10.3: الدوران مع التسارع الزاوي الثابت
- Page ID
- 199998
- اشتقاق المعادلات الحركية للحركة الدورانية مع التسارع الزاوي الثابت
- اختر من المعادلات الحركية للحركة الدورانية ذات التسارع الزاوي الثابت المعادلات المناسبة لحل المجاهيل في تحليل الأنظمة التي تخضع لدوران المحور الثابت
- استخدم الحلول الموجودة في المعادلات الحركية للتحقق من التحليل الرسومي لدوران المحور الثابت مع التسارع الزاوي الثابت
في القسم السابق، حددنا المتغيرات الدورانية للإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي. في هذا القسم، نعمل مع هذه التعريفات لاشتقاق العلاقات بين هذه المتغيرات واستخدام هذه العلاقات لتحليل الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت تحت تسارع زاوي ثابت. يشكل هذا التحليل أساس الكينماتيكا الدورانية. إذا كان التسارع الزاوي ثابتًا، فإن معادلات الكينماتيكا الدورانية تبسط، على غرار معادلات الكينماتيكا الخطية التي تمت مناقشتها في الحركة على طول الخط المستقيم والحركة في بعدين وثلاثة أبعاد. يمكننا بعد ذلك استخدام هذه المجموعة المبسطة من المعادلات لوصف العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة حيث يكون التسارع الزاوي للنظام ثابتًا. تعتبر الكينماتيكا الدورانية أيضًا شرطًا أساسيًا لمناقشة ديناميكيات الدوران لاحقًا في هذا الفصل.
معادلات الحركة الدورانية
باستخدام حدسنا، يمكننا أن نبدأ في رؤية كيفية ارتباط الكميات\(\theta\) الدورانية\(\omega\)\(\alpha\) و و t ببعضها البعض. على سبيل المثال، رأينا في القسم السابق أنه إذا كانت دولاب الموازنة له تسارع زاوي في نفس اتجاه متجه السرعة الزاوي، فإن سرعتها الزاوية تزداد بمرور الوقت وتزداد أيضًا إزاحتها الزاوية. على العكس من ذلك، إذا كان التسارع الزاوي معاكسًا لمتجه السرعة الزاوي، فإن سرعته الزاوية تتناقص بمرور الوقت. يمكننا وصف هذه المواقف الفيزيائية والعديد من الحالات الأخرى بمجموعة متسقة من المعادلات الحركية الدورانية تحت تسارع زاوي ثابت. تسمى طريقة فحص الحركة الدورانية بهذه الطريقة حركية الحركة الدورانية.
للبدء، نلاحظ أنه إذا كان النظام يدور تحت تسارع ثابت، فإن متوسط السرعة الزاوية يتبع علاقة بسيطة لأن السرعة الزاوية تزداد خطيًا مع مرور الوقت. متوسط السرعة الزاوية هو نصف مجموع القيم الأولية والنهائية فقط:
\[\bar{\omega} = \frac{\omega_{0} + \omega_{f}}{2} \ldotp \label{10.9}\]
من تعريف متوسط السرعة الزاوية، يمكننا إيجاد معادلة تربط الموضع الزاوي ومتوسط السرعة الزاوية والوقت:
\[\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \ldotp\]
حل المشكلة\(\theta\)، لدينا
\[\theta_{f} = \theta_{0} + \bar{\omega} t, \label{10.10}\]
حيث قمنا بتعيينها إلى 0 = 0. يمكن أن تكون هذه المعادلة مفيدة جدًا إذا عرفنا متوسط السرعة الزاوية للنظام. ثم يمكننا العثور على الإزاحة الزاوية خلال فترة زمنية معينة. بعد ذلك، نجد معادلة تتعلق\(\omega\) بـ و t. لتحديد هذه المعادلة، نبدأ بتعريف العجلة الزاوية:\(\alpha\)
\[\alpha = \frac{d \omega}{dt} \ldotp\]
نعيد ترتيب هذا للحصول على\(\alpha\) dt = d\(\omega\) ثم ندمج جانبي هذه المعادلة من القيم الأولية إلى القيم النهائية، أي من t 0 إلى t وإلى\(\omega_{0}\)\(\omega_{f}\). في الحركة الدورانية المنتظمة، يكون التسارع الزاوي ثابتًا بحيث يمكن سحبه من التكامل، مما ينتج عنه تكاملان محددان:
\[\alpha \int_{t_{0}}^{t} dt' = \int_{\omega_{0}}^{\omega_{f}} d \omega \ldotp\]
الإعداد إلى 0 = 0، لدينا
\[\alpha t = \omega_{f} - \omega_{0} \ldotp\]
نعيد ترتيب هذا للحصول عليه
\[\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t, \label{10.11}\]
أين\(\omega_{0}\) هي السرعة الزاوية الأولية. المعادلة\ ref {10.11} هي النظير الدوراني للمعادلة الحركية الخطية v f = v 0 + at. باستخدام Equation\ ref {10.11}، يمكننا إيجاد السرعة الزاوية لجسم ما في أي وقت محدد t بالنظر إلى السرعة الزاوية الأولية والعجل الزاوي.
