12.4: معامل الإجهاد والتوتر والمرونة (الجزء الأول)
- Page ID
- 200005
- شرح مفاهيم الإجهاد والتوتر في وصف التشوهات المرنة للمواد
- وصف أنواع التشوه المرن للأشياء والمواد
نموذج الجسم الصلب هو مثال مثالي لجسم لا يتشوه تحت تأثير القوى الخارجية. إنه مفيد جدًا عند تحليل الأنظمة الميكانيكية - والعديد من الأشياء المادية صلبة بالفعل إلى حد كبير. يعتمد مدى اعتبار الكائن جامدًا على الخصائص الفيزيائية للمادة التي صنع منها. على سبيل المثال، تكون كرة البينج بونج المصنوعة من البلاستيك هشة، وكرة التنس المصنوعة من المطاط مرنة عند التأثير عليها بواسطة قوى السحق. ومع ذلك، في ظل ظروف أخرى، قد ترتد كل من كرة البينج بونج وكرة التنس بشكل جيد مثل الأجسام الصلبة. وبالمثل، فإن الشخص الذي يصمم الأطراف الاصطناعية قد يكون قادرًا على تقريب آليات الأطراف البشرية من خلال نمذجتها كأجسام صلبة؛ ومع ذلك، فإن التركيبة الفعلية للعظام والأنسجة هي وسيلة مرنة.
بالنسبة لبقية هذا القسم، ننتقل من اعتبار القوى التي تؤثر على حركة الجسم إلى تلك التي تؤثر على شكل الجسم. يُعرف التغيير في الشكل بسبب تطبيق القوة بالتشوه. حتى القوى الصغيرة جدًا معروفة بأنها تسبب بعض التشوه. يحدث التشوه بواسطة الأشياء أو الوسائط المادية تحت تأثير قوى خارجية - على سبيل المثال، قد يكون هذا هو سحق الأشياء أو الضغط عليها أو تمزيقها أو لفها أو قصها أو فكها. في لغة الفيزياء، يصف مصطلحان القوى على الأجسام التي تتعرض للتشوه: الإجهاد والضغط.
الإجهاد هو كمية تصف حجم القوى التي تسبب التشوه. يتم تعريف الإجهاد عمومًا على أنه القوة لكل وحدة مساحة. عندما تسحب القوى شيئًا وتتسبب في استطالة جسمه، مثل تمدد الشريط المطاطي، فإننا نسمي هذا الضغط إجهاد الشد. عندما تتسبب القوى في ضغط جسم ما، فإننا نسميه إجهاد الضغط. عندما يتم ضغط جسم ما من جميع الجوانب، مثل الغواصة في أعماق المحيط، فإننا نسمي هذا النوع من الإجهاد الإجهاد بالجملة (أو الإجهاد الحجمي). في حالات أخرى، قد لا تكون القوى العاملة قابلة للشد أو الضغط، ولا تزال تنتج تشوهًا ملحوظًا. على سبيل المثال، لنفترض أنك تحمل كتابًا بإحكام بين راحتي يديك، ثم تضغط بإحدى يديك على الغلاف الأمامي وتسحبه بعيدًا عنك، بينما تضغط باليد الأخرى على الغلاف الخلفي وتسحبه نحوك. في مثل هذه الحالة، عندما تعمل قوى التشوه بشكل عرضي على سطح الجسم، فإننا نسميها قوى «القص» والضغط الذي تسببه يسمى إجهاد القص.
وحدة الضغط SI هي الباسكال (Pa). عندما يضغط نيوتن واحد من القوة على مساحة سطح الوحدة التي تبلغ مترًا مربعًا واحدًا، يكون الضغط الناتج هو باسكال واحد:
\[one\; pascal = 1.0\; Pa = \frac{1.0\; N}{1.0\; m^{2}} \ldotp\]
في نظام الوحدات البريطاني، وحدة الضغط هي «psi»، والتي تعني «رطل لكل بوصة مربعة» (رطل/بوصة 2). وحدة أخرى تستخدم غالبًا للإجهاد بالجملة هي أجهزة الصراف الآلي (الغلاف الجوي). عوامل التحويل هي
\[1\; psi = 6895\; Pa\; and\; 1\; Pa = 1.450 \times 10^{-4}\; psi\]
\[1\; atm = 1.013 \times 10^{5}\; Pa = 14.7\; psi \ldotp\]
يصبح الكائن أو الوسيط تحت الضغط مشوهًا. الكمية التي تصف هذا التشوه تسمى السلالة. يتم إعطاء الإجهاد كتغيير جزئي في الطول (تحت ضغط الشد) أو الحجم (تحت الضغط بالجملة) أو الهندسة (تحت ضغط القص). لذلك، فإن الإجهاد هو رقم بلا أبعاد. يُطلق على الإجهاد تحت ضغط الشد اسم إجهاد الشد، ويسمى الإجهاد تحت الضغط السائب الإجهاد بالجملة (أو إجهاد الحجم)، ويسمى الإجهاد الناتج عن إجهاد القص سلالة القص.
