9.8: التصادمات في أبعاد متعددة
- Page ID
- 199985
- التعبير عن الزخم كمتجه ثنائي الأبعاد
- اكتب معادلات الحفاظ على كمية الحركة في شكل مكون
- احسب كمية الحركة في بعدين، ككمية متجهة
من الشائع جدًا أن تحدث التصادمات في بعدين؛ أي أن الزاوية بين متجهات السرعة الأولية ليست صفرًا ولا 180 درجة. دعونا نرى المضاعفات التي تنشأ من هذا.
الفكرة الأولى التي نحتاجها هي أن الزخم هو متجه؛ مثل جميع المتجهات، يمكن التعبير عنه كمجموع المكونات العمودية (عادةً، ولكن ليس دائمًا، مكون x ومكون y، ومكون z إذا لزم الأمر). وبالتالي، عندما نكتب بيان الحفاظ على الزخم لمشكلة ما، يمكن التعبير عن متجهات الزخم الخاصة بنا، وعادة ما يتم التعبير عنها في شكل مكون.
الفكرة الثانية التي نحتاجها تأتي من حقيقة أن الزخم مرتبط بالقوة:
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]
التعبير عن كل من القوة والزخم في شكل المكون،
\[F_{x} = \frac{dp_{x}}{dt}, F_{y} = \frac{dp_{y}}{dt}, F_{z} = \frac{dp_{z}}{dt} \ldotp\]
تذكر أن هذه المعادلات هي ببساطة قانون نيوتن الثاني، في شكل متجه وفي شكل مكون. نحن نعلم أن قانون نيوتن الثاني صحيح في كل اتجاه، بشكل مستقل عن الآخرين. ويترتب على ذلك (من خلال قانون نيوتن الثالث) أن الحفاظ على الزخم صحيح أيضًا في كل اتجاه بشكل مستقل.
تحفز هاتان الفكرتان حل المشكلات ثنائية الأبعاد: نكتب التعبير عن الحفاظ على الزخم مرتين: مرة في الاتجاه x ومرة في الاتجاه y.
\[p_{f,x} = p_{1,i,x} + p_{2,i,x} \label{9.18}\]
\[p_{f,y} = p_{1,i,y} + p_{2,i,y}\]
يظهر هذا الإجراء بيانياً في الشكل\(\PageIndex{1}\).
نقوم بحل كل من هاتين المعادلتين المكونتين بشكل مستقل للحصول على مكونات x- و y لمتجه السرعة المطلوب:
\[v_{f,x} = \frac{m_{1} v_{1,i,x} + m_{2} v_{2,i,x}}{m}\]
\[v_{f,y} = \frac{m_{1} v_{1,i,y} + m_{2} v_{2,i,y}}{m}\]
(هنا، تمثل m الكتلة الكلية للنظام.) أخيرًا، اجمع هذه المكونات باستخدام نظرية فيثاغورس،
\[v_{f} = |\vec{v}_{f}| = \sqrt{v_{f,x}^{2} + v_{f,y}^{2}} \ldotp\]
عادةً ما تكون طريقة حل مشكلة الحفاظ على الزخم ثنائية الأبعاد (أو حتى ثلاثية الأبعاد) هي نفس طريقة حل مشكلة أحادية البعد، باستثناء أنه يتعين عليك الحفاظ على الزخم في كلا البعدين (أو الثلاثة) في وقت واحد:
- حدد النظام المغلق.
- اكتب المعادلة التي تُمثِّل الحفاظ على كمية الحركة في اتجاه x، وقم بحلها للكمية المطلوبة. إذا كنت تقوم بحساب كمية المتجهات (السرعة، عادةً)، فسيمنحك هذا المكون x للمتجه.
- اكتب المعادلة التي تُمثِّل الحفاظ على كمية الحركة في الاتجاه y، وحلّها. سيعطيك هذا المكون y لكمية المتجهات الخاصة بك.
- بافتراض أنك تقوم بحساب كمية متجهة، استخدم نظرية فيثاغورس لحساب حجمها، باستخدام نتائج الخطوتين 3 و4.
