9.3: الاندفاع والاصطدامات (الجزء 1)
- Page ID
- 199984
- اشرح ما هو الدافع جسديًا
- وصف ما يفعله الدافع
- ربط النبضات بالاصطدامات
- طبّق نظرية الدفع النبضي لحل المسائل
لقد حددنا الزخم ليكون نتاج الكتلة والسرعة. لذلك، إذا كانت سرعة الجسم يجب أن تتغير (بسبب تطبيق القوة على الجسم)، فمن الضروري أن يتغير زخمه أيضًا. يشير هذا إلى وجود علاقة بين الزخم والقوة. الغرض من هذا القسم هو استكشاف ووصف هذا الاتصال.
لنفترض أنك قمت بتطبيق قوة على كائن حر لفترة من الوقت. من الواضح أنه كلما زادت القوة، زاد تغير زخم الجسم. بدلاً من ذلك، كلما زاد الوقت الذي تقضيه في تطبيق هذه القوة، مرة أخرى كلما زاد تغير الزخم، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1}\). وبالتالي فإن المقدار الذي تتغير به حركة الجسم يتناسب مع حجم القوة، وكذلك مع الفاصل الزمني الذي يتم تطبيق القوة عليه.
من الناحية الرياضية، إذا كانت الكمية تتناسب مع شيئين (أو أكثر)، فإنها تتناسب مع ناتج تلك الأشياء. يُطلق على ناتج القوة والفاصل الزمني (الذي تعمل عليه هذه القوة) اسم الدافع، ويُعطى الرمز\(\vec{J}\).
دع\(\vec{F}\) (t) تكون القوة المطبقة على كائن خلال فترة زمنية تفاضلية\(dt\) (الشكل\(\PageIndex{2}\)). يتم تعريف الدافع الناتج على الكائن على أنه
\[d \vec{J} \equiv \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.2}\]
النبضة الكلية خلال الفترة الزمنية t f − t i هي
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d \vec{J}\]
أو
\[\vec{J} \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.3}\]
تقول المعادلات\ ref {9.2} و\ ref {9.3} معًا أنه عندما يتم تطبيق قوة على فترة زمنية متناهية الصغر dt، فإنها تتسبب في حدوث نبضة متناهية الصغر d\(\vec{J}\)، ويتم تعريف الدافع الكلي المعطى للكائن على أنه مجموع (جزء لا يتجزأ) لكل هذه النبضات متناهية الصغر.
لحساب الدافع باستخدام المعادلة\ ref {9.3}، نحتاج إلى معرفة دالة القوة F (t)، والتي لا نعرفها غالبًا، ومع ذلك، فإن نتيجة حساب التفاضل والتكامل مفيدة هنا: تذكر أن متوسط قيمة الدالة خلال فترة زمنية معينة يتم حسابه بواسطة
\[f(x)_{ave} = \frac{1}{\Delta x} \int_{x_{i}}^{x_{f}} f(x)dx\]
حيث\(\Delta\) x = x f − x i. بتطبيق هذا على وظيفة القوة التي تعتمد على الوقت، نحصل عليها
\[\vec{F}_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt \ldotp \label{9.4}\]
لذلك، من المعادلة\ ref {9.3}،
\[\vec{J} = \vec{F}_{ave} \Delta t \ldotp \label{9.5}\]
الفكرة هنا هي أنه يمكنك حساب الدافع على الجسم حتى لو كنت لا تعرف تفاصيل القوة كدالة للوقت؛ تحتاج فقط إلى القوة المتوسطة. في الواقع، على الرغم من ذلك، عادة ما يتم عكس العملية: يمكنك تحديد الدافع (عن طريق القياس أو الحساب) ثم حساب متوسط القوة التي تسببت في هذا الدافع.
