9.9: مركز الكتلة (الجزء الأول)
- Page ID
- 199978
- شرح معنى وفائدة مفهوم مركز الكتلة
- احسب مركز كتلة نظام معين
- قم بتطبيق مفهوم مركز الكتلة في بعدين وثلاثة أبعاد
- احسب سرعة وتسارع مركز الكتلة
لقد تجنبنا مشكلة مهمة حتى الآن: عندما نقول أن الجسم يتحرك (بشكل أكثر دقة، يتسارع) بطريقة تخضع لقانون نيوتن الثاني، فإننا نتجاهل حقيقة أن جميع الكائنات مصنوعة بالفعل من العديد من الجسيمات المكونة. تحتوي السيارة على محرك وعجلة قيادة ومقاعد وركاب؛ كرة القدم عبارة عن جلد ومطاط يحيط بالهواء؛ الطوب مصنوع من الذرات. هناك العديد من أنواع الجسيمات المختلفة، ولا يتم توزيعها بشكل موحد بشكل عام في الكائن. كيف نقوم بتضمين هذه الحقائق في حساباتنا؟
ثم أيضًا، قد يتغير شكل الجسم الممتد أثناء تحركه، مثل بالون الماء أو سقوط قطة (الشكل\(\PageIndex{1}\)). وهذا يعني أن الجسيمات المكونة تطبق قوى داخلية على بعضها البعض، بالإضافة إلى القوة الخارجية التي تعمل على الجسم ككل. نريد أن نكون قادرين على التعامل مع هذا أيضًا.
إذن، المشكلة التي تواجهنا هي تحديد أي جزء من الجسم الموسع يخضع لقانون نيوتن الثاني عند تطبيق قوة خارجية وتحديد كيفية تأثر حركة الجسم ككل بالقوى الداخلية والخارجية.
كن حذرًا: للتعامل مع هذا الوضع الجديد بشكل صحيح، يجب أن نكون صارمين وعامين تمامًا. لن نضع أي افتراضات حول طبيعة الكائن، أو الجسيمات المكونة له، أو القوى الداخلية أو الخارجية. وبالتالي، ستكون الحجج معقدة.
القوى الداخلية والخارجية
لنفترض أن لدينا جسمًا موسعًا كتلته M، مصنوع من جزيئات N المتفاعلة. دعونا نسمي كتلتها على أنها m j، حيث j = 1، 2، 3،...، N. لاحظ ذلك
\[M = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \ldotp \label{9.19}\]
إذا طبقنا بعض القوة الخارجية الصافية\(\vec{F}_{ext}\) على الجسم، فإن كل جسيم يواجه بعض «المشاركة» أو جزءًا من تلك القوة الخارجية. دعونا:
\(\vec{f}_{j}^{ext}\)= جزء القوة الخارجية التي يمر بها جسيم jth
لاحظ أن هذه الكسور من القوة الكلية ليست بالضرورة متساوية؛ في الواقع، إنها ليست متساوية أبدًا. (يمكن أن يكونوا كذلك، لكنهم عادة لا يكونون كذلك.) بشكل عام، لذلك،
\[\vec{f}_{1}^{ext} \neq \vec{f}_{2}^{ext} \neq \cdots \neq \vec{f}_{N}^{ext} \ldotp\]
بعد ذلك، نفترض أن كل من الجسيمات التي يتكون منها الجسم يمكن أن تتفاعل (تطبق القوى على) كل جسيم آخر من الجسم. لن نحاول تخمين نوع القوى الموجودة؛ ولكن نظرًا لأن هذه القوى هي نتيجة جسيمات الجسم التي تعمل على جزيئات أخرى من نفس الكائن، فإننا نشير إليها كقوى داخلية\(\vec{f}_{j}^{int}\)؛ وبالتالي:
\(\vec{f}_{j}^{int}\)= القوة الداخلية الصافية التي يمر بها جسيم jth من جميع الجسيمات الأخرى التي يتكون منها الجسم.
