2.S: المتجهات (ملخص)
- Page ID
- 199882
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
الشروط الرئيسية
| خاصية مضادة للتغيير | التغيير في ترتيب العملية يقدم علامة الطرح |
| ناقلات مضادة للمتوازية | متجهان باتجاهات تختلف بمقدار 180 درجة |
| ترابطي | يمكن تجميع المصطلحات بأي طريقة |
| تبديلية | يمكن تنفيذ العمليات بأي ترتيب |
| شكل مكون للمتجه | متجه مكتوب كمجموع متجه لمكوناته من حيث متجه الوحدة |
| قاعدة المفتاح الأيمن | قاعدة تستخدم لتحديد اتجاه المنتج المتجه |
| منتج متقاطع | نتيجة تكاثر المتجهات للمتجهات هي ناقل يسمى المنتج المتقاطع؛ ويسمى أيضًا منتج المتجهات |
| الفرق بين متجهين | مجموع المتجهات للمتجه الأول مع المتجه المضاد للثاني |
| زاوية الاتجاه | في المستوى، زاوية بين الاتجاه الموجب للمحور السيني والمتجه، تقاس بعكس اتجاه عقارب الساعة من المحور إلى المتجه |
| النزوح | تغيير في الموضع |
| توزيعي | يمكن توزيع الضرب على المصطلحات في المجموع |
| منتج نقطي | نتيجة الضرب العددي لمتجهين هي رقم قياسي يسمى المنتج النقطي؛ ويسمى أيضًا المنتج القياسي |
| متجهات متساوية | متجهان متساويان فقط إذا كانت جميع مكوناتهما المقابلة متساوية؛ بالتناوب، متجهان متوازيان بمقادير متساوية |
| حجم | طول المتجه |
| ناقل فارغ | متجه بكل مكوناته تساوي الصفر |
| ناقلات متعامدة | متجهان باتجاهات تختلف بمقدار 90 درجة بالضبط، مرادف للمتجهات العمودية |
| المتجهات المتوازية | متجهان بزوايا الاتجاه نفسها تمامًا |
| قاعدة متوازي الاضلاع | البناء الهندسي لمجموع المتجهات في الطائرة |
| نظام الإحداثيات القطبية | نظام إحداثيات متعامد حيث يتم تحديد الموقع في الطائرة بالإحداثيات القطبية |
| الإحداثيات القطبية | إحداثيات شعاعية وزاوية |
| تنسيق جذري | المسافة إلى الأصل في نظام الإحداثيات القطبية |
| المتجه الناتج | مجموع المتجهات لمتجهين (أو أكثر) |
| العددية | رقم مرادف للكمية العددية في الفيزياء |
| مكون قياسي | رقم يضاعف متجه الوحدة في مكون متجه للمتجه |
| معادلة عددية | معادلة يكون فيها الجانبان الأيسر والأيمن عبارة عن أرقام |
| منتج قياسي | نتيجة الضرب العددي لمتجهين هي رقم قياسي يسمى المنتج العددي؛ ويسمى أيضًا المنتج النقطي |
| كمية قياسية | الكمية التي يمكن تحديدها بالكامل برقم واحد مع وحدة مادية مناسبة |
| هيكل هندسي من الذيل إلى الرأس | بناء هندسي لرسم المتجه الناتج للعديد من المتجهات |
| متجه الوحدة | متجه حجم الوحدة الذي يحدد الاتجاه؛ ليس له وحدة مادية |
| متجهات الوحدة للمحاور | متجهات الوحدة التي تحدد الاتجاهات المتعامدة في المستوى أو في الفضاء |
| ناقل الحركة | كائن رياضي بالحجم والاتجاه |
| مكونات المتجهات | المكونات المتعامدة للمتجه؛ المتجه هو مجموع المتجهات لمكوناته المتجهة |
| معادلة المتجهات | معادلة يكون فيها الجانبان الأيسر والأيمن متجهين |
| منتج متجه | نتيجة تكاثر المتجهات للمتجهات هي ناقل يسمى المنتج المتجه؛ ويسمى أيضًا المنتج المتقاطع |
| كمية المتجهات | يتم وصف الكمية الفيزيائية بواسطة متجه رياضي - أي من خلال تحديد حجمه واتجاهه؛ مرادف للمتجه في الفيزياء |