كلما زاد الضغط، زاد الضغط؛ ومع ذلك، لا يجب أن تكون العلاقة بين الإجهاد والتوتر خطية. فقط عندما يكون الضغط منخفضًا بدرجة كافية يكون التشوه الذي يسببه بالتناسب المباشر مع قيمة الإجهاد. يسمى ثابت التناسب في هذه العلاقة بمعامل المرونة. في الحد الخطي لقيم الإجهاد المنخفضة، تكون العلاقة العامة بين الإجهاد والتوتر
\[stress = (elastic\; modulus) \times strain \ldotp \label{12.33}\]
كما نرى من التحليل البعدي لهذه العلاقة، فإن معامل المرونة له نفس الوحدة الفيزيائية للإجهاد لأن الإجهاد لا أبعاد له.
يمكننا أيضًا أن نرى من المعادلة\ ref {12.33} أنه عندما يتميز الكائن بقيمة كبيرة لمعامل المرونة، يكون تأثير الإجهاد صغيرًا. من ناحية أخرى، يعني معامل المرونة الصغير أن الإجهاد ينتج ضغطًا كبيرًا وتشوهًا ملحوظًا. على سبيل المثال، ينتج عن الضغط على الشريط المطاطي إجهادًا (تشوهًا) أكبر من نفس الضغط على شريط فولاذي من نفس الأبعاد لأن معامل المرونة للمطاط أصغر بدرجتين من معامل المرونة للصلب.
يُطلق على معامل المرونة لإجهاد الشد اسم معامل يونغ؛ ومعامل الضغط الكلي يسمى المعامل الكتلي؛ ومعامل إجهاد القص يسمى معامل القص. لاحظ أن العلاقة بين الإجهاد والتوتر هي علاقة ملحوظة يتم قياسها في المختبر. يتم قياس الوحدات المرنة للمواد المختلفة في ظل ظروف فيزيائية مختلفة، مثل درجات الحرارة المتغيرة، ويتم جمعها في جداول البيانات الهندسية كمرجع (الجدول\(\PageIndex{1}\)). هذه الجداول هي مراجع قيمة للصناعة ولأي شخص يشارك في الهندسة أو البناء. في القسم التالي، نناقش علاقات الإجهاد والإجهاد خارج الحد الخطي الذي تمثله المعادلة\ ref {12.33}، في النطاق الكامل لقيم الإجهاد حتى نقطة الكسر. في الجزء المتبقي من هذا القسم، ندرس الحد الخطي المعبر عنه بالمعادلة\ ref {12.33}.
| مادة | معامل يونغ × 10 × 10 باسكال | معامل الكتلة × 10 × 10 باسكال | معامل القص × 10 10 باسكال |
|---|---|---|---|
| ألمنيوم | 7.0 | 7.5 | 2.5 |
| العظام (التوتر) | 1.6 | 0.8 | 8.0 |
| العظام (الضغط) | 0.9 | ||
| نحاس | 9.0 | 6.0 | 3.5 |
| بريك | 1.5 | ||
| الخرسانة | 2.0 | ||
| نحاس | 11.0 | 14.0 | 4.4 |
| زجاج التاج | 6.0 | 5.0 | 2.5 |
| الغرانيت | 4.5 | 4.5 | 2.0 |
| شعر (بشري) | 1.0 | ||
| الخشب الصلب | 1.5 | 1.0 | |
| الحديد | 21.0 | 16.0 | 7.7 |
| الرصاص | 1.6 | 4.1 | 0.6 |
| ماربل | 6.0 | 7.0 | 2.0 |
| نيكل | 21.0 | 17.0 | 7.8 |
| بوليسترين | 3.0 | ||
| حرير | 6.0 | ||
| خيط العنكبوت | 3.0 | ||
| ستيل | 20.0 | 16.0 | 7.5 |
| أسيتون | 0.07 | ||
| الإيثانول | 0.09 | ||
| الجلسرين | 0.45 | ||
| الزئبق | 2.5 | ||
| الماء | 0.22 |
إجهاد الشد أو الضغط، والإجهاد، ومعامل يونغ
يحدث التوتر أو الضغط عندما تعمل قوتان مضادتان متساويتان في الحجم على جسم بطول واحد فقط من أبعاده، بحيث لا يتحرك الجسم. طريقة واحدة لتصور مثل هذا الموقف موضحة في الشكل\(\PageIndex{1}\). يتم شد مقطع القضيب أو ضغطه بواسطة زوج من القوى التي تعمل بطوله وعموديًا على المقطع العرضي. التأثير الصافي لهذه القوى هو أن القضيب يغير طوله من الطول الأصلي L 0 الذي كان عليه قبل ظهور القوى، إلى الطول الجديد L الذي كان عليه تحت تأثير القوى. قد يكون هذا التغيير في الطول\(\Delta\) L = L − L 0 إما استطالة (عندما\(L\) يكون أكبر من الطول الأصلي\(L_o\)) أو انكماشًا (عندما يكون L أصغر من الطول الأصلي L 0). يحدث إجهاد الشد والإجهاد عندما تقوم القوى بتمديد جسم ما، مما يتسبب في استطالة الجسم،\(\Delta L\) ويكون تغير الطول إيجابيًا. يحدث الإجهاد والضغط الانضغاطي عندما تنقبض القوى على جسم ما، مما يتسبب في تقصيره،\(\Delta L\) ويكون تغير الطول سالبًا.