دعونا الآن نقوم بمعالجة مماثلة تبدأ بالمعادلة\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\). نعيد ترتيبها للحصول على\(\omega\) dt = d\(\theta\) ودمج كلا الجانبين من القيم الأولية إلى القيم النهائية مرة أخرى، مع ملاحظة أن التسارع الزاوي ثابت ولا يعتمد على الوقت. ومع ذلك، هذه المرة، لا تكون السرعة الزاوية ثابتة (بشكل عام)، لذلك نستبدل ما استنتجناه أعلاه:
\[\begin{split} \int_{t_{0}}^{t_{f}} (\omega_{0} + \alpha t') dt' & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta; \\ \int_{t_{0}}^{t} \omega_{0} dt + \int_{t_{0}}^{t} \alpha tdt & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta = \Bigg[ \omega_{0} t' + \alpha \left(\dfrac{(t')^{2}}{2}\right)^{2} \Bigg]_{t_{0}}^{t} = \omega_{0} t + \alpha \left(\dfrac{t^{2}}{2}\right) = \theta_{f} - \theta_{0} \ldotp \end{split}\]
حيث قمنا بتعيينها إلى 0 = 0. الآن نقوم بإعادة الترتيب للحصول على
\[\theta_{f} = \theta_{0} + \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2} \ldotp \label{10.12}\]
المعادلة\ ref {10.12} هي النظير الدوراني لمعادلة الكينماتيكا الخطية الموجودة في الحركة على طول خط مستقيم للموضع كدالة للوقت. تعطينا هذه المعادلة الموضع الزاوي لجسم صلب دوار في أي وقت t بالنظر إلى الظروف الأولية (الموضع الزاوي الأولي والسرعة الزاوية الأولية) والتسارع الزاوي.
يمكننا إيجاد معادلة مستقلة عن الوقت عن طريق حل t في المعادلة\ ref {10.11} واستبدالها بالمعادلة\ ref {10.12}. تصبح المعادلة\ المرجع {10.12}
\[\begin{split} \theta_{f} & = \theta_{0} + \omega_{0} \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right) + \frac{1}{2} \alpha \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right)^{2} \\ & = \theta_{0} + \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} - \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} \\ & = \theta_{0} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}, \\ \theta_{f} - \theta_{0} & = \frac{\omega_{f}^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \alpha} \end{split}\]
أو
\[\omega_{f}^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha (\Delta \theta) \ldotp \label{10.13}\]
المعادلة\ ref {10.10} من خلال المعادلة\ ref {10.13} تصف دوران المحور الثابت للتسارع المستمر ويتم تلخيصها في الجدول 10.1.
الجدول 10.1 - المعادلات الحركية
| الإزاحة الزاوية من متوسط السرعة الزاوية | $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ بار {\ أوميغا} t$$ |
| السرعة الزاوية من التسارع الزاوي | $$\ أوميغا _ {f} =\ أوميغا _ {0} +\ ألفا t$$ |
| الإزاحة الزاوية من السرعة الزاوية والتسارع الزاوي | $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ أوميغا _ {0} t +\ frac {1} {2}\ ألفا t^ {2} $$ |
| السرعة الزاوية من الإزاحة الزاوية والتسارع الزاوي | $$\ omega_ {f} ^ {2} =\ أوميغا _ {0} ^ {2} + 2\ ألفا (\ دلتا\ ثيتا) $$ |
تطبيق معادلات الحركة الدورانية
يمكننا الآن تطبيق العلاقات الحركية الرئيسية للحركة الدورانية على بعض الأمثلة البسيطة للتعرف على كيفية تطبيق المعادلات على المواقف اليومية.
يصطاد صياد من أعماق البحار سمكة كبيرة تسبح بعيدًا عن القارب، ويسحب خط الصيد من بكرة الصيد الخاصة به. يكون النظام بأكمله في حالة سكون مبدئيًا، ويستريح خط الصيد من البكرة في دائرة نصف قطرها 4.50 سم من محور دورانها. تُعطى البكرة تسارعًا زاويًا قدره 110 راد/ثانية 2 لمدة 2.00 ثانية (الشكل\(\PageIndex{1}\)).
