9.6: الحفاظ على الزخم الخطي (الجزء 2)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199982

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

إستراتيجية حل المشكلات: الحفاظ على الزخم

يتطلب استخدام الحفاظ على الزخم أربع خطوات أساسية. الخطوة الأولى حاسمة:

حدد نظامًا مغلقًا (الكتلة الكلية ثابتة، ولا توجد قوة خارجية صافية تعمل على النظام).
اكتب مقدارًا يمثل الزخم الكلي للنظام قبل «الحدث» (انفجار أو تصادم).
اكتب مقدارًا يمثل الزخم الكلي للنظام بعد «الحدث».
ضع هذين التعبيرين متساويين لبعضهما البعض، وحل هذه المعادلة للكمية المطلوبة

مثال$\PageIndex{1}$: Colliding Carts

تتدحرج عربتان في مختبر الفيزياء على مسار مستوي، مع احتكاك ضئيل. تحتوي هذه العربات على مغناطيسات صغيرة في نهاياتها، بحيث عندما تصطدم، تلتصق ببعضها البعض (الشكل$\PageIndex{1}$). كتلة العربة الأولى 675 جرامًا وتدحرج بسرعة 0.75 متر/ثانية إلى اليمين؛ وكتلة العربة الثانية 500 جرامًا وتدور بسرعة 1.33 م/ث إلى اليمين أيضًا. بعد التصادم، ما سرعة العربتين المتصلتين؟

رسم توضيحي لعربتي مختبر على مسار، ملتصقتين معًا. — الشكل$\PageIndex{1}$: تصطدم عربتان معمليتان وتلتصقان معًا بعد التصادم.

إستراتيجية

لدينا تصادم. يتم إعطاؤنا الكتل والسرعات الأولية؛ يُطلب منا السرعة النهائية. كل هذا يشير إلى استخدام الحفاظ على الزخم كطريقة للحل. ومع ذلك، لا يمكننا استخدامه إلا إذا كان لدينا نظام مغلق. لذلك نحن بحاجة إلى التأكد من أن النظام الذي نختاره ليس له قوة خارجية صافية عليه، وأن كتلته لا تتغير بسبب التصادم.

إن تعريف النظام على أنه عربتان يفي بمتطلبات النظام المغلق: بالتأكيد لا تتغير الكتلة المجمعة للعربتين، وبينما تمارس العربات بالتأكيد قوى على بعضها البعض، فإن هذه القوى داخلية في النظام، لذا فهي لا تغير زخم النظام ككل. في الاتجاه الرأسي، يتم إلغاء أوزان العربات من خلال القوى العادية على العربات من المسار.

الحل

الحفاظ على الزخم هو

\[\vec{p}_{f} = \vec{p}_{i} \ldotp \nonumber\]

حدد اتجاه متجهات السرعة الأولية الخاصة بهم ليكون اتجاه +x. الزخم الأولي هو إذن

\[\vec{p}_{i} = m_{1} v_{1}\; \hat{i} + m_{2} v_{2}\; \hat{i} \ldotp \nonumber\]

الزخم النهائي للعربات المرتبطة الآن هو

\[\vec{p}_{f} = (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f} \ldotp \nonumber\]

المعادلة:

\[\begin{align*} (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f} & = m_{1} v_{1}\; \hat{i} + m_{2} v_{2}\; \hat{i} \\[4pt] \vec{v}_{f} & = \left(\dfrac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) \hat{i} \ldotp \end{align*}\]

استبدال الأرقام المعطاة:

\[\begin{align*} \vec{v}_{f} & = \Bigg[ \frac{(0.675\; kg)(0.75\; m/s) + (0.5\; kg)(1.33\; m/s)}{1.175\; kg} \Bigg] \hat{i} \\[4pt] & = (0.997\; m/s) \hat{i} \ldotp \end{align*}\]

الدلالة

تنطبق المبادئ التي تنطبق هنا على عربتي مختبر بشكل متماثل على جميع الأشياء من أي نوع أو حجم. حتى بالنسبة للفوتونات، لا تزال مفاهيم الزخم والحفاظ على الزخم مهمة للغاية حتى على هذا النطاق. (نظرًا لأنها عديمة الكتلة، يتم تعريف زخم الفوتون بشكل مختلف تمامًا عن زخم الأجسام العادية. سوف تتعلم عن هذا عندما تدرس فيزياء الكم.)