في أي من هذه الحالات، نحدد الإجهاد على أنه نسبة قوة التشوه\(F_{\perp}\) إلى منطقة المقطع العرضي A للكائن المشوه. الرمز F \(\perp\)الذي نحتفظ به لقوة التشوه يعني أن هذه القوة تعمل بشكل عمودي على المقطع العرضي للكائن. لا تغير القوى التي تعمل بالتوازي مع المقطع العرضي طول الكائن. تعريف إجهاد الشد هو
\[tensile\; stress = \frac{F_{\perp}}{A} \ldotp \label{12.34}\]
إجهاد الشد هو مقياس تشوه الجسم تحت ضغط الشد ويتم تعريفه على أنه التغيير الجزئي لطول الكائن عندما يتعرض الجسم لإجهاد الشد
\[tensile\; strain = \frac{\Delta L}{L_{0}} \ldotp \label{12.35}\]
يتم تعريف الضغط والضغط من خلال نفس الصيغ، المعادلات\ ref {12.34} و\ ref {12.35}، على التوالي. الاختلاف الوحيد عن حالة الشد هو أنه بالنسبة لضغط الضغط والضغط، نأخذ القيم المطلقة للجانبين الأيمن في المعادلة\ ref {12.34} و\ ref {12.35}.
معامل يونغ\(Y\) هو معامل المرونة عندما يكون التشوه ناتجًا عن إجهاد الشد أو الضغط، ويتم تحديده من خلال المعادلة\ ref {12.33}. بقسمة هذه المعادلة على إجهاد الشد، نحصل على تعبير معامل يونغ:
\[Y = \frac{tensile\; stress}{tensile\; strain} = \frac{\frac{F_{\perp}}{A}}{\frac{\Delta L}{L_{0}}} = \frac{F_{\perp}}{A} = \frac{L_{0}}{\Delta L} \ldotp \label{12.36}\]
وُضع تمثال يزن 10,000 نيوتن على سطح أفقي أعلى شكل عمود عمودي طوله ٦٫٠ مترًا\(\PageIndex{1}\). تبلغ مساحة المقطع العرضي للعمود 0.20 م 2 وهو مصنوع من الجرانيت بكثافة كتلة تبلغ 2700 كجم/م 3. أوجد الضغط الانضغاطي عند المقطع العرضي الواقع على مسافة ٣ أمتار أسفل قمة العمود وقيمة إجهاد الضغط للجزء العلوي من العمود الذي يبلغ طوله ٣٫٠ م.
إستراتيجية
أولاً نجد وزن القسم العلوي من العمود الذي يبلغ طوله 3.0 متر. القوة العادية التي تؤثر على المقطع العرضي الواقع على مسافة ٣ أمتار من القمة هي مجموع وزن العمود ووزن التمثال. بمجرد حصولنا على القوة العادية، نستخدم المعادلة 12.34 لإيجاد الضغط. لإيجاد الضغط الانضغاطي، نجد قيمة معامل يونغ للجرانيت في الجدول\(\PageIndex{1}\) والمعادلة العكسية\ ref {12.36}.