- ما السرعة الزاوية النهائية للبكرة بعد ثانيتين؟
- كم عدد الثورات التي تصنعها البكرة؟
إستراتيجية
حدد المجاهيل وقارن بالمعادلات الحركية للعجلة الثابتة. ابحث عن المعادلة المناسبة التي يمكن حلها للمجهول، باستخدام المعارف الواردة في وصف المشكلة.
الحل
- نحن\(\alpha\) معطون ونريد أن نحدد\(\omega\). المعادلة الأكثر وضوحًا التي يمكن استخدامها هي\(\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t\)، نظرًا لأن جميع المصطلحات معروفة إلى جانب المتغير غير المعروف الذي نبحث عنه. يُعطى لنا أن\(\omega_{0}\) = 0 (يبدأ من الراحة)، لذلك $$\ omega_ {f} = 0 + (110\؛ rad/s^ {2}) (2.00\؛ s) = 220\؛ rad/s\ ldotp$$
- يُطلب منا العثور على عدد الثورات. نظرًا لأن 1 rev = 2\(\pi\) rad، يمكننا إيجاد عدد الدورات من خلال إيجاد بالراديان. تم منحنا\(\alpha\) و t، ونعلم أنه\(\omega_{0}\) صفر، لذا يمكننا الحصول عليه\(\theta\) باستخدام $$\ begin {split}\ theta_ {f} & =\ theta_ {i} +\ omega_ {i} t +\ frac {1} {2}\\ ألفا t^ {2}\\ و = 0 + 0 + (0.500) (110\؛ rad/s^ {2}) (2.00\؛ s) ^ {2} = 220\؛ rad\ ldotp\ end {split} $تحويل الراديان إلى ثورات يعطي $$عدد\; من\; rev = (220\; rad)\ يسار (\ dfrac {1\; rev} {2\ pi\; rad}\ يمين) = 35.0\; rev\ ldotp$$
الدلالة
يوضح هذا المثال أن العلاقات بين الكميات الدورانية تشبه إلى حد كبير تلك الموجودة بين الكميات الخطية. الإجابات على الأسئلة واقعية. بعد الفك لمدة ثانيتين، وجد أن البكرة تدور بسرعة 220 راد/ثانية، أي 2100 دورة في الدقيقة. (لا عجب أن تصدر البكرات أحيانًا أصواتًا عالية النبرة.)
في المثال السابق، نظرنا في بكرة صيد ذات تسارع زاوي إيجابي. الآن دعونا نفكر في ما يحدث مع التسارع الزاوي السلبي.
يقوم الصياد الآن بتطبيق الفرامل على بكرة الغزل، محققًا تسارعًا زاويًا قدره −300 راد/ثانية 2. ما المدة التي تستغرقها البكرة حتى تتوقف؟
إستراتيجية
يُطلب منا إيجاد الوقت الذي تتوقف فيه البكرة. تختلف الشروط الأولية والنهائية عن تلك الموجودة في المشكلة السابقة، والتي تضمنت نفس بكرة الصيد. الآن نرى أن السرعة الزاوية الأولية هي\(\omega_{0}\) = 220 rad/s والسرعة الزاوية النهائية\(\omega\) هي صفر. يُعطى التسارع الزاوي كـ\(\alpha\) = −300 راد/ثانية 2. عند فحص المعادلات المتاحة، نرى جميع الكميات ولكن t معروفة بها\(\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t\)، مما يجعل من الأسهل استخدام هذه المعادلة.
الحل
تنص المعادلة
\[\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t \ldotp\]
نحل المعادلة جبريًا لـ t ثم نستبدل القيم المعروفة كالمعتاد، وننتج
\[t = \frac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha} = \frac{0 - 220.0\; rad/s}{-300.0\; rad/s^{2}} = 0.733\; s \ldotp\]
الدلالة
لاحظ أنه يجب توخي الحذر مع العلامات التي تشير إلى اتجاهات الكميات المختلفة. لاحظ أيضًا أن وقت إيقاف البكرة صغير جدًا لأن التسارع كبير نوعًا ما. تنقطع خطوط الصيد أحيانًا بسبب التسارع الذي ينطوي عليه الأمر، وغالبًا ما يسمح الصيادون للأسماك بالسباحة لفترة من الوقت قبل استخدام الفرامل على البكرة. تكون السمكة المتعبة أبطأ وتتطلب تسارعًا أصغر.
