9.4: الاندفاع والاصطدامات (الجزء 2)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199993

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

تأثير الاندفاع

نظرًا لأن الدافع هو قوة تعمل لفترة من الوقت، فإنه يتسبب في تغيير حركة الجسم. استدعاء

\[\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp\]

نظرًا لأن m\(\vec{v}\) هو زخم النظام،\(\Delta \vec{v}\) فإن m هو تغيير الزخم\(\Delta \vec{p}\). هذا يعطينا العلاقة التالية، التي تسمى نظرية الدافع والزخم (أو العلاقة).

نظرية الاندفاع والزخم

تعمل النبضات المطبقة على النظام على تغيير زخم النظام، وهذا التغيير في الزخم يساوي تمامًا الدافع الذي تم تطبيقه:

\[\vec{J} = \Delta \vec{p} \ldotp \label{9.7}\]

تم تصوير نظرية الدفع النبضي بيانياً في الشكل\(\PageIndex{1}\).

تظهر كرة وثلاثة سهام متجهة. الأسهم هي: v sub i إلى اليمين، p subh i إلى اليمين و J تشير إلى الأسفل وإلى اليمين. هذا الرقم يسمى «الكرة تستقبل الدافع». يوضح الشكل التالي متجه p i إلى اليمين ومتجه J، لأسفل وإلى اليمين مع محاذاة ذيله مع طرف متجه p i. هذا يسمى p sub i plus J ويساوي المتجه p sub f. هذا الرقم يسمى الدافع ويضاف إلى الزخم الأولي. يوضح الشكل التالي أن متجه J يساوي المتجه p f مع متجه هو عكس p sub i الذي يتم وضعه مع ذيله عند الطرف p sub f. تُسمى المتجهات p p sub f ناقص p sub i. وهذا يساوي متجهًا مطابقًا للمتجه J ولكنه يسمى delta p. يُطلق على هذا الرقم اسم «لذا فإن التغيير في الزخم يساوي الدافع. يوضِّح الشكل الأخير الكرة وسهمين: متجه p sub f ومتجه آخر في نفس الاتجاه ويُسمى v sub f، ويُسمى هذا الشكل «بعد اكتساب الكرة النبضية للزخم النهائي». — الشكل\(\PageIndex{1}\): رسم توضيحي لنظرية الدفع النبضي. (أ)\(\vec{p}_{0}\) تستقبل الكرة ذات السرعة الأولية\(\vec{v}_{0}\) والزخم دفعة\(\vec{J}\). (ب) يُضاف هذا الدافع عموديًا إلى الزخم الأولي. (ج) وبالتالي، فإن الدافع يساوي التغيير في الزخم،\(\vec{J}\) =\(\Delta \vec{p}\). (د) بعد الدفع، تتحرك الكرة بزخمها الجديد\(\vec{p}_{f}\).

هناك مفهومان أساسيان في نظرية الدفع النبضي:

النبض هو كمية متجه؛ والنبضة التي تبلغ، على سبيل المثال، − (10 نيوتن • ثانية)\(\hat{i}\) تختلف كثيرًا عن نبضة + (10 نيوتن • ثانية)\(\hat{i}\)؛ فهي تسبب تغيرات عكسية تمامًا في الزخم.
لا يتسبب الدافع في الزخم؛ بل يتسبب في تغيير زخم الجسم. وبالتالي، يجب طرح الزخم النهائي من الزخم الأولي، وبما أن الزخم هو أيضًا كمية متجهة، يجب أن تأخذ في الاعتبار بعناية علامات متجهات الزخم.

الأسئلة الأكثر شيوعًا فيما يتعلق بالنبض هي حساب القوة المطبقة، أو تغيير السرعة الذي يحدث نتيجة تطبيق الدافع. النهج العام هو نفسه.

إستراتيجية حل المشكلات: نظرية النبض والزخم

عبِّر عن الدافع كقوة مضروبة في الفترة الزمنية ذات الصلة.
عبّر عن الدافع كتغيير الزخم، عادةً m\(\Delta\) v.
قم بمساواة هذه العناصر وحلها للكمية المطلوبة.

المؤسسة

رسم توضيحي للإنتربرايز من ستار تريك مع النجوم في الخلفية. — الشكل\(\PageIndex{2}\): عملت المركبة الفضائية الخيالية Enterprise من مغامرات Star Trek على ما يسمى بـ «المحركات الدافعة» التي تجمع بين المادة والمادة المضادة لإنتاج الطاقة.