التمارين$\PageIndex{1}$

لنفترض أن العربة الثانية الأصغر كانت تتحرك في البداية إلى اليسار. ماذا ستكون علامة السرعة النهائية في هذه الحالة؟

مثال$\PageIndex{2}$: A Bouncing Superball

سقطت كرة خارقة كتلتها 0.25 كجم من السكون من ارتفاع h = 1.50 m فوق الأرض. يرتد دون فقدان الطاقة ويعود إلى ارتفاعه الأولي (الشكل$\PageIndex{2}$).

ما التغيُّر في زخم الكرة الفائقة أثناء ارتدادها على الأرض؟
ما التغيُّر في حركة الأرض بسبب اصطدام الكرة بالأرض؟
ما هو تغير سرعة الأرض نتيجة لهذا التصادم؟

(يوضح هذا المثال أنه يجب عليك توخي الحذر بشأن تحديد نظامك.)

تظهر الكرة في أربع أوقات مختلفة. عند t sub 0 تكون الكرة على مسافة h فوق الأرض ولها p sub 0 تساوي 0. في الطابق الفرعي 1، تكون الكرة بالقرب من الأرض. يُطلق على السهم المتجه لأسفل على الكرة علامة ناقص p sub 1. في الساعة الفرعية 2 تكون الكرة بالقرب من الأرض. يتم تسمية السهم المتجه لأعلى على الكرة بالإضافة إلى p sub 2. السهمين p sub 1 و p sub 2 لهما نفس الطول. عند t suber 3، تساوي الكرة عند الارتفاع h مرة أخرى و p sub 3 صفرًا. — الشكل$\PageIndex{2}$: تسقط كرة خارقة على الأرض ($t_0$)، وتضرب الأرضية ($t_1$)، وترتد ($t_2$)، وتعود إلى ارتفاعها الأولي ($t_3$).

إستراتيجية

نظرًا لأننا يُسألون فقط عن تغير زخم الكرة، فإننا نحدد نظامنا على أنه الكرة. لكن من الواضح أن هذا ليس نظامًا مغلقًا؛ حيث تقوم الجاذبية بتطبيق قوة هبوطية على الكرة أثناء هبوطها، وتطبق القوة العادية من الأرض قوة أثناء الارتداد. وبالتالي، لا يمكننا استخدام الحفاظ على الزخم كاستراتيجية. بدلاً من ذلك، نحدد ببساطة حركة الكرة قبل اصطدامها بالأرض وبعدها مباشرة، ونحسب الفرق. لدينا كتلة الكرة، لذلك نحن بحاجة إلى سرعاتها.

الحل

نظرًا لأن هذه مشكلة أحادية البعد، فإننا نستخدم الشكل القياسي للمعادلات. دعونا:
- p ₀ = مقدار زخم الكرة في الوقت عند ₀، لحظة إطلاقها؛ نظرًا لأنها سقطت من السكون، فهذا يساوي صفرًا.
- p ₁ = مقدار زخم الكرة في الوقت عند ₁، اللحظة التي تسبق اصطدامها بالأرض مباشرة.
- p ₂ = مقدار زخم الكرة في الوقت المحدد عند ₂، مباشرة بعد أن تفقد الاتصال بالأرض بعد الارتداد.

تغيير زخم الكرة هو

\[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} \\[4pt] & = p_{2}\; \hat{j} - (-p_{1}\; \hat{j}) \\[4pt] & = (p_{2} + p_{1}) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]

يمكن تحديد سرعته قبل اصطدامه بالأرض إما من خلال الحفاظ على الطاقة أو علم الحركة. نحن نستخدم الكينماتيكا هنا؛ يجب عليك إعادة حلها باستخدام الحفاظ على الطاقة والتأكد من حصولك على نفس النتيجة.

