9.11: الدفع الصاروخي
- Page ID
- 199977
- وصف تطبيق الحفاظ على الزخم عندما تتغير الكتلة بمرور الوقت، وكذلك السرعة
- احسب سرعة الصاروخ في الفضاء الفارغ، في وقت ما، مع مراعاة الشروط الأولية
- احسب سرعة صاروخ في مجال جاذبية الأرض، في وقت ما، مع مراعاة الظروف الأولية
الآن نتعامل مع الحالة التي تتغير فيها كتلة الجسم. نقوم بتحليل حركة الصاروخ، مما يغير سرعته (وبالتالي زخمه) عن طريق إخراج غازات الوقود المحترقة، مما يؤدي إلى تسريعه في الاتجاه المعاكس لسرعة الوقود المقذوف (الشكل\(\PageIndex{1}\)). على وجه التحديد: يبلغ إجمالي كتلة سفينة الصواريخ التي تعمل بالوقود الكامل في الفضاء السحيق m 0 (تتضمن هذه الكتلة الكتلة الأولية للوقود). في وقت ما، تبلغ سرعة الصاروخ\(\vec{v}\) وكتلته م؛ هذه الكتلة هي مزيج من كتلة الصاروخ الفارغ وكتلة الوقود غير المحترق المتبقي الذي يحتويه. (نشير إلى m باسم «الكتلة اللحظية» و\(\vec{v}\) «السرعة اللحظية».) يتسارع الصاروخ عن طريق حرق الوقود الذي يحمله وإخراج غازات العادم المحترقة. إذا كان معدل احتراق الوقود ثابتًا، وكانت سرعة إخراج العادم ثابتة أيضًا، فما التغيُّر في سرعة الصاروخ نتيجة حرق كل وقوده؟
التحليل الفيزيائي
فيما يلي وصف لما يحدث، حتى تتعرف على الفيزياء المعنية.
- أثناء تشغيل محركات الصواريخ، فإنها تقوم باستمرار بإخراج غازات الوقود المحترقة، التي لها كتلة وسرعة، وبالتالي بعض الزخم. من خلال الحفاظ على الزخم، يتغير زخم الصاروخ بنفس المقدار (مع الإشارة المعاكسة). سنفترض أن الوقود المحترق يتم طرده بمعدل ثابت، مما يعني أن معدل تغير زخم الصاروخ ثابت أيضًا. في المعادلة 9.4.17، يمثل هذا قوة ثابتة على الصاروخ.
- ومع ذلك، مع مرور الوقت، تنخفض كتلة الصاروخ (التي تتضمن كتلة الوقود المتبقي) باستمرار. وبالتالي، على الرغم من أن قوة الصاروخ ثابتة، فإن التسارع الناتج ليس كذلك؛ إنه يتزايد باستمرار.
- لذلك، سيعتمد التغيير الكلي لسرعة الصاروخ على كمية كتلة الوقود التي يتم حرقها، وهذا الاعتماد ليس خطيًا.
تكمن المشكلة في تغير كتلة الصاروخ وسرعته؛ كما أن الكتلة الإجمالية للغازات المقذوفة تتغير. إذا حددنا نظامنا على أنه الصاروخ + الوقود، فهذا نظام مغلق (نظرًا لوجود الصاروخ في الفضاء السحيق، فلا توجد قوى خارجية تعمل على هذا النظام)؛ ونتيجة لذلك، يتم الحفاظ على الزخم لهذا النظام. وبالتالي، يمكننا تطبيق الحفاظ على الزخم للإجابة على السؤال (الشكل\(\PageIndex{2}\)).
في نفس اللحظة التي يبلغ فيها إجمالي كتلة الصاروخ اللحظية m (أي m هي كتلة جسم الصاروخ بالإضافة إلى كتلة الوقود في تلك النقطة الزمنية)، نحدد السرعة اللحظية للصاروخ لتكون\(\vec{v}\) = v\(\hat{i}\) (في اتجاه +x)؛ يتم قياس هذه السرعة بالنسبة إلى القصور الذاتي نظام مرجعي (الأرض، على سبيل المثال). وبالتالي، فإن الزخم الأولي للنظام هو\(\vec{p}_{i}\) = mv\(\hat{i}\).
