Skip to main content
Global

10.2: المتغيرات الدورانية

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199990

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم
    • وصف المعنى المادي للمتغيرات الدورانية كما هو مطبق على دوران المحور الثابت
    • اشرح كيف ترتبط السرعة الزاوية بالسرعة العرضية
    • احسب السرعة الزاوية اللحظية بمعلومية دالة الموضع الزاوي
    • أوجد السرعة الزاوية والعجلة الزاوية في النظام الدوراني
    • احسب متوسط التسارع الزاوي عندما تتغير السرعة الزاوية
    • احسب التسارع الزاوي اللحظي بمعلومية دالة السرعة الزاوية

    حتى الآن في هذا النص، درسنا الحركة الانتقالية بشكل أساسي، بما في ذلك المتغيرات التي تصفها: الإزاحة والسرعة والتسارع. الآن نوسع وصفنا للحركة إلى الدوران - تحديدًا الحركة الدورانية حول محور ثابت. سنجد أن الحركة الدورانية موصوفة بمجموعة من المتغيرات ذات الصلة المشابهة لتلك التي استخدمناها في الحركة الانتقالية.

    السرعة الزاويّة

    الحركة الدائرية المنتظمة (التي تمت مناقشتها سابقًا في الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد) هي الحركة في دائرة بسرعة ثابتة. على الرغم من أن هذه هي أبسط حالة للحركة الدورانية، إلا أنها مفيدة جدًا للعديد من المواقف، ونستخدمها هنا لإدخال المتغيرات الدورانية.

    في الشكل\(\PageIndex{1}\)، نعرض جسيمًا يتحرك في دائرة. نظام الإحداثيات ثابت ويعمل كإطار مرجعي لتحديد موضع الجسيم. يقوم متجه موضعه من أصل الدائرة إلى الجسيم بمسح الزاوية\(\theta\)، التي تزداد في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة بينما يتحرك الجسيم على طول مساره الدائري. \(\theta\)تسمى الزاوية بالموضع الزاوي للجسيم. عندما يتحرك الجسيم في مساره الدائري، فإنه يتتبع أيضًا طول القوس s.

    الشكل عبارة عن رسم بياني يوضح جسيمًا يتحرك بعكس اتجاه عقارب الساعة. يشكل المتجه r من أصل نظام الإحداثيات إلى النقطة s على ممر الجسيم زاوية ثيتا مع المحور X.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): يتبع الجسيم مسارًا دائريًا. عندما يتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة، فإنه يكتسح الزاوية الإيجابية فيما يتعلق\(\theta\) بالمحور السيني ويتتبع طول القوس s.

    ترتبط الزاوية بنصف قطر الدائرة وطول القوس بمقدار

    \[\theta = \frac{s}{r} \ldotp \label{10.1}\]

    تحتوي الزاوية\(\theta\)، وهي الموضع الزاوي للجسيم على طول مساره، على وحدات راديان (راد). هناك\(2\pi\) راديان في 360 درجة. لاحظ أن مقياس الراديان هو نسبة قياسات الطول، وبالتالي فهو كمية بلا أبعاد. عندما يتحرك الجسيم على طول مساره الدائري، يتغير موضعه الزاوي ويخضع لعمليات نزوح زاويّة\(\Delta \theta\).

    يمكننا تعيين المتجهات للكميات في المعادلة\ ref {10.1}. الزاوية\(\vec{\theta}\) عبارة عن متجه خارج الصفحة في الشكل\(\PageIndex{1}\). يقع\(\vec{s}\) كل من\(\vec{r}\) متجه الموضع الزاوي وطول القوس في مستوى الصفحة. ترتبط هذه المتجهات الثلاثة ببعضها البعض من خلال

    \[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp \label{10.2}\]

    أي أن طول القوس هو المنتج المتقاطع لمتجه الزاوية ومتجه الموضع، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{2}\).

    الشكل عبارة عن نظام إحداثيات XYZ يعرض ثلاثة متجهات. يشير Vector Theta في اتجاه Z الإيجابي. المتجه s موجود في المستوى XY. يتم توجيه Vector r من أصل نظام الإحداثيات إلى بداية المتجه s.
    الشكل\(\PageIndex{2}\): تقع كل من نقاط متجه الزاوية على طول المحور z ومتجه الموضع ومتجه طول القوس في المستوى x. نحن نرى ذلك\(\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}\). جميع المتجهات الثلاثة متعامدة مع بعضها البعض.

