4.S: الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد (ملخص)

الشروط الرئيسية

ناقل التسارع	يتم العثور على التسارع الفوري عن طريق أخذ مشتق دالة السرعة فيما يتعلق بالوقت في ترميز متجه الوحدة
تردد زاوي	\(\omega\)، معدل تغير الزاوية التي يتحرك بها جسم على مسار دائري
تسريع الجاذبية المركزية	مكون تسريع جسم يتحرك في دائرة موجهة شعاعيًا إلى الداخل نحو مركز الدائرة
ناقل الإزاحة	المتجه من الموضع الأولي إلى الموضع النهائي على مسار الجسيم
متجه الموضع	المتجه من أصل نظام الإحداثيات المختار إلى موضع الجسيم في الفضاء ثنائي أو ثلاثي الأبعاد
حركة القذيفة	حركة جسم خاضع فقط لتسارع الجاذبية
نطاق	أقصى مسافة أفقية يقطعها المقذوف
إطار مرجعي	نظام الإحداثيات الذي يتم فيه قياس موضع الجسم وسرعته وتسارعه أثناء السكون أو الحركة
السرعة النسبية	سرعة جسم كما لوحظ من إطار مرجعي معين، أو سرعة إطار مرجعي واحد فيما يتعلق بإطار مرجعي آخر
تسارع تماسي	حجمه هو المعدل الزمني لتغيير السرعة. اتجاهها مماس الدائرة.
وقت الرحلة	الوقت المنقضي لقذيفة في الهواء
التسارع الكلي	مجموع متجه التسارع المركزي والتسارع العرضي
مسار	مسار قذيفة عبر الهواء
ناقل السرعة	متجه يعطي السرعة والاتجاه اللحظين للجسيم؛ مماس المسار

المعادلات الرئيسية

متجه الموضع	$$\ vec {r} (t) = x (t)\ قبعة {i} + y (t)\ قبعة {j} + z (t)\ قبعة {k} $$
ناقل الإزاحة	$$\ دلتا\ فيك {r} =\ فيك {r} (t_ {2}) -\ vec {r} (t_ {1}) $$
ناقل السرعة	$$\ vec {v} (t) =\ lim_ {\ دلتا تي\ السهم الأيمن 0}\ frac {\ vec {r} (t +\ دلتا تي) -\ vec {r} (t)} {\ دلتا تي} =\ فراك {د\ فيك {r}} {dt} $$
السرعة من حيث المكونات	$$\ vec {v} (t) = v_ {x} (t)\ قبعة {i} + v_ {y} (t)\ قبعة {j} + v_ {z} (t)\ قبعة {k} $$
مكونات السرعة	$v_ {x} (t) =\ frac {dx (t)} {dt} v_ {y} (t) =\ frac {dy (t)} {dt} v_ {z} (t) =\ frac {d z (t)} {dt} $$
متوسط السرعة	$$\ vec {v} _ {متوسط} =\ frac {\ vec {r} (t_ {2}) -\ vec {r} (t_ {1})} {t_ {2} - t_ {1}} $$
تسريع فوري	$$\ vec {a} (t) =\ lim_ {\ دلتا تي\ السهم الأيمن 0}\ frac {\ vec {v} (t +\ دلتا) -\ vec {v} (t)} {\ دلتا تي} =\ فراك {د\ فيك {v}} {dt} $$
تسريع فوري، شكل مكون	$$\ vec {a} (t) =\ frac {dv_ {x} (t)} {dt}\ قبعة {i} +\ frac {dv_ {y} (t)} {dt}\ قبعة {j} +\ فراك {z} (t)} {dt}\ قبعة {ك} $$
التسارع اللحظي كمشتقات ثانية للموضع	$$\ vec {a} (t) =\ frac {d^ {2} x (t)} {dt^ {2}}\ قبعة {i} +\ frac {d^ {2} y (t)} {d^ {2}} +\ فراك {د ^ {2} z (t)} {dt^ {2}}\ قبعة {ك} $$
وقت الرحلة	$$T_ {of} =\ frac {2 (v_ {0}\ sin\ theta)} {g} $$
المسار	$y = (\ تان\ theta_ {0}) x -\ كبير [\ frac {g} {2 (v_ {0}\ cos\ theta_ {0}) ^ {2}}\ كبير] x^ {2} $$
النطاق	$R =\ frac {v_ {0} ^ {2}\ الخطيئة 2\ theta_ {0}} {g} $$
تسارع الجاذبية المركزية	$a_ {C} =\ frac {v^ {2}} {r} $$
متجه الموضع، حركة دائرية موحدة	$$\ vec {r} (t) = A\ cos\ أوميغا تي\ قبعة {i} + A\ sin\ أوميغا تي\ قبعة {j} $$
متجه السرعة، حركة دائرية موحدة	$$\ vec {v} (t) =\ frac {d\ vec {r} (t)} {dt} = -A\ أوميغا\ سين\ أوميغا تي\ قبعة {i} + A\ أوميغا\ كوس\ أوميغا تي\ قبعة {j} $$
ناقل التسارع، حركة دائرية موحدة	$$\ vec {a} (t) =\ frac {d\ vec {v} (t)} {dt} = -A\ omega^ {2}\ كوس\ أوميغا تي\ قبعة {i} - A\ omega^ {2}\ سين\ أوميغا تي\ قبعة {j} $$
التسارع المماسي	$a_ {T} =\ frac {d|\ vec {v} |} {dt} $$
التسارع الكلي	$$\ vec {a} =\ vec {a} _ {C} +\ vec {أ} _ {T} $$
متجه الموضع في الإطار S هو متجه الموضع في الإطار S′ بالإضافة إلى المتجه من أصل S إلى أصل S	$$\ vec {r} _ {PS} =\ vec {r} _ {PS'} +\ vec {r} _ {S} $$
معادلة السرعة النسبية التي تربط إطارين مرجعيين	$$\ vec {v} _ {PS} =\ vec {v} _ {PS'} +\ vec {v} _ {S} $$
معادلة السرعة النسبية التي تربط أكثر من إطارين مرجعيين	$$\ vec {v} _ {PC} =\ vec {v} _ {PA} +\ vec {v} _ {AB} +\ vec {v} _ {BC} $$
معادلة التسارع النسبي	$$\ vec {a} _ {PS} =\ vec {a} _ {PS'} +\ vec {أ} _ {S} $$

