Skip to main content
Global

2.E: المتجهات (التمارين)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199896

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أسئلة مفاهيمية

    2.1 الأرقام القياسية والمتجهات

    1. تشير توقعات الطقس إلى أنه من المتوقع أن تكون درجة الحرارة -5 درجة مئوية في اليوم التالي. هل درجة الحرارة هذه متجهة أم كمية قياسية؟ اشرح.
    2. أي مما يلي يمثل متجهًا: ارتفاع الشخص، الارتفاع على جبل. قمة إيفرست، سرعة الذبابة، عمر الأرض، نقطة غليان الماء، تكلفة الكتاب، عدد سكان الأرض، أو تسارع الجاذبية؟
    3. أعط مثالًا محددًا للمتجه، مع ذكر حجمه ووحداته واتجاهه.
    4. ما الذي تشترك فيه النواقل والقياسات؟ كيف تختلف؟
    5. لنفترض أنك أضفت متجهين\(\vec{A}\) و\(\vec{B}\). ما الاتجاه النسبي بينهما الذي يُنتج الناتج بأكبر قدر؟ ما الحد الأقصى للحجم؟ ما الاتجاه النسبي بينهما الذي ينتج الناتج بأصغر حجم؟ ما الحد الأدنى للحجم؟
    6. هل من الممكن إضافة كمية قياسية إلى كمية متجهة؟
    7. هل من الممكن لمتجهين بمقادير مختلفة أن يضيفا إلى الصفر؟ هل يمكن إضافة ثلاثة متجهات بمقادير مختلفة إلى الصفر؟ اشرح.
    8. هل يشير عداد المسافات في السيارة إلى كمية قياسية أو كمية متجهة؟
    9. عندما يعبر عداء يبلغ طوله 10,000 متر ويتنافس على مضمار طوله 400 متر خط النهاية، ما هي الإزاحة الصافية للعداء؟ هل يمكن أن يكون هذا النزوح صفرًا؟ اشرح.
    10. المتجه له حجم صفر. هل من الضروري تحديد اتجاهها؟ اشرح.
    11. هل يمكن أن يكون حجم المتجه سالبًا؟
    12. هل يمكن أن يكون حجم إزاحة الجسيم أكبر من المسافة المقطوعة؟
    13. إذا تساوى متجهان، ماذا يمكنك أن تقول عن مكوناتهما؟ ماذا يمكنك أن تقول عن مقاييسها؟ ماذا يمكنك أن تقول عن توجيهاتهم؟
    14. إذا كان مجموع المتجهات الثلاثة صفرًا، فما الحالة الهندسية التي تلبيها؟

    2.2 أنظمة الإحداثيات ومكونات المتجه

    1. أعط مثالاً للمتجه غير الصفري الذي يحتوي على مكون صفر.
    2. اشرح لماذا لا يمكن للمتجه أن يحتوي على مكون أكبر من حجمه الخاص.
    3. إذا تساوى متجهان، ماذا يمكنك أن تقول عن مكوناتهما؟
    4. إذا كانت المتجهات\(\vec{B}\) متعامدة\(\vec{A}\) ومتعامدة، فما مكوِّن\(\vec{B}\) طول الاتجاه\(\vec{A}\)؟ ما مكوِّن\(\vec{A}\) طول الاتجاه\(\vec{B}\)؟
    5. إذا لم يكن أحد مكوني المتجه صفرًا، فهل يمكن أن يكون حجم المكون المتجه الآخر لهذا المتجه صفرًا؟
    6. إذا كان هناك متجهان لهما نفس المقدار، فهل يجب أن تكون مكوناتهما متماثلة؟

    2.4 منتجات المتجهات

    1. ما الخطأ في التعبيرات التالية؟ كيف يمكنك تصحيحها؟
      1. \(C = \vec{A} \vec{B}\)،
      2. \(\vec{C} = \vec{A} \vec{B}\)،
      3. \(C = \vec{A} \times \vec{B}\)،
      4. \(C = A \vec{B}\)،
      5. \(C + 2 \vec{A} = B \)،
      6. \(\vec{C} = A \times \vec{B}\)،
      7. \(\vec{A} \cdotp \vec{B} = \vec{A} \times \vec{B}\)،
      8. \(\vec{C} = 2 \vec{A} \cdotp \vec{B}\)،
      9. \(C = \vec{A} / \vec{B}\)، و
      10. \(C = \vec{A} /B\).
    2. إذا اختفى المنتج المتقاطع لمتجهين، فماذا يمكنك أن تقول عن اتجاهاتهما؟
    3. إذا اختفى المنتج النقطي لمتجهين، فماذا يمكنك أن تقول عن اتجاهاتهما؟
    4. ما المنتج النقطي للمتجه مع المنتج المتقاطع الذي يحتويه هذا المتجه مع متجه آخر؟