    حجم السرعة الزاوية، المشار إليه بـ\(\omega\)، هو المعدل الزمني لتغيير الزاوية\(\theta\) أثناء تحرك الجسيم في مساره الدائري. يتم تعريف السرعة الزاوية اللحظية على أنها الحد الذي يكون فيه\(\Delta\) t → 0 في متوسط السرعة الزاوية\(\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\):

    \[\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt}, \label{10.3}\]

    \(\theta\)أين زاوية الدوران (الشكل\(\PageIndex{2}\)). وحدات السرعة الزاوية هي راديان في الثانية (rad/s). يمكن أيضًا الإشارة إلى السرعة الزاوية بمعدل الدوران بالراديان في الثانية. في كثير من الحالات، يتم إعطاؤنا معدل الدوران بالثورات/الدورات، لإيجاد السرعة الزاوية، يجب علينا ضرب الدورات/s في 2\(\pi\)، نظرًا لوجود 2\(\pi\) راديان في ثورة واحدة كاملة. نظرًا لأن اتجاه الزاوية الموجبة في الدائرة هو عكس اتجاه عقارب الساعة، فإننا نعتبر التدوير بعكس اتجاه عقارب الساعة موجبة والدوران في اتجاه عقارب الساعة سالبًا.

    يمكننا أن نرى كيف ترتبط السرعة الزاوية بالسرعة العرضية للجسيم عن طريق التفريق بين المعادلة\ ref {10.1} فيما يتعلق بالوقت. نعيد كتابة المعادلة\ المرجع {10.1} كـ

    \[s = r \theta \ldotp\]

    بأخذ المشتق فيما يتعلق بالوقت وملاحظة أن نصف القطر r ثابت، لدينا

    \[\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (r \theta) = \theta \frac{dr}{dt} + r \frac{d \theta}{dt} = r \frac{d \theta}{dt}\]

    حيث\(\theta \frac{dr}{dt}\) = 0. هنا،\(\frac{ds}{dt}\) هي فقط السرعة العرضية v t للجسيم في الشكل\(\PageIndex{1}\). وهكذا، باستخدام المعادلة\ ref {10.3}، نصل إلى

    \[v_{t} = r \omega \ldotp \label{10.4}\]

    أي أن السرعة العرضية للجسيم هي سرعته الزاوية مضروبة في نصف قطر الدائرة. من المعادلة\ ref {10.4}، نرى أن السرعة العرضية للجسيم تزداد ببعده عن محور الدوران للحصول على سرعة زاوية ثابتة. يظهر هذا التأثير في الشكل\(\PageIndex{3}\). يتم وضع جزيئين في أنصاف أقطار مختلفة على قرص دوار بسرعة زاوية ثابتة. أثناء دوران القرص، تزداد السرعة المماسية خطيًا مع نصف القطر من محور الدوران. في الشكل\(\PageIndex{3}\)، نرى أن v 1 = r 1\(\omega_{1}\) و v 2 = r 2\(\omega_{2}\). لكن القرص لديه سرعة زاوية ثابتة، لذلك\(\omega_{1} = \omega_{2}\). هذا يعني\(\frac{v_{1}}{r_{1}} = \frac{v_{2}}{r_{2}}\) أو v 2 =\(\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)\) v 1. وهكذا، بما أن r 2 > r 1، v 2 > v 1.

    يوضِّح الشكل جسيمين على قرص دوار. يقع الجسيم 1 على مسافة r1 من محور الدوران ويتم تحريكه بسرعة v1. يقع الجسيم 2 على مسافة r2 من محور الدوران ويتحرك بسرعة v2.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): جزيئان على قرص دوار لهما سرعات عرضية مختلفة، اعتمادًا على المسافة بينهما إلى محور الدوران.

