4.3: ناقل التسارع

Last updated
Save as PDF

Page ID: 200022

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

احسب متجه التسارع بمعلومية دالة السرعة في رمز متجه الوحدة.
وصف حركة جسم ذي تسارع ثابت في ثلاثة أبعاد.
استخدم معادلات الحركة أحادية البعد على المحاور العمودية لحل مشكلة في بعدين أو ثلاثة مع تسارع ثابت.
عبِّر عن التسارع في ترميز متجه الوحدة.

تسريع فوري

بالإضافة إلى الحصول على متجهات الإزاحة والسرعة لجسم متحرك، نرغب غالبًا في معرفة متجه التسارع في أي وقت على طول مساره. متجه التسارع هذا هو التسارع اللحظي ويمكن الحصول عليه من المشتق فيما يتعلق بوقت دالة السرعة، كما رأينا في الفصل السابق. والفرق الوحيد في بعدين أو ثلاثة هو أن هذه هي الآن كميات متجهة. عند أخذ المشتق فيما يتعلق بالوقت$\vec{v}$ (t)، نجد

\[\vec{a} (t) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\vec{v} (t + \Delta t) - \vec{v} (t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v} (t)}{dt} \ldotp \label{4.8}\]

التسارع من حيث المكونات هو

\[\vec{a} (t) = \frac{dv_{x} (t)}{dt}\; \hat{i} + \frac{dv_{y} (t)}{dt}\; \hat{j} + \frac{dv_{z} (t)}{dt}\; \hat{k} \ldotp \label{4.9}\]

أيضًا، نظرًا لأن السرعة هي مشتقة من دالة الموضع، يمكننا كتابة التسارع بدلالة المشتق الثاني لدالة الموضع:

\[\vec{a} (t) = \frac{d^{2} x(t)}{dt^{2}}\; \hat{i} + \frac{d^{2} y(t)}{dt^{2}}\; \hat{j} + \frac{d^{2} z(t)}{dt^{2}}\; \hat{k} \ldotp \label{4.10}\]

مثال 4.4: العثور على متجه التسارع

سرعة الجسيم هي$\vec{v} (t) = 5.0t \hat{i} + t^2 \hat{j} − 2.0t^3 \hat{k}\, m/s$.

ما وظيفة التسارع؟
ما متجه التسارع عند t = 2.0 ثانية؟ أوجد حجمه واتجاهه.

الحل

نأخذ المشتق الأول فيما يتعلق بوقت دالة السرعة لإيجاد العجلة. يتم أخذ المشتق مكونًا حسب المكون:\[\vec{a} (t) = 5.0\; \hat{i} + 2.0t\; \hat{j} - 6.0t^{2}\; \hat{k}\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]
$\vec{a} (2.0\; s) = 5.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j} - 24.0 \hat{k} \, m/s^2$يعطينا التقييم الاتجاه في ترميز متجه الوحدة. حجم التسارع هو\[|\vec{a} (2.20\; s)| = \sqrt{5.0^{2} + 4.0^{2} + (-24.0)^{2}} = 24.8\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]

الأهمية

في هذا المثال نجد أن التسارع يعتمد على الوقت ويتغير طوال الحركة. لننظر في دالة سرعة مختلفة للجسيم.

مثال 4.5: إيجاد تسارع الجسيمات

للجسيم وظيفة موضعية:$\vec{r} (t) = (10t − t^2) \hat{i} + 5t \hat{j} + 5t \hat{k} \,m$.

ما السرعة؟
ما هو التسارع؟
وصف الحركة من$t = 0\, s$.

إستراتيجية

يمكننا الحصول على نظرة ثاقبة للمشكلة من خلال النظر إلى وظيفة الموضع. وهي خطية في y و z، لذلك نعرف أن التسارع في هذه الاتجاهات يساوي صفرًا عندما نأخذ المشتق الثاني. لاحظ أيضًا أن الموضع في الاتجاه x هو صفر لـ t = 0 ثانية و t = 10 ثوانٍ.