«سيد سولو، أخرجنا؛ إلى الأمام بفارق ربع.» باستخدام هذا الأمر، يبدأ الكابتن كيرك من المركبة الفضائية إنتربرايز (الشكل\(\PageIndex{2}\)) بسفينته من السكون إلى السرعة النهائية البالغة v _f =\(\frac{1}{4}\) (3.0 × 10 ⁸ م/ث). بافتراض اكتمال هذه المناورة خلال 60 ثانية، ما متوسط القوة التي استخدمتها المحركات النبضية على السفينة؟

إستراتيجية

يُطلب منا قوة؛ نحن نعرف السرعات الأولية والنهائية (وبالتالي التغيير في السرعة)، ونعرف الفترة الزمنية التي حدث خلالها كل هذا. على وجه الخصوص، نحن نعرف مقدار الوقت الذي تصرفت فيه القوة. يشير هذا إلى استخدام علاقة الدافع والزخم. لكن لاستخدام ذلك، نحتاج إلى كتلة المؤسسة. يعطي البحث على الإنترنت أفضل تقدير لكتلة المؤسسة (في فيلم 2009) بحجم 2 × 10 ⁹ كجم.

الحل

نظرًا لأن هذه المشكلة تتضمن اتجاهًا واحدًا فقط (أي اتجاه القوة التي تطبقها المحركات)، فإننا نحتاج فقط إلى الشكل القياسي لمعادلة نظرية الدافع والزخم\ ref {9.7}، وهو

\[\Delta p = J\]

مع

\[\Delta p = m \Delta v\]

\[J = F \Delta t \ldotp\]

تعطي معادلة هذه التعبيرات

\[F \Delta t = m \Delta v \ldotp\]

يؤدي حل حجم القوة وإدخال القيم المعطاة إلى

\[F = \frac{m \Delta v}{\Delta t} = \frac{(2 \times 10^{9}\; kg)(7.35 \times 10^{7}\; m/s)}{60\; s} = 2.5 \times 10^{15}\; N \ldotp\]

الأهمية

هذه قوة ضخمة لا يمكن تصورها. وغني عن القول أن مثل هذه القوة ستقتل كل من كان على متنها على الفور، بالإضافة إلى تدمير كل قطعة من المعدات. لحسن الحظ، تمتلك المؤسسة «مخمدات بالقصور الذاتي». يُترك الأمر كتمرين لخيال القارئ لتحديد كيفية عمل هذه الأشياء.

التمارين الرياضية\(\PageIndex{1}\)

تستخدم القوات الجوية الأمريكية «10gs» (تسارع يساوي 10 × 9.8 م/ث ²) كأقصى تسارع يمكن للإنسان تحمله (ولكن لعدة ثوان فقط) والبقاء على قيد الحياة. كم من الوقت يجب أن تقضيه المؤسسة في التسارع إذا كان البشر على متن الطائرة سيختبرون متوسطًا لا يتجاوز 10 ثوانٍ من التسارع؟ (افترض أن المخمدات بالقصور الذاتي غير متصلة بالإنترنت.)

مثال\(\PageIndex{2}\): The iPhone Drop

أصدرت شركة آبل آيفون 6 بلس في نوفمبر 2014. وفقًا للعديد من التقارير، كان من المفترض في الأصل أن تحتوي على شاشة مصنوعة من الياقوت، ولكن تم تغيير ذلك في اللحظة الأخيرة لشاشة زجاجية صلبة. وبحسب ما ورد، كان هذا بسبب تشقق شاشة الياقوت عند إسقاط الهاتف. ما هي القوة التي واجهها iPhone 6 Plus نتيجة إسقاطه؟

إستراتيجية

تعود القوة التي يتعرض لها الهاتف إلى الدافع المطبق عليه من الأرض عندما يصطدم الهاتف بالأرضية. استراتيجيتنا إذن هي استخدام علاقة الدافع والزخم. نحسب الدافع ونقدر وقت التأثير ونستخدمه لحساب القوة. نحتاج إلى إجراء بعض التقديرات المعقولة، بالإضافة إلى العثور على البيانات الفنية على الهاتف نفسه. أولاً، لنفترض أن الهاتف غالبًا ما يتم إسقاطه من ارتفاع الصدر تقريبًا على شخص متوسط الطول. ثانيًا، افترض أنه تم إسقاطه من السكون، أي بسرعة رأسية أولية قدرها صفر. أخيرًا، نفترض أن الهاتف يرتد قليلاً جدًا - من المفترض أن يكون ارتفاع الارتداد ضئيلًا.