    مشاكل

    2.1 الأرقام القياسية والمتجهات

    1. يقوم غواص السكوبا بالنزول ببطء إلى أعماق المحيط. يتغير موقعه الرأسي فيما يتعلق بالقارب على السطح عدة مرات. يقوم بالتوقف الأول على بعد 9.0 أمتار من القارب ولكنه يواجه مشكلة في معادلة الضغط، لذلك صعد لمسافة 3.0 مترًا ثم يستمر في الهبوط لمسافة 12.0 مترًا أخرى حتى المحطة الثانية. من هناك، يصعد لمسافة 4 أمتار ثم ينزل لمسافة 18.0 مترًا، ويصعد مرة أخرى لمسافة 7 أمتار وينزل مرة أخرى لمسافة 24.0 مترًا، حيث يتوقف في انتظار صديقه. بافتراض الاتجاه الموجب حتى السطح، عبِّر عن متجه الإزاحة الرأسية الصافي بدلالة متجه الوحدة. ما هي المسافة التي تفصله عن القارب؟
    2. في لعبة شد الحبل في أحد الجامعات، يقوم 15 طالبًا بسحب حبل من كلا الطرفين في محاولة لإزاحة العقدة المركزية إلى جانب أو آخر. يسحب طالبان بقوة 196 نيوتن لكل منهما إلى اليمين، وأربعة طلاب يسحبون بقوة 98 نيوتن لكل منهم إلى اليسار، وخمسة طلاب يسحبون بقوة 62 نيوتن لكل منهم إلى اليسار، وثلاثة طلاب يسحبون بقوة 150 نيوتن لكل منهم إلى اليمين، ويسحب طالب واحد بقوة 250 نيوتن إلى اليسار. بافتراض الاتجاه الموجب إلى اليمين، عبِّر عن سحب الشبكة على العقدة بدلالة متجه الوحدة. ما هو حجم الشد الصافي على العقدة؟ في أي اتجاه؟
    3. لنفترض أنك مشيت 18.0 مترًا بشكل مستقيم غربًا ثم 25.0 مترًا شمالًا بشكل مستقيم. ما مدى بعدك عن نقطة البداية وما هو اتجاه بوصلة الخط الذي يربط نقطة البداية بموضعك النهائي؟ استخدم طريقة رسومية.
    4. بالنسبة للمتجهات الواردة في الشكل التالي، استخدم طريقة رسومية للعثور على النتائج التالية:
      1. \(\vec{A} + \vec{B}\)،
      2. \(\vec{C} + \vec{B}\)،
      3. \(\vec{D} + \vec{F}\)،
      4. \(\vec{A} − \vec{B}\)،
      5. \(\vec{D} − \vec{F}\)،
      6. \(\vec{A} + 2 \vec{F}\)،
      7. \(\vec{A} − 4 \vec{D} + 2 \vec{F}\).

    يظهر نظام الإحداثيات x y، مع x الموجب إلى اليمين والإيجابي y لأعلى. تبلغ قيمة المتجه A 10.0 ويصنع زاوية قدرها 30 درجة فوق اتجاه x الموجب. تبلغ قيمة المتجه B 5.0 ويصنع زاوية قدرها 53 درجة فوق اتجاه x الموجب. تبلغ قيمة المتجه C 12.0 ويصنع زاوية مقدارها 60 درجة تحت اتجاه x الموجب. تبلغ قيمة المتجه D 20.0 ويصنع زاوية قدرها 37 درجة فوق اتجاه x السالب. تبلغ قيمة المتجه F 20.0 ويصنع زاوية مقدارها 30 درجة تحت اتجاه x السالب.

    1. يبدأ عامل التوصيل من مكتب البريد، ويقود مسافة 40 كم شمالًا، ثم 20 كيلومترًا غربًا، ثم 60 كيلومترًا شمال شرق، وأخيرًا 50 كيلومترًا شمالًا للتوقف لتناول طعام الغداء. استخدم طريقة رسومية للعثور على متجه الإزاحة الصافي الخاص به.
    2. يبتعد الكلب المغامر عن المنزل، ويركض ثلاث بنايات شرقًا، وكتلتين شمالًا، وكتلة واحدة شرقًا، وكتلة واحدة شمالًا، وكتلتين غربًا. إذا افترضنا أن كل كتلة تساوي ١٠٠ متر تقريبًا، فما مدى بُعد الكلب عن المنزل وفي أي اتجاه؟ استخدم طريقة رسومية.
    3. في محاولة للهروب من جزيرة صحراوية، يقوم أحد المنبوذين ببناء طوف وانطلاق إلى البحر. تتغير الرياح بشكل كبير خلال النهار وتهب في الاتجاهات التالية: 2.50 كم و 45.0 درجة شمال الغرب، ثم 4.70 كم و 60.0 درجة جنوب الشرق، ثم 1.30 كم و 25.0 درجة جنوب الغرب، ثم 5.10 كم شرقًا بشكل مستقيم، ثم 1.70 كم و 5.00 درجة شرق الشمال، ثم 7.20 كم و 55.0 درجة جنوب الغرب، و أخيرًا 2.80 كم و 10.0 درجة شمال الشرق. استخدم طريقة رسومية للعثور على الموضع النهائي للمنبوذ بالنسبة للجزيرة.
    4. تطير طائرة صغيرة مسافة ٤٠٫٠ كم في اتجاه ٦٠ درجة شمال الشرق، ثم تطير مسافة ٣٠٫٠ كم في اتجاه ١٥° شمال الشرق. استخدم طريقة رسومية للعثور على المسافة الإجمالية التي تغطيها الطائرة من نقطة البداية واتجاه المسار إلى الموضع النهائي.
    5. يمشي صياد لمسافة 5.0 كم في خط مستقيم من مقصورته إلى البحيرة، كما هو موضح في الشكل التالي. استخدم طريقة رسومية (قاعدة متوازي الأضلاع) لتحديد نزوح الصياد مباشرة إلى الشرق والإزاحة مباشرة إلى الشمال التي تصل إلى متجه الإزاحة الناتج. إذا كان الصياد يسير فقط في الاتجاهين الشرقي والشمالي، متعرجًا في طريقه إلى البحيرة، فكم عدد الكيلومترات التي سيتعين عليه السير فيها للوصول إلى البحيرة؟

    الشمال هو الأعلى، الشرق إلى اليمين. يتم عرض منزل وبحيرة. يظهر نظام الإحداثيات x y أيضًا، حيث يكون الأصل بالقرب من المنزل، والاتجاه x الموجب إلى اليمين، والاتجاه y الموجب لأعلى. يظهر المتجه من المنزل إلى البحيرة في صورة سهم أحمر مستقيم، مُسمى بالمتجه S، وحجم S = 5.0 كيلومتر، وبزاوية 40 درجة فوق الاتجاه x الموجب. يظهر مسارين متعرجين، المسار 1 والمسار 2، من المنزل إلى البحيرة كخط متقطع.