    حتى الآن، ناقشنا حجم السرعة الزاوية\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\)، وهي كمية قياسية - التغيير في الموضع الزاوي فيما يتعلق بالوقت. المتجه\(\vec{\omega}\) هو المتجه المرتبط بالسرعة الزاوية والنقاط على طول محور الدوران. هذا مفيد لأنه عندما يدور جسم صلب، نريد أن نعرف كل من محور الدوران والاتجاه الذي يدور فيه الجسم حول المحور، في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة. \(\vec{\omega}\)تعطينا السرعة الزاوية هذه المعلومات. السرعة الزاوية\(\vec{\omega}\) لها اتجاه محدد بما يسمى قاعدة اليد اليمنى. القاعدة اليمنى هي أنه إذا كانت أصابع يدك اليمنى تلتف بعكس اتجاه عقارب الساعة من المحور السيني (الاتجاه الذي\(\theta\) يزداد فيه) باتجاه المحور y، فإن إبهامك يشير في اتجاه المحور z الموجب (الشكل\(\PageIndex{4}\)). وبالتالي فإن السرعة الزاوية\(\vec{\omega}\) التي تشير على طول المحور z الموجب تقابل الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة، في حين\(\vec{\omega}\) أن السرعة الزاوية التي تشير على طول المحور z السالب تقابل الدوران في اتجاه عقارب الساعة.

    الشكل عبارة عن رسم بياني يوضح نظام الإحداثيات XYZ مع الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة في المستوى XY. تشير السرعة الزاوية في الاتجاه Z الموجب.
    الشكل\(\PageIndex{4}\): للدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة في نظام الإحداثيات الموضح، تشير السرعة الزاوية في الاتجاه z الموجب بواسطة قاعدة اليد اليمنى.

    يمكننا التحقق من قاعدة اليد اليمنى باستخدام التعبير المتجه لطول القوس\(\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}\)، المعادلة\ ref {10.2}. إذا فرقنا بين هذه المعادلة فيما يتعلق بالوقت، نجد

    \[\frac{d \vec{s}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{\theta} \times \vec{r}) = \left(\dfrac{d \theta}{dt} \times \vec{r}\right) + \left(\vec{\theta} \times \dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) = \frac{d \theta}{dt} \times \vec{r} \ldotp\]

    نظرًا\(\vec{r}\) لأنه ثابت، فإن المصطلح\(\vec{\theta} \times \frac{d \vec{r}}{dt}\) = 0. بما\(\vec{v} = \frac{d \vec{s}}{dt}\) أن السرعة العرضية\(\omega = \frac{d \vec{\theta}}{dt}\) هي السرعة الزاوية، فلدينا

    \[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \ldotp \label{10.5}\]

    أي أن السرعة العرضية هي المنتج المتقاطع للسرعة الزاوية ومتجه الموضع، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{5}\). من الجزء (أ) من هذا الشكل، نرى أنه مع السرعة الزاوية في الاتجاه z الموجب، يكون الدوران في المستوى xy عكس اتجاه عقارب الساعة. في الجزء (ب)، تكون السرعة الزاوية في الاتجاه z السالب، مما يعطي دورانًا في اتجاه عقارب الساعة في المستوى xy.

    الشكل A هو نظام إحداثيات XYZ يعرض ثلاثة متجهات. يشير متجه أوميغا في اتجاه Z الإيجابي. المتجه v موجود في الطائرة XY. يتم توجيه المتجه r من أصل نظام الإحداثيات إلى بداية المتجه v. الشكل B هو نظام إحداثيات XYZ يعرض ثلاثة متجهات. يشير متجه أوميغا في اتجاه Z السلبي. المتجه v موجود في الطائرة XY. يتم توجيه Vector r من أصل نظام الإحداثيات إلى بداية المتجه v.
    الشكل\(\PageIndex{5}\): المتجهات الموضحة هي السرعة الزاوية والموضع والسرعة العرضية. (أ) نقاط السرعة الزاوية في الاتجاه z الموجب، مما يعطي دورانًا بعكس اتجاه عقارب الساعة في المستوى السيني. (ب) نقاط السرعة الزاوية في الاتجاه z السالب، مما يعطي الدوران في اتجاه عقارب الساعة.
    مثال\(\PageIndex{1}\): Rotation of a Flywheel

