Skip to main content
Global

4.E: الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد (تمارين)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200030

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أسئلة مفاهيمية

    4.1 متجهات الإزاحة والسرعة

    1. ما شكل مسار الجسم إذا كانت المسافة من أي نقطة A إلى النقطة B تساوي مقدار الإزاحة من A إلى B؟
    2. أعط مثالاً لمسار في بعدين أو ثلاثة أبعاد ناتجة عن حركات عمودية مستقلة.
    3. إذا كانت السرعة اللحظية صفرًا، فما الذي يمكن قوله عن ميل دالة الموضع؟

    4.2 ناقل التسارع

    1. إذا كانت دالة موضع الجسيم دالة خطية للوقت، فما الذي يمكن قوله عن عجلته؟
    2. إذا كان الجسم يحتوي على مُكوِّن x ثابت للسرعة وحدث فجأة تسارع في الاتجاه y، فهل يتغيَّر مكوِّن x لسرعته؟
    3. إذا كان الجسم يحتوي على مكون x ثابت للسرعة وفجأة واجه تسارعًا بزاوية 70 درجة في الاتجاه x، فهل يتغير مكون x للسرعة؟

    4.3 حركة القذيفة

    1. أجب عن الأسئلة التالية لحركة المقذوف على أرض مستوية بافتراض مقاومة ضئيلة للهواء، بحيث لا تكون الزاوية الأولية 0 درجة ولا 90 درجة: (أ) هل السرعة صفر على الإطلاق؟ (ب) متى تكون السرعة عند الحد الأدنى؟ حد أقصى؟ (ج) هل يمكن أن تكون السرعة في أي وقت من الأوقات مماثلة للسرعة الأولية في وقت آخر غير t = 0؟ (د) هل يمكن أن تكون السرعة في أي وقت هي نفس السرعة الأولية في وقت آخر غير t = 0؟
    2. أجب عن الأسئلة التالية لحركة القذيفة على أرض مستوية بافتراض مقاومة ضئيلة للهواء، بحيث لا تكون الزاوية الأولية 0 درجة ولا 90 درجة: (أ) هل التسارع صفر على الإطلاق؟ (ب) هل كان المتجه في\(\vec{v}\) أي وقت موازيًا أو مضادًا للمتجه\(\vec{a}\)؟ (ج) هل كان المتجه متعامدًا في\(\vec{v}\) أي وقت على المتجه\(\vec{a}\)؟ إذا كان الأمر كذلك، فأين يقع هذا؟
    3. يتم وضع عشرة سنتات على حافة الطاولة بحيث يتم تعليقها قليلاً. يتم تحريك الربع أفقيًا على سطح الطاولة عموديًا على الحافة ويصطدم برأس الدايم. ما العملة التي تصطدم بالأرض أولاً؟

    4.4 حركة دائرية موحدة

    1. هل يمكن لعجلة الجاذبية أن تغير سرعة الجسيم الذي يمر بحركة دائرية؟
    2. هل يمكن للعجلة المماسية أن تغير سرعة جسيم يمر بحركة دائرية؟

    4.5 الحركة النسبية في البعد الواحد والبعدين

    1. ما الإطار أو الأطر المرجعية التي تستخدمها بشكل غريزي عند قيادة السيارة؟ عند الطيران في طائرة تجارية؟
    2. عادة ما يُبقي لاعب كرة السلة الذي يتجول في الملعب عينيه مثبتتين على اللاعبين من حوله. إنه يتحرك بسرعة. لماذا لا يحتاج إلى إبقاء عينيه على الكرة؟
    3. إذا كان شخص ما يركب في الجزء الخلفي من شاحنة صغيرة ويرمي الكرة اللينة بشكل مستقيم للخلف، فهل من الممكن أن تسقط الكرة بشكل مستقيم لأسفل كما يراها شخص يقف على جانب الطريق؟ تحت أي حالة سيحدث هذا؟ كيف ستظهر حركة الكرة للشخص الذي رميها؟
    4. تسقط قبعة عداء يركض بسرعة ثابتة من مؤخرة رأسه. ارسم رسمًا يوضح مسار القبعة في الإطار المرجعي للاعب الركض. ارسم مساره كما يراه مراقب ثابت. إهمال مقاومة الهواء.
    5. تسقط مجموعة من الأوساخ من سرير شاحنة متحركة. وهي تصطدم بالأرض مباشرة أسفل نهاية الشاحنة. (أ) ما اتجاه سرعتها بالنسبة للشاحنة قبل اصطدامها مباشرة؟ (ب) هل هذا هو نفس اتجاه سرعته بالنسبة للأرض قبل اصطدامه مباشرة؟ اشرح إجاباتك.