الآن، القوة الكلية، الداخلية بالإضافة إلى الخارجية، على جسيم jth هي مجموع المتجهات لهذه:
\[\vec{f}_{j} = \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \label{9.20}\]
حيث مرة أخرى، هذا لجميع جزيئات N؛ j = 1، 2، 3،...، N. ونتيجة لهذه القوة الكسرية، يتغير زخم كل جسيم:
\[\begin{split} \vec{f}_{j} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \\ \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \end{split} \label{9.21}\]
القوة الصافية\(\vec{F}\) على الكائن هي مجموع المتجهات لهذه القوى:
\[\begin{split} \vec{F}_{net} & = \sum_{j = 1}^{N} (\vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext}) \\ & = \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \end{split} \label{9.22}\]
تعمل هذه القوة الصافية على تغيير زخم الجسم ككل، ويجب أن يكون التغيير الصافي لزخم الجسم هو المجموع المتجه لجميع التغييرات الفردية في زخم جميع الجسيمات:
\[\vec{F}_{net} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.23}\]
الجمع بين المعادلة\ ref {9.22} والمعادلة\ المرجع {9.23} يعطي
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.24}\]
دعونا الآن نفكر في هذه التلخيصات. ضع في اعتبارك أولاً مصطلح القوى الداخلية؛ تذكر أن كل منها\(\vec{f}_{j}^{int}\) هو القوة المؤثرة على جسيم jth من الجسيمات الأخرى في الجسم. ولكن بموجب قانون نيوتن الثالث، مقابل كل واحدة من هذه القوى، يجب أن تكون هناك قوة أخرى لها نفس المقدار، ولكن العلامة المعاكسة (تشير في الاتجاه المعاكس). هذه القوى لا تلغى؛ لكن هذا ليس ما نقوم به في الخلاصة. بدلاً من ذلك، نقوم ببساطة بجمع كل متجهات القوة الداخلية رياضيًا. وهذا يعني، بشكل عام، أن القوى الداخلية لأي جزء فردي من الكائن لن تلغى، ولكن عندما يتم جمع جميع القوى الداخلية، يجب إلغاء القوى الداخلية في أزواج. ويترتب على ذلك أن مجموع جميع القوى الداخلية يجب أن يكون صفرًا:
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = 0 \ldotp\]
(هذه الحجة خفية ولكنها مهمة؛ خذ الكثير من الوقت لفهمها تمامًا.)
بالنسبة للقوى الخارجية، فإن هذا التجميع هو ببساطة القوة الخارجية الكلية التي تم تطبيقها على الكائن بأكمله:
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \vec{F}_{ext} \ldotp\]
ونتيجة لذلك،
\[\vec{F}_{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.25}\]
هذه نتيجة مهمة. تخبرنا المعادلة\ ref {9.25} أن التغيير الكلي لزخم الكائن بأكمله (جميع جزيئات N) يرجع فقط إلى القوى الخارجية؛ القوى الداخلية لا تغير زخم الكائن ككل. هذا هو السبب في أنه لا يمكنك رفع نفسك في الهواء بالوقوف في سلة والسحب على المقابض: بالنسبة لنظام + السلة الخاص بك، فإن قوة السحب لأعلى هي قوة داخلية.
القوة والزخم
تذكر أن هدفنا الفعلي هو تحديد معادلة الحركة للكائن بأكمله (نظام الجسيمات بأكمله). تحقيقا لهذه الغاية، دعونا نحدد:
\(\vec{p}_{CM}\)= الزخم الكلي لنظام جزيئات N (سيتضح سبب الرمز المنخفض قريبًا)
ثم لدينا
\[\vec{p}_{CM} = \equiv \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]
وبالتالي يمكن كتابة المعادلة\ ref {9.25} ببساطة
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt} \ldotp \label{9.26}\]
نظرًا لأن هذا التغيير في الزخم ناتج عن القوة الخارجية الصافية فقط، فقد أسقطنا الرمز «ext». هذا هو قانون نيوتن الثاني، ولكن الآن للكائن الموسع بأكمله. إذا كان هذا يبدو معاكسًا للمناخ بعض الشيء، فتذكر ما يختبئ بداخله:\(\vec{p}_{CM}\) هو المجموع المتجه لزخم (من حيث المبدأ) لمئات الآلاف من المليارات من المليارات من الجسيمات (6.02 × 10 23)، وكلها ناتجة عن قوة خارجية صافية واحدة بسيطة - وهي قوة يمكنك حسابها.
مركز ماس
مهمتنا التالية هي تحديد أي جزء من الكائن الموسع، إن وجد، هو الامتثال للمعادلة\ ref {9.26}.
من المغري اتخاذ الخطوة التالية؛ هل المعادلة التالية تعني أي شيء؟
\[\vec{F} = M \vec{a} \label{9.27}\]
إذا كان ذلك يعني شيئًا (تسريع ماذا بالضبط؟) ، ثم يمكننا الكتابة
\[M \vec{a} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt}\]
وبالتالي
\[M \vec{a} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]
وهو ما يلي لأن مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات.