تقوم محركات الصاروخ بحرق الوقود بمعدل ثابت وإخراج غازات العادم في الاتجاه −x. خلال فترة زمنية متناهية الصغر dt، تقوم المحركات بإخراج كتلة متناهية الصغر (موجبة) من الغاز dm g بسرعة\(\vec{u}\) = −u\(\hat{i}\)؛ لاحظ أنه على الرغم من قياس سرعة الصاروخ v\(\hat{i}\) بالنسبة للأرض، فإن سرعة غاز العادم تقاس فيما يتعلق بـ (المتحرك) صاروخ. وبالقياس فيما يتعلق بالأرض، فإن سرعة غاز العادم (v − u)\(\hat{i}\).
ونتيجة لقذف غاز الوقود، تنخفض كتلة الصاروخ بمقدار dm g، وتزداد سرعته بمقدار dv\(\hat{i}\). لذلك، بما في ذلك التغيير للصاروخ والتغيير في غاز العادم، فإن الزخم النهائي للنظام هو
\[\begin{split} \vec{p}_{f} & = \vec{p}_{rocket} + \vec{p}_{gas} \\ & = (m - dm_{g})(v + dv) \hat{i} + dm_{g} (v - u) \hat{i} \ldotp \end{split}\]
نظرًا لأن جميع المتجهات في الاتجاه x، فإننا نسقط الترميز المتجه. بتطبيق الحفاظ على الزخم، نحصل عليه
\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ mv & = (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g} (v - u) \\ mv & = mv + mdv - dm_{g} v - dm_{g} dv + dm_{g} v - dm_{g} u \\ mdv & = dm_{g} dv + dm_{g} u \ldotp \end{split}\]
الآن، dm g و dv كل منهما صغير جدًا؛ وبالتالي، فإن منتجهما dm g dv صغير جدًا وأصغر بكثير من المصطلحين الآخرين في هذا التعبير. لذلك فإننا نهمل هذا المصطلح ونحصل على:
\[mdv = dm_{g} u \ldotp\]
خطوتنا التالية هي أن نتذكر أنه نظرًا لأن dm g يمثل زيادة في كتلة الغازات المقذوفة، فيجب أن يمثل أيضًا انخفاضًا في كتلة الصاروخ:
\[dm_{g} = - dm \ldotp\]
استبدال هذا، لدينا
\[mdv = -dmu\]
أو
\[dv = -u \frac{dm}{m} \ldotp\]
يمنحنا الاندماج من الكتلة الأولية m 0 إلى الكتلة النهائية m للصاروخ النتيجة التي نسعى إليها:
\[\begin{split} \int_{v_{i}}^{v} dv & = -u \int_{m_{0}}^{m} \frac{1}{m} dm \\ v - v_{i} & = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \end{split}\]
وبالتالي إجابتنا النهائية هي
\[\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \ldotp \label{9.38}\]
هذه النتيجة تسمى معادلة الصواريخ. تم استخراجه في الأصل من قبل الفيزيائي السوفيتي كونستانتين تسيولكوفسكي في عام 1897. إنها تعطينا تغير السرعة التي يحصل عليها الصاروخ من حرق كتلة الوقود التي تقلل إجمالي كتلة الصاروخ من m 0 إلى m، وكما هو متوقع، فإن العلاقة بين\(\Delta\) v وتغير كتلة الصاروخ غير خطية.
في مشاكل الصواريخ، تتمثل الأسئلة الأكثر شيوعًا في العثور على تغيير السرعة بسبب حرق كمية من الوقود لفترة من الوقت؛ أو لتحديد التسارع الناتج عن حرق الوقود.