    مشاكل

    4.1 متجهات الإزاحة والسرعة

    1. إحداثيات الجسيم في نظام الإحداثيات المستطيل هي (1.0، —4.0، 6.0). ما متجه موضع الجسيم؟
    2. يتغيّر موضع الجسيم من\(\vec{r}_{1}\) = (2.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\)) سم إلى\(\vec{r}_{2}\) = (−4.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\)) سم. ما مقدار إزاحة الجسيم؟
    3. أما الثقب الثامن عشر في ملعب بيبل بيتش للغولف فهو عبارة عن ساق كلب على اليسار بطول 496.0 مترًا، ويُعتبر الممر قبالة نقطة الإنطلاق هو الاتجاه x. يضرب لاعب غولف نقطة الإنطلاق الخاصة به مسافة 300.0 م، وهو ما يعادل الإزاحة\(\Delta \vec{r}_{1}\) = 300.0 م\(\hat{i}\)، ويضرب ضربته الثانية 189.0 م بإزاحة\(\Delta \vec{r}_{2}\) = 172.0 م\(\hat{i}\) + 80.3 م\(\hat{j}\). ما هي الإزاحة النهائية لكرة الجولف من نقطة الإنطلاق؟
    4. طائر يطير بشكل مستقيم إلى الشمال الشرقي لمسافة ٩٥٫٠ كم لمدة ٣٫٠ ساعة، ومع اتجاه المحور السيني شرقًا والمحور الصادي نحو الشمال، ما الإزاحة في رمز متجه الوحدة للطائر؟ ما متوسط سرعة الرحلة؟
    5. يركب درّاج مسافة 5.0 كم باتجاه الشرق، ثم 10.0 كم 20 درجة غرب الشمال. من هذه النقطة تقطع مسافة 8.0 كم باتجاه الغرب. ما هي الإزاحة النهائية من حيث بدأ الدراج؟
    6. يقف المدافع عن فريق نيويورك رينجرز دانييل جيراردي عند المرمى ويمرر كرة الهوكي لمسافة 20 مترًا و45 درجة من أسفل الجليد مباشرة إلى الجناح الأيسر كريس كريدر منتظرًا عند الخط الأزرق. ينتظر كريدر وصول جيراردي إلى الخط الأزرق ويمرر القرص مباشرة عبر الجليد إليه على بعد 10 أمتار. ما الإزاحة النهائية للعفريت؟ انظر الشكل التالي.

    رسم توضيحي للحالة الموصوفة في المشكلة. يتم رسم الهدف ولاعبي هوكي الجليد كما هو موضح من الأعلى. الهدف وجيراردي هما أصل نظام إحداثيات x y. يظهر سهم رمادي يمثل 20 مترًا عند 45 درجة من اتجاه x الموجب، مع رسم Kreider بالقرب من طرف السهم. يتم رسم خط أزرق، موازٍ للمحور x، أيضًا على طرف هذا السهم. يظهر سهم رمادي ثانٍ يبدأ من موقع Kreider، ويشير أفقيًا إلى اليسار، ويمثل مسافة 10 أمتار. يتم رسم سهم أزرق داكن من الهدف عند نقطة الأصل إلى طرف السهم الرمادي الثاني بطول 10 أمتار.

    1. موضع الجسيم هو\(\vec{r}\) (t) = 4.0t 2\(\hat{i}\) − 3.0\(\hat{j}\) + 2.0t 3\(\hat{k}\) m. (a) ما سرعة الجسيم عند 0 ثانية وعند 1.0 ثانية؟ (ب) ما متوسط السرعة بين صفر ثانية و1.0 ثانية؟
    2. يستطيع كلاي ماثيوز، وهو لاعب خط وسط في فريق غرين باي باكرز، الوصول إلى سرعة 10.0 متر/ثانية، وفي بداية اللعب، يركض ماثيوز إلى أسفل الملعب بسرعة 45 درجة بالنسبة لخط 50 ياردة ويغطي مسافة 8.0 متر في ثانية واحدة، ثم يركض مباشرة إلى أسفل الملعب بزاوية 90 درجة بالنسبة لخط 50 ياردة لمسافة 12 مترًا، مع مرور الوقت المنقضي على 1.2 الفقرة (أ) ما هي الإزاحة النهائية لماثيوز منذ بداية المسرحية؟ (ب) ما متوسط سرعته؟
    3. F-35B Lighting II هي طائرة مقاتلة قصيرة الإقلاع وذات هبوط عمودي. إذا قامت بإقلاع عمودي إلى ارتفاع 20.00 مترًا فوق سطح الأرض ثم اتبعت مسار طيران بزاوية 30 درجة بالنسبة إلى الأرض لمسافة 20.00 كم، فما الإزاحة النهائية؟