الآن،\(\vec{p}_{j}\) هو زخم جسيم الميثان. تحديد مواضع الجسيمات المكونة (بالنسبة لبعض أنظمة الإحداثيات) كـ\(\vec{r}_{j}\) = (x j، y j، z j)، وبالتالي لدينا
\[\vec{p}_{j} = m_{j} \vec{v}_{j} = m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \ldotp\]
بعد العودة، نحصل على
\[\begin{split} M \vec{a} & = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \\ & = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \end{split}\]
يعطينا تقسيم كلا الجانبين على M (الكتلة الإجمالية للكائن الموسع)
\[\vec{a} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) \ldotp \label{9.28}\]
وبالتالي، فإن النقطة في الكائن التي تتبع المسار الذي تمليه القوة المطبقة في المعادلة\ ref {9.27} موجودة داخل الأقواس في المعادلة\ ref {9.28}.
بالنظر إلى هذا الحساب، لاحظ أننا (داخل الأقواس) نقوم بحساب حاصل ضرب كتلة كل جسيم بموضعه، وجمع كل N منها، وقسمة هذا المجموع على الكتلة الكلية للجسيمات التي جمعناها. هذا يذكرنا بالمتوسط؛ مستوحى من هذا، سنقوم (بشكل فضفاض) بتفسيره على أنه الموضع المتوسط المرجح لكتلة الكائن الموسع. يطلق عليه في الواقع مركز كتلة الجسم. لاحظ أن موضع مركز الكتلة يحتوي على وحدات من الأمتار؛ وهذا يشير إلى التعريف:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \label{9.29}\]
لذا، فإن النقطة التي تخضع للمعادلة\ ref {9.26} (وبالتالي المعادلة\ ref {9.27} أيضًا) هي مركز كتلة الكائن، الموجود في متجه الموضع\(\vec{r}_{CM}\).
قد يفاجئك أن تعلم أنه لا يجب أن تكون هناك أي كتلة فعلية في مركز كتلة الجسم. على سبيل المثال، تكون كرة فولاذية مجوفة بداخلها فراغ متماثلة كرويًا (بمعنى أن كتلتها موزعة بشكل موحد حول مركز الكرة)؛ كل كتلة الكرة موجودة على سطحها، بدون كتلة بداخلها. ولكن يمكن إثبات أن مركز كتلة الكرة يقع في مركزها الهندسي، وهو ما يبدو معقولاً. وبالتالي، لا توجد كتلة في موضع مركز كتلة الكرة. (مثال آخر هو كعكة محلاة.) يوضح الشكل إجراء العثور على مركز الكتلة\(\PageIndex{2}\)
حيث\(\vec{r}_{j} = x_{j} \hat{i} + y_{j} \hat{j} + z_{j} \hat{k}\) أنه يتبع ما يلي:
\[r_{CM,x} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} x_{j} \label{9.30}\]
\[r_{CM,y} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} y_{j} \label{9.31}\]
\[r_{CM,z} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} z_{j} \label{9.32}\]
وبالتالي
\[\vec{r}_{CM} = r_{CM,x} \hat{i} + r_{CM,y} \hat{j} + r_{CM,z} \hat{k}\]
\[r_{CM} = |\vec{r}_{CM}| = (r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2})^{1/2} \ldotp\]
لذلك، يمكنك حساب مكونات مركز متجه الكتلة بشكل فردي.
أخيرًا، لإكمال الكينماتيكا، يتم حساب السرعة اللحظية لمركز الكتلة تمامًا كما قد تشك:
\[\vec{v}_{CM} = \frac{d}{dt} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j} \label{9.33}\]
وهذا، مثل الموضع، يحتوي على مكونات x- و y- و z.
لحساب مركز الكتلة في الحالات الفعلية، نوصي بالإجراء التالي:
مركز كتلة الكائن هو متجه الموضع. وبالتالي، لحسابها، قم بإجراء الخطوات التالية:
- حدد نظام الإحداثيات الخاص بك. عادةً ما يتم وضع الأصل في موقع أحد الجسيمات. لكن هذا ليس مطلوبًا.
- حدد إحداثيات x و y و z لكل جسيم يتكون منه الكائن.
- أوجد كتلة كل جسيم، واجمعها للحصول على الكتلة الكلية للجسم. لاحظ أنه يجب تضمين كتلة الكائن عند الأصل في الكتلة الكلية.
