإجهاد والتوتر ومعامل المرونة (الجزء 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200013

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الإجهاد بالجملة، والإجهاد، والمعامل

    عندما تغوص في الماء، تشعر بقوة تضغط على كل جزء من جسمك من جميع الاتجاهات. ما تعاني منه بعد ذلك هو الإجهاد الجماعي، أو بعبارة أخرى، الضغط. يميل الضغط بالجملة دائمًا إلى تقليل الحجم المحاط بسطح جسم مغمور. دائمًا ما تكون قوى هذا «الضغط» متعامدة مع السطح المغمور الشكل\(\PageIndex{1}\). يتمثل تأثير هذه القوى في تقليل حجم الجسم المغمور بمقدار\(\Delta\) V مقارنة بالحجم V 0 للكائن في حالة عدم وجود إجهاد كلي. هذا النوع من التشوه يسمى الإجهاد السائب ويتم وصفه بتغيير في الحجم بالنسبة للمجلد الأصلي:

    \[bulk\; strain = \frac{\Delta V}{V_{0}} \label{12.37}\]

    الشكل عبارة عن رسم تخطيطي للقوى التي يمر بها كائن تحت الضغط الجماعي. تعمل القوى المتساوية المتعامدة على السطح من جميع الاتجاهات وتقلل الحجم بمقدار دلتا V مقارنة بالحجم الأصلي، V0.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): دائمًا ما يتعرض الجسم الذي يتعرض لضغط كبير متزايد إلى انخفاض في حجمه. تعمل القوى المتساوية المتعامدة على السطح من جميع الاتجاهات. يتمثل تأثير هذه القوى في تقليل الحجم بمقدار\(\Delta\) V مقارنة بالحجم الأصلي، V 0.

    ينتج الإجهاد الأكبر عن الضغط الكتلي، وهو قوة F \(\perp\)طبيعية على السطح الذي يضغط على مساحة سطح الوحدة A لجسم مغمور. يتم تعريف هذا النوع من الكمية الفيزيائية، أو الضغط p، على أنه

    \[pressure = p \equiv \frac{F_{\perp}}{A} \ldotp \label{12.38}\]

    سوف ندرس الضغط في السوائل بمزيد من التفصيل في ميكانيكا الموائع. من الخصائص المهمة للضغط أنه كمية قياسية وليس لها أي اتجاه معين؛ أي أن الضغط يعمل بالتساوي في جميع الاتجاهات الممكنة. عندما تغمر يدك في الماء، تشعر بنفس مقدار الضغط الذي يحدث على السطح العلوي من يدك كما هو الحال على السطح السفلي، أو على السطح الجانبي، أو على سطح الجلد بين أصابعك. ما تلاحظه في هذه الحالة هو زيادة الضغط على\(\Delta\) ما اعتدت أن تشعر به عندما لا تكون يدك مغمورة في الماء. ما تشعر به عندما لا تكون يدك مغمورة في الماء هو الضغط العادي p 0 لجو واحد، والذي يعمل كنقطة مرجعية. الضغط الأكبر هو هذه الزيادة في الضغط، أو\(\Delta\) p، فوق المستوى العادي، p 0.

    عندما يزداد الضغط الكلي، يزداد الضغط الجماعي في الاستجابة، وفقًا للمعادلة 12.4.4. يُطلق على ثابت التناسب في هذه العلاقة اسم معامل الكتلة أو B أو

    \[B = \frac{bulk\; stress}{bulk\; strain} = \frac{\Delta p}{\frac{\Delta V}{V_{0}}} = - \Delta p \frac{V_{0}}{\Delta V} \ldotp \label{12.39}\]

    علامة الطرح التي تظهر في المعادلة\ ref {12.39} هي للتناسق، للتأكد من أنها\(B\) كمية موجبة. لاحظ أن علامة الطرح (—) ضرورية لأن زيادة\(\Delta\) p في الضغط (كمية موجبة) تؤدي دائمًا إلى انخفاض\(\Delta\) V في الحجم، وانخفاض الحجم هو كمية سالبة. يُطلق على مقلوب المعامل الكتلي اسم الانضغاطية k، أو

    \[k = \frac{1}{B} = - \frac{\frac{\Delta V}{V_{0}}}{\Delta p} \ldotp \label{12.40}\]

    يستخدم مصطلح «الانضغاطية» فيما يتعلق بالسوائل (الغازات والسوائل). تصف الانضغاطية التغيير في حجم السائل لكل وحدة زيادة في الضغط. من السهل نسبيًا ضغط السوائل التي تتميز بالانضغاط الكبير. على سبيل المثال، تبلغ قابلية انضغاط الماء 4.64 × 10 −5 /atm وقابلية انضغاط الأسيتون هي 1.45 × 10 −4 /atm. وهذا يعني أنه في ظل زيادة الضغط بمقدار 1.0 atm، يكون الانخفاض النسبي في الحجم أكبر بثلاث مرات تقريبًا بالنسبة للأسيتون كما هو الحال بالنسبة للماء.