    4.2 ناقل التسارع

    1. موضع الجسيم هو\(\vec{r}\) (t) = (3.0 2\(\hat{i}\) + 5.0\(\hat{j}\) − 6.0t\(\hat{k}\)) م. (أ) تحديد سرعته وتسارعه كدالتين للزمن. (ب) ما هي سرعته وتسارعه في الوقت t = 0؟
    2. تسارع الجسيم هو (4.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\)) م/ث 2. عند t = 0، يكون موضعه وسرعته صفرًا. (أ) ما هو موقع الجسيم وسرعته كدالة للوقت؟ (ب) أوجد معادلة مسار الجسيم. ارسم محاور x و y وارسم مسار الجسيم.
    3. يخرج قارب من الرصيف عند t = 0 ويتجه إلى بحيرة بسرعة 2.0 m/s 2\(\hat{i}\). تدفع الرياح القوية القارب، مما يمنحه سرعة إضافية قدرها 2.0 متر/ثانية\(\hat{i}\) + 1.0 متر/ثانية\(\hat{j}\). (أ) ما سرعة القارب عند t = 10 ثوانٍ؟ (ب) ما هو موضع القارب عند t = 10s؟ ارسم رسمًا لمسار القارب وموضعه عند t = 10 ثوانٍ، مع إظهار المحاور x و y.
    4. يُعطى موضع الجسيم لـ t > 0 بواسطة\(\vec{r}\) (t) = (3.0t 2\(\hat{i}\) − 7.0t 3\(\hat{j}\) − 5.0t −2\(\hat{k}\)) م. (أ) ما السرعة كدالة للوقت؟ (ب) ما هو التسارع كدالة للوقت؟ (ج) ما سرعة الجسيم عند t = 2.0 ثانية؟ (د) ما سرعتها عند t = 1.0 ثانية وt = 3.0 ثانية؟ (ﻫ) ما متوسط السرعة بين t = 1.0 ثانية وt = 2.0 ثانية؟
    5. تسارع الجسيم ثابت. عند t = 0 تكون سرعة الجسيم (10\(\hat{i}\) + 20\(\hat{j}\)) م/ث، وعند t = 4 ثوانٍ تكون السرعة 10\(\hat{j}\) م/ث. (أ) ما مقدار تسارع الجسيم؟ (ب) كيف يختلف الموقع والسرعة بمرور الوقت؟ افترض أن الجسيم في البداية في الأصل.
    6. للجسيم دالة الموضع\(\vec{r}\) (t) = cos (1.0t)\(\hat{i}\) + sin (1.0t)\(\hat{j}\) + t\(\hat{k}\)، حيث تكون حجج دوال جيب التمام والجيب بالراديان. (أ) ما هو متجه السرعة؟ (ب) ما هو متجه التسارع؟
    7. تنطلق طائرة لوكهيد مارتن F-35 II Lighting من حاملة طائرات بطول مدرج يبلغ 90 مترًا وسرعة إقلاعها 70 م/ث في نهاية المدرج. يتم قذف الطائرات إلى المجال الجوي من سطح حاملة طائرات بمصدرين للدفع: الدفع النفاث والمنجنيق. عند الخروج من سطح حاملة الطائرات، ينخفض تسارع F-35 إلى تسارع ثابت قدره 5.0 م/ث 2 عند 30 درجة بالنسبة للأفقي. (أ) ما التسارع الأولي للطائرة F-35 على سطح حاملة الطائرات لجعلها محمولة جواً؟ (ب) اكتب موضع وسرعة F-35 في رمز متجه الوحدة من النقطة التي تغادر فيها سطح حاملة الطائرات. (ج) ما هو ارتفاع الطائرة المقاتلة بعد مرور 5.0 ثوانٍ من مغادرتها سطح حاملة الطائرات؟ (د) ما هي سرعتها وسرعتها في هذا الوقت؟ (ه) إلى أي مدى قطعته أفقياً؟

    4.3 حركة القذيفة

    1. تُطلق رصاصة أفقيًّا من ارتفاع الكتف (١٫٥ م) بسرعة أولية ٢٠٠ م/ث. (أ) كم من الوقت ينقضي قبل ارتطام الرصاصة بالأرض؟ (ب) إلى أي مدى تنتقل الرصاصة أفقيًا؟
    2. يتدحرج رخام من سطح طاولة بارتفاع 1.0 متر ويصطدم بالأرض عند نقطة تبعد ٣٫٠ م عن حافة الطاولة في الاتجاه الأفقي. (أ) كم يبلغ طول الرخام في الهواء؟ (ب) ما سرعة الرخام عندما يغادر حافة الطاولة؟ (ج) ما هي سرعتها عندما تصطدم بالأرض؟
    3. يُلقى سهم أفقيًّا بسرعة ١٠ أمتار في الثانية على عين الثور على لوح رمي على بُعد ٢٫٤ مترًا، كما في الشكل التالي. (أ) إلى أي مدى يقل الهدف المقصود عن الهدف المقصود؟ (ب) ماذا تخبرك إجابتك عن مدى كفاءة لاعبي السهام في رمي السهام؟
    4. طائرة تحلق أفقيًا بسرعة 500 كم/ساعة على ارتفاع 800 متر تسقط صندوقًا من الإمدادات (انظر الشكل التالي). إذا فشلت المظلة في الفتح، فما مدى ارتطام الصندوق بالأرض أمام نقطة الإطلاق؟

    تطلق طائرة حزمة. تبلغ سرعة الطائرة الأفقية 500 كيلومتر في الساعة. مسار الحزمة هو النصف الأيمن من القطع المكافئ الذي يفتح لأسفل، ويكون في البداية أفقيًا عند الطائرة وينحني لأسفل حتى يصطدم بالأرض.