- لتحديد تغير السرعة، استخدم معادلة الصواريخ المعادلة\ ref {9.38}.
- لتحديد التسارع، حدِّد القوة باستخدام نظرية الدفع النبضي، باستخدام معادلة الصاروخ لتحديد التغيُّر في السرعة
تتحرك مركبة فضائية في الفضاء الخالي من الجاذبية على طول مسار مستقيم عندما يقرر طيارها التسارع إلى الأمام. يقوم بتشغيل الدفاعات، ويتم إخراج الوقود المحترق بمعدل ثابت يبلغ\(2.0 \times 10^2\, kg/s\)، بسرعة (بالنسبة للصاروخ)\(2.5 \times 10^2 \,m/s\). الكتلة الأولية للمركبة الفضائية ووقودها غير المحترق هي\(2.0 \times 10^4\, kg\)، وتعمل أجهزة الدفع لمدة 30 ثانية.
- ما مقدار الدفع (القوة المؤثِّرة على الصاروخ بالوقود المقذوف) على المركبة الفضائية؟
- ما تسارع المركبة الفضائية كدالة للوقت؟
- ما تسارع المركبة الفضائية عند t = 0 و15 و30 و35 ثانية؟
إستراتيجية
- القوة على المركبة الفضائية تساوي معدل تغير زخم الوقود.
- بمعرفة القوة من الجزء (أ)، يمكننا استخدام قانون نيوتن الثاني لحساب العجلة الناتجة. المفتاح هنا هو أنه على الرغم من أن القوة المطبقة على المركبة الفضائية ثابتة (يتم إخراج الوقود بمعدل ثابت)، فإن كتلة المركبة الفضائية ليست كذلك؛ وبالتالي، فإن التسارع الناجم عن القوة لن يكون ثابتًا. لذلك نتوقع الحصول\(a(t)\) على وظيفة.
- سنستخدم الوظيفة التي نحصل عليها في الجزء (ب)، ونستبدل فقط الأرقام المعطاة. هام: نتوقع أن يزداد التسارع مع مرور الوقت، نظرًا لأن الكتلة التي يتم تسريعها تتناقص باستمرار (يتم إخراج الوقود من الصاروخ).
الحل
- زخم غاز الوقود المقذوف هو $p = m_ {g} v\ lDotP$سرعة الإخراج v = 2.5 × 10 2 م/ث ثابتة، وبالتالي فإن القوة هي $F =\ frac {dp} {dt} = v\ frac {dm_ {g}} {dt} = -v\ frac {dm} {dt} {dt} = -v\ frac {dm} {dt} الآن،\(\frac{dm_{g}}{dt}\) هو معدل تغير الكتلة من الوقود؛ المشكلة تنص على ذلك هذا هو 2.0 × 10 2 كجم/ثانية. كبديل، نحصل على $$\ ابدأ {الانقسام} F & = v\ frac {dm_ {g}} {dt}\\\\ & = (2.5\ مرة 10 ^ {2}\؛ م/ث) (2.0\ مرات 10^ {2}\؛ كغم/ثانية)\\\ & = 5\ مرات 10 ^ {4}\؛ N\ ldotp\ End slit} $$
- أعلاه، حددنا m على أنه الكتلة المجمعة للصاروخ الفارغ بالإضافة إلى كمية الوقود غير المحترق التي يحتوي عليها: m = m R + m g. من قانون نيوتن الثاني، $a =\ frac {F} {m} =\ frac {F} {m_ {R} + m_ {g}}\ lDotP$القوة ثابتة وكتلة الصاروخ الفارغة m R ثابتة، لكن كتلة الوقود m g تتناقص بمعدل منتظم؛ على وجه التحديد: $m_ {g} = m_ {g} = m_ {g} (t) - m_ {g_ {0}} -\ يسار (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\\ يمين)\ ldotp$$ هذا يعطينا $a (t) =\ frac {F} {m_ {g_ {1}} -\ يسار (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ يمين) t} =\ frac {F} {M -\ يسار (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ lDotP$لاحظ أن التسارع، كما هو متوقع، هو وظيفة الوقت. استبدال الأرقام المعطاة: $a (t) =\ frac {5\ مرات 10^ {4}\؛ N} {(2.0\ مرات 10^ {4}\؛ كجم) - (2.0\ مرات 10 ^ {2}\؛ كجم/ثانية) t}\ ldotp $$
- عند t = 0 ثانية: $a (0\; s) =\ frac {5\ مرات 10^ {4}\; N} {(2.0\ مرات 10^ {4}\; كجم) - (2.0\ مرات 10^ {2}\; كجم/ثانية) (0\; s)} = 2.5\ م/ثانية ^ {2}\ ldotp$$
عند t = 15 ثانية، a (15 ثانية) = 2.9 م/ث 2.
