9.5: الحفاظ على الزخم الخطي (الجزء 1)
- Page ID
- 199988
- شرح معنى «الحفاظ على الزخم»
- حدد بشكل صحيح ما إذا كان النظام مغلقًا أم لا
- حدد النظام الذي يتم الحفاظ على زخمه
- التعبير رياضيًا عن الحفاظ على الزخم لنظام معين
- احسب كمية غير معروفة باستخدام الحفاظ على الزخم
تذكر قانون نيوتن الثالث: عندما يتفاعل جسمان كتلتاهما m 1 و m 2 (بمعنى أنهما يطبقان قوى على بعضهما البعض)، فإن القوة التي يطبقها الكائن 2 على الجسم 1 تساوي في الحجم وتتعارض في الاتجاه مع القوة التي يطبقها الكائن 1 على الجسم 2. دعونا:
- \(\vec{F}_{21}\)= القوة على m 1 من m 2
- \(\vec{F}_{12}\)= القوة على m 2 من m 1
ثم، في الرموز، يقول قانون نيوتن الثالث
\[\begin{split} \vec{F}_{21} & = - \vec{F}_{12} \\ m_{1} \vec{a}_{1} & = -m_{2} \vec{a}_{2} \ldotp \end{split} \label{9.10}\]
(تذكر أن هاتين القوتين لا تلغيان بسبب تطبيقهما على كائنات مختلفة. يؤدي F 21 إلى تسريع m 1، و F 12 يتسبب في تسريع m 2.)
على الرغم من أن مقادير القوى على الأجسام هي نفسها، إلا أن التسارع ليس كذلك، وذلك ببساطة لأن الكتل (بشكل عام) مختلفة. لذلك، تختلف التغييرات في سرعة كل كائن:
\[\frac{d \vec{v}_{1}}{dt} \neq \frac{d \vec{v}_{2}}{dt} \ldotp\]
ومع ذلك، فإن منتجات الكتلة وتغير السرعة متساوية (من حيث الحجم):
\[m_{1} \frac{d \vec{v}_{1}}{dt} = - m_{2} \frac{d \vec{v}_{2}}{dt} \ldotp \label{9.11}\]
من الجيد، في هذه المرحلة، التأكد من وضوح المعنى المادي للمشتقات في المعادلة 9.3.3. بسبب التفاعل، ينتهي كل كائن بتغيير سرعته بمقدار dv. علاوة على ذلك، يحدث التفاعل خلال فترة زمنية dt، مما يعني أن تغيير السرعات يحدث أيضًا خلال dt. هذه الفترة الزمنية هي نفسها لكل كائن.
لنفترض، في الوقت الحالي، أن كتل الكائنات لا تتغير أثناء التفاعل. (سنقوم بتخفيف هذا التقييد لاحقًا.) في هذه الحالة، يمكننا سحب الكتل داخل المشتقات:
\[\frac{d}{dt} (m_{1} \vec{v}_{1}) = - \frac{d}{dt} (m_{2} \vec{v}_{2}) \label{9.12}\]
وبالتالي
\[\frac{d \vec{p}_{1}}{dt} = - \frac{d \vec{p}_{2}}{dt} \ldotp \label{9.13}\]
يشير هذا إلى أن معدل تغير الزخم هو نفسه لكلا الجسمين. تختلف الكتل، وتغيرات السرعة مختلفة، لكن معدل تغير ناتج m و\(\vec{v}\) 2 هو نفسه.
من الناحية الفيزيائية، يعني هذا أنه أثناء تفاعل الجسمين (m 1 و m 2)، تغير زخم كلا الجسمين؛ لكن هذه التغييرات متطابقة في الحجم، على الرغم من أنها معاكسة في العلامة. على سبيل المثال، قد يزداد زخم الكائن 1، مما يعني أن زخم الكائن 2 يتناقص بنفس المقدار بالضبط.
في ضوء ذلك، دعونا نعيد كتابة المعادلة\ ref {9.12} في شكل أكثر إيحاءً:
\[\frac{d \vec{p}_{1}}{dt} + \frac{d \vec{p}_{2}}{dt} = 0 \ldotp \label{9.14}\]
يشير هذا إلى أنه أثناء التفاعل، على الرغم من تغير زخم الكائن 1، وتغير زخم الكائن 2 أيضًا، فإن هذين التغييرين يلغيان بعضهما البعض، بحيث يكون التغيير الكلي في زخم الجسمين معًا صفرًا.
نظرًا لأن الزخم الكلي المشترك للكائنين معًا لا يتغير أبدًا، فيمكننا الكتابة
\[\frac{d}{dt} (\vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}) = 0 \label{9.15}\]
ويترتب على ذلك ما يلي:
\[\vec{p}_{1} + \vec{p}_{2} = constant \ldotp \label{9.16}\]
كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1}\)، يظل الزخم الكلي للنظام قبل التصادم وبعده كما هو.