الحل

حدد الاتجاه التصاعدي ليكون الاتجاه +y. الارتفاع النموذجي هو حوالي h = 1.5 متر، وكما هو مذكور،\(\vec{v}_{i}\) = (0 m/s)\(\hat{i}\). يرتبط متوسط القوة على الهاتف بالنبض الذي تطبقه الأرضية عليه أثناء التصادم:

\[\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp\]

الدافع\(\vec{J}\) يساوي التغيير في الزخم،

\[\vec{J} = \Delta \vec{p}\]

وبالتالي

\[\vec{F}_{ave} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \ldotp\]

بعد ذلك، تغيير الزخم هو

\[\Delta \vec{p} = m \Delta \vec{v} \ldotp\]

نحن بحاجة إلى توخي الحذر مع السرعات هنا؛ هذا هو تغيير السرعة بسبب الاصطدام مع الأرض. لكن الهاتف لديه أيضًا سرعة هبوط أولية [\(\vec{v}_{i}\)= (0 م/ث)\(\hat{j}\)]، لذلك نقوم بتسمية سرعاتنا. دعونا:

\(\vec{v}_{i}\)= السرعة الأولية التي تم بها إسقاط الهاتف (صفر، في هذا المثال)
\(\vec{v}_{1}\)= السرعة التي حصل عليها الهاتف مباشرة قبل اصطدامه بالأرض
\(\vec{v}_{2}\)= السرعة النهائية للهاتف نتيجة اصطدامه بالأرض

\(\PageIndex{3}\)يوضح الشكل السرعات في كل نقطة من هذه النقاط في مسار الهاتف.

يتم تصوير الهاتف ثلاث مرات. يُظهر الشكل العلوي الهاتف فوق الأرض جيدًا وبالسرعة الأولية v sub i = 0 متر في الثانية. يُظهر الشكل الأوسط الهاتف بالقرب من الأرض وبسرعة هبوط كبيرة v sub 1. قيل لنا أن متجه v sub 1 يساوي ناقص v sub 1 j hat وأن هذه هي السرعة قبل الوصول إلى الأرض مباشرة. يُظهر الشكل السفلي الهاتف بالقرب من الأرض وبسرعة تصاعدية صغيرة v sub 2. قيل لنا أن متجه v sub 2 يساوي زائد v sub 2 j hat وأن هذه هي السرعة بعد اصطدامه بالأرض مباشرة. — الشكل\(\PageIndex{3}\): (أ) السرعة الأولية للهاتف هي صفر، مباشرة بعد أن يسقطه الشخص. (ب) قبل ارتطام الهاتف بالأرض مباشرة\(\vec{v}_{1}\)، تكون سرعته غير معروفة في الوقت الحالي، باستثناء اتجاهه الهبوطي (−\(\hat{j}\)). (ج) بعد ارتداد الهاتف عن الأرض، تكون سرعته\(\vec{v}_{2}\) غير معروفة أيضًا، باستثناء اتجاهه التصاعدي (+\(\hat{j}\)).

باستخدام هذه التعريفات، يكون تغير زخم الهاتف أثناء الاصطدام بالأرضية

\[m \Delta \vec{v} = m (\vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}) \ldotp\]

نظرًا لأننا نفترض أن الهاتف لا يرتد على الإطلاق عندما يصطدم بالأرض (أو على الأقل، يكون ارتفاع الارتداد ضئيلًا)، ثم\(\vec{v}_{2}\) يكون صفرًا، لذا

\[m \Delta \vec{v} = m \big[0 - (-v_{1}\; \hat{j}) \big]\]

\[m \Delta \vec{v} = + mv_{1}\; \hat{j} \ldotp\]

يمكننا الحصول على سرعة الهاتف قبل وصوله إلى الأرض باستخدام الكينماتيكا أو الحفاظ على الطاقة. سنستخدم الحفاظ على الطاقة هنا؛ يجب عليك إعادة القيام بهذا الجزء من المشكلة باستخدام الكينماتيكا وإثبات أنك تحصل على نفس الإجابة.