    1. لنفترض أن الطائرة في المشكلة السابقة تطلق مقذوفًا أفقيًا في اتجاه حركتها بسرعة 300 متر/ثانية بالنسبة إلى المستوى. (أ) إلى أي مدى يصل المقذوف إلى الأرض أمام نقطة الإطلاق؟ (ب) ما هي سرعتها عندما تصطدم بالأرض؟
    2. يمكن لرمي الكرة السريعة رمي كرة بيسبول بسرعة 40 متر/ثانية (90 ميل/ساعة). (أ) بافتراض قدرة الإبريق على إطلاق الكرة لمسافة 16.7 مترًا من اللوحة الرئيسية بحيث تتحرَّك الكرة أفقيًا، فما المدة التي تستغرقها الكرة للوصول إلى اللوحة الرئيسية؟ (ب) إلى أي مدى تسقط الكرة بين يد الإبريق ولوحة المنزل؟
    3. تُطلق قذيفة بزاوية مقدارها 30 درجة وتهبط بعد 20 ثانية بنفس الارتفاع الذي أُطلقت منه. (أ) ما هي السرعة الأولية للقذيفة؟ (ب) ما هو الارتفاع الأقصى؟ (ج) ما هو النطاق؟ (د) حساب الإزاحة من نقطة الإطلاق إلى الموقع على مسارها عند 15 ثانية.
    4. يطلق لاعب كرة سلة النار باتجاه سلة تبعد 6.1 مترًا و3.0 مترًا فوق الأرض. إذا تحرَّكت الكرة على ارتفاع ١٫٨ مترًا فوق الأرض بزاوية ٦٠ درجة فوق الأفقي، فما السرعة الأولية التي يجب أن تحققها في حالة مرورها عبر السلة؟
    5. في لحظة معينة، يبلغ طول منطاد الهواء الساخن 100 متر في الهواء وينزل بسرعة ثابتة تبلغ 2.0 متر/ثانية، وفي هذه اللحظة بالذات، تقوم فتاة برمي كرة أفقيًا، بالنسبة لها، بسرعة أولية تبلغ 20 م/ث، وعندما تهبط، أين ستجد الكرة؟ تجاهل مقاومة الهواء.
    6. رجل على دراجة نارية تسير بسرعة موحدة مقدارها ١٠ م/ث يرمي علبة فارغة بشكل مستقيم لأعلى بالنسبة له بسرعة أولية مقدارها ٣٫٠ م/ث، فأوجد معادلة المسار كما يراها ضابط شرطة على جانب الطريق. افترض أن الموضع الأولي للعلبة هو النقطة التي يتم طرحها فيها. تجاهل مقاومة الهواء.
    7. يمكن للرياضي القفز لمسافة 8.0 متر في القفزة العريضة. ما أقصى مسافة يمكن للرياضي أن يقطعها على سطح القمر، حيث تبلغ عجلة الجاذبية سدس عجلة الأرض؟
    8. أقصى مسافة أفقية يمكن للصبي أن يرميها الكرة هي 50 مترًا، افترض أنه يستطيع الرمي بنفس السرعة الأولية في جميع الزوايا. ما هو ارتفاع الكرة عندما يرميها بشكل مستقيم لأعلى؟
    9. تُلقى صخرة من منحدر بزاوية 53° بالنسبة للأفقي. يبلغ ارتفاع الجرف 100 متر. تبلغ السرعة الأولية للصخر 30 م/ث. (أ) ما مدى ارتفاع الصخرة فوق حافة الجرف؟ (ب) ما مدى تحركه أفقيًا عندما يكون في أقصى ارتفاع؟ (ج) ما هي المدة التي تستغرقها عملية الإطلاق بعد وصولها إلى الأرض؟ (د) ما مدى الصخرة؟ (هـ) ما المواضع الأفقية والعمودية للصخر بالنسبة إلى حافة الجرف عند t = 2.0 ثانية، t = 4.0 s، t = 6.0 s؟
    10. في محاولة للهروب من مطارديه، يتزلج عميل سري من منحدر يميل بزاوية 30 درجة تحت الأفقي بسرعة 60 كم/ساعة، ولكي ينجو ويهبط على الثلج الذي يبلغ عمقه 100 متر، يجب عليه إزالة ممر بعرض 60 مترًا. هل يصنعها؟ تجاهل مقاومة الهواء.

    يتحرك متزحلق بسرعة v الفرعية 0 إلى أسفل منحدر يميل بزاوية ٣٠ درجة إلى الأفقي. يقع المتزلج على حافة فجوة بعرض 60 مترًا. الجانب الآخر من الفجوة أقل بـ 100 متر.

    1. تبعد لاعبة غولف على أحد الممرات مسافة ٧٠ مترًا عن المنطقة الخضراء، التي تقع تحت مستوى الممر بمقدار ٢٠ مترًا، وإذا أصابت الكرة بزاوية ٤٠ درجة بسرعة أولية تبلغ ٢٠ م/ث، فما مدى قربها من الأخضر؟
    2. تم إطلاق قذيفة على تل تقع قاعدته على بعد 300 متر. يُطلَق المقذوف بسرعة ٦٠ درجة فوق الأفقي بسرعة أولية تبلغ ٧٥ م/ث، ويمكن تقريب التل بمستوى منحدر بزاوية ٢٠ درجة إلى الأفقي. بالنسبة لنظام الإحداثيات الموضح في الشكل التالي، معادلة هذا الخط المستقيم هي y = (tan 20°) x − 109. أين تهبط القذيفة على التل؟

    تم إطلاق قذيفة من الأصل على تل تقع قاعدته على بعد 300 متر. يُطلَق المقذوف بسرعة ٦٠ درجة فوق الأفقي بسرعة أولية قدرها ٧٥ م/ث، وينحرف التل بعيدًا عن نقطة الأصل بزاوية ٢٠ درجة إلى الأفقي. يتم التعبير عن المنحدر كمعادلة y تساوي (تان 20 درجة) في x ناقص 109.