    1. يقيس المساح المسافة عبر النهر الذي يتدفق شمالًا مباشرة بالطريقة التالية. بدءًا من شجرة على الضفة المقابلة مباشرةً، يمشي المساح لمسافة 100 متر على طول النهر لإنشاء خط أساس. ثم تنظر إلى الشجرة وتقول إن الزاوية من خط الأساس إلى الشجرة هي 35 درجة. ما مدى اتساع النهر؟
    2. يمشي أحد المشاة على بعد 6.0 كم شرقًا ثم 13.0 كم شمالًا. استخدم طريقة رسومية للعثور على الإزاحة الناتجة للمشاة والاتجاه الجغرافي.
    3. مقادير متجه الإزاحة هما A = 20 m و B = 6 m، ما أكبر وأصغر قيم لحجم الناتج\(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\)؟

    2.2 أنظمة الإحداثيات ومكونات المتجه

    1. بافتراض أن المحور +x أفقي ويشير إلى اليمين، قم بحل المتجهات المعطاة في الشكل التالي لمكوناتها العددية وعبّر عنها في شكل مكون متجه.

    يظهر نظام الإحداثيات x y، مع x الموجب إلى اليمين والإيجابي y لأعلى. تبلغ قيمة المتجه A 10.0 ويصنع زاوية قدرها 30 درجة فوق اتجاه x الموجب. تبلغ قيمة المتجه B 5.0 ويصنع زاوية قدرها 53 درجة فوق اتجاه x الموجب. تبلغ قيمة المتجه C 12.0 ويصنع زاوية مقدارها 60 درجة تحت اتجاه x الموجب. تبلغ قيمة المتجه D 20.0 ويصنع زاوية قدرها 37 درجة فوق اتجاه x السالب. تبلغ قيمة المتجه F 20.0 ويصنع زاوية مقدارها 30 درجة تحت اتجاه x السالب.

    1. لنفترض أنك مشيت 18.0 مترًا بشكل مستقيم غربًا ثم 25.0 مترًا شمالًا بشكل مستقيم. كم تبعد عن نقطة البداية؟ ما هو ناقل النزوح الخاص بك؟ ما هو اتجاه نزوحك؟ افترض أن المحور +x يقع في الشرق.
    2. تقود سيارتك لمسافة 7.50 كم في خط مستقيم في اتجاه 15° شرق الشمال. (أ) ابحث عن المسافات التي يجب عليك قيادتها مباشرة شرقًا ثم شمالًا للوصول إلى نفس النقطة. (ب) أظهر أنك لا تزال تصل إلى نفس النقطة إذا تم عكس الأرجل الشرقية والشمالية بالترتيب. افترض أن المحور +x يقع في الشرق.
    3. يتم سحب زلاجة بواسطة حصانين على أرض مستوية. يمكن التعبير عن القوة الكلية على الزلاجة في نظام الإحداثيات الديكارتية كمتجه\(\vec{F}\) = (−2980.0\(\hat{i}\) + 8200.0\(\hat{j}\)) N، حيث\(\hat{i}\)\(\hat{j}\) تشير إلى الاتجاهات إلى الشرق والشمال، على التوالي. أوجد مقدار السحب واتجاهه.
    4. تسير صيّادة لمسافة 5.0 كم في خط مستقيم من مقصورتها إلى البحيرة، كما هو موضح في الشكل التالي. حدد المكونات الشرقية والشمالية لناقل النزوح الخاص بها. كم عدد الكيلومترات الإضافية التي ستضطر إلى قطعها إذا سارت على طول عمليات التهجير المكونة؟ ما هو ناقل نزوحها؟

    المتجه من المقصورة إلى البحيرة هو المتجه S، بقوة 5.0 كيلومتر ويشير إلى 40 درجة شمال الشرق. يتم عرض مسارين متعرجين إضافيين ويتم تسميتهما المسار 1 والمسار 2.

    1. الإحداثيات القطبية لنقطة هي\(\frac{4 \pi}{3}\) و٥٫٥٠ م، ما هي إحداثياتها الكارتيزية؟
    2. تحتوي نقطتان في طائرة على الإحداثيات القطبية P 1 (2.500 م\(\frac{\pi}{6}\)) و P 2 (3.800 م\(\frac{2 \pi}{3}\)). حدد الإحداثيات الكارتيزية الخاصة بهم والمسافة بينهما في نظام الإحداثيات الديكارتية. قرِّب المسافة لأقرب سنتيمتر.
    3. تستريح الحرباء بهدوء على شاشة شاناي، في انتظار وصول حشرة. افترض أصل نظام الإحداثيات الديكارتية في الزاوية السفلية اليسرى من الشاشة والاتجاه الأفقي إلى اليمين كاتجاه +x. إذا كانت إحداثياتها (2.000 م، 1.000 م)، (أ) كم تبعد عن زاوية الشاشة؟ (ب) ما هو موقعه في الإحداثيات القطبية؟
    4. نقطتان في المستوى الديكارتي هما A (2.00 م، −4.00 م) و B (−3.00 م، 3.00 م). أوجد المسافة بينها وبين إحداثياتها القطبية.
    5. تدخل الذبابة من خلال نافذة مفتوحة وتتجول في جميع أنحاء الغرفة. في نظام الإحداثيات الديكارتية ذي ثلاثة محاور على طول ثلاثة حواف للغرفة، تغير الذبابة موضعها من النقطة b (4.0 م، 1.5 م، 2.5 م) إلى النقطة e (1.0 م، 4.5 م، 0.5 م). ابحث عن المكونات العددية لمتجه إزاحة الذبابة وعبر عن متجه الإزاحة في شكل مكون متجه. ما حجمه؟