    تدور دولاب الموازنة بحيث تجتاح زاوية بمعدل\(\theta\) =\(\omega\) t = (45.0 راد/ثانية) إلى راديان. تدور العجلة بعكس اتجاه عقارب الساعة عند عرضها في مستوى الصفحة. (أ) ما السرعة الزاوية لعجلة الموازنة؟ (ب) ما اتجاه السرعة الزاوية؟ (ج) كم عدد الراديان الذي تدور حوله دولاب الموازنة في 30 ثانية؟ (د) ما السرعة العرضية لنقطة على دولاب الموازنة على مسافة 10 سم من محور الدوران؟

    إستراتيجية

    يتم إعطاء الشكل الوظيفي للموضع الزاوي لعجلة الموازنة في المشكلة كـ\(\theta\) (t) =\(\omega\) t، لذلك من خلال أخذ المشتق فيما يتعلق بالوقت، يمكننا العثور على السرعة الزاوية. نستخدم قاعدة اليد اليمنى لإيجاد السرعة الزاوية. للعثور على الإزاحة الزاوية لعجلة الموازنة خلال 30 ثانية، نسعى إلى الإزاحة الزاوية\(\Delta \theta\)، حيث يكون التغير في الموضع الزاوي بين 0 و30 ثانية، ولإيجاد السرعة العرضية لنقطة على مسافة من محور الدوران، نضرب المسافة في السرعة الزاوية للنقطة دولاب الموازنة.

    الحل
    1. \(\omega\)\(\frac{d \theta}{dt}\)= 45 راد/ثانية. نرى أن السرعة الزاوية ثابتة.
    2. من خلال قاعدة اليد اليمنى، نقوم بلف الأصابع في اتجاه الدوران، وهو عكس اتجاه عقارب الساعة في مستوى الصفحة، ويشير الإبهام في اتجاه السرعة الزاوية، التي تكون خارج الصفحة.
    3. \(\Delta \theta\)=\(\theta\) (30 ثانية) -\(\theta\) (0 ثانية) = 45.0 (30.0 ثانية) - 45.0 (0 ثانية) = 1350.0 راد.
    4. v t = r\(\omega\) = (0.1 م) (45.0 راد/ثانية) = 4.5 م/ث.

    الدلالة

    في 30 ثانية، تم تدوير دولاب الموازنة خلال عدد كبير من الثورات، حوالي 215 إذا قسمنا الإزاحة الزاوية على 2\(\pi\). يمكن استخدام دولاب الموازنة الضخم لتخزين الطاقة بهذه الطريقة، إذا كانت الخسائر الناتجة عن الاحتكاك ضئيلة. نظرت الأبحاث الحديثة في المحامل فائقة التوصيل التي تستقر عليها دولاب الموازنة، مع عدم فقدان الطاقة بسبب الاحتكاك.

    التسارع الزاوي

    لقد ناقشنا للتو السرعة الزاوية للحركة الدائرية المنتظمة، ولكن ليست كل الحركة موحدة. تخيل متزلجًا على الجليد يدور بذراعيه ممدودتين - عندما يسحب ذراعيه إلى الداخل، تزداد سرعته الزاوية. أو فكر في تباطؤ القرص الصلب للكمبيوتر حتى يتوقف مع انخفاض السرعة الزاوية. سنستكشف هذه المواقف لاحقًا، ولكن يمكننا بالفعل أن نرى الحاجة إلى تحديد التسارع الزاوي لوصف الحالات التي\(\omega\) تتغير فيها. كلما زادت سرعة التغيير\(\omega\)، زاد التسارع الزاوي. نحدد التسارع الزاوي اللحظي\(\alpha\) كمشتق من السرعة الزاوية فيما يتعلق بالوقت:

    \[\alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}, \label{10.6}\]

    حيث اتخذنا حد متوسط التسارع الزاوي،\(\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\) مثل\(\Delta t → 0\). وحدات التسارع الزاوي هي (rad/s) /s، أو rad/s 2.

    وبنفس الطريقة التي حددنا بها المتجه المرتبط بالسرعة الزاوية\(\vec{\omega}\)، يمكننا تحديد\(\vec{\alpha}\) المتجه المرتبط بالتسارع الزاوي (الشكل\(\PageIndex{6}\)). إذا كانت السرعة الزاوية على طول المحور z الموجب، كما في الشكل\(\PageIndex{4}\)، وكانت\(\frac{d \omega}{dt}\) موجبة، فإن التسارع الزاوي\(\vec{\alpha}\) يكون موجبًا ويشير على طول المحور +z-. وبالمثل، إذا كانت السرعة\(\vec{\omega}\) الزاوية على طول المحور z الموجب وكانت\(\frac{d \omega}{dt}\) سالبة، فإن التسارع الزاوي يكون سالبًا ويشير على طول المحور +z.