- احسب مكونات x- و y- و z لمركز متجه الكتلة باستخدام المعادلة\ ref {9.30} والمعادلة\ المرجع {9.31} والمعادلة\ المرجع {9.32}.
- إذا لزم الأمر، استخدم نظرية فيثاغورس لتحديد حجمها.
فيما يلي مثالان سيعطونك فكرة عن مركز الكتلة.
باستخدام بيانات من ملحق نصي، حدد مدى بُعد مركز كتلة نظام الأرض والقمر عن مركز الأرض. قارن هذه المسافة بنصف قطر الأرض، وعلق على النتيجة. تجاهل الأجسام الأخرى في النظام الشمسي.
إستراتيجية
نحصل على الكتل ومسافة الفصل بين الأرض والقمر، ونفرض نظام الإحداثيات، ونستخدم المعادلة\ ref {9.29} مع كائنات N = 2 فقط. نستخدم الرمز «e» للإشارة إلى الأرض، ونستخدم الحرف «m» للإشارة إلى القمر.
الحل
حدد أصل نظام الإحداثيات كمركز الأرض. ثم، مع وجود كائنين فقط، تصبح المعادلة\ ref {9.29}
\[R = \frac{m_{c} r_{c} + m_{m} r_{m}}{m_{c} + m_{m}} \ldotp\]
من الملحق D،
\[m_{c} = 5.97 \times 10^{24}\; kg\]
\[m_{m} = 7.36 \times 10^{22}\; kg\]
\[r_{m} = 3.82 \times 10^{5}\; m \ldotp\]
لقد حددنا مركز الأرض على أنه الأصل، لذلك r e = 0 m، وإدراج هذه العناصر في معادلة R يعطي
\[\begin{split} R & = \frac{(5.97 \times 10^{24}\; kg)(0\; m) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)(3.82 \times 10^{8}\; m)}{(5.98 \times 10^{24}\; kg) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)} \\ & = 4.64 \times 10^{6}\; m \ldotp \end{split}\]
الدلالة
يبلغ نصف قطر الأرض 6.37 × 10 6 م، وبالتالي فإن مركز كتلة نظام الأرض والقمر هو (6.37 - 4.64) × 10 6 م = 1.73 × 10 6 م = 1730 كم (حوالي 1080 ميل) تحت سطح الأرض. يتم عرض موقع مركز الكتلة (وليس على نطاق واسع).
لنفترض أننا أدرجنا الشمس في النظام. أين يقع مركز كتلة نظام الأرض والقمر والشمس تقريبًا؟ (لا تتردد في حسابها فعليًا.)
\(\PageIndex{3}\)يوضح الشكل بلورة واحدة من كلوريد الصوديوم - ملح الطعام العادي. تشكل أيونات الصوديوم والكلوريد وحدة واحدة، NaCl. عندما تتجمع وحدات NaCl المتعددة معًا، فإنها تشكل شبكة مكعبة. يتكون أصغر مكعب ممكن (يسمى خلية الوحدة) من أربعة أيونات صوديوم وأربعة أيونات كلوريد بالتناوب. طول إحدى حواف هذا المكعب (أي طول الرابطة) يساوي 2.36 × 10 −10 م، أوجد موقع مركز كتلة خلية الوحدة. حدده إما بإحداثياته (r CM، x، r CM، y، r CM، z)، أو بواسطة r CM وزوايتين.
إستراتيجية
يمكننا البحث عن كل الكتل الأيونية. إذا فرضنا نظام إحداثيات على خلية الوحدة، فسيعطينا ذلك مواضع الأيونات. يمكننا بعد ذلك تطبيق المعادلة\ ref {9.30}، المعادلة\ المرجع {9.31}، والمعادلة\ ref {9.32} (إلى جانب نظرية فيثاغورس).
الحل
حدد الأصل ليكون في موقع أيون الكلوريد في الجزء السفلي الأيسر من خلية الوحدة. \(\PageIndex{4}\)يوضح الشكل نظام الإحداثيات.