    2.3 جبر المتجهات

    1. بالنسبة للمتجهات\(\vec{B} = − \hat{i} − 4 \hat{j}\)\(\vec{A} = −3 \hat{i} − 2 \hat{j}\)، احسب (أ)\(\vec{A} + \vec{B}\) وزاوية حجمها واتجاهها، و (ب)\(\vec{A} − \vec{B}\) وزاوية حجمها واتجاهها.
    2. يخضع الجسيم لثلاث عمليات نزوح متتالية تُعطى بواسطة المتجهات\(\vec{D}_{1}\) = (3.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) − 2.0\(\hat{k}\)) مم،\(\vec{D}_{2}\) = (1.0\(\hat{i}\) - 7.0\(\hat{j}\) + 4.0\(\hat{i}\)) مم، و\(\vec{D}_{3}\) = (−7.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 1.0\(\hat{k}\)) مم. (أ) أوجد متجه الإزاحة الناتج للجسيم. (ب) ما هو حجم التشريد الناتج؟ (ج) إذا كانت جميع الإزاحات تتم على طول خط واحد، فما المسافة التي سيقطعها الجسيم؟
    3. باستخدام متجه الإزاحة\(\vec{A}\) = (3.00\(\hat{i}\) − 4.00\(\hat{j}\) + 4.00\(\hat{k}\)) م و\(\vec{B}\) = (2.00\(\hat{i}\) + 3.00\(\hat{j}\) − 7.00\(\hat{k}\)) م، أوجد الإزاحات ومقاييسها لـ (أ)\(\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}\) و (ب)\(\vec{D} = 2 \vec{A} − \vec{B}\).
    4. تطير طائرة صغيرة مسافة ٤٠٫٠ كم في اتجاه ٦٠ درجة شمال الشرق، ثم تطير مسافة ٣٠٫٠ كم في اتجاه ١٥° شمال الشرق. استخدم الطريقة التحليلية لإيجاد المسافة الإجمالية التي تغطيها الطائرة من نقطة البداية، والاتجاه الجغرافي لمتجه الإزاحة. ما هو ناقل الإزاحة؟
    5. . في محاولة للهروب من جزيرة صحراوية، يقوم أحد المنبوذين ببناء طوف وانطلاق إلى البحر. تتغير الرياح بشكل كبير خلال النهار، وتهب على طول الخطوط المستقيمة التالية: 2.50 كم و 45.0 درجة شمال الغرب، ثم 4.70 كم و 60.0 درجة جنوب الشرق، ثم 1.30 كم و 25.0 درجة جنوب الغرب، ثم 5.10 كم نحو الشرق، ثم 1.70 كم و 5.00 درجة شرق الشمال، ثم 7.20 كم و 55.0 درجة جنوب الغرب، و أخيرًا 2.80 كم و 10.0 درجة شمال الشرق. استخدم الطريقة التحليلية للعثور على المتجه الناتج لجميع ناقلات الإزاحة الخاصة بها. ما حجمه واتجاهه؟
    6. بافتراض أن المحور +x أفقي على اليمين للمتجهات الواردة في الشكل التالي، استخدم الطريقة التحليلية للعثور على النتائج التالية:
      1. \(\vec{A} + \vec{B}\)،
      2. \(\vec{C} + \vec{B}\)،
      3. \(\vec{D} + \vec{F}\)،
      4. \(\vec{A} - \vec{B}\)،
      5. \(\vec{D} - \vec{F}\)،
      6. \(\vec{A} + 2 \vec{F}\)،
      7. \(\vec{C} - 2 \vec{B} + 3 \vec{F}\)، و
      8. \(\vec{A} - 4 \vec{D} + 2 \vec{F}\).
    7. بالنظر إلى المتجهات في الشكل السابق، ابحث عن المتجه\(\vec{R}\) الذي يحل المعادلات (أ)\(\vec{D} + \vec{R} = \vec{F}\) و (ب)\(\vec{C} - 2 \vec{D} + 5 \vec{R} = 3 \vec{F}\). افترض أن المحور +x أفقي على اليمين.
    8. يبدأ عامل التوصيل من مكتب البريد، ويقود مسافة 40 كم شمالًا، ثم 20 كيلومترًا غربًا، ثم 60 كيلومترًا شمال شرق، وأخيرًا 50 كيلومترًا شمالًا للتوقف لتناول طعام الغداء. استخدم الطريقة التحليلية لتحديد ما يلي: (أ) ابحث عن متجه الإزاحة الصافي الخاص به. (ب) كم يبعد المطعم عن مكتب البريد؟ (ج) إذا عاد مباشرة من المطعم إلى مكتب البريد، ما هو عامل نزوحه في رحلة العودة؟ (د) ما هي وجهة بوصلته في رحلة العودة؟ افترض أن المحور +x يقع في الشرق.
    9. يبتعد الكلب المغامر عن المنزل، ويركض ثلاث بنايات شرقًا، وكتلتين شمالًا، وكتلة واحدة شرقًا، وكتلة واحدة شمالًا، وكتلتين غربًا. بافتراض أن كل كتلة تبلغ حوالي 100 ياردة، استخدم الطريقة التحليلية للعثور على متجه الإزاحة الصافي للكلب وحجمه واتجاهه. افترض أن المحور +x يقع في الشرق. كيف ستتأثر إجابتك إذا كانت كل كتلة حوالي 100 متر؟
    10. إذا كان\(\vec{D}\) = (6.00\(\hat{i}\) − 8.00\(\hat{j}\) م،\(\vec{B}\) = (−8.00\(\hat{i}\) + 3.00\(\hat{j}\)) م، و\(\vec{A}\) = (26.0\(\hat{i}\) + 19.0\(\hat{j}\)) م، فأوجد الثوابت المجهولة أ و ب بحيث تكون أ\(\vec{D} + b \vec{B} + \vec{A} = \vec{0}\).
    11. بالنظر إلى متجه الإزاحة\(\vec{D}\) = (3\(\hat{i}\) − 4\(\hat{j}\)) m، أوجد متجه الإزاحة\(\vec{R}\) بحيث\(\vec{D}\) +\(\vec{R}\) = −4D\(\hat{j}\).
    12. أوجد متجه اتجاه الوحدة للكميات المتجهة التالية: (أ) القوة\(\vec{F}\) = (3.0\(\hat{i}\) − 2.0\(\hat{j}\)) N، (ب) الإزاحة\(\vec{D}\) = (−3.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\)) m، (ج) السرعة\(\vec{v}\) = (−5.00\(\hat{i}\) + 4.00\(\hat{j}\)) م/ث.
    13. عند نقطة واحدة في الفضاء، يتم إعطاء اتجاه متجه المجال الكهربائي في النظام الديكارتي بواسطة متجه الوحدة\(\hat{E} = \frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j}\). إذا كان مقدار متجه المجال الكهربي E = 400.0 V/m، فما المكونات العددية E x وE y وE z لمتجه المجال الكهربي\(\vec{E}\) عند هذه النقطة؟ ما زاوية\(\theta_{E}\) اتجاه متجه المجال الكهربي عند هذه النقطة؟
    14. يتم سحب البارجة بواسطة القاطرتين الموضحتين في الشكل التالي. تسحب إحدى القاطرات على البارجة بقوة 4000 وحدة من القوة عند 15 درجة فوق الخط AB (انظر الشكل) وتسحب القاطرة الأخرى على البارجة بقوة 5000 وحدة من القوة عند 12 درجة تحت الخط AB. قم بحل قوى السحب على مكوناتها العددية وابحث عن مكونات القوة الناتجة التي تسحب البارجة. ما مقدار السحب الناتج؟ ما اتجاهه بالنسبة إلى الخط AB؟
    15. في برج المراقبة في مطار إقليمي، يراقب مراقب الحركة الجوية طائرتين مع تغير موقعيهما فيما يتعلق ببرج المراقبة. طائرة واحدة هي حاملة شحن بوينغ 747 والطائرة الأخرى هي دوغلاس DC-3. تقع طائرة بوينج على ارتفاع 2500 متر، وتتسلق بسرعة 10 درجات فوق المستوى الأفقي، وتتحرك بمقدار 30 درجة شمال الغرب. تقع طائرة DC-3 على ارتفاع 3000 متر، وتتسلق بزاوية 5 درجات فوق المستوى الأفقي، وتبحر غربًا مباشرةً. (أ) ابحث عن متجهات موقع الطائرات بالنسبة إلى برج المراقبة. (ب) ما هي المسافة بين الطائرات في اللحظة التي يسجل فيها مراقب الحركة الجوية ملاحظة عن مواقعها؟