    مثال\(\PageIndex{1}\): Hydraulic Press

    في شكل الضغط الهيدروليكي\(\PageIndex{2}\)، يتعرض حجم الزيت الذي يبلغ 250 لترًا لزيادة ضغط 2300 رطل لكل بوصة مربعة. إذا كانت قابلية انضغاط الزيت تساوي 2.0 × 10 −5/atm، فأوجد الضغط السائب والانخفاض المطلق في حجم الزيت عند تشغيل المكبس.

    الشكل هو رسم تخطيطي لمكبس هيدروليكي. يتم إزاحة المكبس الصغير إلى الأسفل ويتسبب في تحرك جسم المكبس الكبير لأعلى.
    الشكل\(\PageIndex{2}\): في المكبس الهيدروليكي، عندما يتم إزاحة مكبس صغير لأسفل، ينتقل الضغط في الزيت في جميع أنحاء الزيت إلى المكبس الكبير، مما يتسبب في تحرك المكبس الكبير لأعلى. تتسبب القوة الصغيرة المطبقة على مكبس صغير في قوة ضغط كبيرة يمارسها المكبس الكبير على جسم يتم رفعه أو عصره. يعمل الجهاز كرافعة ميكانيكية.

    إستراتيجية

    يجب علينا عكس المعادلة\ ref {12.40} للعثور على السلالة السائبة. أولاً، نقوم بتحويل زيادة الضغط من psi إلى atm،\(\Delta\) p = 2300 psi =\(\frac{2300}{14.7\; atm}\) ≈ 160 atm، وتحديد V 0 = 250 L.

    الحل

    باستبدال القيم في المعادلة، لدينا

    \[bulk\; strain = \frac{\Delta V}{V_{0}} = \frac{\Delta p}{B} = k \Delta p = (2.0 \times 10^{-5}\; /atm)(160\; atm) = 0.0032\]

    إجابة

    \[\Delta V = 0.0032 V_{0} = 0.0032 (250\; L) = 0.78\; L \ldotp\]

    الدلالة

    لاحظ أنه نظرًا لأن قابلية انضغاط الماء أكبر بـ 2.32 مرة من الزيت، إذا تم تغيير المادة العاملة في المكبس الهيدروليكي لهذه المشكلة إلى ماء، فسيكون الضغط السائب وكذلك تغيير الحجم أكبر بمقدار 2.32 مرة.

    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    إذا تغيرت القوة العادية المؤثرة على كل وجه من أوجه قطعة فولاذية مكعبة طولها ١٫٠ م ٣ بمقدار ١٫٠ × ١٠ ٧ نيوتن، فأوجد التغيُّر الناتج في حجم قطعة الفولاذ.

    إجهاد القص والتوتر والمعامل

    تتعلق مفاهيم إجهاد القص والضغط بالأشياء الصلبة أو المواد فقط. المباني والألواح التكتونية هي أمثلة على الأشياء التي قد تتعرض لضغوط القص. بشكل عام، لا تنطبق هذه المفاهيم على السوائل.

    يحدث تشوه القص عندما يتم تطبيق قوتين مضادتين متساويتين في الحجم بشكل عرضي على الأسطح المقابلة لجسم صلب، مما لا يسبب أي تشوه في الاتجاه العرضي لخط القوة، كما هو الحال في المثال النموذجي لإجهاد القص الموضح في الشكل\(\PageIndex{3}\). يتميز تشوه القص بالتحول التدريجي\(\Delta\) x للطبقات في اتجاه المماس للقوى العاملة. يحدث هذا التدرج في\(\Delta\) x في الاتجاه العرضي على طول بعض المسافة L 0. يتم تعريف سلالة القص من خلال نسبة أكبر إزاحة\(\Delta\) x إلى المسافة العرضية L 0

    \[shear\; strain = \frac{\Delta x}{L_{0}} \ldotp \label{12.41}\]

    يحدث إجهاد القص بسبب إجهاد القص. يرجع إجهاد القص إلى القوى التي تعمل بالتوازي مع السطح. نحن نستخدم الرمز F \(\parallel\)لهذه القوى. الحجم F \(\parallel\)لكل مساحة سطح A حيث يتم تطبيق قوة القص هو مقياس إجهاد القص.