    1. يركل رائد فضاء على سطح المريخ كرة قدم بزاوية مقدارها ٤٥ درجة بسرعة أولية قدرها ١٥ م/ث، فإذا كانت سرعة الجاذبية على المريخ ٣٫٧ م/ث، (أ) ما مدى ركلة كرة القدم على سطح مستوٍ؟ (ب) ماذا سيكون مدى الركلة نفسها على القمر، حيث تبلغ الجاذبية سدس جاذبية الأرض؟
    2. يحمل مايك باول الرقم القياسي للقفز الطويل البالغ 8.95 مترًا، والذي تم تأسيسه في عام 1991. إذا غادر الأرض بزاوية مقدارها ١٥ درجة، فما سرعته الأولية؟
    3. يمكن للفهد الآلي التابع لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا القفز فوق عوائق بارتفاع 46 سم وسرعته 12.0 كم/ساعة. (أ) إذا أطلق الروبوت نفسه بزاوية 60 درجة بهذه السرعة، فما أقصى ارتفاع له؟ (ب) ما هي زاوية الإطلاق التي يجب أن تصل إلى ارتفاع 46 سم؟
    4. طن متري. أساما، اليابان، هو بركان نشط. في عام 2009، أدى ثوران بركاني إلى إلقاء صخور بركانية صلبة هبطت على بعد كيلومتر واحد أفقيًا من فوهة البركان. إذا أُطلقت الصخور البركانية بزاوية 40 درجة بالنسبة للزاوية الأفقية وهبطت على عمق 900 متر تحت فوهة البركان، (أ) ما هي سرعتها الأولية و (ب) ما هو وقت طيرانها؟
    5. يستطيع درو بريس من فريق نيو أورليانز ساينتس رمي كرة قدم بسرعة 23.0 متر/ثانية (50 ميلاً في الساعة). إذا قام بوضع زاوية الرمي بزاوية مقدارها ١٠ درجات عن الأفقي، فما المسافة التي تقطعها إذا تم الإمساك بها على نفس الارتفاع الذي أُلقيت به؟
    6. وصلت المركبة الجوالة القمرية المستخدمة في مهمات أبولو المتأخرة التابعة لناسا إلى سرعة غير رسمية على سطح القمر قدرها 5.0 متر/ثانية بواسطة رائد الفضاء يوجين سيرنان. إذا كانت المركبة الجوالة تتحرَّك بهذه السرعة على سطح قمري مستوٍ واصطدمت بمضخة صغيرة أسقطتها من على السطح بزاوية مقدارها ٢٠ درجة، فما المدة التي ستستغرقها «في الجو» على سطح القمر؟
    7. يبلغ ارتفاع هدف كرة القدم 2.44 مترًا. يركل لاعب الكرة على مسافة 10 أمتار من المرمى بزاوية 25 درجة. ما السرعة الأولية لكرة القدم؟
    8. أوليمبوس مونس على المريخ هو أكبر بركان في المجموعة الشمسية، على ارتفاع 25 كم ونصف قطر 312 كم. إذا كنت تقف على القمة، فما السرعة الأولية التي ستضطر بها لإطلاق قذيفة من مدفع أفقيًا لإزالة البركان والهبوط على سطح المريخ؟ لاحظ أن تسارع جاذبية المريخ يبلغ 3.7 م/ث 2.
    9. في عام 1999، كان روبي كنيفل أول من قفز في جراند كانيون على دراجة نارية. وفي جزء ضيق من الوادي (بعرض 69.0 مترًا) وانطلق لمسافة 35.8 متر/ثانية بعيدًا عن منحدر الإقلاع، وصل إلى الجانب الآخر. ما هي زاوية إطلاقه؟
    10. يمكنك رمي كرة بيسبول بسرعة أولية قدرها 15.0 م/ث بزاوية 30 درجة بالنسبة للأفقي. ما السرعة الأولية للكرة التي يجب أن تكون عند 30 درجة على كوكب تبلغ سرعته ضعف تسارع جاذبية الأرض لتحقيق نفس النطاق؟ ضع في اعتبارك الإطلاق والتأثير على سطح أفقي.
    11. يرمي آرون روجرز كرة قدم بسرعة ٢٠٫٠ م/ث إلى جهاز الاستقبال العريض الخاص به، الذي يجري بشكل مستقيم أسفل الملعب بسرعة ٩٫٤ م/ث، وإذا رمى آرون كرة القدم عندما يكون جهاز الاستقبال العريض أمامه ١٠٫٠ م، فما الزاوية التي يتعين على آرون أن يطلق الكرة عندها حتى يتمكن جهاز الاستقبال من الإمساك بها على مسافة ٢٠٫٠ م أمام آرون؟

    4.4 حركة دائرية موحدة

    1. تدور دولاب الموازنة بسرعة ٣٠ لفة/ثانية، ما الزاوية الكلية بالراديان التي تدور من خلالها نقطة على دولاب الموازنة خلال ٤٠ ثانية؟
    2. يتحرك جسم في دائرة نصف قطرها ١٠ أمتار بسرعة ثابتة مقدارها ٢٠ م/ث، ما مقدار العجلة؟
    3. يرمي كام نيوتن من كارولينا بانثرز حلزونية كرة قدم مثالية بسرعة 8.0 دورة/ثانية، ويبلغ نصف قطر كرة القدم الاحترافية 8.5 سم في منتصف الجانب القصير. ما هو التسارع المركزي لأربطة كرة القدم؟
    4. جولة في أرض المعارض تدور ركابها داخل حاوية على شكل صحن طائر. إذا كان المسار الدائري الأفقي الذي يتبعه الراكبون يبلغ نصف قطره ٨٫٠٠ م، فما عدد الدورات في الدقيقة التي يتعرض لها الراكبون لتسارع جاذبية مركزية يساوي تسارع الجاذبية؟
    5. يجب أن يركض العداء المشارك في لوحة القيادة لمسافة 200 متر حول نهاية المسار الذي يحتوي على قوس دائري نصف قطر انحنائه 30.0 مترًا، ويبدأ العداء السباق بسرعة ثابتة. إذا أكملت سباق 200 متر في 23.2 ثانية وركضت بسرعة ثابتة طوال السباق، فما مقدار التسارع المركزي أثناء قيامها بتشغيل الجزء المنحني من المسار؟
    6. ما مقدار تسارع كوكب الزهرة باتجاه الشمس بافتراض وجود مدار دائري؟
    7. ينتقل صاروخ نفاث تجريبي حول الأرض على طول خط الاستواء فوق سطحه مباشرةً. ما السرعة التي يجب أن تسير بها الطائرة إذا كان مقدار عجلتها g؟
    8. تدور المروحة بمعدل ثابت قدره 360.0 لفة/دقيقة. ما مقدار تسارع نقطة على إحدى شفراتها على بُعد ١٠٫٠ سم من محور الدوران؟
    9. النقطة الموجودة على اليد الثانية من الساعة الكبيرة لها تسارع شعاعي يبلغ 0.1 سم/ثانية 2. ما مدى بُعد النقطة عن محور دوران اليد الثانية؟