لحساب الدافع، تأتي نتيجة مفيدة من كتابة القوة في المعادلة\ ref {9.3} كـ\(\vec{F}\) (t) = m (t)\(\vec{a}\) (t):
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt = m \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{a} (t)dt = m \big[ \vec{v} (t_{f}) - \vec{v} (t_{i}) \big] \ldotp\]
بالنسبة لقوة ثابتة\(\vec{F}_{ave}\) =\(\vec{F}\) = m\(\vec{a}\)، يتم تبسيط ذلك إلى
\[\vec{J} = m \vec{a} \Delta t = m \vec{v}_{f} - m \vec{v}_{i} = m (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i}) \ldotp\]
وهذا هو،
\[\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp \label{9.6}\]
لاحظ أن الشكل التكاملي، المعادلة\ ref {9.3}، ينطبق على القوى الثابتة أيضًا؛ في هذه الحالة، نظرًا لأن القوة مستقلة عن الوقت، فإنها تخرج من التكامل، والذي يمكن بعد ذلك تقييمه بشكل بسيط.
منذ ما يقرب من 50,000 عام، اصطدم نيزك كبير (نصف قطره 25 مترًا) من الحديد والنيكل بالأرض بسرعة تقدر بـ 1.28 × 10 4 م/ث في ما يعرف الآن بصحراء أريزونا الشمالية بالولايات المتحدة. أدى الارتطام إلى حفرة لا تزال مرئية حتى اليوم (الشكل\(\PageIndex{3}\))؛ يبلغ قطرها حوالي 1200 متر (ثلاثة أرباع ميل)، وعمقها 170 مترًا، ولها حافة ترتفع 45 مترًا فوق السهل الصحراوي المحيط. عادةً ما تبلغ كثافة النيازك المصنوعة من الحديد والنيكل\(\rho\) = 7970 كجم/م 3. استخدم اعتبارات الاندفاع لتقدير متوسط القوة والقوة القصوى التي استخدمها النيزك على الأرض أثناء التأثير.
إستراتيجية
من الأسهل من الناحية المفاهيمية عكس السؤال وحساب القوة التي طبقتها الأرض على النيزك من أجل إيقافه. لذلك، سنحسب القوة المؤثرة على النيزك ثم نستخدم قانون نيوتن الثالث للقول بأن القوة الناتجة عن النيزك على الأرض كانت متساوية في الحجم وفي الاتجاه المعاكس.
باستخدام البيانات المعطاة عن النيزك، وإجراء تخمينات معقولة حول شكل النيزك ووقت الارتطام، نحسب أولاً النبض باستخدام المعادلة\ ref {9.6}. ثم نستخدم العلاقة بين القوة ومعادلة النبض\ ref {9.5} لتقدير متوسط القوة أثناء التأثير. بعد ذلك، نختار دالة قوة معقولة لحدث التأثير، ونحسب متوسط قيمة المعادلة\ ref {9.4}، ونضبط التعبير الناتج مساويًا لقوة المتوسط المحسوبة. هذا يمكننا من حل أقصى قوة.
الحل
حدد الاتجاه التصاعدي ليكون الاتجاه +y. من أجل البساطة، افترض أن النيزك يتحرك عموديًا لأسفل قبل الارتطام. في هذه الحالة، تكون سرعته الأولية\(\vec{v}_{i}\) = −v i\(\hat{j}\)، والقوة التي تمارسها الأرض على النيزك تشير إلى الأعلى،\(\vec{F}\) (t) = + F (t)\(\hat{j}\). يتم تصوير الوضع عند t = 0 أدناه.
يرتبط متوسط القوة أثناء التأثير بالنبض بواسطة
\[\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp\]
من المعادلة\ ref {9.6}،\(\vec{J}\) = m\(\Delta \vec{v}\)، لذلك لدينا
\[\vec{F}_{ave} = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \ldotp\]
الكتلة تساوي ناتج كثافة النيزك وحجمه:
\[m = \rho V \ldotp\]
إذا افترضنا (خمن) أن النيزك كان كرويًا تقريبًا، فلدينا
\[V = \frac{4}{3} \pi R^{3} \ldotp\]
وهكذا نحصل على
\[\vec{F}_{ave} = \frac{\rho V \Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\rho \left(\dfrac{4}{3} \pi R^{3}\right) (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i})}{\Delta t} \ldotp\]
تشير المشكلة إلى أن السرعة عند الارتطام كانت −1.28 × 10 4 م/ث\(\hat{j}\) (السرعة النهائية هي صفر)؛ ونعتقد أيضًا أن التأثير الأولي استمر حوالي t max = 2 ثانية.