نريد السرعة قبل أن تصل إلى الأرض (في الوقت المحدد عند ₁). نحن نعرف سرعته الأولية v ₀ = 0 (في الوقت t ₀)، والارتفاع الذي يسقط فيه، وتسارعه؛ لا نعرف وقت السقوط. يمكننا حساب ذلك، ولكن بدلاً من ذلك نستخدم

\[\vec{v}_{1} = - \hat{j} \sqrt{2gy} = -5.4\; m/s\; \hat{j} \ldotp \nonumber\]

وبالتالي فإن الكرة لديها زخم قدره

\[\begin{align*} \vec{p}_{1} & = - (0.25\; kg)(-5.4\; m/s\; \hat{j}) \\[4pt] & = - (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]

ليس لدينا طريقة سهلة لحساب الزخم بعد الارتداد. بدلاً من ذلك، نحن ننطلق من تماثل الموقف.

قبل الارتداد، تبدأ الكرة بسرعة صفرية وتنخفض بمقدار 1.50 مترًا تحت تأثير الجاذبية، محققة قدرًا من الزخم قبل اصطدامها بالأرض. في رحلة العودة (بعد الارتداد)، يبدأ بقدر من الزخم، ويرتفع بنفس مستوى 1.50 متر الذي سقط فيه، وينتهي بسرعة صفرية. وبالتالي، كانت الحركة بعد الارتداد هي صورة معكوسة للحركة قبل الارتداد. من هذا التماثل، يجب أن يكون صحيحًا أن زخم الكرة بعد الارتداد يجب أن يكون مساويًا ومضادًا لزخمها قبل الارتداد. (هذه حجة خفية ولكنها مهمة؛ تأكد من فهمها قبل المضي قدمًا.) لذلك،

\[\vec{p}_{2} = - \vec{p}_{1} = + (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]

وبالتالي، فإن تغير زخم الكرة أثناء الارتداد هو

\[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} \\ & = (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} - (-1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \\ & = + (2.8\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]

ما التغيُّر في حركة الأرض بسبب اصطدام الكرة بالأرض؟ قد تكون استجابتك الغريزية إما «صفر؛ الأرض ضخمة جدًا بحيث لا تؤثر عليها تلك الكرة الصغيرة» أو ربما «أكثر من الصفر، لكنها ضئيلة تمامًا». لكن لا - إذا أعدنا تعريف نظامنا ليكون Superball+ Earth، فسيتم إغلاق هذا النظام (مع إهمال عوامل الجذب للشمس والقمر والكواكب الأخرى في النظام الشمسي)، وبالتالي يجب أن يكون التغيير الكلي لزخم هذا النظام الجديد صفرًا. لذلك، يكون تغير زخم الأرض بنفس المقدار تمامًا: $$\ Delta\ vec {p} _ {الأرض} = -2.8\; kg\;\ cdotp m/s\;\ hat {j}\ ldotp$$
ما هو تغير سرعة الأرض نتيجة لهذا التصادم؟ هذا هو المكان الذي ربما يكون فيه شعورك الغريزي صحيحًا:\[\begin{align*} \Delta \vec{v}_{Earth} & = \frac{\Delta \vec{p}_{Earth}}{M_{Earth}} \\[4pt] & = - \frac{2.8\; kg\; \cdotp m/s}{5.97 \times 10^{24}\; kg}\; \hat{j} \\[4pt] & = - (4.7 \times 10^{-25}\; m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\] هذا التغيير في سرعة الأرض لا يكاد يذكر.

الدلالة

من المهم أن ندرك أن الإجابة على الجزء (ج) ليست السرعة؛ إنها تغيير السرعة، وهو أمر مختلف تمامًا. ومع ذلك، لإعطائك فكرة عن مدى صغر هذا التغيير في السرعة، لنفترض أنك تتحرك بسرعة 4.7 × 10 ⁻²⁵ متر/ثانية، وعند هذه السرعة، سوف يستغرق الأمر حوالي 7 ملايين سنة لقطع مسافة تساوي قطر ذرة الهيدروجين.

التمارين$\PageIndex{2}$

هل كان تغير زخم الكرة أكبر أم أصغر أم نفس الشيء، إذا اصطدمت بالأرض وتوقفت (بدون ارتداد)؟ هل كان تغير زخم الكرة أكبر أم أصغر أم نفس الشيء، إذا اصطدمت بالأرض وتوقفت (بدون ارتداد)؟

