10.4: ربط الكميات الزاويّة والانتقالية
- Page ID
- 199987
- باستخدام المعادلة الحركية الخطية، اكتب المعادلة الحركية الدورانية المقابلة
- احسب المسافات الخطية والسرعات وتسارعات النقاط في النظام الدوراني بمعلومية السرعات الزاوية والتسارعات
في هذا القسم، نربط كل متغير من المتغيرات الدورانية بالمتغيرات الانتقالية المحددة في الحركة على طول خط مستقيم والحركة في بعدين وثلاثة أبعاد. سيكمل هذا قدرتنا على وصف دورات الجسم الصلبة.
المتغيرات الزاوية مقابل المتغيرات الخطية
في المتغيرات الدورانية، قدمنا المتغيرات الزاوية. إذا قارنا التعريفات الدورانية مع تعريفات المتغيرات الحركية الخطية من الحركة على طول خط مستقيم والحركة في البعدين وثلاثة أبعاد، نجد أن هناك تخطيطًا للمتغيرات الخطية للمتغيرات الدورانية. للموضع الخطي والسرعة والتسارع نظيراتها الدورانية، كما نرى عندما نكتبها جنبًا إلى جنب:
| خطي | دوراني | |
|---|---|---|
| موضع | $x$$ | $$\ theta$$ |
| السرعة | $v =\ frac {dx} {dt} $$ | $$\ أوميغا =\ فراك {د\ ثيتا} {dt} $$ |
| التسريع | $a =\ frac {dv} {dt} $$ | $a =\ frac {d\ أوميغا} {dt} $$ |
دعونا نقارن المتغيرات الخطية والدورانية بشكل فردي. يحتوي المتغير الخطي للموضع على وحدات مادية من الأمتار، بينما يحتوي متغير الموضع الزاوي على وحدات راديان بدون أبعاد، كما يتضح من تعريف\(\theta = \frac{s}{r}\)، وهو نسبة طولين. تتكون السرعة الخطية من وحدات متر/ثانية، بينما تحتوي نظيرتها، السرعة الزاوية، على وحدات راد/ثانية، وفي المتغيرات الدورانية، رأينا في حالة الحركة الدائرية أن السرعة المماسية الخطية للجسيم عند دائرة نصف قطرها r من محور الدوران ترتبط بالسرعة الزاوية بواسطة العلاقة v t = r\(\omega\). يمكن أن ينطبق هذا أيضًا على النقاط الموجودة على جسم صلب يدور حول محور ثابت. هنا، نعتبر الحركة الدائرية فقط. في الحركة الدائرية، المنتظمة وغير المنتظمة، يوجد تسارع مركزي (الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد). يشير متجه التسارع المركزي إلى الداخل من الجسيم الذي ينفذ الحركة الدائرية نحو محور الدوران. يتم تحديد اشتقاق حجم التسارع المركزي في الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد. من هذا الاشتقاق، وجد أن حجم التسارع المركزي هو
\[a_{c} = \frac{v_{t}^{2}}{r}, \label{10.14}\]
حيث r هو نصف قطر الدائرة.
وبالتالي، في الحركة الدائرية المنتظمة عندما تكون السرعة الزاوية ثابتة ويكون التسارع الزاوي صفرًا، يكون لدينا تسارع خطي - أي تسارع الجاذبية المركزية - نظرًا لأن السرعة العرضية في المعادلة\ ref {10.14} ثابتة. في حالة وجود حركة دائرية غير منتظمة، فإن نظام الدوران له تسارع زاوي، ولدينا كل من التسارع المركزي الخطي الذي يتغير (لأن v t يتغير) بالإضافة إلى التسارع العرضي الخطي. تظهر هذه العلاقات في الشكل\(\PageIndex{1}\)، حيث نعرض التسارع المركزي والتماسي للحركة الدائرية المنتظمة وغير المنتظمة.
يرجع تسارع الجاذبية المركزية إلى التغيير في اتجاه السرعة العرضية، في حين أن التسارع العرضي يرجع إلى أي تغيير في حجم السرعة العرضية. \(\vec{a}_{c}\)تكون متجهات التسارع المماسية والجذبية\(\vec{a}_{t}\) دائمًا متعامدة مع بعضها البعض، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1}\). لإكمال هذا الوصف، يمكننا تخصيص متجه تسارع خطي كلي لنقطة على جسم صلب دوار أو جسيم ينفذ حركة دائرية عند دائرة نصف قطرها r من محور ثابت. إجمالي متجه التسارع الخطي\(\vec{a}\) هو مجموع متجه التسارع المركزي والتماسي،
\[\vec{a} = \vec{a}_{c} + \vec{a}_{t} \ldotp \label{10.15}\]
يشير متجه التسارع الخطي الكلي في حالة الحركة الدائرية غير المنتظمة بزاوية بين متجه التسارع المركزي والمتماسي، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{2}\). نظرًا لأن\(\vec{a}_{c} \perp \vec{a}_{t}\) حجم التسارع الخطي الكلي هو
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} \ldotp\]
لاحظ أنه إذا كان التسارع الزاوي صفرًا، فإن التسارع الخطي الكلي يساوي التسارع المركزي.
العلاقات بين الحركة الدورانية والحركة الانتقالية
يمكننا أن ننظر إلى علاقتين بين الحركة الدورانية والحركة الانتقالية.
- وبصفة عامة، فإن المعادلات الحركية الخطية لها نظيراتها الدورانية. يسرد الجدول 10.2 المعادلات الحركية الخطية الأربعة ونظيرتها الدورانية المقابلة. تبدو مجموعتا المعادلات متشابهة مع بعضها البعض، ولكنها تصف حالتين ماديتين مختلفتين، أي الدوران والترجمة.