\[\begin{split} \vec{F}_{ave} & = \frac{(7970\; kg/m^{3}) \big[ \frac{4}{3} \pi (25\; m)^{3} \big] \big[ 0\; m/s - (-1.28 \times 10^{4}\; m/s\; \hat{j}) \big]}{2\; s} \\ & = + (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j} \end{split}\]
هذا هو متوسط القوة المستخدمة أثناء التصادم. لاحظ أن متجه القوة هذا يشير في نفس اتجاه تغيير متجه السرعة\(\Delta \vec{v}\).
بعد ذلك، نحسب القوة القصوى. الدافع مرتبط بوظيفة القوة من خلال
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{max}} \vec{F} (t)dt \ldotp\]
نحن بحاجة إلى اتخاذ خيار معقول للقوة كدالة للوقت. نحدد t = 0 لتكون اللحظة التي يلمس فيها النيزك الأرض لأول مرة. ثم نفترض أن القوة هي الحد الأقصى عند التأثير، وتنخفض بسرعة إلى الصفر. الدالة التي تقوم بذلك هي
\[F(t) = F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} \ldotp\]
\(\tau\)تمثل المعلمة مدى سرعة انخفاض القوة إلى الصفر.) القوة المتوسطة هي
\[F_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{t_{max}} F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} dt\]
حيث\(\Delta\) t = t max − 0 ثانية نظرًا لأن لدينا بالفعل قيمة رقمية لـ F ave، يمكننا استخدام نتيجة التكامل للحصول على F max. اختيار\(\tau\) =\(\frac{1}{e}\) t max (هذا خيار شائع، كما سترى في الفصول اللاحقة)، والتخمين بأن t max = 2 s، يتم تقييم هذا التكامل إلى
\[F_{avg} = 0.458\; F_{max} \ldotp\]
وبالتالي، فإن القوة القصوى لها حجم
\[\begin{split} 0.458\; F_{max} & = 3.33 \times 10^{12}\; N \\ F_{max} & = 7.27 \times 10^{12}\; N \ldotp \end{split}\]
وظيفة القوة الكاملة، بما في ذلك الاتجاه، هي
\[\vec{F} (t) = (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y} \ldotp\]
هذه هي قوة الأرض المطبقة على النيزك؛ بموجب قانون نيوتن الثالث، قوة النيزك المطبق على الأرض هي
\[\vec{F} (t) = - (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y}\]
وهو الجواب على السؤال الأصلي.
الأهمية
يحتوي الرسم البياني لهذه الوظيفة على معلومات مهمة. دعونا نرسم بياني (حجم) كل من هذه الدالة ومتوسط القوة معًا (الشكل\(\PageIndex{4}\)).
لاحظ أن المنطقة تحت كل قطعة أرض قد تم ملؤها. بالنسبة لمخطط القوة (الثابتة) F ave، تكون المنطقة عبارة عن مستطيل، يتوافق مع F ave\(\Delta\) t = J. أما بالنسبة لمخطط F (t)، فتذكر من حساب التفاضل والتكامل أن المساحة الموجودة أسفل مخطط الدالة تساوي عدديًا تكامل تلك الدالة، خلال الفترة الزمنية المحددة؛ لذلك هنا، هذا هو\(\int_{0}^{t_{max}}\) F (t) dt = J. وبالتالي، فإن المساحات متساوية، وكلاهما يمثل الدافع الذي استخدمه النيزك على الأرض أثناء التأثير لمدة ثانيتين. القوة المتوسطة على الأرض تبدو وكأنها قوة ضخمة، وهي كذلك. ومع ذلك، بالكاد لاحظت الأرض ذلك. كان التسارع الذي حصلت عليه الأرض فقط
\[\vec{a} = \frac{- \vec{F}_{ave}}{M_{Earth}} = \frac{- (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j}}{5.97 \times 10^{24}\; kg} = - (5.6 \times 10^{-13} m/s^{2}) \hat{j}\]
وهو أمر لا يمكن قياسه تمامًا. ومع ذلك، فإن التأثير خلق موجات زلزالية يمكن اكتشافها في الوقت الحاضر بواسطة معدات المراقبة الحديثة.