    4.5 الحركة النسبية في البعد الواحد والبعدين

    1. تظل محاور الإحداثيات للإطار المرجعي S ′ موازية لتلك الخاصة بـ S، حيث تتحرك S ′ بعيدًا عن S بسرعة ثابتة\(\vec{v}_{S′}\) = (4.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\) + 5.0\(\hat{k}\)) م/ث. (أ) إذا تزامنت الأصول في الوقت t = 0، فما هو موضع الأصل O′ في الإطار S كدالة للوقت ؟ (ب) كيف يرتبط موضع الجسيمات لـ\(\vec{r}\) (t) و\(\vec{r}′\) (t)، المقاسان في S وS′، على التوالي؟ (ج) ما هي العلاقة بين سرعات الجسيمات\(\vec{v}\) (t) و\(\vec{v}′\) (t)؟ (د) كيف ترتبط التسارعات\(\vec{a}\) (ر) و\(\vec{a}′\) (ر)؟
    2. تظل محاور الإحداثيات للإطار المرجعي S′ موازية لمحاور S، حيث يتحرك S ′ بعيدًا عن S بسرعة ثابتة\(\vec{v}_{S′S}\) = (1.0\(\hat{i}\) + 2.0\(\hat{j}\) + 3.0\(\hat{k}\)) t m/s. (a) إذا تزامنت الأصول في الوقت t = 0، فما موضع الأصل O′ في الإطار S كدالة للوقت؟ (ب) كيف يرتبط موضع الجسيمات لـ\(\vec{r}\) (t) و\(\vec{r}'\) (t)، المقاسان في S وS′، على التوالي؟ (ج) ما هي العلاقة بين سرعات الجسيمات\(\vec{v}\) (t) و\(\vec{v}'\) (t)؟ (د) كيف ترتبط التسارعات\(\vec{a}\) (ر) و\(\vec{a}'\) (ر)؟
    3. سرعة الجسم في الإطار المرجعي A هي (2.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\)) م/ث، وسرعة الإطار المرجعي A بالنسبة للإطار المرجعي B هي 4.0\(\hat{k}\) م/ث، وسرعة الإطار المرجعي B بالنسبة إلى C هي 2.0\(\hat{j}\) m/s. ما هي سرعة الجسيم المشار إليه؟ الإطار C؟
    4. تسقط قطرات المطر عموديًا بسرعة 4.5 متر/ثانية بالنسبة إلى الأرض. ماذا يقيس الراصد في سيارة تتحرَّك بسرعة ٢٢٫٠ م/ث في خط مستقيم سرعة قطرات المطر؟
    5. يمكن لطائر النورس أن يطير بسرعة ٩٫٠٠ م/ث في الهواء الساكن. (أ) إذا استغرق الطائر 20.0 دقيقة ليقطع مسافة 6.00 كم مباشرة في اتجاه الرياح القادمة، فما سرعة الرياح؟ (ب) إذا استدار الطائر وطار مع الريح، فما المدة التي سيستغرقها الطائر للعودة لمسافة 6.00 كم؟
    6. سفينة تبحر من روتردام متجهة نحو الشمال بسرعة ٧٫٠٠ م/ث بالنسبة إلى الماء. تيار المحيط المحلي هو 1.50 m/s في اتجاه 40.0° شمال الشرق. ما سرعة السفينة بالنسبة إلى الأرض؟
    7. يمكن تجديف القارب بسرعة 8.0 كم/ساعة في الماء الساكن. (أ) ما مقدار الوقت اللازم للتجديف لمسافة 1.5 كيلومتر في اتجاه مجرى النهر بسرعة 3.0 كم/ساعة مقارنة بالشاطئ؟ (ب) كم من الوقت مطلوب لرحلة العودة؟ (ج) في أي اتجاه يجب توجيه القارب نحو التجديف مباشرة عبر النهر؟ (د) لنفترض أن النهر يبلغ عرضه 0.8 كم. ما سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض وكم من الوقت يلزم للوصول إلى الشاطئ المقابل؟ (هـ) لنفترض، بدلاً من ذلك، أن القارب موجه مباشرة عبر النهر. ما مقدار الوقت المطلوب للعبور وما مدى بُعد المصب عند وصول القارب إلى الشاطئ المقابل؟
    8. طائرة صغيرة تطير بسرعة 200 كم/ساعة في الهواء الساكن. إذا هبت الرياح مباشرة من الغرب بسرعة 50 كم/ساعة، (أ) في أي اتجاه يجب على الطيار أن يقود طائرته للتحرك شمالًا مباشرة عبر الأرض و (ب) كم من الوقت يستغرق وصولها إلى نقطة 300 كم شمال نقطة البداية مباشرة؟
    9. يشعر درّاج متجه نحو الجنوب الشرقي على طول طريق بسرعة ١٥ كم/س برياح تهب من الجنوب الغربي بسرعة ٢٥ كم/ساعة، ما سرعة الرياح واتجاهها بالنسبة للمراقب الثابت؟
    10. يتحرك نهر شرقًا بسرعة ٤ م/ث، ويبدأ القارب من الرصيف متجهًا نحو ٣٠ درجة شمالًا غربًا بسرعة ٧ م/ث، فإذا كان عرض النهر ١٨٠٠ م، (أ) ما سرعة القارب بالنسبة للأرض، (ب) ما المدة التي يستغرقها القارب لعبور النهر؟

