5.5: الكتلة والوزن

Last updated
Save as PDF

Page ID: 200116

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

أهداف التعلم

اشرح الفرق بين الكتلة والوزن
اشرح لماذا لا تتعرض الأجسام الساقطة على الأرض أبدًا للسقوط الحر حقًا
وصف مفهوم انعدام الوزن

غالبًا ما يتم استخدام الكتلة والوزن بالتبادل في المحادثة اليومية. على سبيل المثال، غالبًا ما تُظهر سجلاتنا الطبية وزننا بالكيلوجرامات ولكن ليس بالوحدات الصحيحة من النيوتون. لكن في الفيزياء، هناك فرق مهم. الوزن هو قوة سحب الأرض على جسم ما. يعتمد ذلك على المسافة من مركز الأرض. على عكس الوزن، لا تختلف الكتلة باختلاف الموقع. كتلة الجسم هي نفسها على الأرض أو في المدار أو على سطح القمر.

وحدات القوة

تُستخدم المعادلة F _net = ma لتعريف القوة الصافية من حيث الكتلة والطول والوقت. كما هو موضح سابقًا، فإن وحدة قوة SI هي نيوتن. بما أن _صافي F = مللي أمبير،

\[1\; N = 1\; kg \cdotp m/s^{2} \ldotp \nonumber\]

على الرغم من أن العالم بأسره تقريبًا يستخدم نيوتن لوحدة القوة، إلا أن وحدة القوة الأكثر شيوعًا في الولايات المتحدة هي الجنيه (lb)، حيث 1 N = 0.225 lb، وبالتالي، يزن الشخص 225 رطلاً 1000 N.

الوزن وقوة الجاذبية

عندما يتم إسقاط جسم، فإنه يتسارع نحو مركز الأرض. ينص قانون نيوتن الثاني على أن القوة الكلية المؤثِّرة على الجسم هي المسؤولة عن عجلته. إذا كانت مقاومة الهواء ضئيلة، فإن القوة الكلية التي تؤثر على الجسم الساقط هي قوة الجاذبية، والتي تُسمى عادة وزنه\(\vec{w}\)، أو قوتها بسبب الجاذبية المؤثرة على جسم كتلته m، ويمكن الإشارة إلى الوزن كمتجه لأن له اتجاهًا؛ أما الأسفل فهو، بحكم التعريف، اتجاه الجاذبية، وبالتالي الوزن هو قوة هبوطية. ويُشار إلى مقدار الوزن بـ w. وقد لعب غاليليو دورًا أساسيًا في إظهار أنه في غياب مقاومة الهواء، تسقط جميع الأجسام بنفس التسارع g. وباستخدام نتيجة غاليليو وقانون نيوتن الثاني، يمكننا استخلاص معادلة للوزن.

تأمل جسمًا كتلته m يسقط باتجاه الأرض. إنها تختبر فقط قوة الجاذبية الهابطة، وهي الوزن\(\vec{w}\). ينص قانون نيوتن الثاني على أن مقدار القوة الخارجية الكلية على الجسم هو\(\vec{F}_{net} = m \vec{a}\). نحن نعلم أن تسارع الجسم بسبب الجاذبية هو\(\vec{g}\)، أو\(\vec{a} = \vec{g}\). إن استبدالها بقانون نيوتن الثاني يعطينا المعادلات التالية.

تعريف: الوزن

قوة الجاذبية التي تؤثر على الكتلة هي وزنها. يمكننا كتابة هذا في صورة متجه، حيث\(\vec{w}\) الوزن و m هي الكتلة، مثل

\[\vec{w} = m \vec{g} \ldotp \label{5.8}\]

في الشكل القياسي، يمكننا الكتابة

\[w = mg \ldotp \label{5.9}\]

نظرًا لأن g = 9.80 م/ث ² على الأرض، فإن وزن جسم وزنه 1.00 كجم على الأرض يساوي 9.80 نيوتن:

\[w = mg = (1.00\; kg)(9.80 m/s^{2}) = 9.80\; N \ldotp\]

عندما تكون القوة الخارجية الصافية على جسم ما هي وزنه، نقول إنه في حالة سقوط حر، أي أن القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم هي الجاذبية. ومع ذلك، عندما تسقط الأجسام الموجودة على الأرض إلى الأسفل، فإنها لا تتعرض أبدًا للسقوط الحر حقًا لأن هناك دائمًا قوة مقاومة تصاعدية من الهواء تعمل على الجسم.

يختلف التسارع الناتج عن الجاذبية g قليلاً فوق سطح الأرض، لذلك يعتمد وزن الجسم على موقعه وليس خاصية جوهرية للكائن. يختلف الوزن بشكل كبير إذا تركنا سطح الأرض. على القمر، على سبيل المثال، يبلغ التسارع بسبب الجاذبية 1.67 متر/ثانية فقط ². وبالتالي، يبلغ وزن الكتلة التي يبلغ وزنها 1.0 كجم 9.8 نيوتن على الأرض وحوالي 1.7 نيوتن فقط على سطح القمر.

التعريف الأوسع للوزن بهذا المعنى هو أن وزن الجسم هو قوة الجاذبية عليه من أقرب جسم كبير، مثل الأرض أو القمر أو الشمس. هذا هو التعريف الأكثر شيوعًا وفائدة للوزن في الفيزياء. ومع ذلك، فإنه يختلف بشكل كبير عن تعريف الوزن الذي تستخدمه وكالة ناسا ووسائل الإعلام الشعبية فيما يتعلق بالسفر إلى الفضاء واستكشافه. عندما يتحدثون عن «انعدام الوزن» و «الجاذبية الصغرى»، فإنهم يشيرون إلى الظاهرة التي نسميها «السقوط الحر» في الفيزياء. نحن نستخدم التعريف السابق للوزن والقوة\(\vec{w}\) الناتجة عن الجاذبية التي تؤثر على جسم كتلته m، ونقوم بتمييز دقيق بين السقوط الحر وانعدام الوزن الفعلي.