    يوضح الشكل A الدوران في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. يكون التسارع الزاوي في نفس اتجاه السرعة الزاوية. يشير النص الموجود أسفل الشكل إلى «معدل الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة وزيادة». يوضح الشكل B الدوران في اتجاه عقارب الساعة. يكون التسارع الزاوي في الاتجاه المعاكس للسرعة الزاوية. يشير النص الموجود أسفل الشكل إلى «معدل الدوران في اتجاه عقارب الساعة والتناقص.
    الشكل\(\PageIndex{6}\): يكون الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة في كل من (أ) و (ب) مع السرعة الزاوية في نفس الاتجاه. (أ) يكون التسارع الزاوي في نفس اتجاه السرعة الزاوية، مما يزيد من معدل الدوران. (ب) يكون التسارع الزاوي في الاتجاه المعاكس للسرعة الزاوية، مما يقلل من معدل الدوران.

    يمكننا التعبير عن متجه التسارع العرضي كمنتج متقاطع للتسارع الزاوي ومتجه الموضع. يمكن العثور على هذا التعبير من خلال أخذ المشتق الزمني لـ\(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\) ويتم تركه كتمرين:

    \[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp \label{10.7}\]

    يوضح الشكل علاقات المتجهات الخاصة بالتسارع الزاوي والتسارع العرضي\(\PageIndex{7}\).

    الشكل A هو نظام إحداثيات XYZ يعرض ثلاثة متجهات. يشير Vector Alpha في اتجاه Z الإيجابي. المتجه a موجود في المستوى XY. يتم توجيه المتجه r من أصل النظام الإحداثي إلى بداية المتجه a. الشكل B هو نظام إحداثيات XYZ يعرض ثلاثة متجهات. يشير Vector Alpha في اتجاه Z السلبي. المتجه a موجود في المستوى XY. يتم توجيه Vector r من أصل نظام الإحداثيات إلى بداية المتجه a.
    الشكل\(\PageIndex{7}\): (أ) التسارع الزاوي هو الاتجاه z الإيجابي وينتج تسارعًا مماسيًا بمعنى عكس اتجاه عقارب الساعة. (ب) يقع التسارع الزاوي في الاتجاه z السالب وينتج تسارعًا مماسيًا بمعنى اتجاه عقارب الساعة.

    يمكننا ربط التسارع العرضي لنقطة على جسم دوار على مسافة من محور الدوران بنفس الطريقة التي نربط بها السرعة العرضية بالسرعة الزاوية. إذا قمنا بتمييز المعادلة\ ref {10.4} فيما يتعلق بالوقت، مع ملاحظة أن نصف القطر r ثابت، نحصل على

    \[a_{t} = r \alpha \ldotp \label{10.8}\]

    وبالتالي، فإن التسارع العرضي عند t هو نصف القطر مضروبًا في التسارع الزاوي. المعادلات\ ref {10.4} و\ ref {10.8} مهمة لمناقشة الحركة الدورانية (انظر الزخم الزاوي).

    دعونا نطبق هذه الأفكار على تحليل بعض سيناريوهات دوران المحور الثابت البسيطة. قبل القيام بذلك، نقدم إستراتيجية حل المشكلات التي يمكن تطبيقها على الكينماتيكا الدورانية: وصف الحركة الدورانية.