تصطدم سيارة تسير بسرعة ٢٧ م/ث بمبنى. يؤدي التصادم مع المبنى إلى توقف السيارة في حوالي ثانية واحدة. السائق، الذي يزن 860 نيوتن، محمي بمزيج من حزام الأمان متغير الشد والوسادة الهوائية (الشكل\(\PageIndex{5}\)). (في الواقع، يصطدم السائق بحزام الأمان والوسادة الهوائية وليس بالمبنى.) تعمل الوسادة الهوائية وحزام الأمان على إبطاء سرعته، بحيث يتوقف في حوالي 2.5 ثانية.
- ما القوة المتوسطة التي يتعرض لها السائق أثناء التصادم؟
- بدون حزام الأمان والوسادة الهوائية، كان وقت اصطدامه (مع عجلة القيادة) سيكون حوالي 0.20 ثانية، فما القوة التي سيختبرها في هذه الحالة؟
إستراتيجية
يتم إعطاؤنا وزن السائق وسرعاته الأولية والنهائية ووقت التصادم؛ يُطلب منا حساب القوة. يبدو أن الدافع هو الطريقة الصحيحة لمعالجة هذا؛ يمكننا الجمع بين المعادلة\ ref {9.5} والمعادلة\ ref {9.6}.
الحل
- حدد اتجاه +x ليكون الاتجاه الذي تتحرك فيه السيارة في البداية. نحن نعرف $$\ vec {J} =\ vec {F}\ Delta t$$و $$\ vec {J} = m\ Delta\ vec {v}\ lDotP$نظرًا لأن J يساوي كلا هذين الشيئين، يجب أن يكونا متساويين مع بعضهما البعض: $$\ vec {F}\ Delta t = m\ Delta\ vec {v}\ lDotP$$نحن بحاجة إلى تحويل هذا الوزن إلى الكتلة المكافئة، معبراً عنها بـ وحدات نظام التشغيل: $/frac {860\; N} {9.8\; م/s^ {2}} = 878 \; kg\ lDotP$$تذكر أننا\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_{f} − \vec{v}_{i}\)، مع ملاحظة أن السرعة النهائية هي صفر، فإننا نتوصل إلى حل للقوة: $$\ vec {F} = m\ frac {0 - v_ {i}} {\ Delta t} = (87.8\؛ كجم)\ اليسار (\ dfrac {- (27\; m/s)\ hat {i}} {\؛\ s يمين) = - (948\؛ N)\ hat {i}\ ldotP$تشير العلامة السلبية إلى أن القوة تبطئه. بالنسبة للمنظور، يبلغ هذا وزنه حوالي 1.1 مرة.
- نفس الحساب، فقط الفاصل الزمني المختلف: $$\ vec {F} = (87.8\; kg)\ اليسار (\ dfrac {- (27\; m/s)\ hat {i} {0.20\; s}\ اليمين) = - (11,853\; N)\ hat {i}\ ldotp$$وهو حوالي 14 أضعاف وزنه. فرق كبير!
الأهمية
ترى أن قيمة الوسادة الهوائية هي مدى تقليلها للقوة على ركاب السيارة. لهذا السبب، كانت مطلوبة في جميع سيارات الركاب في الولايات المتحدة منذ عام 1991، وكانت شائعة في جميع أنحاء أوروبا وآسيا منذ منتصف التسعينيات. يتغير الزخم في حادث التصادم، مع الوسادة الهوائية أو بدونها؛ ومع ذلك، تختلف القوة اختلافًا كبيرًا.