    مشاكل إضافية

    1. تسير سيارة سباق فورمولا 1 بسرعة ٨٩٫٠ م/ث على طول مسار مستقيم تدخل منعطفًا على مضمار السباق بنصف قطر انحنائه ٢٠٠.٠ م، فما التسارع المركزي الذي يجب على السيارة أن تبقى على المسار؟
    2. يتحرك جسم في مدار دائري نصف قطره ١٠ م، وتتغير سرعته بمعدل ١٥٫٠ م/ث ٢ في لحظة عندما تكون سرعته ٤٠٫٠ م/ث، ما مقدار تسارع الجسيم؟
    3. يضغط سائق سيارة تتحرَّك بسرعة ٩٠٫٠ كم/س على المكابح عندما تدخل السيارة في منحنى دائري نصف قطره ١٥٠٫٠ م، فإذا كانت سرعة السيارة تتناقص بمعدل ٩٫٠ كم/س كل ثانية، فما مقدار تسارع السيارة عند اللحظة التي تبلغ سرعتها ٦٠٫٠ كم/س؟
    4. تسقط سيارة سباق تدخل الجزء المنحني من المسار في دايتونا 500 سرعتها من ٨٥٫٠ م/ث إلى ٨٠٫٠ م/ث في ٢٫٠ ثانية، وإذا كان نصف قطر الجزء المنحني من المسار ٣١٦٫٠ مترًا، فاحسب التسارع الكلي لسيارة السباق في بداية ونهاية خفض السرعة.
    5. يقع الفيل على سطح الأرض عند خط عرض\(\lambda\). احسب التسارع المركزي للفيل الناتج عن دوران الأرض حول محورها القطبي. عبِّر عن إجابتك\(\lambda\) بدلالة نصف قطر الأرض RE والوقت T لدورة واحدة للأرض. قارن إجابتك بـ g لـ\(\lambda\) = 40 درجة.

    تم رسم الأرض وهي تدور حول المحور الرأسي الشمالي الجنوبي. يظهر خط الاستواء كدائرة أفقية على سطح الأرض، تتمركز حول مركز الأرض. تظهر دائرة ثانية على سطح الأرض، موازية لخط الاستواء ولكن شماله. تقع هذه الدائرة عند خط العرض لامدا، مما يعني أن الزاوية بين نصف القطر إلى هذه الدائرة وإلى خط الاستواء هي لامدا.