| مجموع المتجهات | ناتج عن الجمع بين متجهين (أو أكثر) |
المعادلات الرئيسية
| الضرب بعدد قياسي (معادلة متجه) | $$\ vec {B} =\ ألفا\ فيك {A} $$ |
| الضرب بعدد قياسي (المعادلة العددية للمقاييس) | $B = |\ ألفا| A$$ |
| محصلة متجهين | $$\ vec {D} _ {AD} =\ vec {D} _ {AC} +\ vec {D} _ {CD} $$ |
| القانون التبادلي | $$\ vec {A} +\ vec {B} =\ vec {B} +\ vec {A} $$ |
| القانون النقابي | $$ (\ vec {A} +\ vec {B}) +\ vec {C} =\ vec {A} + (\ vec {B} +\ vec {C}) $$ |
| قانون التوزيع | $$\ alpha_ {1}\ vec {A} +\ alpha_ {2}\ vec {A} = (\ alpha_ {1} +\ ألفا _ {2})\ vec {A} $$ |
| الشكل المكون للمتجه في بعدين | $$\ vec {A} = A_ {x}\ قبعة {i} + A_ {y}\ قبعة {j} $$ |
| المكونات العددية للمتجه في بعدين | $$\ ابدأ {الحالات} A_ {x} = x_ {e} - x_ {b}\\ A_ {y} = y_ {e} - y_ {b}\ النهاية {b}\ النهاية {الحالات} $$ |
| حجم المتجه في الطائرة | $A =\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}} $$ |
| زاوية اتجاه المتجه في المستوى | $$\ theta_ {A} =\ tan^ {-1}\ يسار (\ dfrac {A_ {y}} {A_ {x}}\ يمين) $$ |
| المكونات العددية للمتجه في الطائرة | $$\ ابدأ {الحالات} A_ {x} = A\ cos\ theta_ {A}\\ A_ {y} = A\ sin\ theta_ {A}\ النهاية {الحالات} $$ |
| الإحداثيات القطبية في الطائرة | $$\ ابدأ {الحالات} x = r\ cos\ varphi\\ y = r\ sin\ varphi\ end {الحالات} $$ |
| الشكل المكون للمتجه في ثلاثة أبعاد | $$\ vec {A} = A_ {x}\ قبعة {i} + A_ {y}\ قبعة {j} + A_ {z}\ قبعة {k} $$ |
| المكون z القياسي للمتجه في ثلاثة أبعاد | $A_ {z} = z_ {e} - z_ {b} $$ |
| حجم المتجه في ثلاثة أبعاد | $A =\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2} + A_ {z} ^ {2}} $$ |
| خاصية التوزيع | $$\ ألفا (\ vec {A} +\ vec {B}) =\ ألفا\ فيك {A} +\ ألفا\ فيك {B} $$ |
| ناقل مضاد للمواز لـ\(\vec{A}\) | $$-\ vec {A} = A_ {x}\ قبعة {i} - A_ {y}\ قبعة {j} - A_ {z}\ قبعة {ك} $$ |
| متجهات متساوية | $$\ vec {A} =\ vec {B}\ السهم الأيسر\ ابدأ {الحالات} A_ {x} = B_ {x}\\ A_ {y} = B_ {y}\\ A_ {z} = B_ {z} = B_ {z}\ النهاية {الحالات} $$ |
| مكونات محصلة متجه N | $$\ ابدأ {الحالات} F_ {Rx} =\ sum_ {ك = 1} ^ {N} F_ {kx} = F_ {1x} + F_ {2x} +\ ldots + F_ {NX}\\ F_ {Ry} =\ sum_ {ك = 1} {N} F_ {ك = 1} {N} F_ {ك = 1} {N} F_ {ك = 1} {N} F_ {ك = 1} {N} F_ {ك = 1} {ن lots + F_ {Ny}\\ F_ {Rz} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kz} = F_ {1z} + F_ {2z} +\ ldots + F_ {Nz}\ النهاية {الحالات} $$ |
| ناقل الوحدة العام | $$\ قبعة {V} =\ frac {\ vec {V} {V} {V} $$ |
| تعريف المنتج القياسي | $$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} = AB\ cos\ varphi$$ |
| الخاصية التبادلية للمنتج القياسي | $$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} =\ vec {B}\ cdotp\ vec {A} $$ |
| الخاصية التوزيعية للمنتج القياسي | $$\ vec {A}\ cdotp (\ vec {B} +\ vec {C}) =\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} +\ vec {A}\ cdotp\ vec {C} $$ |