أولاً، حدد صفر الطاقة الكامنة التي سيتم وضعها على الأرض. ثم يمنحنا الحفاظ على الطاقة:

\[\begin{split} E_{i} & = E_{1} \\ K_{i} + U_{i} & = K_{1} + U_{1} \\ \frac{1}{2}mv_{i}^{2} + mgh_{drop} & = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} + mgh_{floor} \ldotp \end{split}\]

تحديد _أرضية h = 0 واستخدام\(\vec{v}_{i}\) = (0 م/ث)\(\hat{j}\) يعطي

\[\begin{split} \frac{1}{2} mv_{1}^{2} & = mgh_{drop} \\ v_{1} & = \pm \sqrt{2gh_{drop}} \ldotp \end{split}\]

نظرًا لأن v ₁ هو حجم متجه، يجب أن يكون موجبًا. وبالتالي، m\(\Delta\) v = mv ₁ = m\(\sqrt{2gh_{drop}}\). يعطي إدراج هذه النتيجة في تعبير القوة

\[\begin{split} \vec{F} & = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \\ & = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \\ & = \frac{+mv_{1}\; \hat{j}}{\Delta t} \\ & = \frac{m \sqrt{2gh}}{\Delta t}\; \hat{j} \ldotp \end{split}\]

أخيرًا، نحتاج إلى تقدير وقت التصادم. تتمثل إحدى الطرق الشائعة لتقدير وقت التصادم في حساب المدة التي سيستغرقها الجسم للسفر بالطول الخاص به. يتحرَّك الهاتف بسرعة ٥٫٤ م/ث قبل اصطدامه بالأرض مباشرةً، وطوله ٠٫١٤ م، مما يعني أن زمن التصادم المقدر يبلغ ٠٫٠٢٦ ثانية، وبإدخال الأرقام المُعطاة نحصل على

\[\vec{F} = \frac{(0.172\; kg) \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1.5\; m)}}{0.026\; s}\; \hat{j} = (36\; N) \hat{j} \ldotp\]

الأهمية

يزن جهاز iPhone نفسه فقط (0.172 كجم) (9.81 م/ث ²) = 1.68 نيوتن؛ وبالتالي فإن القوة التي تفرضها الأرضية عليه تزيد عن 20 ضعف وزنه.

التمارين الرياضية\(\PageIndex{2}\)

ماذا لو افترضنا أن الهاتف قد ارتد عند الارتطام؟ هل سيؤدي ذلك إلى زيادة القوة على iPhone أو تقليلها أو عدم إحداث فرق؟

الزخم والقوة

على سبيل المثال\(\PageIndex{1}\)، حصلنا على علاقة مهمة:

\[\vec{F}_{ave} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \ldotp \label{9.8}\]

بعبارة، فإن متوسط القوة المطبقة على جسم ما يساوي تغير الزخم الذي تسببه القوة، مقسومًا على الفاصل الزمني الذي يحدث فيه هذا التغيير في الزخم. هذه العلاقة مفيدة جدًا في الحالات التي يكون فيها وقت التصادم\(\Delta\) t صغيرًا، ولكنه قابل للقياس؛ ستكون القيم النموذجية 1/10 من الثانية، أو حتى جزء من ألف من الثانية. إن حوادث السيارات أو ضرب كرة القدم أو تصادم الجسيمات دون الذرية ستلبي هذا المعيار.

للحصول على زخم متغير باستمرار - بسبب القوة المتغيرة باستمرار - يصبح هذا أداة مفاهيمية قوية. في الحد\(\Delta\) t → dt، تصبح المعادلة 9.3.1

\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp \label{9.9}\]

يشير هذا إلى أن معدل تغير زخم النظام (مما يعني أن الزخم هو دالة للوقت) يساوي تمامًا القوة المطبقة الصافية (أيضًا، بشكل عام، دالة الوقت). هذا هو، في الواقع، قانون نيوتن الثاني، المكتوب من حيث الزخم بدلاً من التسارع. هذه هي العلاقة التي قدمها نيوتن نفسه في كتابه Principia Mathematica (على الرغم من أنه أطلق عليها «كمية الحركة» بدلاً من «الزخم»).