    إستراتيجية حل المشكلات: الكينماتيكا الدورانية
    1. افحص الموقف لتحديد ما إذا كانت الكينماتيكا الدورانية (الحركة الدورانية) متورطة.
    2. حدد بالضبط ما يجب تحديده في المشكلة (حدد المجهول). رسم تخطيطي للوضع مفيد.
    3. قم بعمل قائمة كاملة بما تم تقديمه أو يمكن استنتاجه من المشكلة كما هو مذكور (حدد المعروف).
    4. حل المعادلة أو المعادلات المناسبة للكمية التي سيتم تحديدها (المجهول). قد يكون من المفيد التفكير من منظور التناظري الانتقالي، لأنك الآن على دراية بمعادلات الحركة الانتقالية.
    5. استبدل القيم المعروفة مع وحداتها في المعادلة المناسبة واحصل على حلول عددية كاملة بالوحدات. تأكد من استخدام وحدات الراديان للزوايا.
    6. تحقق من إجابتك لمعرفة ما إذا كانت معقولة: هل إجابتك منطقية؟

    الآن دعونا نطبق استراتيجية حل المشكلات هذه على بعض الأمثلة المحددة.

    مثال\(\PageIndex{2}\): A Spinning Bicycle Wheel

    يقوم ميكانيكي الدراجات بتركيب دراجة على منصة الإصلاح ويبدأ العجلة الخلفية بالدوران من السكون إلى السرعة الزاوية النهائية البالغة 250 دورة في الدقيقة في 5.00 ثانية. (أ) احسب متوسط التسارع الزاوي بالراد/s 2. (ب) إذا اصطدمت الآن بالمكابح، مما تسبب في تسارع زاوي مقداره −87.3 راد/ثانية 2، فما المدة التي تستغرقها العجلة للتوقف؟

    إستراتيجية

    يمكن العثور على متوسط التسارع الزاوي مباشرة من تعريفه\(\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\) لأنه يتم إعطاء السرعة الزاوية النهائية والوقت. نرى أن\(\Delta \omega\) =\(\omega_{final}\) −\(\omega_{initial}\) = 250 لفة/دقيقة و\(\Delta\) t تساوي 5.00 ثانية، وبالنسبة للجزء (ب)، نعرف التسارع الزاوي والسرعة الزاوية الأولية. يمكننا إيجاد وقت التوقف باستخدام تعريف متوسط التسارع الزاوي وحل\(\Delta\) t، مما يؤدي إلى

    \[\Delta t = \frac{\Delta \omega}{\alpha} \ldotp\]

    الحل
    1. بإدخال المعلومات المعروفة في تعريف التسارع الزاوي، نحصل على $$\ bar {\ alpha} =\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ frac {250\; rpm} {5.00\; s}\ ldotP$لأنه\(\Delta \omega\) في دورات في الدقيقة (rpm) ونريد الوحدات القياسية للراد/s 2 للتسارع الزاوي، نحتاج إلى التحويل من دورة في الدقيقة إلى راد/s: $$\ دلتا\ أوميغا = 250\ فراك {rev} {دقيقة}\;\ cdotp\ frac {2\ pi\; rad} {rev}\;\ cdotp\ frac {1\; دقيقة} {60\; s} = 26.2\\ ldotp $عند إدخال هذه الكمية في التعبير عن\(\alpha\)، نحصل على $$bar {\ ألفا}\ = frac {\ دلتا\ أوميغا} {\ دلتا تي} =\ فراك {26.2\; دورة في الدقيقة} {5.00\; s} = 5.24\; راد/s^ {2 }\ ldotp$$
    2. هنا تنخفض السرعة الزاوية من 26.2 راد/ثانية (250 دورة في الدقيقة) إلى الصفر، أي −26.2 راد/ثانية،\(\alpha\) وتُعطى كـ -87.3 راد/ثانية 2.\(\Delta \omega\) وبالتالي $$\ Delta t =\ frac {-26.2\; rad/s} {-87.3\; rad/s^ {2}} = 0.300\; s\ ldotp$$

    الدلالة

    لاحظ أن التسارع الزاوي أثناء دوران الميكانيكي للعجلة صغير وإيجابي؛ ويستغرق الأمر 5 ثوانٍ لإنتاج سرعة زاوية ملموسة. عندما تضغط على الفرامل، يكون التسارع الزاوي كبيرًا وسلبيًا. تنتقل السرعة الزاوية بسرعة إلى الصفر.