يدور جهاز الطرد المركزي المستخدم في استخراج الحمض النووي بمعدل أقصى يبلغ 7000 دورة في الدقيقة، مما ينتج «قوة g» على العينة تبلغ 6000 ضعف قوة الجاذبية. إذا استغرقت أجهزة الطرد المركزي 10 ثوانٍ لتستريح من معدل الدوران الأقصى: (أ) ما التسارع الزاوي للطرد المركزي؟ (ب) ما هو الإزاحة الزاويّة للطرد المركزي خلال هذا الوقت؟
\(\PageIndex{2}\)يوضِّح الشكل رسمًا بيانيًا للسرعة الزاوية لمروحة على متن طائرة كدالة للوقت. تبدأ سرعته الزاوية عند 30 راد/ثانية وتنخفض خطيًا إلى 0 راد/ثانية على مدار 5 ثوانٍ. (أ) ابحث عن التسارع الزاوي للجسم وتحقق من النتيجة باستخدام المعادلات الحركية. (ب) ابحث عن الزاوية التي تدور من خلالها المروحة خلال هذه الثواني الخمس وتحقق من النتيجة باستخدام المعادلات الحركية.
إستراتيجية
- نظرًا لأن السرعة الزاوية تختلف خطيًا مع الوقت، فإننا نعلم أن التسارع الزاوي ثابت ولا يعتمد على متغير الوقت. التسارع الزاوي هو منحدر السرعة الزاوية مقابل الرسم البياني الزمني،\(\alpha = \frac{d \omega}{dt}\). لحساب المنحدر، نقرأ مباشرة من الشكل\(\PageIndex{2}\)، ونرى أن\(\omega_{0}\) = 30 راد/ثانية عند t = 0 ثانية و\(\omega_{f}\) = 0 rad/s عند t = 5 ثوان، ثم يمكننا التحقق من النتيجة باستخدام\(\omega = \omega_{0} + \alpha t\).
- نستخدم المعادلة\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\)؛ نظرًا لأن المشتق الزمني للزاوية هو السرعة الزاوية، يمكننا إيجاد الإزاحة الزاوية من خلال دمج السرعة الزاوية، والتي تعني من الشكل أخذ المساحة تحت الرسم البياني للسرعة الزاوية. بمعنى آخر: $$\ int_ {\ theta_ {0}} ^ {\ theta_ {f}} d\ theta =\ theta_ {f} -\ theta_ {0} =\ int_ {t_ {t_ {f}}\ أوميغا (t) dt\ lDotP$ثم نستخدم المعادلات الحركية للتسارع المستمر للتحقق من النتيجة.
الحل
- عند حساب المنحدر، نحصل على $$\ alpha =\ frac {\ omega_ {0}} {t - t_ {0}} =\ frac {(0 - 30.0)\; rad/s} {(5.0 - 0)\; s} = -6.0\; rad/s^ {2}\ lDotP$$ نرى أن هذه هي بالضبط المعادلة\ المرجع {10.11} مع القليل من التكرار ترتيب الشروط.
- يمكننا إيجاد المساحة أسفل المنحنى من خلال حساب مساحة المثلث القائم، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{3}\).
\ [\ دلتا\ ثيتا = المنطقة (المثلث) =\ frac {1} {2} (30\; راد/s) (5\; s) = 75\; rad\ ldotP$$نتحقق من الحل باستخدام المعادلة\ المرجع {10.12}: $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ أوميغا _ {0} t +\ frac {1} {2\} ألفا t^ {2}\ lDotP$$الإعداد\(\theta_{0}\) = 0، لدينا $$\ theta_ {0} = (30.0\؛ راد/s) (5.0\; s) +\ frac {1} {2} (-6.0\; rad/s^ {{{ 2}) (5.0\; s) ^ {2} = 150.0 - 75.0 = 75.0\; rad\ ldoTP$$يتحقق هذا من الحل الذي تم العثور عليه من العثور على المنطقة أسفل المنحنى.
الدلالة
نرى من الجزء (ب) أن هناك طرقًا بديلة لتحليل دوران المحور الثابت مع التسارع المستمر. بدأنا بنهج رسومي وتحققنا من الحل باستخدام المعادلات الحركية الدورانية. نظرًا لأنه\(\alpha = \frac{d \omega}{dt}\) يمكننا إجراء نفس التحليل الرسومي على التسارع الزاوي مقابل. - منحنى الوقت. المنطقة تحت\(\alpha\) -vs. منحنى -t يعطينا التغيير في السرعة الزاوية. نظرًا لأن التسارع الزاوي ثابت في هذا القسم، فهذا تمرين مباشر.