    1. يتحرَّك بروتون في سنكروترون في دائرة نصف قطرها ١ كم ويزيد سرعته بمقدار v (t) = c 1 + c 2 t 2، حيث c 1 = 2.0 x 10 5 m/s، c 2 = 10 5 m/s 3. (أ) ما التسارع الكلي للبروتون عند t = 5.0 s؟ (ب) في أي وقت يصبح التعبير عن السرعة غير فيزيائي؟
    2. تبدأ شفرة المروحة أثناء السكون في الدوران من t = 0 ثانية إلى t = 5.0 ثانية مع تسارع عرضي لطرف النصل بسرعة 3.00 m/s 2. يقع طرف النصل على بعد 1.5 متر من محور الدوران. عند t = 5.0 ثانية، ما التسارع الكلي لطرف النصل؟
    3. يُنفّذ جسيم حركة دائرية بتردد زاوي ثابت يساوي\(\omega\) = 4.00 راد/ثانية، إذا كان الوقت t = 0 يتوافق مع موضع الجسيم الموجود عند y = 0 m وx = 5 m، (a) ما موضع الجسيم عند t = 10 ثوانٍ؟ (ب) ما هي سرعته في هذا الوقت؟ (ج) ما هي سرعته؟
    4. التسارع المركزي للجسيم هو C = 4.0 m/s 2 عند t = 0 s حيث يكون على المحور السيني ويتحرك بعكس اتجاه عقارب الساعة في المستوى xy. وهي تنفِّذ حركة دائرية منتظمة حول محور على مسافة ٥٫٠ م، ما سرعته عند t = ١٠ ث؟
    5. يدور قضيب طوله ٣٫٠ م بسرعة ٢٫٠ لفة/ثانية حول محور في أحد طرفيه. قارن التسارع المركزي عند أنصاف أقطار (أ) 1.0 م، (ب) 2.0 م، (ج) 3.0 م.
    6. جسم يقع مبدئيًا على مسافة (١٫٥\(\hat{j}\) + ٤.٠\(\hat{k}\)) م يتعرض لإزاحة مقدارها (\(\hat{i}\)٢٥+ ٣٫٢\(\hat{j}\) − ١٫٢\(\hat{k}\)) م، ما الموضع النهائي للجسيم؟
    7. يُعطى موضع الجسيم بواسطة\(\vec{r}\) (t) = (50 م/ث) t\(\hat{i}\) − (4.9 م/ث 2) t 2\(\hat{j}\). (أ) ما هي سرعة الجسيم وتسارعه كدالة للوقت؟ (ب) ما هي الشروط الأولية لتقديم الاقتراح؟
    8. تتحرَّك سفينة فضائية بسرعة ثابتة مقدارها\(\vec{v}\) (t) = 250.0\(\hat{i}\) m/s عند إطلاق صواريخها، مما يُعطيها تسارعًا مقداره\(\vec{a}\) (t) = (3.0\(\vec{i}\) + 4.0\(\hat{k}\)) م/ث 2. ما سرعتها بعد ٥ ثوانٍ من إطلاق الصواريخ؟
    9. يتم توجيه القوس والنشاب أفقيًا إلى هدف على بعد 40 مترًا. يصل السهم إلى مسافة 30 سم تحت المكان الذي تم استهدافه إليه. ما السرعة الأولية للسهم؟
    10. يمكن للطائر الطويل أن يقفز لمسافة 8.0 متر عندما يقلع بزاوية 45 درجة بالنسبة للأفقي. بافتراض قدرته على القفز بنفس السرعة الأولية في جميع الزوايا، ما مقدار المسافة التي يخسرها بالإقلاع عند 30 درجة؟
    11. على كوكب Arcon، يبلغ أقصى مدى أفقي لمقذوف أُطلق بسرعة ١٠ م/ث ٢٠ م، ما تسارع الجاذبية على هذا الكوكب؟
    12. يواجه راكب الدراجة الجبلية قفزة في مسار سباق تدفعه إلى الهواء بزاوية 60 درجة في الاتجاه الأفقي. إذا هبط على مسافة أفقية مقدارها ٤٥٫٠ م و٢٠ مترًا تحت نقطة الإطلاق، فما سرعته الأولية؟
    13. ما التسارع المركزي الأكبر، سيارة بسرعة ١٥٫٠ م/ث على طول مسار دائري نصف قطره ١٠٠٫٠ م، أو سيارة بسرعة ١٢٫٠ م/ث على طول مسار دائري نصف قطره ٧٥٫٠ م؟
    14. يدور ساتل متزامن مع الأرض حول الأرض على مسافة 42,250.0 كم وتبلغ فترته يومًا واحدًا. ما التسارع المركزي للقمر الصناعي؟
    15. يسير زورقان سريعان بنفس السرعة بالنسبة للمياه في اتجاهين متعاكسين في نهر متحرك. يرى راصد على ضفة النهر القوارب تتحرك بسرعة ٤٫٠ م/ث و٥٫٠ م/ث. (أ) ما سرعة القوارب بالنسبة للنهر؟ (ب) ما مدى سرعة تحرك النهر بالنسبة للشاطئ؟

    مشاكل التحدي

    1. أطول حديقة في العالم 3. تقع نقطة الإنطلاق في أطول حديقة 3 في العالم على قمة جبل هانجليب في جنوب إفريقيا على ارتفاع 400.0 متر فوق المنطقة الخضراء ولا يمكن الوصول إليها إلا بطائرة هليكوبتر. المسافة الأفقية إلى اللون الأخضر هي 359.0 مترًا، مع إهمال مقاومة الهواء والإجابة على الأسئلة التالية. (أ) إذا أطلق لاعب غولف طلقة مقدارها 40 درجة بالنسبة للأفقي، فما السرعة الأولية التي يجب أن تعطيها الكرة؟ (ب) ما هو الوقت المناسب للوصول إلى اللون الأخضر؟
    2. عندما يقوم كيكر الأهداف الميدانية بركل كرة قدم بأقصى ما يمكنه في وضع أفقي بزاوية 45 درجة، فإن الكرة تزيل العارضة التي يبلغ ارتفاعها 3 أمتار في مرمى المرمى على بعد 45.7 مترًا. (أ) ما هي السرعة القصوى التي يمكن للكيكر نقلها إلى كرة القدم؟ (ب) بالإضافة إلى إزالة العارضة، يجب أن تكون كرة القدم مرتفعة بما يكفي في الهواء في وقت مبكر أثناء طيرانها لتمهيد الطريق أمام الحارس الدفاعي المتهور. إذا كان عامل الخط على بُعد 4.6 مترًا وكان مداه الرأسي 2.5 مترًا، فهل يمكنه منع محاولة تحقيق الهدف الميداني لمسافة 45.7 مترًا؟ (ج) ماذا لو كان عامل الخط على بعد متر واحد؟

    يظهر المسار المكافئ لكرة القدم. يقوم اللاعب برفعه لأعلى ولليمين بزاوية ثيتا على المستوى الأفقي. لاعب آخر على يمينه يقفز لأعلى ولكن لا يصل تمامًا إلى المسار. يمر المسار عبر نقاط المرمى على يمين كلا اللاعبين.

    1. تسير شاحنة شرقًا بسرعة ٨٠ كم/س، وعند تقاطع أمامي يبلغ ٣٢ كم، تسير سيارة شمالًا بسرعة ٥٠ كم/ساعة. (أ) كم من الوقت ستكون المركبات أقرب إلى بعضها البعض بعد هذه اللحظة؟ (ب) إلى أي مدى ستكون المسافة بينهما في تلك المرحلة؟

    المساهمون والصفات

    Template:ContribOpenStaxUni