    2.4 منتجات المتجهات

    1. بافتراض أن المحور+x أفقي إلى اليمين للمتجهات في الشكل التالي، فأوجد النواتج العددية التالية:
      1. \(\vec{A} \cdotp \vec{C}\)،
      2. \(\vec{A} \cdotp \vec{F}\)،
      3. \(\vec{D} \cdotp \vec{C}\)،
      4. \(\vec{A} \cdotp ( \vec{F} + 2 \vec{C})\)،
      5. \(\hat{i} \cdotp \vec{B}\)،
      6. \(\hat{j} \cdotp \vec{B}\)،
      7. \((3 \hat{i} - \hat{j}) \cdotp \vec{B}\)و
      8. \(\hat{B} \cdotp \vec{B}\).

    يحتوي نظام الإحداثيات x y على x موجب إلى اليمين وإيجابي y لأعلى. تبلغ قيمة المتجه A 10.0 ويشير إلى 30 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه x الموجب. للمتجه B مقاسه 5.0 ويشير إلى 53 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x الموجب. يبلغ حجم المتجه C 12.0 ويشير إلى 60 درجة في اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x الموجب. يبلغ حجم المتجه D 20.0 ويشير إلى 37 درجة في اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x السالب. تبلغ قيمة المتجه F 20.0 ويشير إلى 30 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x السالب.