هناك ثمانية أيونات في هذه البلورة، لذلك N = 8:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp\]
كتلة كل من أيونات الكلوريد هي
\[35.453u \times \frac{1.660 \times 10^{-27}\; kg}{u} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg\]
لذلك لدينا
\[m_{1} = m_{3} = m_{6} = m_{8} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]
بالنسبة لأيونات الصوديوم،
\[m_{2} = m_{4} = m_{5} = m_{7} = 3.816 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]
وبالتالي فإن الكتلة الإجمالية لخلية الوحدة هي
\[M = (4)(5.885 \times 10^{-26}\; kg) + (4)(3.816 \times 10^{-26}\; kg) = 3.880 \times 10^{-25}\; kg \ldotp\]
من الناحية الهندسية، فإن المواقع هي
\[\begin{split} \vec{r}_{1} & = 0 \\ \vec{r}_{2} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} \\ \vec{r}_{3} & = r_{3x} \hat{i} + r_{3y} \hat{j} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{4} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{5} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{6} & = r_{6x} \hat{i} + r_{6z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{7} & = r_{7x} \hat{i} + r_{7y} \hat{j} + r_{7z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{8} & = r_{8y} \hat{j} + r_{8z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \ldotp \end{split}\]
الاستبدال:
\[\begin{split} |\vec{r}_{CM,x}| & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} (r_{x})_{j} \\ & = \frac{1}{M} (m_{1} r_{1x} + m_{2} r_{2x} + m_{3} r_{3x} + m_{4} r_{4x} + m_{5} r_{5x} + m_{6} r_{6x} + m_{7} r_{7x} + m_{8} r_{8x}) \\ & = \frac{1}{3.8804 \times 10^{-25}\; kg} \Big[ (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(0\; m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) \\ & + (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 + 0 \\ & + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 \Big] \\ & = 1.18 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]
تعطي الحسابات المماثلة r CM، y = r CM، z = 1.18 × 10 −10 م (يمكنك القول بأن هذا يجب أن يكون صحيحًا، بالتماثل، ولكن من الجيد التحقق منه).
الدلالة
كما اتضح، لم يكن من الضروري حقًا تحويل الكتلة من وحدات الكتلة الذرية (u) إلى كيلوغرامات، حيث تنقسم الوحدات عند حساب r CM على أي حال.
للتعبير عن r CM من حيث الحجم والاتجاه، قم أولاً بتطبيق نظرية فيثاغورس ثلاثية الأبعاد على مكونات المتجهات:
\[\begin{split} r_{CM} & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = (1.18 \times 10^{-10}\; m) \sqrt{3} \\ & = 2.044 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]
نظرًا لأن هذه مشكلة ثلاثية الأبعاد، فإن الأمر يتطلب زاويتين لتحديد اتجاهها\(\vec{r}_{CM}\). \(\phi\)لتكن الزاوية في المستوى x، y، مقاسة من المحور +x، عكس اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح من الأعلى؛ ثم:
\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{r_{CM,y}}{r_{CM,x}}\right) = 45^{o} \ldotp\]
\(\theta\)لنكن الزاوية في المستوى y، z، المقاسة نزولًا من المحور +z؛ هذا (ليس مفاجئًا):
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{R_{z}}{R_{y}}\right) = 45^{o} \ldotp\]
وبالتالي، يكون مركز الكتلة في المركز الهندسي لخلية الوحدة. مرة أخرى، يمكنك مناقشة هذا على أساس التماثل
لنفترض أن لديك بلورة ملح مجهرية (أي بلورة كبيرة بما يكفي لتكون مرئية بعينك المجردة). يتكون من عدد كبير من خلايا الوحدة. هل يقع مركز كتلة هذه البلورة بالضرورة في المركز الهندسي للكريستال؟
يخرج مفهومان حاسمان من هذه الأمثلة:
- 1. كما هو الحال مع جميع المشاكل، يجب تحديد نظام الإحداثيات والأصل. بالنسبة لحسابات مركز الكتلة، غالبًا ما يكون من المنطقي اختيار الأصل الخاص بك ليكون موجودًا في إحدى كتل نظامك. يحدد هذا الاختيار تلقائيًا المسافة في المعادلة\ ref {9.29} لتكون صفرًا. ومع ذلك، لا يزال يتعين عليك تضمين كتلة الكائن في الأصل في حساب M، معادلة الكتلة الكلية\ ref {9.19}. في مثال نظام الأرض والقمر، يعني هذا تضمين كتلة الأرض. إذا لم تفعل ذلك، فقد انتهى بك الأمر إلى أن يكون مركز كتلة النظام في مركز القمر، وهذا خطأ واضح.
- في المثال الثاني (الكريستال الملحي)، لاحظ أنه لا توجد كتلة على الإطلاق في موقع مركز الكتلة. هذا مثال لما ذكرناه أعلاه، وهو أنه لا يجب أن تكون هناك أي كتلة فعلية في مركز كتلة الجسم.