    \[shear\; stress = \frac{F_{\parallel}}{A} \ldotp \label{12.42}\]

    معامل القص هو ثابت التناسب في المعادلة\ ref {12.33} ويتم تحديده من خلال نسبة الضغط إلى الإجهاد. عادةً ما يتم الإشارة إلى معامل القص من خلال\(S\):

    \[S = \frac{shear\; stress}{shear\; strain} = \frac{\frac{F_{\parallel}}{A}}{\frac{\Delta x}{L_{0}}} = \frac{F_{\parallel}}{A} \frac{L_{0}}{\Delta x} \ldotp \label{12.43}\]

    الشكل عبارة عن رسم تخطيطي لكائن تحت ضغط القص: يتم تطبيق قوتين متعارضتين متساويتين في الحجم بشكل عرضي على الأسطح المتوازية المقابلة للكائن. ونتيجة لذلك، يتم تحويل الكائن من المستطيل إلى متوازي الأضلاع، الشكل. بينما يظل ارتفاع الكائن كما هو، تنتقل الزوايا العلوية إلى اليمين بواسطة Delta X.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): كائن تحت ضغط القص: يتم تطبيق قوتين متعارضتين متساويتين في الحجم بشكل عرضي على الأسطح المتوازية المقابلة للجسم. يصور محيط الخط المتقطع التشوه الناتج. لا يوجد أي تغيير في الاتجاه العرضي للقوى العاملة ولا يتأثر الطول العرضي L 0. يتميز تشوه القص بالتحول التدريجي\(\Delta\) x للطبقات في اتجاه المماس للقوى.
    مثال\(\PageIndex{2}\): An Old Bookshelf

    يحاول عامل التنظيف تحريك خزانة كتب قديمة ثقيلة على أرضية مغطاة بالسجاد عن طريق الضغط بشكل عرضي على سطح الرف العلوي. ومع ذلك، فإن التأثير الوحيد الملحوظ لهذا الجهد يشبه التأثير الظاهر في الشكل\(\PageIndex{2}\)، ويختفي عندما يتوقف الشخص عن الدفع. يبلغ طول خزانة الكتب 180.0 سم وعرضها 90.0 سم مع أربعة أرفف بعمق 30.0 سم، وكلها محملة جزئيًا بالكتب. الوزن الإجمالي لخزانة الكتب والكتب هو 600.0 نيوتن. إذا أعطى الشخص الرف العلوي دفعة مقدارها 50.0-N لتحل محل الرف العلوي أفقيًا بمقدار 15.0 سم بالنسبة إلى الرف السفلي غير المتحرك، فأوجد معامل القص لخزانة الكتب.

    إستراتيجية

    الأجزاء الوحيدة من المعلومات ذات الصلة هي الأبعاد المادية لخزانة الكتب، وقيمة القوة العرضية، والإزاحة التي تسببها هذه القوة. نحدد F \(\parallel\)= 50.0 N،\(\Delta\) x = 15.0 سم، L 0 = 180.0 سم، و A = (30.0 سم) (90.0 سم) = 2700.0 سم 2، ونستخدم المعادلة\ المرجع {12.43} لحساب معامل القص.

    الحل

    باستبدال الأرقام في المعادلات، نحصل على معامل القص

    \[S = \frac{F_{\parallel}}{A} \frac{L_{0}}{\Delta x} = \frac{50.0\; N}{2700.0\; cm^{2}} \frac{180.0\; cm}{15.0\; cm} = \frac{2}{9} \frac{M}{cm^{2}} = \frac{2}{9} \times 10^{4}\; N/m^{2} = \frac{20}{9} \times 10^{3}\; Pa = 2.222\; kPa \ldotp \nonumber\]

    يمكننا أيضًا العثور على إجهاد القص والتوتر، على التوالي:

    \[\frac{F_{\parallel}}{A} = \frac{50.0\; N}{2700.0\; cm^{2}} = \frac{5}{27}\; kPa = 185.2\; Pa \nonumber\]

    \[\frac{\Delta x}{L_{0}} = \frac{15.0\; cm}{180.0\; cm} = \frac{1}{12} = 0.083 \ldotp \nonumber\]

    الدلالة

    إذا أعطى الشخص في هذا المثال الرف دفعة صحية، فقد يحدث أن يؤدي القص المستحث إلى تحوله إلى كومة من القمامة. إن آلية القص نفسها مسؤولة إلى حد كبير عن فشل السدود والسدود المليئة بالأرض؛ وبشكل عام، عن الانهيارات الأرضية.

    التمارين\(\PageIndex{2}\)

    اشرح لماذا لا تنطبق مفاهيم معامل يونغ ومعامل القص على السوائل.