| منتج قياسي من حيث المكونات العددية للمتجهات | $$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} = A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ {y} + A_ {z} B_ {z} {z} $$ |
| جيب التمام للزاوية بين متجهين | $$\ cos\ varphi =\ frac {\ vec {A}\ cdotp\ vec {B}} {AB} $$ |
| المنتجات النقطية لمتجهات الوحدة | $$\ قبعة {i}\ cdotp\ قبعة {j} =\ قبعة {j}\ cdotp\ قبعة {k} =\ قبعة {k}\ cdotp\ قبعة {i} = 0$$ |
| حجم المنتج المتجه (التعريف) | $|\ vec {A}\ مرات\ vec {B} | = AB\ sin\ varphi$$ |
| خاصية مضاد الإبدال للمنتج المتجه | $|\ vec {A}\ تايمز\ vec {B} = -\ vec {B}\ تايمز\ vec {A} $$ |
| الخاصية التوزيعية للمنتج المتجه | $$\ vec {A}\ مرات (\ vec {B} +\ vec {C}) =\ vec {A}\ تايمز\ vec {B} +\ vec {A}\ تايمز\ vec {C} $$ |
| المنتجات المتقاطعة لمتجهات الوحدة | $$\ ابدأ {الحالات}\ القبعة {i}\ المرات\ القبعة {j} = +\ القبعة {k}،\\\ القبعة {j}\\ المرات\ القبعة {l} = +\ القبعة {i}،\\\ القبعة {l}\ المرات\\ القبعة {i}\ المرات\ القبعة {i} = +\ القبعة {j}\ ldotp\ النهاية {الحالات} $$ |
| المنتج المتقاطع من حيث المكونات العددية للمتجهات | $$\ vec {A}\ مرات\ vec {B} = (A_ {y} B_ {z} - A_ {z} B_ {y})\ القبعة {i} + (A_ {z} B_ {x} - A_ {x} B_ {z})\ القبعة {j} + (A_ {x} B_ {z})\ القبعة {x} B_ {x})\ ماذا {k} $$ |
ملخص
2.1 الأرقام القياسية والمتجهات
- كمية المتجهات هي أي كمية لها حجم واتجاه، مثل الإزاحة أو السرعة.
- من الناحية الهندسية، يتم تمثيل المتجهات بالسهام، مع وضع علامة على النهاية برأس سهم. طول المتجه هو حجمه، وهو رقم قياسي إيجابي. على المستوى، يتم تحديد اتجاه المتجه من خلال الزاوية التي يصنعها المتجه مع اتجاه مرجعي، وغالبًا ما تكون زاوية ذات زاوية أفقية. زاوية اتجاه المتجه هي زاوية قياسية.
- متجهان متساويان فقط إذا كان لهما نفس المقادير والاتجاهات. المتجهات المتوازية لها نفس زوايا الاتجاه ولكن قد تكون لها مقادير مختلفة. تحتوي المتجهات المضادة للالتوازي على زوايا اتجاه تختلف بمقدار 180 درجة. تحتوي المتجهات المتعامدة على زوايا اتجاه تختلف بمقدار 90 درجة.
- عندما يتم ضرب المتجه في عدد قياسي، تكون النتيجة متجه آخر بطول مختلف عن طول المتجه الأصلي. الضرب بالعداد الموجب لا يغير الاتجاه الأصلي؛ فقط الحجم يتأثر. يؤدي الضرب باستخدام عدد سالب إلى عكس الاتجاه الأصلي. يكون المتجه الناتج مضادًا للمتجه الأصلي. الضرب بالعداد هو توزيعي. يمكن تقسيم المتجهات على قيم غير صفرية ولكن لا يمكن تقسيمها على المتجهات.
- يمكن إضافة متجهين أو أكثر لتشكيل متجه آخر. يُطلق على مجموع المتجهات اسم المتجه المتجه الناتج. يمكننا إضافة المتجهات إلى المتجهات أو الأرقام القياسية إلى الأرقام القياسية، ولكن لا يمكننا إضافة قيم قياسية إلى المتجهات. تعتبر إضافة المتجهات عملية تبديلية وترابطية.
- لإنشاء متجه ناتج لمتجهين في مستوى هندسي، نستخدم قاعدة متوازي الأضلاع. لإنشاء متجه ناتج للعديد من المتجهات في المستوى هندسيًا، نستخدم طريقة الذيل إلى الرأس.