إذا ظلت كتلة النظام ثابتة، فإن المعادلة 9.3.3 تنخفض إلى الشكل الأكثر شيوعًا لقانون نيوتن الثاني. يمكننا أن نرى ذلك من خلال استبدال تعريف الزخم:

\[\vec{F} = \frac{d(m \vec{v})}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{a} \ldotp\]

سمح لنا افتراض الكتلة الثابتة بسحب m من المشتق. إذا لم تكن الكتلة ثابتة، فلا يمكننا استخدام هذا الشكل من القانون الثاني، ولكن بدلاً من ذلك يجب أن نبدأ من المعادلة 9.3.3. وبالتالي، فإن إحدى ميزات التعبير عن القوة من حيث الزخم المتغير هي أنها تسمح بتغيير كتلة النظام، وكذلك السرعة؛ هذا مفهوم سنستكشفه عندما ندرس حركة الصواريخ.

قانون نيوتن الثاني للحركة بدلالة كمية الحركة

القوة الخارجية الصافية على النظام تساوي معدل تغير زخم هذا النظام الناتج عن القوة:

\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]

على الرغم من أن المعادلة 9.3.3 تسمح بتغيير الكتلة، كما سنرى في الدفع الصاروخي، تظل العلاقة بين الزخم والقوة مفيدة عندما تكون كتلة النظام ثابتة، كما في المثال التالي.

مثال\(\PageIndex{3}\): Calculating Force: Venus Williams’ Tennis Serve

خلال بطولة فرنسا المفتوحة 2007، حققت فينوس ويليامز أسرع خدمة مسجلة في مباراة السيدات الأولى، حيث وصلت سرعتها إلى 58 متر/ثانية (209 كم/ساعة). ما متوسط القوة المؤثِّرة على كرة التنس التي تزن ٠٥٧ كجم بواسطة مضرب فينوس ويليامز؟ افترض أن سرعة الكرة بعد الارتطام مباشرة تساوي ٥٨ م/ث، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{4}\)، وأن المكون الأفقي الأولي للسرعة قبل الارتطام ضئيل، وأن الكرة ظلت على اتصال بالمضرب لمدة ٥٫٠ مللي ثانية.

تترك كرة التنس المضرب بسرعة v sub-f تساوي 58 مترًا في الثانية في تلك التي تشير أفقيًا إلى اليمين. — الشكل\(\PageIndex{4}\): السرعة النهائية لكرة التنس هي\(\vec{v}_{f}\) = (58 م/ث)\(\hat{i}\).

إستراتيجية

تتضمن هذه المشكلة بُعدًا واحدًا فقط لأن الكرة تبدأ من عدم وجود مكون للسرعة الأفقية قبل التأثير. ثم تتم كتابة قانون نيوتن الثاني الذي تم تحديده من حيث الزخم على النحو التالي

\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]

كما هو مذكور أعلاه، عندما تكون الكتلة ثابتة، يتم إعطاء التغيير في الزخم بواسطة

\[\Delta p = m \Delta v = m(v_{f} - v_{i})\]

حيث استخدمنا الأرقام القياسية لأن هذه المشكلة تنطوي على بُعد واحد فقط. في هذا المثال، يتم إعطاء السرعة مباشرة بعد التأثير والفاصل الزمني؛ وبالتالي، بمجرد حساب\(\Delta\) p، يمكننا استخدام F =\(\frac{\Delta p}{\Delta t}\) للعثور على القوة.

الحل

لتحديد التغيير في الزخم، أدخل قيم السرعات الأولية والنهائية في المعادلة أعلاه:

\[\begin{split} \Delta p & = m(v_{f} - v_{i}) \\ & = (0.057\; kg)(58\; m/s - 0\; m/s) \\ & = 3.3\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]

الآن يمكن تحديد حجم القوة الخارجية الصافية باستخدام

\[F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{3.3\; kg\; \cdotp m/s}{5.0 \times 10^{-3}\; s} = 6.6 \times 10^{2}\; N \ldotp\]

حيث احتفظنا بشخصين هامين فقط في الخطوة الأخيرة.

الأهمية

كانت هذه الكمية هي متوسط القوة التي مارسها مضرب فينوس ويليامز على كرة التنس أثناء ارتطامها القصير (لاحظ أن الكرة تعرضت أيضًا لقوة الجاذبية 0.57-N، لكن هذه القوة لم تكن بسبب المضرب). يمكن حل هذه المشكلة أيضًا عن طريق إيجاد التسارع أولاً ثم استخدام F = ma، ولكن ستكون هناك حاجة إلى خطوة إضافية واحدة مقارنة بالاستراتيجية المستخدمة في هذا المثال.