الجدول 10.2 - المعادلات الحركية الدورانية والانتقالية
| دوراني | متعدية |
|---|---|
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ بار {\ أوميغا} t$$ | $x = x_ {0} +\ بار {v} t$$ |
| $$\ أوميغا _ {f} =\ أوميغا _ {0} +\ ألفا t$$ | $$v_ {f} = v_ {0} + بسعر $$ |
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ أوميغا _ {0} t +\ frac {1} {2} في ^ {2} $$ | $x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2}\ أوميغا t^ {2} $$ |
| $$\ omega_ {f} ^ {2} =\ أوميغا _ {0} ^ {2} + 2\ ألفا (\ دلتا\ ثيتا) $$ | $v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ دلتا x) $$ |
- تتعلق المراسلات الثانية بربط المتغيرات الخطية والدورانية في الحالة الخاصة للحركة الدائرية. يظهر هذا في الجدول 10.3، حيث قمنا في العمود الثالث بإدراج معادلة الربط التي تربط المتغير الخطي بالمتغير الدوراني. تحتوي المتغيرات الدورانية للسرعة الزاوية والتسارع على رموز تشير إلى تعريفها بالحركة الدائرية.
الجدول 10.3 - الكميات الدورانية والانتقالية: الحركة الدائرية
| دوراني | متعدية | العلاقة (r = نصف القطر) |
|---|---|---|
| $$\ theta$$ | $$s$$ | $$\ theta =\ frac {s} {r} $$ |
| $$\ أوميغا $$ | $$v_ {t} $$ | $$\ أوميغا =\ frac {v_ {t}} {r} $$ |
| $$\ alpha$$ | $$a_ {t} $$ | $$\ ألفا =\ frac {a_ {t}} {r} $$ |
| $$a_ {c} $$ | $a_ {c} =\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r} $$ |
يبلغ نصف قطر جهاز الطرد المركزي 20 سم ويتسارع من معدل دوران أقصى يبلغ 10000 دورة في الدقيقة للراحة في 30 ثانية تحت تسارع زاوي ثابت. إنه يدور عكس اتجاه عقارب الساعة. ما مقدار التسارع الكلي لنقطة عند طرف جهاز الطرد المركزي عند t = 29.0s؟ ما اتجاه متجه التسارع الكلي؟
إستراتيجية
باستخدام المعلومات المقدمة، يمكننا حساب التسارع الزاوي، والذي سيسمح لنا بعد ذلك بالعثور على التسارع العرضي. يمكننا إيجاد التسارع المركزي عند t = 0 عن طريق حساب السرعة العرضية في هذا الوقت. باستخدام مقادير التسارع، يمكننا حساب التسارع الخطي الكلي. من وصف الدوران في المشكلة، يمكننا رسم اتجاه متجه التسارع الكلي.
الحل
التسارع الزاوي هو
\[\alpha = \frac{\omega - \omega_{0}}{t} = \frac{0 - (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right)}{30.0\; s} = -34.9\; rad/s^{2} \ldotp\]
لذلك، فإن التسارع العرضي هو
\[a_{t} = r \alpha = (0.2\; m)(-34.9\; rad/s^{2}) = -7.0\; m/s^{2} \ldotp\]
السرعة الزاوية عند t = 29.0 ثانية هي
\[\begin{split} \omega & = \omega_{0} + \alpha t = (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right) + (-39.49\; rad/s^{2})(29.0\; s) \\ & = 1047.2\; rad/s - 1012.71\; rad/s = 35.1\; rad/s \ldotp \end{split}\]
وبالتالي، فإن السرعة العرضية عند t = 29.0 ثانية هي
\[v_{t} = r \omega = (0.2\; m)(35.1\; rad/s) = 7.0\; m/s \ldotp\]
يمكننا الآن حساب التسارع المركزي عند t = 29.0 ثانية:
\[a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{(7.0\; m/s)^{2}}{0.2\; m} = 245.0\; m/s^{2} \ldotp\]
نظرًا لأن متجه التسارع متعامدان مع بعضهما البعض، فإن حجم التسارع الخطي الكلي هو
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} = \sqrt{(245.0)^{2} + (-7.0)^{2}} = 245.1\; m/s^{2} \ldotp\]
نظرًا لأن جهاز الطرد المركزي له تسارع زاوي سلبي، فإنه يتباطأ. متجه التسارع الكلي كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{3}\). الزاوية فيما يتعلق بناقل التسارع المركزي هي
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{-7.0}{245.0}\right) = -1.6^{o} \ldotp\]
تعني العلامة السالبة أن متجه التسارع الكلي يميل نحو اتجاه عقارب الساعة.
الدلالة
من الشكل\(\PageIndex{3}\)، نرى أن متجه التسارع العرضي هو عكس اتجاه الدوران. حجم التسارع العرضي أصغر بكثير من التسارع المركزي، وبالتالي فإن إجمالي متجه التسارع الخطي سيصنع زاوية صغيرة جدًا فيما يتعلق بمتجه التسارع المركزي.
صبي يقفز في جولة مرحة يبلغ نصف قطرها 5 أمتار وهي في حالة سكون. يبدأ بالتسارع بمعدل ثابت يصل إلى سرعة زاوية تبلغ 5 راد/ثانية في 20 ثانية. ما هي المسافة التي قطعها الصبي؟
تحقق من محاكاة PhET هذه لتغيير معايير القرص الدوار (الزاوية الأولية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي)، ووضع الأخطاء على مسافات شعاعية مختلفة من المحور. تتيح لك المحاكاة بعد ذلك استكشاف كيفية ارتباط الحركة الدائرية بموضع x للأخطاء وسرعتها وتسارعها باستخدام المتجهات أو الرسوم البيانية.