مثال$\PageIndex{3}$: Ice hockey 1

توجد قطعتان من كرات الهوكي ذات الكتلة المتطابقة على حلبة هوكي الجليد الأفقية المسطحة. القرص الأحمر لا يتحرك؛ يتحرك القرص الأزرق بسرعة 2.5 متر/ثانية إلى اليسار (الشكل$\PageIndex{3}$). يصطدم بالقرص الأحمر الذي لا يتحرك. كتلة كرات الصولجان 15 g، وبعد التصادم، يتحرك القرص الأحمر بسرعة 2.5 m/s إلى اليسار. ما السرعة النهائية للعفريت الأزرق؟

يتم عرض اثنين من كرات الهوكي. يوضِّح الشكل العلوي القرص الموجود على اليسار بمعدل 0 متر في الثانية، بينما يتحرك القرص الموجود على اليمين نحو اليسار بمعدل 2.5 متر في الثانية. يُظهر الشكل السفلي القرص الموجود على اليسار متحركًا إلى اليسار بسرعة 2.5 متر في الثانية، بينما يتحرك القرص الموجود على اليمين مع حرف v غير معروف. — الشكل$\PageIndex{3}$: تصادم قرصان هوكي متطابقان. يُظهر الرسم التخطيطي العلوي كرات الصولجان لحظة ما قبل التصادم، ويوضح الرسم البياني السفلي كرات الصولجان لحظة حدوث التصادم. القوة الخارجية الصافية هي صفر.

إستراتيجية

قيل لنا أن لدينا جسمين متصادمان، ويتم إخبارنا بالكتل والسرعات الأولية، وسرعة واحدة نهائية؛ يُطلب منا تحديد السرعتين النهائيتين. يبدو الحفاظ على الزخم وكأنه استراتيجية جيدة. حدد النظام على أنه الصولجان؛ ليس هناك احتكاك، لذلك لدينا نظام مغلق.

قبل أن تنظر إلى الحل، ماذا تعتقد أن الإجابة ستكون؟

ستكون السرعة النهائية للعفريت الأزرق كما يلي:

صفر
2.5 متر/ثانية إلى اليسار
2.5 متر/ثانية إلى اليمين
1.25 متر/ثانية إلى اليسار
1.25 متر/ثانية إلى اليمين
شيء آخر

الحل

حدد اتجاه +x للإشارة إلى اليمين. الحفاظ على الزخم ثم يقرأ

\[\begin{align*} \vec{p_{f}} & = \vec{p_{i}} \\ mv_{r_{f}}\; \hat{i} + mv_{b_{f}}\; \hat{i} & = mv_{r_{i}}\; \hat{i} - mv_{b_{i}}\; \hat{i} \ldotp \end{align*}\]

قبل التصادم، كان زخم النظام بالكامل وفقط في القرص الأزرق. وهكذا،

\[mv_{r_{f}}\; \hat{i} + mv_{b_{f}}\; \hat{i} = - mv_{b_{i}}\; \hat{i} \nonumber\]

\[v_{r_{f}}\; \hat{i} + v_{b_{f}}\; \hat{i} = - v_{b_{i}}\; \hat{i} \ldotp \nonumber\]

(تذكر أن كتل كرات الصولجان متساوية.) استبدال الأرقام:

\[\begin{align*} - (2.5\; m/s) \hat{i} + \vec{v}_{b_{f}} & = - (2.5\; m/s) \hat{i} \\ \vec{v}_{b_{f}} & = 0 \ldotp \end{align*}\]

الدلالة

من الواضح أن الصندوقين تبادلا الزخم ببساطة. نقل القرص الأزرق كل زخمه إلى القرص الأحمر. في الواقع، هذا ما يحدث في تصادم مماثل حيث m ₁ = m ₂.

التمارين$\PageIndex{3}$

حتى لو كان هناك بعض الاحتكاك على الجليد، فلا يزال من الممكن استخدام الحفاظ على الزخم لحل هذه المشكلة، ولكنك ستحتاج إلى فرض شرط إضافي على المشكلة. ما هو هذا الشرط الإضافي؟

فيلة

في 12 نوفمبر 2014، نجحت وكالة الفضاء الأوروبية في هبوط مسبار اسمه Philae على المذنب 67P/Churyumov/Gerasimenko (الشكل$\PageIndex{4}$). ولكن أثناء الهبوط، هبط المسبار فعليًا ثلاث مرات، لأنه ارتد مرتين. دعونا نحسب مدى تغير سرعة المذنب نتيجة الارتداد الأول.