    1. بافتراض أن المحور +x أفقي على اليمين للمتجهات في الشكل السابق، ابحث عن (أ) مكون المتجه\(\vec{A}\) على طول المتجه\(\vec{C}\)، (ب) مكون المتجه\(\vec{C}\) على طول المتجه\(\vec{A}\)، (ج) مكون المتجه\(\hat{i}\) على طول المتجه\(\vec{F}\)، (د) المكون للمتجه\(\vec{F}\) على طول المتجه\(\hat{i}\).
    2. أوجد الزاوية بين المتجهات لـ
      1. \(\vec{D}\)= (−3.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\)) م و\(\vec{A}\) = (−3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)) م و
      2. \(\vec{D}\)= (2.0\(\hat{i}\) - 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) م و\(\vec{B}\) = (−2.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\) + 2.0\(\hat{k}\)) م.
    3. أوجد الزوايا التي يصنعها المتجه\(\vec{D}\) = (2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) m باستخدام المحاور x- وy- وz.
    4. أظهر أن متجه القوة\(\vec{D}\) = (2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) N متعامد مع متجه القوة\(\vec{G}\) = (3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\)) N.
    5. بافتراض أن المحور +x أفقي إلى اليمين للمتجهات في الشكل التالي، فأوجد المنتجات المتجهة التالية:
      1. \(\vec{A} \times \vec{C}\)،
      2. \(\vec{A} \times \vec{F}\)،
      3. \(\vec{D} \times \vec{C}\)
      4. \(\vec{A} \times (\vec{F} + 2 \vec{C})\)،
      5. \(\hat{i} \times \vec{B}\)،
      6. \(\hat{j} \times \vec{B}\)،
      7. \((3 \hat{i} - \hat{j}) \times \vec{B}\)و
      8. \(\hat{B} \times \vec{B}\).

    يحتوي نظام الإحداثيات x y على x موجب إلى اليمين وإيجابي y لأعلى. تبلغ قيمة المتجه A 10.0 ويشير إلى 30 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه x الموجب. للمتجه B مقاسه 5.0 ويشير إلى 53 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x الموجب. يبلغ حجم المتجه C 12.0 ويشير إلى 60 درجة في اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x الموجب. يبلغ حجم المتجه D 20.0 ويشير إلى 37 درجة في اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x السالب. تبلغ قيمة المتجه F 20.0 ويشير إلى 30 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x السالب.

    1. ابحث عن المنتج المتقاطع\(\vec{A} \times \vec{C}\) لـ
      1. \(\vec{A}\)= 2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\) و\(\vec{C}\) = 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\)،
      2. \(\vec{A}\)= 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\) و\(\vec{C}\) = 2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)،
      3. \(\vec{A}\)= −3.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) و\(\vec{C}\) = −3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)، و
      4. \(\vec{C}\)= −2.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\) + 2.0\(\hat{k}\) و\(\vec{A}\) = −9.0\(\hat{j}\).
    2. بالنسبة للمتجهات في الشكل التالي، ابحث عن (أ) (\(\vec{A} \times \vec{F} \cdotp \vec{D}\)) و (ب) (\(\vec{A} \times \vec{F}) \cdotp (\vec{A} \times \vec{C}\)) و (ج) (\(\vec{A} \cdotp \vec{F})(\vec{D} \times \vec{B}\)).

    يحتوي نظام الإحداثيات x y على x موجب إلى اليمين وإيجابي y لأعلى. تبلغ قيمة المتجه A 10.0 ويشير إلى 30 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه x الموجب. للمتجه B مقاسه 5.0 ويشير إلى 53 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x الموجب. يبلغ حجم المتجه C 12.0 ويشير إلى 60 درجة في اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x الموجب. يبلغ حجم المتجه D 20.0 ويشير إلى 37 درجة في اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x السالب. تبلغ قيمة المتجه F 20.0 ويشير إلى 30 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه x السالب.

    1. (أ) إذا\(\vec{A} \times \vec{F} = \vec{B} \times \vec{F}\)، هل يمكننا أن نستنتج\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\)؟ (ب) إذا\(\vec{A} \cdotp \vec{F}\) =\(\vec{B} \cdotp \vec{F}\)، هل يمكننا أن نستنتج\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\)؟ (ج) إذا\(F \vec{A}\) =\(\vec{B} F\)، هل يمكننا أن نستنتج\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\)؟ لماذا أو لماذا لا؟