    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    تتسارع شفرات المروحة في المحرك التوربيني النفاث (كما هو موضح أدناه) من السكون إلى معدل دوران يبلغ 40.0 لفة/ثانية في 20 ثانية، وتكون الزيادة في السرعة الزاوية للمروحة ثابتة بمرور الوقت. (يعتبر المحرك التوربيني GE90-110B1 المُركب على طائرة بوينج 777، كما هو موضح، حاليًا أكبر محرك توربيني في العالم، وقادر على دفع 330-510 كيلو نيوتن.) (أ) ما هو متوسط التسارع الزاوي؟ (ب) ما هو التسارع الزاوي اللحظي في أي وقت خلال العشرين ثانية الأولى؟

    الصورة عبارة عن صورة لتوربين هوائي تحت جناح طائرة.

    مثال\(\PageIndex{3}\): Wind Turbine

    يتم إغلاق توربين الرياح (الشكل\(\PageIndex{9}\)) في مزرعة الرياح للصيانة. يستغرق التوربين 30 ثانية للانتقال من سرعته الزاوية التشغيلية إلى نقطة توقف كاملة تكون فيها دالة السرعة الزاوية\(\omega\) (t) =\(\Big[\frac{(ts^{−1} −30.0)^{2}}{100.0} \Big]\) rad/s. إذا كان التوربين يدور بعكس اتجاه عقارب الساعة بالنظر إلى الصفحة، (أ) ما اتجاهات السرعة الزاوية ومتجهات التسارع؟ (ب) ما هو متوسط التسارع الزاوي؟ (ج) ما مقدار التسارع الزاوي اللحظي عند t = 0.0، 15.0، 30.0 ثانية؟

    الشكل عبارة عن رسم لتوربين الرياح يدور بعكس اتجاه عقارب الساعة، كما يظهر رأسًا على عقب.
    الشكل\(\PageIndex{9}\): توربين الرياح يدور بعكس اتجاه عقارب الساعة، كما يُرى وجهاً لوجه.

    إستراتيجية

    1. يتم إعطاؤنا الإحساس الدوراني للتوربين، والذي يكون بعكس اتجاه عقارب الساعة في مستوى الصفحة. باستخدام قاعدة اليد اليمنى (الشكل 10.5)، يمكننا تحديد اتجاهات السرعة الزاوية ومتجهات التسارع.
    2. نحسب السرعات الزاوية الأولية والنهائية للحصول على متوسط التسارع الزاوي. نحدد علامة التسارع الزاوي من النتائج في (أ).
    3. يتم إعطاؤنا الشكل الوظيفي للسرعة الزاوية، حتى نتمكن من إيجاد الشكل الوظيفي لدالة التسارع الزاوي بأخذ مشتقاتها فيما يتعلق بالوقت.
    الحل
    1. نظرًا لأن التوربين يدور بعكس اتجاه عقارب الساعة،\(\vec{\omega}\) تشير السرعة الزاوية إلى خارج الصفحة. ولكن نظرًا لانخفاض السرعة الزاوية،\(\vec{\alpha}\) يشير التسارع الزاوي إلى الصفحة، بالمعنى المعاكس للسرعة الزاوية.
    2. السرعة الزاوية الأولية للتوربين، ضبط t = 0، هي\(\omega\) = 9.0 راد/ثانية. السرعة الزاوية النهائية هي صفر، وبالتالي فإن متوسط التسارع الزاوي هو $$\ bar {\ alpha}\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta\ omega} =\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac {\ frac - 0\; s} = -0.3\; rad/s^ {2}\ ldotp $ $
    3. يؤدي أخذ مشتق السرعة الزاوية فيما يتعلق بالوقت إلى إعطاء\(\alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{(t − 30.0)}{50.0}\) rad/s 2 $/alpha (0.0; s) = -0.6\; rad/s^ {2},\ ألفا (15.0\; s) = -0.3\; rad/s^ {2}, و\;\ ألفا (30.0\; s) = 0\; rad/s\ ldotp$$

    الدلالة

    وجدنا من الحسابات في (أ) و (ب) أن التسارع الزاوي ألفا ومتوسط التسارع الزاوي\(\bar{\alpha}\) سالبين. يحتوي التوربين على تسارع زاوي بالمعنى المعاكس لسرعته الزاوية.

    لدينا الآن مفردات أساسية لمناقشة الحركية الدورانية ذات المحور الثابت والعلاقات بين المتغيرات الدورانية. نناقش المزيد من التعريفات والوصلات في القسم التالي.