دعونا نحدد الاتجاه التصاعدي ليكون الاتجاه +y، عموديًا على سطح المذنب، و y = 0 ليكون على سطح المذنب. إليك ما نعرفه:

كتلة المذنب 67P: M _c = 1.0 × 10 ¹³ كجم
التسارع الناتج عن جاذبية المذنب:$\vec{a}$ = − (5.0 × 10 ⁻³ م/ث ²)$\hat{j}$
كتلة فيل: M _p = 96 كجم
سرعة الهبوط الأولية:$\vec{v}_{1}$ = − (1.0 م/ث)$\hat{j}$
السرعة التصاعدية الأولية بسبب الارتداد الأول:$\vec{v}_{2}$ = (0.38 م/ث)$\hat{j}$
وقت تأثير الهبوط:$\Delta$ t = 1.3 ثانية

إستراتيجية

يُسألون عن مدى تغير سرعة المذنب، لكننا لا نعرف الكثير عن المذنب، فيما وراء كتلته والتسارع الذي تسببه جاذبيته. ومع ذلك، يُقال لنا أن مركبة الهبوط Philae تصطدم مع (تهبط على) المذنب وترتد عنه. يشير التصادم إلى الزخم كاستراتيجية لحل هذه المشكلة.

إذا حددنا نظامًا يتكون من كل من Philae و Comet 67/P، فلن تكون هناك قوة خارجية صافية على هذا النظام، وبالتالي يتم الحفاظ على زخم هذا النظام. (سوف نهمل قوة الجاذبية للشمس.) وبالتالي، إذا قمنا بحساب تغير زخم المسبار، فسوف نحصل تلقائيًا على تغيير زخم المذنب. كما أن تغير سرعة المذنب يرتبط ارتباطًا مباشرًا بتغيير زخمه نتيجة «تصادم» المسبار معه.

الحل

$\vec{p}_{1}$لنكن زخم فيلاي في اللحظة التي تسبق الهبوط مباشرة،$\vec{p}_{2}$ وليكن زخمها بعد الارتداد الأول مباشرة. ثم كان زخمها قبل الهبوط مباشرة

\[\vec{p}_{1} = M_{p} \vec{v}_{1} = (96\; kg)(-1.0\; m/s\; \hat{j}) = - (96\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \nonumber\]

وبعد ذلك مباشرة

\[\vec{p}_{2} = M_{p} \vec{v}_{2} = (96\; kg)(+0.38\; m/s\; \hat{j}) = (36.5\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]

لذلك، تغير زخم الهبوط أثناء الارتداد الأول هو

\[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} \vec{p}_{1} \\ & = (36.5\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} - (-96.0\; kg\; \cdotp m/s\; \hat{j}) \\ & = (133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \end{align*}\]

لاحظ مدى أهمية تضمين العلامة السلبية للزخم الأولي.

الآن للمذنب. نظرًا لضرورة الحفاظ على زخم النظام، فقد تغير زخم المذنب بمقدار سلبي هذا تمامًا:

\[\Delta \vec{p}_{c} = - \Delta \vec{p} = - (133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]

لذلك، فإن تغيير سرعته هو

\[\Delta \vec{v}_{c} = \frac{\Delta \vec{p}_{c}}{M_{c}} = \frac{-(133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j}}{1.0 \times 10^{13}\; kg} = - (1.33 \times 10^{-11}\; m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]

الدلالة

هذا تغيير صغير جدًا في السرعة، حوالي جزء من ألف من المليار من المتر في الثانية. لكن الأهم من ذلك أنه ليس صفرًا.

التمارين$\PageIndex{4}$

كانت التغييرات في الزخم لـ Philae و Comet 67/P متساوية (من حيث الحجم). هل كانت النبضات التي مرت بها فيلة والمذنب متساوية؟ ماذا عن القوات؟ ماذا عن التغييرات في الطاقات الحركية؟

إستراتيجية حل المشكلات: الحفاظ على الزخم

مثال\(\PageIndex{1}\): Colliding Carts

الحل

التمارين\(\PageIndex{1}\)

مثال\(\PageIndex{2}\): A Bouncing Superball

الحل

التمارين\(\PageIndex{2}\)

مثال\(\PageIndex{3}\): Ice hockey 1

الحل

التمارين\(\PageIndex{3}\)

فيلة

الحل

التمارين\(\PageIndex{4}\)