ملخص

4.1 متجهات الإزاحة والسرعة

• تعطي دالة الموضع\(\vec{r}\) (t) الموضع كدالة زمنية لجسيم يتحرك في بعدين أو ثلاثة أبعاد. من الناحية الرسومية، يعد متجهًا من أصل نظام الإحداثيات المختار إلى النقطة التي يقع فيها الجسيم في وقت محدد.
• \(\Delta \vec{r}\)يعطي متجه الإزاحة أقصر مسافة بين أي نقطتين على مسار الجسيم في بعدين أو ثلاثة أبعاد.
• تعطي السرعة اللحظية سرعة واتجاه الجسيم في وقت محدد على مساره في بعدين أو ثلاثة أبعاد، وهي متجه في بعدين وثلاثة أبعاد.
• يكون متجه السرعة مماسًا لمسار الجسيم.
• يمكن كتابة الإزاحة\(\vec{r}\) (t) كمجموع متجه لعمليات الإزاحة أحادية البعد\(\vec{x}\) (t) و\(\vec{y}\) (t) و\(\vec{z}\) (t) على طول اتجاهات x و y و z.
• يمكن كتابة السرعة\(\vec{v}\) (t) كمجموع متجه للسرعات أحادية البعد v _x (t) و v _y (t) و v _z (t) على طول اتجاهات x و y و z.
• الحركة في أي اتجاه معين مستقلة عن الحركة في اتجاه عمودي.