تصطدم سيارة صغيرة كتلتها ١٢٠٠ كجم تسير شرقًا بسرعة ٦٠ كم/ساعة عند تقاطع مع شاحنة كتلتها ٣٠٠٠ كجم تسير شمالًا بسرعة ٤٠ كم/ساعة (الشكل\(\PageIndex{2}\)). السيارتان مقفلتان معًا. ما سرعة الحطام المُجمَّع؟
إستراتيجية
أولاً، نحتاج إلى نظام مغلق. النظام الطبيعي الذي يجب اختياره هو (السيارة+الشاحنة)، ولكن هذا النظام غير مغلق؛ فالاحتكاك من الطريق يؤثر على كلتا السيارتين. نتجنب هذه المشكلة من خلال قصر السؤال على إيجاد السرعة في اللحظة التي تلي التصادم مباشرة، بحيث لا يكون للاحتكاك أي تأثير حتى الآن على النظام. مع هذا التقييد، يتم الحفاظ على الزخم لهذا النظام.
نظرًا لوجود اتجاهين، فإننا نحافظ على الزخم مرتين: مرة في الاتجاه x ومرة في الاتجاه y.
الحل
قبل التصادم، يكون الزخم الكلي
\[\vec{p} = m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} \ldotp\]
بعد التصادم، اكتسب الحطام زخمًا
\[\vec{p} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]
نظرًا لأن النظام مغلق، يجب الحفاظ على الزخم، لذلك لدينا
\[m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]
علينا أن نكون حذرين؛ اللحظتان الأوليتان ليستا متوازيتين. يجب أن نضيف عموديًا (الشكل\(\PageIndex{3}\)).
إذا حددنا اتجاه +x للإشارة إلى الشرق والاتجاه +y للإشارة إلى الشمال، كما في الشكل، ثم (بشكل ملائم)،
\[\vec{p}_{c} = p_{c}\; \hat{i} = m_{c} v_{c}\; \hat{i}\]
\[\vec{p}_{T} = p_{T}\; \hat{j} = m_{T} v_{T}\; \hat{j} \ldotp\]
لذلك، في الاتجاه x:
\[m_{c} v_{c} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,x}\]
\[v_{w,x} = \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c}\]
وفي الاتجاه y:
\[m_{T} v_{T} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,y}\]
\[v_{w,y} = \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{T} \ldotp\]
يعطي تطبيق نظرية فيثاغورس ما يلي:
\[\begin{split} |\vec{v}_{w}| & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c} \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}} \right) v_{T} \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{1200\; kg}{4200\; kg}\right) (16.67\; m/s) \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{3000\; kg}{4200\; kg}\right) (11.1\; m/s) \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{(4.76\; m/s)^{2} + (7.93\; m/s)^{2}} \\ & = 9.25\; m/s \approx 33.3\; km/hr \ldotp \end{split}\]
أما بالنسبة لاتجاهها، باستخدام الزاوية الموضحة في الشكل،
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{v_{w,x}}{v_{w,y}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{7.93\; m/s}{4.76\; m/s}\right) = 59^{o} \ldotp\]
تقع هذه الزاوية شرق الشمال، أو 31 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه +x.
الأهمية
من الناحية العملية، عادة ما يعمل محققو الحوادث في «الاتجاه المعاكس»؛ حيث يقيسون مسافة علامات الانزلاق على الطريق (التي تعطي مسافة التوقف) ويستخدمون نظرية العمل والطاقة جنبًا إلى جنب مع الحفاظ على الزخم لتحديد سرعات واتجاهات السيارات قبل تصادم. لقد رأينا هذا التحليل في قسم سابق.
لنفترض أن السرعات الأولية لم تكن في الزوايا الصحيحة لبعضها البعض. كيف سيؤدي ذلك إلى تغيير كل من النتيجة المادية والتحليل الرياضي للتصادم؟
خزان الغوص الشائع هو أسطوانة من الألومنيوم تزن 31.7 رطلاً فارغًا (الشكل\(\PageIndex{4}\)). عند امتلاء الهواء المضغوط، يتراوح الضغط الداخلي بين 2500 و 3000 رطل/بوصة مربعة (رطل لكل بوصة مربعة). لنفترض أن مثل هذه الدبابة، التي كانت جالسة بلا حراك، انفجرت فجأة إلى ثلاث قطع. تنطلق القطعة الأولى، التي تزن 10 أرطال، أفقيًا بسرعة 235 ميلًا في الساعة؛ وتنطلق القطعة الثانية (7 أرطال) بسرعة 172 ميلًا في الساعة، أيضًا في المستوى الأفقي، ولكن بزاوية 19 درجة للقطعة الأولى. ما الكتلة والسرعة الأولية للقطعة الثالثة؟ (قم بكل العمل، وعبر عن إجابتك النهائية، بوحدات SI.)