انتبه إلى أن الوزن والكتلة هما كميات فيزيائية مختلفة، على الرغم من ارتباطهما الوثيق. الكتلة هي خاصية جوهرية للكائن: إنها كمية من المادة. يتم تحديد كمية أو كمية مادة الجسم من خلال عدد الذرات والجزيئات من مختلف الأنواع التي يحتوي عليها. نظرًا لأن هذه الأرقام لا تختلف، في الفيزياء النيوتونية، لا تختلف الكتلة؛ لذلك، لا تختلف استجابتها للقوة المطبقة. في المقابل، الوزن هو قوة الجاذبية التي تؤثر على الجسم، لذلك يختلف اعتمادًا على الجاذبية. على سبيل المثال، يزن الشخص الأقرب إلى مركز الأرض، على ارتفاع منخفض مثل نيو أورلينز، أكثر بقليل من الشخص الموجود في الارتفاع العالي لدنفر، على الرغم من أنه قد يكون له نفس الكتلة.

من المغري مساواة الكتلة بالوزن، لأن معظم أمثلتنا تحدث على الأرض، حيث يختلف وزن الجسم قليلاً فقط مع موقع الكائن. بالإضافة إلى ذلك، من الصعب حساب وتحديد جميع الذرات والجزيئات في جسم ما، لذلك نادرًا ما يتم تحديد الكتلة بهذه الطريقة. إذا نظرنا إلى الحالات التي\(\vec{g}\) يكون فيها الجسم ثابتًا على الأرض، فإننا نرى\(\vec{w}\) أن الوزن يتناسب طرديًا مع الكتلة m\(\vec{w} = m \vec{g}\)، لأنه كلما زاد حجم الجسم، زاد وزنه. من الناحية التشغيلية، يتم تحديد كتل الأجسام من خلال المقارنة مع الكيلوغرام القياسي، كما ناقشنا في الوحدات والقياس. ولكن من خلال مقارنة جسم على الأرض بآخر على القمر، يمكننا بسهولة رؤية تباين في الوزن ولكن ليس في الكتلة. على سبيل المثال، على الأرض، يزن جسم وزنه 5.0 كجم 49 نيوتن؛ وعلى القمر، حيث يساوي g 1.67 متر/ثانية ²، يزن الجسم 8.4 نيوتن، ومع ذلك، لا تزال كتلة الجسم 5.0 كجم على القمر.

مثال\(\PageIndex{1}\): Clearing a Field

يقوم مزارع برفع بعض الصخور الثقيلة بشكل معتدل من الحقل لزراعة المحاصيل. يرفع حجرًا يزن 40.0 رطلاً (حوالي 180 نيوتن). ما القوة التي يؤثِّر عليها إذا تسارع الحجر بمعدل 1.5 متر/ثانية ²؟

إستراتيجية

لقد حصلنا على وزن الحجر الذي نستخدمه في إيجاد القوة الصافية على الحجر. ومع ذلك، نحتاج أيضًا إلى معرفة كتلته لتطبيق قانون نيوتن الثاني، لذلك يجب علينا تطبيق معادلة الوزن، w = mg، لتحديد الكتلة.

الحل

لا توجد قوى تعمل في الاتجاه الأفقي، لذلك يمكننا التركيز على القوى الرأسية، كما هو موضح في مخطط الجسم الحر التالي. نسمي التسارع على الجانب؛ من الناحية الفنية، ليس جزءًا من مخطط الجسم الحر، ولكنه يساعد على تذكيرنا بأن الجسم يتسارع لأعلى (وبالتالي فإن القوة الصافية تصاعدية).

يوضح الشكل مخططًا للجسم الحر حيث يشير المتجه w إلى الأسفل والمتجه W الذي يساوي 180 نيوتن ويشير المتجه F ذو الحجم غير المعروف إلى الأعلى. التسارع a يساوي 1.5 متر لكل ثانية مربعة.

\[w = mg \nonumber \]

\[m = \frac{w}{g} = \frac{180\; N}{9.8\; m/s^{2}} = 18\; kg \nonumber\]

\[\sum F = ma \nonumber\]

\[F - w = ma \nonumber\]

\[F - 180\; N = (18\; kg)(1.5\; m/s^{2}) \nonumber\]

\[F - 180\; N = 27\; N \nonumber\]

\[F = 207\; N = 210\; N\; \text{ to two significant figures} \nonumber\]

الدلالة

لتطبيق قانون نيوتن الثاني كمعادلة أولية في حل مشكلة ما، يتعين علينا أحيانًا الاعتماد على معادلات أخرى، مثل معادلة الوزن أو إحدى المعادلات الحركية، لإكمال الحل.

التمارين\(\PageIndex{1}\)

أوجد\(\PageIndex{1}\) التسارع عندما تكون القوة المُطبّقة للمزارع هي ٢٣٠٫٠ نيوتن

محاكاة

هل يمكنك تجنب حقل الصخور والهبوط بأمان قبل نفاد الوقود، كما فعل نيل أرمسترونج في عام 1969؟ يحاكي هذا الإصدار من لعبة الفيديو الكلاسيكية بدقة الحركة الحقيقية للمسبار القمري، مع الكتلة الصحيحة والدفع ومعدل استهلاك الوقود والجاذبية القمرية. من الصعب التحكم في مركبة الهبوط القمرية الحقيقية.