بتعميم هذه النتيجة على كائنات N، نحصل عليها
\[\begin{align} \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2} + \vec{p}_{3} + \cdots + \vec{p}_{N} & = constant \\ \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} & = constant \ldotp \label{9.17} \end{align} \]
المعادلة\ ref {9.17} هي تعريف الزخم الكلي (أو الصافي) لنظام الكائنات المتفاعلة N، إلى جانب العبارة التي تفيد بأن الزخم الكلي لنظام الكائنات ثابت في الوقت المناسب - أو الأفضل من ذلك، يتم الحفاظ عليه.
إذا كانت قيمة الكمية المادية ثابتة في الوقت المناسب، فإننا نقول إن الكمية محفوظة.
متطلبات الحفاظ على الزخم
ومع ذلك، هناك تعقيد. يجب أن يستوفي النظام متطلبين للحفاظ على زخمه:
- يجب أن تظل كتلة النظام ثابتة أثناء التفاعل. عندما تتفاعل الأجسام (تطبق القوى على بعضها البعض)، فإنها قد تنقل الكتلة من واحدة إلى أخرى؛ ولكن أي كتلة يكتسبها جسم ما تتم موازنتها بفقدان تلك الكتلة من جسم آخر. وبالتالي، تظل الكتلة الإجمالية لنظام الكائنات دون تغيير مع مرور الوقت:\ [\ Big [\ frac {dm} {dt}\ Big] _ {system} = 0\ ldotp$$
- يجب أن تكون القوة الخارجية الصافية على النظام صفرًا. عندما تصطدم الأجسام أو تنفجر وتتحرك، فإنها تفرض قوى على بعضها البعض. ومع ذلك، فإن كل هذه القوى داخلية في النظام، وبالتالي تتم موازنة كل من هذه القوى الداخلية بقوة داخلية أخرى متساوية في الحجم والعكس في الإشارة. ونتيجة لذلك، يتم إلغاء التغيير في الزخم الناتج عن كل قوة داخلية من خلال تغيير الزخم الآخر الذي يساوي في الحجم والعكس في الاتجاه. لذلك، لا يمكن للقوى الداخلية تغيير الزخم الكلي للنظام لأن التغييرات تصل إلى الصفر. ومع ذلك، إذا كانت هناك بعض القوة الخارجية التي تعمل على جميع الكائنات (الجاذبية، على سبيل المثال، أو الاحتكاك)، فإن هذه القوة تغير زخم النظام ككل؛ أي أن زخم النظام يتغير بواسطة القوة الخارجية. وبالتالي، لكي يتم الحفاظ على زخم النظام، يجب أن يكون لدينا $$\ vec {F} _ {ext} =\ vec {0}\ ldotp$$
يُقال إن نظام الكائنات الذي يلبي هذين المتطلبين هو نظام مغلق (يسمى أيضًا النظام المعزول). وبالتالي، فإن الطريقة الأكثر تعقيدًا للتعبير عن ذلك موضحة أدناه.
يتم الحفاظ على الزخم الكلي للنظام المغلق:
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} = constant \ldotp\]
هذا البيان يسمى قانون الحفاظ على الزخم. إلى جانب الحفاظ على الطاقة، فهي واحدة من الأسس التي تقوم عليها جميع الفيزياء. تدعم جميع أدلتنا التجريبية هذه العبارة: من حركات العناقيد المجرية إلى الكواركات التي تشكل البروتون والنيوترون، وعلى كل مقياس بينهما. في النظام المغلق، لا يتغير الزخم الكلي أبدًا.
لاحظ أنه يمكن بالتأكيد أن تكون هناك قوى خارجية تعمل على النظام؛ ولكن لكي يظل زخم النظام ثابتًا، يجب إلغاء هذه القوى الخارجية، بحيث تكون القوة الخارجية الصافية صفرًا. تحتوي جميع كرات البلياردو الموجودة على الطاولة على قوة وزن تؤثر عليها، لكن الأوزان متوازنة (يتم إلغاؤها) بالقوى العادية، لذلك لا توجد قوة صافية.
معنى «النظام»
النظام (الميكانيكي) هو مجموعة الأشياء التي تهتم بحركتها (الكينماتيكا والديناميكيات). إذا كنت تقوم بتحليل ارتداد الكرة على الأرض، فربما تكون مهتمًا فقط بحركة الكرة، وليس الأرض؛ وبالتالي، الكرة هي نظامك. إذا كنت تقوم بتحليل حادث سيارة، فإن السيارتين معًا تكونان نظامك (الشكل\(\PageIndex{2}\)).