إستراتيجية
لاستخدام الحفاظ على الزخم، نحتاج إلى نظام مغلق. إذا حددنا النظام على أنه خزان الغوص، فهذا ليس نظامًا مغلقًا، لأن الجاذبية هي قوة خارجية. ومع ذلك، فإن المشكلة تتطلب السرعة الأولية للقطعة الثالثة فقط، حتى نتمكن من إهمال تأثير الجاذبية واعتبار الخزان بحد ذاته نظامًا مغلقًا. لاحظ أنه بالنسبة لهذا النظام، يكون متجه الزخم الأولي صفرًا.
نختار نظام الإحداثيات حيث تحدث كل الحركة في المستوى xy. ثم نكتب معادلات الحفاظ على كمية الحركة في كل اتجاه، وبالتالي نحصل على المكونين x- و y لزخم القطعة الثالثة، والتي نحصل منها على حجمها (عبر نظرية فيثاغورس) واتجاهها. وأخيرًا، فإن قسمة هذا الزخم على كتلة القطعة الثالثة يعطينا السرعة.
الحل
أولاً، دعنا نتخلص من جميع التحويلات إلى وحدات SI:
\[31.7\; lb \times \frac{1\; kg}{2.2\; lb} \rightarrow 14.4\; kg\]
\[10\; lb \rightarrow 4.5\; kg\]
\[235\; \frac{miles}{hour} \times \frac{1\; hour}{3600\; s} \times \frac{1609\; m}{mile} = 105\; m/s\]
\[7\; lb \rightarrow 3.2\; kg\]
\[172 \frac{mile}{hour} = 77\; m/s\]
\[m_{3} = 14.4\; kg - (4.5\; kg + 3.2\; kg) = 6.7\; kg \ldotp\]
الآن قم بتطبيق الحفاظ على الزخم في كل اتجاه.
الاتجاه السيني:
\[\begin{split} p_{f,x} & = p_{0,x} \\ p_{1,x} + p_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ m_{1} v_{1,x} + m_{2} v_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ p_{3,x} & = -m_{1} v_{1,x} - m_{2} v_{2,x} \end{split}\]
الاتجاه الصادي:
\[\begin{split} p_{f,y} & = p_{0,y} \\ p_{1,y} + p_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ m_{1} v_{1,y} + m_{2} v_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ p_{3,y} & = -m_{1} v_{1,y} - m_{2} v_{2,y} \end{split}\]
من نظام الإحداثيات الذي اخترناه، نكتب مكونات x كـ
\[\begin{split} p_{3,x} & = - m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2} \cos \theta \\ & = - (4.5\; kg)(105\; m/s) - (3.2\; kg)(77\; m/s) \cos (19^{o}) \\ & = -705\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
بالنسبة للاتجاه y، لدينا
\[\begin{split} p_{3,y} & = 0 - m_{2} v_{2} \sin \theta \\ & = - (3.2\; kg)(77\; m/s) \sin (19^{o}) \\ & = -80.2\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
هذا يعطي حجم p 3:
\[\begin{split} p_{3} & = \sqrt{p_{3,x}^{2} + p_{3,y}^{2}} \\ & = \sqrt{(-705\; kg\; \cdotp m/s)^{2} + (-80.2\; kg\; \cdotp m/s)} \\ & = 710\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
وبالتالي فإن سرعة القطعة الثالثة هي
\[v_{3} = \frac{p_{3}}{m_{3}} = \frac{710\; kg\; \cdotp m/s}{6.7\; kg} = 106\; m/s \ldotp\]
اتجاه متجه السرعة هو نفس اتجاه متجه الزخم:
\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{p_{3,y}}{p_{3,x}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{80.2\; kg\; \cdotp m/s}{705\; kg\; \cdotp m/s}\right) = 6.49^{o} \ldotp\]
ولأن الزاوية\(\phi\) تقع تحت محور −x، فإن الزاوية الفعلية هي 186.49 درجة من اتجاه +x.
الأهمية
السرعات الهائلة هنا نموذجية؛ يمكن لخزان ينفجر من أي غاز مضغوط أن يخترق جدار المنزل بسهولة ويسبب إصابات كبيرة أو الوفاة. لحسن الحظ، فإن مثل هذه الانفجارات نادرة للغاية، على أساس النسبة المئوية.
لاحظ أن كتلة الهواء في الخزان تم إهمالها في التحليل والحل. كيف ستتغير طريقة الحل إذا تم تضمين الهواء؟ ما الفرق الكبير الذي تعتقد أنه سيحدثه في الإجابة النهائية؟