9.10: مركز الكتلة (الجزء 2)
- Page ID
- 199989
مركز كتلة الأجسام المستمرة
إذا كانت كتلة الجسم المعني موزعة بشكل موحد في الفضاء، وليس كمجموعة من الجسيمات المنفصلة، فإن m j → dm، ويصبح التجميع جزءًا لا يتجزأ:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm \ldotp \label{9.34}\]
في هذا السياق، يعد r بُعدًا مميزًا للكائن (نصف قطر الكرة، طول القضيب الطويل). لإنشاء تكامل يمكن حسابه فعليًا، تحتاج إلى التعبير عن عنصر الكتلة التفاضلية dm كدالة لكثافة كتلة الكائن المستمر، والبعد r. سيوضح المثال ذلك.
أوجد مركز كتلة طوق رقيق منتظم (أو حلقة) من الكتلة\(M\) ونصف القطر\(r\).
إستراتيجية
أولًا، يشير تماثل الطوق إلى أن مركز الكتلة يجب أن يكون في المركز الهندسي. إذا حددنا نظام الإحداثيات الخاص بنا بحيث يكون الأصل في مركز الطوق، فيجب تقييم التكامل إلى الصفر.
نستبدل dm بتعبير يتضمن كثافة الطوق ونصف قطر الطوق. لدينا بعد ذلك تعبير يمكننا دمجه بالفعل. نظرًا لأن الطوق يوصف بأنه «رقيق»، فإننا نتعامل معه كجسم أحادي البعد، مع إهمال سمك الطوق. لذلك، يتم التعبير عن كثافتها بعدد الكيلوجرامات من المواد لكل متر. تسمى هذه الكثافة بكثافة الكتلة الخطية، وتُعطى الرمز\(\lambda\)؛ هذا هو الحرف اليوناني «lambda»، وهو ما يعادل الحرف الإنجليزي «l» (لـ «الخطي»).
نظرًا لأن الطوق يوصف بأنه موحد، فهذا يعني أن كثافة\(\lambda\) الكتلة الخطية ثابتة. وبالتالي، للحصول على تعبيرنا عن عنصر الكتلة التفاضلية dm، نضرب\(\lambda\) في الطول التفاضلي للحلقة ونستبدلها وندمجها (بحدود مناسبة للتكامل المحدد).
الحل
أولاً، حدد نظام الإحداثيات الخاص بنا والمتغيرات ذات الصلة (الشكل\(\PageIndex{1}\)).
يتم حساب مركز الكتلة بالمعادلة\ ref {9.34}:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \vec{r} dm \ldotp\]
علينا أن نحدد حدود التكامل أ و ب. التعبير\(\vec{r}\) في شكل مكون يعطينا
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] dm \ldotp\]
في الرسم التخطيطي، سلطنا الضوء على قطعة من الطوق ذات الطول التفاضلي ds؛ وبالتالي فإن كتلتها التفاضلية dm =\(\lambda\) ds. الاستبدال:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \lambda ds \ldotp\]
ومع ذلك، فإن طول القوس ds يمثل الزاوية التفاضلية d\(theta\)، لذلك لدينا
\[ds = rd \theta\]
وبالتالي
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \lambda rd \theta \ldotp\]
خطوة أخرى: نظرًا\(\lambda\) لكثافة الكتلة الخطية، يتم حسابها بقسمة الكتلة الكلية على طول الطوق:
\[\lambda = \frac{M}{2 \pi r}\]
يعطينا
\[\begin{split} \vec{r}_{CM} & = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \left(\dfrac{M}{2 \pi r}\right) rd \theta \\ & = \frac{1}{2 \pi} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] d \theta \ldotp \end{split}\]
لاحظ أن متغير التكامل هو الآن الزاوية\(\theta\). يخبرنا هذا أن حدود التكامل (حول الطوق الدائري) هي = 0 إلى\(\theta\) = 2\(\pi\)، وبالتالي a = 0 و b = 2\(\pi\). أيضًا، من أجل الراحة، نقوم بفصل المكونات المتكاملة في مكونات x- و y لـ\(\vec{r}_{CM}\). التعبير التكاملي النهائي هو
\[\begin{split} \vec{r}_{CM} & = r_{CM,x} \hat{i} + r_{CM,y} \hat{j} \\ & = \Big[ \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} (2 \cos \theta d \theta \Big] \hat{i} + \Big[ \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} (2 \sin \theta d \theta \Big] \hat{j} \\ & = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} = \vec{0} \end{split}\]
كما هو متوقع.