    مشاكل إضافية

    1. تطير لمسافة 32.0 كم في خط مستقيم في هواء ساكن في اتجاه 35.0 درجة جنوب الغرب. (أ) ابحث عن المسافات التي يجب أن تطير بها جنوبًا ثم غربًا للوصول إلى نفس النقطة. (ب) ابحث عن المسافات التي يجب أن تقطعها أولاً في اتجاه 45.0 درجة جنوب الغرب ثم في اتجاه 45.0 درجة غرب الشمال. لاحظ أن هذه هي مكونات الإزاحة على طول مجموعة مختلفة من المحاور - وهي تلك التي تدور بمقدار 45 درجة فيما يتعلق بالمحاور في (أ).
    2. تُعطى الإحداثيات المستطيلة لنقطة ما بواسطة (2، y) وتُعطى إحداثياتها القطبية بواسطة (r،\(\frac{\pi}{6}\)). ابحث عن يدي والدكتور.
    3. إذا كانت الإحداثيات القطبية لنقطة هي (r،\(\varphi\)) وإحداثياتها المستطيلة هي (x، y)، فأوجد الإحداثيات القطبية للنقاط التالية: (أ) (−x، y)، (ب) (−2x، −2y)، (ج) (3x، −3y).
    4. المتجهات\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) ولها مقادير متطابقة تبلغ 5.0 وحدة. ابحث عن الزاوية بينهما إذا كانت\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) = 5 2\(\hat{j}\).
    5. بدءًا من جزيرة موي في أرخبيل غير معروف، يقوم قارب صيد برحلة ذهابًا وإيابًا مع محطتين في جزيرتي نوي وبوي. وتبحر من موي لمسافة 4.76 ميل بحري (nmi) في اتجاه 37 درجة شمال الشرق إلى نوي. وتبحر من نوي بزاوية 69 درجة غربًا شمالًا إلى بوي. وفي رحلة العودة من بوي، تبحر على مسافة 28 درجة شرقًا من الجنوب. ما المسافة التي يبحرها القارب بين نوي وبوي؟ ما المسافة التي تبحر بها بين موي وبوي؟ عبّر عن إجابتك بالأميال البحرية والكيلومترات. ملاحظة: 1 نانومتر = 1852 م.
    6. يلاحظ مراقب الحركة الجوية إشارتين من طائرتين على شاشة الرادار. تقع طائرة واحدة على ارتفاع 800 متر وعلى مسافة أفقية 19.2 كم من البرج في اتجاه 25 درجة جنوب الغرب. أما الطائرة الثانية فهي على ارتفاع 1100 متر ومسافتها الأفقية 17.6 كم و20 درجة جنوب الغرب. ما المسافة بين هذه الطائرات؟
    7. أظهر أنه عندما\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) =\(\vec{C}\)، ثم C 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos\(\varphi\)،\(\varphi\) أين الزاوية بين المتجهات\(\vec{A}\) و\(\vec{B}\).
    8. يساوي كلٌّ من متجهات القوة الأربعة نفس المقدار f. ما أكبر مقدار قد يتحمله متجه القوة الناتج عند جمع هذه القوى؟ ما أصغر مقدار للمحصلة؟ قم بعمل رسم بياني لكلتا الحالتين.
    9. ينزلق متزلج على مسار دائري نصف قطره ٥٫٠٠ م في اتجاه عقارب الساعة. عندما يقترب من نصف الدائرة، بدءًا من النقطة الغربية، ابحث عن (أ) حجم متجه الإزاحة و (ب) المسافة التي قطعها بالفعل في التزلج. (ج) ما مقدار متجه الإزاحة عندما يتزلج على طول الدائرة ويعود إلى النقطة الغربية؟
    10. كلب عنيد يمشي بمقود من قبل مالكه. في مرحلة ما، يواجه الكلب رائحة مثيرة للاهتمام في مكان ما على الأرض ويريد استكشافها بالتفصيل، لكن المالك ينفد صبره ويسحب الزمام بقوة\(\vec{F}\) = (98.0\(\hat{i}\) + 132.0\(\hat{j}\) + 32.0\(\hat{j}\)) N على طول الزمام. (أ) ما مقدار قوة السحب؟ (ب) ما الزاوية التي يصنعها المقود بالعمود؟
    11. إذا كان متجه سرعة الدب القطبي\(\vec{u}\) = (−18.0\(\hat{i}\) − 13.0\(\hat{j}\)) كم/ساعة، فما السرعة وفي أي اتجاه جغرافي يتجه؟ هنا،\(\hat{i}\)\(\hat{j}\) وهناك اتجاهات إلى الشرق الجغرافي والشمال، على التوالي.
    12. ابحث عن المكونات العددية للمتجهات\(\vec{G}\) ثلاثية الأبعاد\(\vec{H}\) وفي الشكل التالي واكتب المتجهات في شكل مكون متجه بدلالة متجه الوحدة للمحاور.

    يبلغ حجم المتجه G 10.0. يقع إسقاطه في المستوى x y بين الاتجاهين x الموجب و y الموجب، بزاوية 45 درجة من اتجاه x الموجب. الزاوية بين المتجه G واتجاه z الموجب هي 60 درجة. يبلغ حجم المتجه H 15.0. يقع إسقاطه في المستوى x y بين الاتجاهين السالب x والإيجابي y، بزاوية 30 درجة من الاتجاه y الموجب. الزاوية بين المتجه H والاتجاه z الموجب هي 450 درجة.

    1. غواص يستكشف شعابًا ضحلة قبالة سواحل بليز. تسبح في البداية لمسافة 90.0 مترًا شمالًا، وتتجه نحو الشرق وتستمر لمسافة 200.0 مترًا، ثم تتبع الهامور الكبير لمسافة 80.0 مترًا في اتجاه 30 درجة شمال الشرق. في هذه الأثناء، يزيحها تيار محلي بمقدار 150.0 مترًا جنوبًا. بافتراض أن التيار لم يعد موجودًا، في أي اتجاه وإلى أي مدى يجب أن تسبح الآن للعودة إلى النقطة التي بدأت فيها؟
    2. \(\vec{A}\)يحتوي متجه القوة على مكوّنات x وy، على التوالي، مقدارها −8.80 وحدة من وحدات القوة و15.00 وحدة من وحدات القوة. المكونان x- و y لمتجه القوة\(\vec{B}\) هما، على التوالي، 13.20 وحدة من القوة و −6.60 وحدة من القوة. أوجد مكونات متجه القوة\(\vec{C}\) التي تفي بالمعادلة المتجهة\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) + 3\(\vec{C}\) = 0.
    3. المتجهات\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) وهي متجهتان متعامدتان في المستوى السيني ولديهما مقادير متطابقة. إذا كان\(\vec{A}\) = 3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)، فابحث\(\vec{B}\).
    4. للمتجهات الثلاثية الأبعاد في الشكل التالي، ابحث عن (أ)\(\vec{G} \times \vec{H}\)، (ب) |\(\vec{G} \times \vec{H}\) |، و (ج)\(\vec{G} \cdotp \vec{H}\).