الحل
حجم مقطع العمود بارتفاع h = 3.0 متر ومساحة المقطع العرضي A = 0.20 م 2 هو
\[V = Ah = (0.20\; m^{2})(3.0\; m) = 0.60\; m^{3} \ldotp\]
مع كثافة الجرانيت\(\rho\) = 2.7 × 10 3 كجم/م 3، تكون كتلة قطاع العمود
\[m = \rho V = (2.7 \times 10^{3}\; kg/m^{3})(0.60\; m^{3}) = 1.60 \times 10^{3}\; kg \ldotp\]
وزن شريحة العمود هو
\[w_{p} = mg = (1.60 \times 10^{3}\; kg)(9.80\; m/s^{2}) = 1.568 \times 10^{4}\; N \ldotp\]
وزن التمثال هو w s = 1.0 × 10 4 N، وبالتالي فإن القوة العادية على سطح المقطع العرضي الموجود على بعد 3.0 متر تحت التمثال هي
\[F_{\perp} = w_{p} + w_{s} = (1.568 + 1.0) \times 10^{4}\; N = 2.568 \times 10^{4}\; N \ldotp\]
لذلك، فإن الإجهاد هو
\[stress = \frac{F_{\perp}}{A} = \frac{2.568 \times 10^{4}\; N}{0.20 m^{2}} = 1.284 \times 10^{5}\; Pa = 128.4\; kPa \ldotp\]
معامل يونغ للجرانيت هو Y = 4.5 × 10 10 Pa = 4.5 × 10 7 كيلو باسكال. لذلك، فإن الضغط الانضغاطي في هذا الموضع هو
\[strain = \frac{stress}{Y} = \frac{128.4\; kPa}{4.5 \times 10^{7}\; kPa} = 2.85 \times 10^{-6} \ldotp\]
الأهمية
لاحظ أن القوة العادية المؤثرة على مساحة المقطع العرضي للعمود ليست ثابتة على طولها، ولكنها تختلف من أصغر قيمة لها في الأعلى إلى أكبر قيمة لها في أسفل العمود. وبالتالي، إذا كانت للعمود مساحة مقطعية موحدة بطوله، يكون الضغط أكبر عند قاعدته.
ابحث عن ضغط الضغط والضغط عند قاعدة عمود نيلسون.
قضيب فولاذي بطول 2.0 متر له مساحة مقطعية قدرها 0.30 سم 2. يعتبر القضيب جزءًا من دعامة رأسية تحمل منصة ثقيلة بوزن 550 كجم معلقة على الطرف السفلي للقضيب. عند تجاهل وزن القضيب، ما مقدار إجهاد الشد في القضيب واستطالة القضيب تحت الضغط؟
إستراتيجية
نقوم أولاً بحساب إجهاد الشد في القضيب تحت وزن المنصة وفقًا للمعادلة 12.34. ثم نقلب المعادلة 12.36 لإيجاد استطالة القضيب باستخدام L 0 = 2.0 م، ومن الجدول 12.1، يكون معامل يونغ للصلب هو Y = 2.0 × 10 11 Pa.
الحل
يعطينا استبدال القيم العددية في المعادلات
\[\begin{split} \frac{F_{\perp}}{A} & = \frac{(550\; kg)(9.8\; m/s^{2})}{3.0 \times 10^{-5}\; m^{2}} = 1.8 \times 10^{8}\; Pa \\ \Delta L & = \frac{F_{\perp}}{A} \frac{L_{0}}{Y} = (1.8 \times 10^{8}\; Pa) \left(\dfrac{2.0\; m}{2.0 \times 10^{11}\; Pa}\right) = 1.8 \times 10^{-3}\; m = 1.8\; mm \ldotp \end{split}\]
الأهمية
كما هو الحال في المثال مع العمود، فإن إجهاد الشد في هذا المثال ليس موحدًا على طول القضيب. على عكس المثال السابق، إذا تم أخذ وزن القضيب في الاعتبار، يكون الضغط في القضيب أكبر في الأعلى وأصغر في الجزء السفلي من القضيب حيث يتم توصيل الجهاز.
يمتد السلك بطول 2.0 متر إلى 1.0 مم عند تعرضه للحمل. ما شدة الشد في السلك؟
يمكن أن تتعرض الأشياء غالبًا لضغط الضغط وإجهاد الشد في وقت واحد\(\PageIndex{3}\). أحد الأمثلة على ذلك هو رف طويل محمل بالكتب الثقيلة التي تتدلى بين دعامات النهاية تحت وطأة الكتب. يتعرض السطح العلوي للجرف لضغط الضغط والسطح السفلي للجرف في ضغط الشد. وبالمثل، ترهل الحزم الطويلة والثقيلة تحت وزنها. في تشييد المباني الحديثة، يمكن القضاء على سلالات الانحناء هذه تقريبًا باستخدام I-beams Figure\(\PageIndex{4}\).
يوجد صندوق ثقيل على طاولة مدعومة بثلاثة أعمدة. شاهد هذا العرض التوضيحي لتحريك المربع لترى كيف يتأثر الضغط (أو الشد) في الأعمدة عندما يغير المربع موضعه.