مركز الكتلة والحفاظ على الزخم
كيف يرتبط كل هذا بالحفاظ على الزخم؟
لنفترض أن لديك كائنات N بكتلات m 1، m 2، m 3،... m N وسرعات أولية،\(\vec{v}_{1}\)،\(\vec{v}_{2}\)،\(\vec{v}_{3}\)،...،\(\vec{v}_{N}\). مركز كتلة الكائنات هو
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp\]
سرعتها هي
\[\vec{v}_{CM} = \frac{d \vec{r}_{CM}}{dt} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \label{9.35}\]
وبالتالي فإن الزخم الأولي لمركز الكتلة هو
\[\begin{split} \Big[ M \frac{d \vec{r}_{CM}}{dt} \Big]_{i} & = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j,i}}{dt} \\ M \vec{v}_{CM,i} & = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j,i} \ldotp \end{split}\]
بعد أن تتحرك هذه الكتل وتتفاعل مع بعضها البعض، يصبح زخم مركز الكتلة
\[M \vec{v}_{CM,f} = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j,f} \ldotp\]
لكن الحفاظ على الزخم يخبرنا أن الجانب الأيمن من كلتا المعادلتين يجب أن يكون متساويًا، والذي يقول
\[M \vec{v}_{CM,f} = M \vec{v}_{CM,i} \ldotp \label{9.36}\]
تشير هذه النتيجة إلى أن الحفاظ على الزخم يتم التعبير عنه من حيث مركز كتلة النظام. لاحظ أنه عندما يتحرك جسم عبر الفضاء بدون قوة خارجية صافية تعمل عليه، قد يتسارع جسيم فردي من الجسم في اتجاهات مختلفة، بمقادير مختلفة، اعتمادًا على القوة الداخلية الصافية المؤثرة على هذا الكائن في أي وقت. (تذكر أن المجموع المتجه لجميع القوى الداخلية هو الذي يختفي فقط، وليس القوة الداخلية على جسيم واحد.) وبالتالي، لن يكون زخم هذا الجسيم ثابتًا - ولكن زخم الكائن الموسع بأكمله سيكون، وفقًا للمعادلة\ ref {9.36}.
تشير المعادلة\ ref {9.36} إلى نتيجة مهمة أخرى: بما أن M تمثل كتلة نظام الجسيمات بأكمله، فهي ثابتة بالضرورة. (إذا لم يكن الأمر كذلك، فليس لدينا نظام مغلق، لذلك لا يمكننا توقع الحفاظ على زخم النظام.) ونتيجة لذلك، تعني المعادلة\ ref {9.36} أنه بالنسبة للنظام المغلق،
\[\vec{v}_{CM,f} = \vec{v}_{CM,i} \ldotp \label{9.37}\]
وهذا يعني أنه في حالة عدم وجود قوة خارجية، لا تتغير سرعة مركز الكتلة أبدًا.
قد تميل إلى التغاضي والقول، «حسنًا، نعم، هذا مجرد قانون نيوتن الأول»، لكن تذكر أن قانون نيوتن الأول يناقش السرعة الثابتة للجسيم، في حين أن المعادلة\ المرجع {9.37} تنطبق على مركز كتلة مجموعة (ربما واسعة) من الجسيمات المتفاعلة، وأنه قد لا يكون هناك أي منها جسيم في مركز الكتلة على الإطلاق! لذلك، هذه حقا نتيجة رائعة.
عندما ينفجر صاروخ الألعاب النارية، تطير آلاف الشظايا المتوهجة إلى الخارج في جميع الاتجاهات، وتسقط على الأرض في عرض أنيق وجميل (الشكل\(\PageIndex{2}\)). وصف ما يحدث، من حيث الحفاظ على الزخم ومركز الكتلة.
تُظهر الصورة تناظرًا شعاعيًا حول النقاط المركزية للانفجارات؛ وهذا يشير إلى فكرة مركز الكتلة. يمكننا أيضًا رؤية الحركة المكافئة للجسيمات المتوهجة؛ هذا يعيد إلى الأذهان أفكار حركة المقذوفات.
الحل
في البداية، يتم إطلاق صاروخ الألعاب النارية ويطير بشكل مستقيم تقريبًا إلى الأعلى؛ وهذا هو سبب المسار الأبيض المستقيم بشكل أو بآخر الذي يتجه عالياً إلى السماء تحت الانفجار في الجزء العلوي الأيمن من الصورة (الانفجار الأصفر). هذا المسار ليس مكافئًا لأن القذيفة المتفجرة، أثناء مرحلة إطلاقها، هي في الواقع صاروخ؛ الدافع الذي يتم تطبيقه عليها من خلال طرد الوقود المحترق يطبق قوة على الغلاف أثناء فترة الارتفاع. (هذه ظاهرة سندرسها في القسم التالي.) القذيفة لها قوى متعددة عليها؛ وبالتالي، فهي ليست في حالة سقوط حر قبل الانفجار.