    يبلغ حجم المتجه G 10.0. يقع إسقاطه في المستوى x y بين الاتجاهين x الموجب و y الموجب، بزاوية 45 درجة من اتجاه x الموجب. الزاوية بين المتجه G واتجاه z الموجب هي 60 درجة. يبلغ حجم المتجه H 15.0. يقع إسقاطه في المستوى x y بين الاتجاهين السالب x والإيجابي y، بزاوية 30 درجة من الاتجاه y الموجب. الزاوية بين المتجه H والاتجاه z الموجب هي 450 درجة.

    1. أظهر\((\vec{B} \times \vec{C}) \cdotp \vec{A}\) هذا حجم متوازي الأضلاع، مع الحواف المكوَّنة من المتجهات الثلاثة في الشكل التالي.

    يبلغ حجم المتجه G 10.0. يقع إسقاطه في المستوى x y بين الاتجاهين x الموجب و y الموجب، بزاوية 45 درجة من اتجاه x الموجب. الزاوية بين المتجه G واتجاه z الموجب هي 60 درجة. يبلغ حجم المتجه H 15.0. يقع إسقاطه في المستوى x y بين الاتجاهين السالب x والإيجابي y، بزاوية 30 درجة من الاتجاه y الموجب. الزاوية بين المتجه H والاتجاه z الموجب هي 450 درجة.

    مشاكل التحدي

    1. \(\vec{B}\)يبلغ طول المتجه 5.0 سم وطول المتجه\(\vec{A}\) 4.0 سم. أوجد الزاوية بين هذين المتجهين عندما\(\vec{A} + \vec{B}\) | = 3.0 سم و |\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) | = 3.0 سم.
    2. ما مكوِّن متجه القوة\(\vec{G}\) = (3.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 10.0\(\hat{k}\)) N على طول متجه القوة\(\vec{H}\) = (1.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)) N؟
    3. يوضِّح الشكل التالي مثلثًا مكوَّنًا من المتجهات الثلاثة\(\vec{A}\)،\(\vec{B}\) و\(\vec{C}\). إذا\(\vec{C}\; '\) تم رسم المتجه بين نقاط منتصف\(\vec{A}\) المتجهات\(\vec{B}\)، فاظهر ذلك\(\vec{C}\; '\) =\(\frac{\vec{C}}{2}\).

    تشكل المتجهات A و B و C مثلثًا. يشير المتجه A لأعلى ولليمين، ويبدأ المتجه B عند رأس A ويشير لأسفل ولليمين، ويبدأ المتجه C عند رأس B، وينتهي عند ذيل A ويشير إلى اليسار. المتجه C prime موازٍ للمتجه C ويربط نقاط منتصف المتجهين A و B.

    1. لا تتغير المسافات بين النقاط في المستوى عند تدوير نظام الإحداثيات. بمعنى آخر، يكون حجم المتجه ثابتًا تحت دورات نظام الإحداثيات. لنفترض أن نظام الإحداثيات S تم تدويره حول أصله بزاوية\(\varphi\) ليصبح نظام إحداثيات جديد S ′، كما هو موضح في الشكل التالي. تحتوي نقطة في طائرة على إحداثيات (x، y) في S وإحداثيات (x′، y′) في S ′.
      1. أظهر أنه أثناء تحويل الدوران، يتم التعبير عن الإحداثيات في S من حيث الإحداثيات في S من خلال العلاقات التالية: $$\ begin {cases} x' = x\ cos\ varphi + y\ sin\ varphi\ y' = -x\ sin\ varphi + y\ cos\ varphi\ end {cases}\ ldotp$$
      2. أظهر أن مسافة النقطة P إلى الأصل ثابتة تحت دورات نظام الإحداثيات. هنا، عليك إظهار أن $$\ sqrt {x^ {2} + y^ {2}} =\ sqrt {x'^ {2} + y'^ {2}}\ ldotp$$
      3. أظهر أن المسافة بين النقطتين P و Q ثابتة تحت دورات نظام الإحداثيات. هنا، عليك أن تُظهر أن $$\ sqrt {(x_ {P} - x_ {Q}) ^ {2} + (y_ {P} - y_ {Q}) ^ {2}} =\ sqrt {(x'_ {P} - x'_ {Q}) ^ {2} + (y'_ {P} - y'_ {Q}) ^ {2}\ ldotp$$

    يتم عرض نظامين للإحداثيات. يحتوي نظام الإحداثيات x y S، باللون الأحمر، على x الموجب إلى اليمين والإيجابي y لأعلى. يشترك نظام الإحداثيات x Prime y Prime S Prime، باللون الأزرق، في نفس أصل S ولكن يتم تدويره بالنسبة إلى S عكس اتجاه عقارب الساعة وزاوية phi. يتم عرض نقطتين، P و Q. يتم عرض إحداثيات x للنقطة P في الإطار S كخط متقطع من P إلى المحور x، يتم رسمه بالتوازي مع المحور y. يتم عرض إحداثيات y للنقطة P في الإطار S كخط متقطع من P إلى المحور y، يتم رسمه بالتوازي مع المحور x. يتم عرض الإحداثيات x الأولية للنقطة P في الإطار S Prime كخط متقطع من P إلى المحور x الرئيسي، يتم رسمه بالتوازي مع المحور y الرئيسي. يتم عرض الإحداثيات y الأولية للنقطة P في الإطار S Prime كخط متقطع من P إلى المحور y الرئيسي، يتم رسمه بالتوازي مع المحور x الرئيسي.

    المساهمون

    Template:ContribOpenStaxUni