عند t = 30 ثانية، a (30 ثانية) = 3.6 م/ث 2.
التسارع آخذ في الازدياد، كما توقعنا.
الأهمية
لاحظ أن التسارع ليس ثابتًا؛ ونتيجة لذلك، يجب حساب أي كميات ديناميكية إما باستخدام التكامل، أو (بسهولة أكبر) الحفاظ على الطاقة الكلية
ما الفرق المادي (أو العلاقة) بين\(\frac{dm}{dt}\)\(\frac{dm_{g}}{dt}\) وفي هذا المثال؟
صاروخ في حقل الجاذبية
دعونا الآن نحلل تغير في سرعة الصاروخ أثناء مرحلة الإطلاق، من سطح الأرض. للحفاظ على إمكانية إدارة الرياضيات، سنقصر انتباهنا على المسافات التي يمكن فيها التعامل مع التسارع الناتج عن الجاذبية على أنه g ثابت.
التحليل مشابه، إلا أنه توجد الآن قوة خارجية تبلغ\(\vec{F}\) = −mg\(\hat{j}\) تعمل على نظامنا. تطبق هذه القوة الدافع d\(\vec{J}\) =\(\vec{F}\) dt = −mgdt\(\hat{j}\)، والذي يساوي تغير الزخم. هذا يعطينا
\[\begin{split} d \vec{p} & = d \vec{J} \\ \vec{p}_{f} - \vec{p}_{i} & = -mgdt\; \hat{j} \\ \big[ (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g}(v - u) - mv \big] \hat{j} & = -mgdt\; \hat{j} \end{split}\]
وهكذا
\[mdv - dm_{g} u = -mgdt\]
حيث أهملنا مرة أخرى مصطلح dm g dv وأسقطنا الترميز المتجه. بعد ذلك نستبدل dm g بـ −dm:
\[\begin{split} mdv + dmu & = -mgdt \\ mdv & = -dmu - mgdt \ldotp \end{split}\]
القسمة على\(m\) العطاء
\[dv = -u \frac{dm}{m} - gdt\]
والتكامل، لدينا
\[\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) - g \Delta t \ldotp \label{9.39}\]
ليس من المستغرب أن تتأثر سرعة الصاروخ بالتسارع (الثابت) للجاذبية.
تذكر\(\Delta\) أن هذا هو وقت حرق الوقود. الآن، في غياب الجاذبية، تشير المعادلة\ ref {9.38} إلى أنه لا فرق في مقدار الوقت الذي يستغرقه حرق كتلة الوقود بأكملها؛ لا يعتمد تغير السرعة على\(\Delta\) t، ولكن في وجود الجاذبية، فإن الأمر مهم للغاية. يخبرنا مصطلح −g\(\Delta\) t في المعادلة\ ref {9.39} أنه كلما طال وقت الاحتراق، كلما قل تغير سرعة الصاروخ. هذا هو السبب في أن إطلاق الصاروخ مذهل للغاية في اللحظة الأولى من الإقلاع: من الضروري حرق الوقود في أسرع وقت ممكن، للحصول على أكبر قدر ممكن من\(\Delta\) v.