الحل

عند أخذ المشتق فيما يتعلق بوقت دالة الموضع، نجد$\vec{v} (t) = (10 − 2t) \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k}\, m/s$. دالة السرعة خطية في الوقت المناسب في اتجاه x وثابتة في الاتجاهين y و z.
بأخذ مشتق دالة السرعة، نجد\[\vec{a}(t) = −2\; \hat{i} \,m/s^{2} \ldotp \nonumber\] أن متجه التسارع ثابت في اتجاه x السالب.
يمكن رؤية مسار الجسيم في الشكل$\PageIndex{1}$. دعونا ننظر في الاتجاهين y و z أولاً. يزداد موضع الجسيم بشكل مطرد كدالة للوقت مع سرعة ثابتة في هذه الاتجاهات. ولكن في الاتجاه x، يتبع الجسيم مسارًا في اتجاه x الموجب حتى t = 5 s، عندما يعكس الاتجاه. نحن نعرف ذلك من خلال النظر إلى دالة السرعة، التي تصبح صفرًا في هذا الوقت وسالبة بعد ذلك. نحن نعلم هذا أيضًا لأن التسارع سلبي وثابت - بمعنى أن الجسيم يتباطأ أو يتسارع في الاتجاه السلبي. يصل موضع الجسيم إلى 25 مترًا، حيث يعكس الاتجاه ويبدأ بالتسارع في اتجاه x السالب. يصل الموضع إلى الصفر عند t = 10 ثوانٍ.

يظهر نظام إحداثيات x y z. تعرض جميع المحاور المسافة بالأمتار وتمتد من -50 إلى 50 مترًا. تظهر سلسلة من 10 نقاط حمراء، مع تسمية النقطة السادسة بـ t = 6 s والعاشرة كـ t = 10 ثوانٍ، وتبدأ السلسلة الحمراء من النقاط عند نقطة الأصل وتنحني لأعلى (تزداد كلًا من y و z بمرور الوقت). تربط الخطوط العمودية المتقطعة النقاط الحمراء بسلسلة من النقاط الزرقاء في المستوى x y. النقاط الزرقاء كلها في الربع الأول (الإيجابية x و y). يتم تباعد النقاط بانتظام على طول الإحداثيات y، بينما يبدأ الإحداثي x عند 0، ويزيد، ويصل إلى حد أقصى x = 25 م عند t = 5، ثم ينخفض مرة أخرى إلى x = 0 عند t 10 ثانية. — الشكل$\PageIndex{1}$: يبدأ الجسيم عند النقطة (x، y، z) = (0، 0، 0) مع متجه الموضع$\vec{r}$ = 0. يتم عرض إسقاط المسار على الطائرة xy. تزداد قيم y و z خطيًا كدالة للوقت، في حين أن x لها نقطة تحول عند t = 5 s و 25 m، عندما تعكس الاتجاه. عند هذه النقطة، يصبح المكون x للسرعة سالبًا. عند t = 10 ثوانٍ، يعود الجسيم إلى 0 m في الاتجاه x.

التمرين 4.2

لنفترض أن دالة التسارع لها الشكل$\vec{a}$ (t) = a$\hat{i}$ + b$\hat{j}$ + c$\hat{k}$ m/s ²، حيث a و b و c هي ثوابت. ماذا يمكن أن يقال عن الشكل الوظيفي لدالة السرعة؟

تسريع مستمر

يمكن معالجة الحركة متعددة الأبعاد ذات التسارع المستمر بنفس الطريقة كما هو موضح في الفصل السابق للحركة أحادية البعد. لقد أوضحنا سابقًا أن الحركة ثلاثية الأبعاد تعادل ثلاث حركات أحادية البعد، كل منها على محور عمودي على الآخر. لتطوير المعادلات ذات الصلة في كل اتجاه، دعونا ننظر في المشكلة ثنائية الأبعاد لجسيم يتحرك في المستوى xy مع تسارع مستمر، متجاهلاً المكون z في الوقت الحالي. ناقل التسارع هو

\[\vec{a} = a_{0x}\; \hat{i} + a_{0y}\; \hat{j} \ldotp\]