في لحظة الانفجار، تطير آلاف الشظايا المتوهجة إلى الخارج بنمط متماثل شعاعيًا. إن تماثل الانفجار هو نتيجة مجموع جميع القوى الداخلية إلى الصفر\((\sum_{j} \vec{f}_{j}^{int} = 0)\)؛ ولكل قوة داخلية، هناك قوة أخرى متساوية في الحجم والعكس في الاتجاه.
ومع ذلك، كما تعلمنا أعلاه، لا يمكن لهذه القوى الداخلية تغيير زخم مركز كتلة القذيفة (المنفجرة الآن). منذ أن اختفت قوة الصاروخ الآن، أصبح مركز كتلة القذيفة الآن مقذوفًا (القوة الوحيدة عليها هي الجاذبية)، لذلك أصبح مسارها قطريًا. يُظهر الانفجارين الأحمرين على اليسار مسار مراكز الكتلة في وقت أطول قليلاً بعد الانفجار مقارنة بالانفجار الأصفر في الجزء العلوي الأيمن.
في الواقع، إذا نظرت بعناية إلى جميع الانفجارات الثلاثة، يمكنك أن ترى أن المسارات المتوهجة ليست متماثلة شعاعيًا حقًا؛ بل إنها أكثر كثافة إلى حد ما على جانب واحد من الآخر. على وجه التحديد، يكون الانفجار الأصفر والانفجار الأوسط السفلي أكثر كثافة قليلاً على الجانبين الأيمن، والانفجار العلوي الأيسر أكثر كثافة على جانبه الأيسر. هذا بسبب زخم مراكز كتلتها؛ ويرجع اختلاف كثافة المسارات إلى الزخم الذي كانت تتمتع به كل قطعة من القشرة في لحظة انفجارها. كان لشظية الانفجار الموجودة في الجزء العلوي الأيسر من الصورة قوة دفع تشير إلى الأعلى وإلى اليسار؛ وكان زخم الجزء الأوسط يشير إلى الأعلى وإلى اليمين قليلاً؛ وانفجار الجانب الأيمن بوضوح إلى الأعلى وإلى اليمين (كما يتضح من مسار عادم الصاروخ الأبيض المرئي أدناه) الانفجار الأصفر).
وأخيرًا، كل جزء عبارة عن قذيفة قائمة بذاتها، وبالتالي يتعقب الآلاف من المظلات المتوهجة.
الدلالة
في المناقشة أعلاه، قلنا: «... مركز كتلة القذيفة هو الآن قذيفة (القوة الوحيدة عليها هي الجاذبية)...» هذا ليس دقيقًا تمامًا، لأنه قد لا تكون هناك أي كتلة على الإطلاق في مركز الكتلة؛ في هذه الحالة، لا يمكن أن تكون هناك قوة تعمل عليها. هذا في الواقع مجرد اختصار لفظي لوصف حقيقة أن قوى الجاذبية على جميع الجسيمات تعمل بحيث يتغير مركز الكتلة في موضعه تمامًا كما لو كانت كل كتلة القشرة موجودة دائمًا في موضع مركز الكتلة.
كيف سيتغير عرض الألعاب النارية في الفضاء السحيق، بعيدًا عن أي مصدر للجاذبية؟
قد تسمع أحيانًا شخصًا يصف انفجارًا بقوله شيئًا مثل «أجزاء الجسم المنفجر تتحرك دائمًا بطريقة تضمن استمرار مركز الكتلة في التحرك في مساره الأصلي». هذا يجعل الأمر يبدو كما لو أن العملية سحرية إلى حد ما: كيف يمكن أن يحدث دائمًا، في كل انفجار، أن تتحرك الأجزاء بالطريقة الصحيحة تمامًا بحيث لا يتغير مركز حركة الكتلة؟ عند صياغتها بهذه الطريقة، سيكون من الصعب تصديق أن أي انفجار لا يفعل أي شيء بشكل مختلف.
تفسير هذه المصادفة المذهلة على ما يبدو هو: لقد حددنا مركز الكتلة بدقة لذلك هذا هو بالضبط ما سنحصل عليه. تذكر أننا حددنا أولاً زخم النظام:
\[\vec{p}_{CM} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp\]
ثم خلصنا إلى أن القوة الخارجية الصافية على النظام (إن وجدت) غيرت هذا الزخم:
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt}\]
ثم - وهنا النقطة - حددنا التسارع الذي من شأنه أن يخضع لقانون نيوتن الثاني. أي أننا طالبنا بأن نكون قادرين على الكتابة
\[\vec{a} = \frac{\vec{F}}{M}\]
الأمر الذي يتطلب ذلك
\[\vec{a} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) \ldotp\]
حيث تكون الكمية داخل الأقواس هي مركز كتلة نظامنا. لذلك، ليس من المستغرب أن يخضع مركز الكتلة لقانون نيوتن الثاني؛ لقد حددناه على هذا النحو.