2.2 أنظمة الإحداثيات ومكونات المتجه
- يتم وصف المتجهات من حيث مكوناتها في نظام الإحداثيات. في بعدين (في المستوى)، تحتوي المتجهات على مكونين. في ثلاثة أبعاد (في الفضاء)، تحتوي المتجهات على ثلاثة مكونات.
- المكون المتجه للمتجه هو الجزء الخاص به في اتجاه المحور. المكون المتجه هو نتاج متجه الوحدة للمحور بمكونه القياسي على طول هذا المحور. المتجه هو ناتج مكونات المتجهات الخاصة به.
- المكونات العددية للمتجه هي اختلافات الإحداثيات، حيث يتم طرح إحداثيات الأصل من إحداثيات نقطة النهاية للمتجه. في النظام المستطيل، يكون حجم المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مكوناته.
- في المستوى، يُعطى اتجاه المتجه بزاوية للمتجه مع المحور السيني الموجب. يتم قياس زاوية الاتجاه هذه بعكس اتجاه عقارب الساعة. يمكن التعبير عن المكون x القياسي للمتجه كناتج حجمه مع جيب التمام لزاوية اتجاهه، ويمكن التعبير عن المكون y القياسي كمنتج حجمه مع جيب زاوية اتجاهه.
- في الطائرة، يوجد نظامان إحداثيان متكافئان. يتم تعريف نظام الإحداثيات الديكارتية من خلال متجهات الوحدة\(\hat{i}\) وعلى\(\hat{j}\) طول المحور السيني والمحور y، على التوالي. يتم تعريف نظام الإحداثيات القطبية بواسطة متجه الوحدة الشعاعية\(\hat{r}\)، الذي يعطي الاتجاه من الأصل، ومتجه الوحدة\(\hat{t}\)، وهو عمودي (متعامد) على الاتجاه الشعاعي.
2.3 جبر المتجهات
- تسمح لنا الطرق التحليلية للجبر المتجه بالعثور على نتائج المجاميع أو الاختلافات في المتجهات دون الحاجة إلى رسمها. الطرق التحليلية لإضافة المتجهات دقيقة، على عكس الطرق الرسومية، وهي تقريبية.
- تُستخدم الطرق التحليلية للجبر المتجه بشكل روتيني في الميكانيكا والكهرباء والمغناطيسية. إنها أدوات رياضية مهمة للفيزياء.
2.4 منتجات المتجهات
- هناك نوعان من الضرب للمتجهات. أحد أنواع الضرب هو المنتج القياسي، المعروف أيضًا باسم المنتج النقطي. النوع الآخر من الضرب هو المنتج المتجه، المعروف أيضًا باسم المنتج المتقاطع. المنتج القياسي للمتجهات هو رقم (قياسي). المنتج المتجه للمتجهات هو ناقل.
- كلا النوعين من الضرب لهما خاصية التوزيع، ولكن المنتج القياسي فقط له خاصية الإبدال. يحتوي المنتج المتجه على خاصية مضاد الإبدال، مما يعني أنه عندما نغير الترتيب الذي يتم فيه ضرب متجهين، فإن النتيجة تكتسب علامة الطرح.
- يتم الحصول على الناتج القياسي لمتجهين بضرب مقادير كل منهما في جيب التمام للزاوية بينهما. يختفي المنتج القياسي للمتجهات المتعامدة؛ ويكون المنتج القياسي للمتجهات المضادة للتوازي سالبًا.
- حاصل الضرب المتجه لمتجهين هو متجه عمودي على كليهما. يتم الحصول على حجمها بضرب مقاييسها في جيب الزاوية بينهما. يمكن تحديد اتجاه المنتج المتجه من خلال قاعدة المفتاح الأيمن. يختفي المنتج المتجه لمتجهين متوازيين أو مضادين للموازين. حجم المنتج المتجه هو الأكبر بالنسبة للمتجهات المتعامدة.
- يتم استخدام المنتج القياسي للمتجهات لإيجاد الزوايا بين المتجهات وفي تعريفات الكميات الفيزيائية العددية المشتقة مثل العمل أو الطاقة.
- يتم استخدام المنتج المتقاطع للمتجهات في تعريفات الكميات الفيزيائية المشتقة للمتجه مثل عزم الدوران أو القوة المغناطيسية، وفي وصف الدورات.