4.2 ناقل التسارع

• في بعدين وثلاثة أبعاد، يمكن أن يكون لمتجه التسارع اتجاه تعسفي ولا يشير بالضرورة إلى مكون معين من السرعة.
• يتم إنتاج التسارع اللحظي من خلال تغيير في السرعة خلال فترة زمنية قصيرة جدًا (متناهية الصغر). التسارع اللحظي هو ناقل في بعدين أو ثلاثة أبعاد. يتم العثور عليها من خلال أخذ مشتق دالة السرعة فيما يتعلق بالوقت.
• في ثلاثة أبعاد، يمكن كتابة التسارع\(\vec{a}\) (t) كمجموع متجه للتسرعات أحادية البعد a _x (t) و _y (t) و _z (t) على طول المحاور x- و y- و z.
• يمكن كتابة المعادلات الحركية للعجلة الثابتة كمجموع متجه لمعادلات التسارع الثابت في اتجاهات x و y و z.

4.3 حركة القذيفة

• حركة المقذوفات هي حركة جسم يخضع فقط لتسارع الجاذبية، حيث يكون التسارع ثابتًا، كما هو الحال بالقرب من سطح الأرض.
• لحل مشاكل حركة المقذوفات، نقوم بتحليل حركة المقذوف في الاتجاهين الأفقي والعمودي باستخدام المعادلات الحركية أحادية البعد لـ x و y.
• يتم تحديد وقت رحلة المقذوف الذي تم إطلاقه بسرعة رأسية أولية v _0y على سطح متساوٍ بواسطة $T_ {tof} =\ frac {2 (v_ {0}\ sin\ theta)} {g} $هذه المعادلة صالحة فقط عندما تهبط القذيفة على نفس الارتفاع الذي أطلقت منه.
• يُطلق على الحد الأقصى للمسافة الأفقية التي يقطعها المقذوف اسم النطاق. مرة أخرى، تكون معادلة النطاق صالحة فقط عندما تهبط القذيفة على نفس الارتفاع الذي تم إطلاقها منه.

4.4 حركة دائرية موحدة

• الحركة الدائرية المنتظمة هي حركة في دائرة بسرعة ثابتة.
• التسارع المركزي\(\vec{a}_{C}\) هو التسارع الذي يجب أن يتبعه الجسيم في مسار دائري. يشير تسارع الجاذبية المركزية دائمًا إلى مركز الدوران ويبلغ حجمه a _C =\(\frac{v^{2}}{r}\).
• تحدث الحركة الدائرية غير المنتظمة عندما يكون هناك تسارع عرضي لجسم ينفذ حركة دائرية بحيث تتغير سرعة الكائن. هذا التسارع يسمى التسارع العرضي\(\vec{a}_{T}\). حجم التسارع العرضي هو المعدل الزمني لتغيير حجم السرعة. يكون متجه التسارع العرضي مماسيًا للدائرة، بينما يشير متجه التسارع المركزي شعاعيًا إلى الداخل باتجاه مركز الدائرة. التسارع الكلي هو مجموع المتجهات للتسارع العرضي والجذبي.
• يمكن وصف كائن ينفذ حركة دائرية موحدة بمعادلات الحركة. متجه موضع الكائن هو\(\vec{r}\) (t) = A cos\(\omega\) t\(\hat{i}\) + A sin\(\omega\) t\(\hat{j}\)، حيث A هو الحجم |\(\vec{r}\) (t) |، وهو أيضًا نصف قطر الدائرة،\(\omega\) وهو التردد الزاوي.

4.5 الحركة النسبية في البعد الواحد والبعدين

• عند تحليل حركة كائن ما، يجب تحديد الإطار المرجعي من حيث الموضع والسرعة والتسارع.
• السرعة النسبية هي سرعة الجسم كما تمت ملاحظتها من إطار مرجعي معين، وتختلف باختلاف اختيار الإطار المرجعي.
• إذا كان S و S عبارة عن إطارين مرجعيين يتحركان بالنسبة لبعضهما البعض بسرعة ثابتة، فإن سرعة الجسم بالنسبة إلى S تساوي سرعته بالنسبة إلى S ′ بالإضافة إلى سرعة S بالنسبة إلى S.
• إذا كان هناك إطاران مرجعيان يتحركان بالنسبة لبعضهما البعض بسرعة ثابتة، فإن تسارع الكائن كما لوحظ في كلا الإطارين المرجعيين متساويان.

المساهمون والصفات

Template:ContribOpenStaxUni