يحتوي كل مكون من مكونات الحركة على مجموعة منفصلة من المعادلات المشابهة للمعادلة 3.10—المعادلة 3.14 من الفصل السابق عن الحركة أحادية البعد. نعرض فقط معادلات الموضع والسرعة في الاتجاهين x- و y. يمكن كتابة مجموعة مماثلة من المعادلات الحركية للحركة في اتجاه z:

\[x(t) = x_{0} + (v_{x})_{avg} t \label{4.11}\]

\[v_{x}(t) = v_{0x} + a_{x}t \label{4.12}\]

\[x(t) = x_{0} + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} \label{4.13}\]

\[v_{x}^{2} (t) = v_{0x}^{2} + 2a_{x}(x − x_{0}) \label{4.14}\]

\[y(t) = y_{0} + (v_{y})_{avg} t \label{4.15}\]

\[v_{y}(t) = v_{0y} + a_{y} t \label{4.16}\]

\[y(t) = y_{0} + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \label{4.17}\]

\[v_{y}^{2} (t) = v_{0y}^{2} + 2a_{y}(y − y_{0}) \ldotp \label{4.18}\]

هنا يشير النص المنخفض 0 إلى الموضع الأولي أو السرعة. يمكن استبدال المعادلة\ ref {4.11} إلى\ ref {4.18} بالمعادلة 4.2 والمعادلة 4.5 بدون المكون z للحصول على متجه الموضع ومتجه السرعة كدالة للوقت في بعدين:

\[\vec{r} (t) = x(t)\; \hat{i} + y(t)\; \hat{j}\]

\[\vec{v} (t) = v_{x} (t)\; \hat{i} + v_{y} (t)\; \hat{j} \ldotp\]

يوضح المثال التالي الاستخدام العملي للمعادلات الحركية في بعدين.

مثال 4.6: متزلج

$\PageIndex{2}$يوضِّح الشكل متزلجًا يتحرَّك بسرعة ٢٫١ م/ث ^٢ نزولًا على منحدر مقداره ١٥ درجة عند t = ٠. مع أصل نظام الإحداثيات في الجزء الأمامي من النزل، فإن موقعها الأولي وسرعتها هما

\[\vec{r} (0) = (7.50\; \hat{i} - 50.0\; \hat{j}) m \nonumber\]

\[\vec{v} (0) = (4.1\; \hat{i} - 1.1\; \hat{j}) m/s \nonumber\]

ما المكونان x- و y لموضع المتزلج وسرعته كدالتين للوقت؟
ما موضعها وسرعتها عند t = 10.0 ث؟

يتم عرض رسم توضيحي للمتزلج في نظام إحداثيات x y. يتحرك المتزلج على طول خط يقل بمقدار 15 درجة عن الاتجاه الأفقي x وتسارعه a = 2.1 متر في الثانية مربّعًا وموجهًا أيضًا في اتجاه حركته. يتم تمثيل التسارع كسهم أرجواني. — الشكل$\PageIndex{2}$: تسارع متزلج يبلغ ٢٫١ م/ث ^{٢ هبوطًا} على منحدر مقداره ١٥ درجة. أصل نظام الإحداثيات موجود في نزل التزلج.

إستراتيجية

نظرًا لأننا نقوم بتقييم مكونات معادلات الحركة في الاتجاهين x و y، فإننا نحتاج إلى إيجاد مكونات العجلة ووضعها في المعادلات الحركية. تم العثور على مكونات التسارع بالرجوع إلى نظام الإحداثيات في الشكل$\PageIndex{2}$. ثم، عن طريق إدخال مكونات الموضع الأولي والسرعة في معادلات الحركة، يمكننا حل موضعها وسرعتها في وقت لاحق t.

الحل

أصل نظام الإحداثيات هو أعلى التل مع محور y عموديًا لأعلى والمحور السيني أفقيًا. من خلال النظر إلى مسار المتزلج، يكون المكون x في التسارع موجبًا ومكون y سالبًا. نظرًا لأن الزاوية هي 15 درجة أسفل المنحدر، نجد $a_ {x} = (2.1\؛ م/s^ {2})\ cos (15^ {o}) = 2.0\؛ م/s^ {2} $$a_ {y} = (−2.1\؛ م/s^ {2})\ sin (15^ {o}) = −0.54\؛ م/s^ {2}\ ldotp $$ بإدخال الموضع الأولي والسرعة في المعادلات\ ref {4.12} و\ ref {4.13} لـ x، لدينا $x (t) = 75.0\; m + (4.1\; m/s) t +\ frac {1 } {2} (2.0\; م/s^ {2}) t^ {2} $$$$v_ {x} (t) = 4.1\; m/s + (2.0\; م/s ^ {2}) t\ ldotp$$ بالنسبة لي، لدينا $y (t) = -50.0.0\ m+ (-1.1\؛ م/ث) t\\ frac {1} {2} (-0.54\; m/s^ {2}) t^ {2} $$$$v_ {y} (t) = -1.1\; م/ث + (-0.54\; م/s ^ {2}) t\ ldotp $$
الآن لدينا معادلات الحركة لـ x و y كدالات للوقت، يمكننا تقييمها عند t = 10.0 ثانية: $x (10.0\; s) = 75.0\; m + (4.1\; م/ث) (10.0\; s) +\ frac {1} {2} {2} (2.0\; م/s^ {2}) (10.0\; s) ^ {2} = 216.0\; m$$$ v_ {x} (10.0\; s) = 4.1\; م/ث + (2.0\; م/ث^ {2}) (10.0\; s) = 24.1\; م/ثانية $$$Y (10.0) = -50.0.0\; m+ (-1.1\; م/ث) (10.0\; s) +\ frac {1} {2} (-0.54\; م/ث^ {2}) (10.0\; s) ^ {2} $$$v_ {y} (10.0\; s) = -1.1\; م/ثانية + (-0.54\; م/ثانية) (10.0\; s)\ ldotp$$ الموضع و السرعة عند t = 10.0 ثانية هي، أخيرًا $$\ vec {r} (10.0\؛ s) = (216.0\؛\ قبعة {i} - 88.0\؛\ قبعة {j}) m$$ $\ vec {v} (10.0\؛ s) = (24.1\؛\ قبعة {i} - 6.5\؛\ قبعة {j}؛\ قبعة {j} ) m/s\ ldotp$$ مقدار سرعة المتزلج عند ١٠٫٠ ث يساوي ٢٥ م/ث، أي ٦٠ ميل/ساعة.

الأهمية

من المفيد معرفة أنه، بالنظر إلى الظروف الأولية لموضع الجسم وسرعته وتسارعه، يمكننا العثور على موضع الجسم وسرعته والتسارع في أي وقت لاحق.

باستخدام المعادلات\ ref {4.8} -\ ref {4.10} أكملنا مجموعة التعبيرات لموضع وسرعة وتسارع جسم يتحرك في بعدين أو ثلاثة أبعاد. إذا كانت مسارات الكائنات تشبه «الأسهم الحمراء» في الصورة الافتتاحية للفصل، فقد تكون تعبيرات الموضع والسرعة والتسارع معقدة للغاية. في الأقسام التالية، ندرس حالتين خاصتين للحركة في بعدين وثلاثة أبعاد من خلال النظر إلى حركة المقذوفات والحركة الدائرية.

محاكاة

في هذا الموقع الإلكتروني لجامعة كولورادو بولدر، يمكنك استكشاف سرعة الموقع وتسارع الخنفساء من خلال محاكاة تفاعلية تسمح لك بتغيير هذه المعلمات.