2.4: أنظمة الإحداثيات ومكونات المتجه (الجزء 1)
- Page ID
- 199883
- وصف المتجهات في بعدين وثلاثة أبعاد بدلالة مكوناتها، باستخدام متجهات الوحدة على طول المحاور.
- ميّز بين المكونات المتجهة للمتجه والمكونات العددية للمتجه.
- اشرح كيف يتم تعريف حجم المتجه من حيث مكونات المتجه.
- حدد زاوية اتجاه المتجه في المستوى.
- اشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الكارتيزية في الطائرة.
عادة ما يتم وصف المتجهات من حيث مكوناتها في نظام الإحداثيات. حتى في الحياة اليومية، نستحضر بشكل طبيعي مفهوم الإسقاطات المتعامدة في نظام الإحداثيات المستطيل. على سبيل المثال، إذا سألت شخصًا ما عن الاتجاهات إلى موقع معين، فمن المرجح أن يُطلب منك الذهاب لمسافة 40 كم شرقًا و 30 كيلومترًا شمالًا من 50 كم في اتجاه 37 درجة شمالًا من الشرق.
في نظام الإحداثيات السينية المستطيل (الديكارتي) في المستوى، يتم وصف نقطة في المستوى بزوج من الإحداثيات (x، y). بطريقة مماثلة، يتم وصف المتجه\(\vec{A}\) في الطائرة بواسطة زوج من إحداثيات المتجهات الخاصة به. \(\vec{A}\)يُطلق على الإحداثي السيني للمتجه اسم المكون x والإحداثيات y للمتجه\(\vec{A}\) تسمى المكون y الخاص به. المكون x المتجه هو متجه يُشار إليه بـ\(\vec{A}_{x}\). المكون y للمتجه هو متجه يُشار إليه بـ\(\vec{A}_{y}\). في النظام الديكارتي، تكون مكونات متجه x و y للمتجه هي الإسقاطات المتعامدة لهذا المتجه على\(y\) المحاور\(x\) - و -على التوالي. بهذه الطريقة، باتباع قاعدة متوازي الأضلاع لإضافة المتجهات، يمكن التعبير عن كل متجه على المستوى الديكارتي كمجموع متجه لمكوناته المتجهة:
\[ \vec{A} = \vec{A}_{x} + \vec{A}_{y} \ldotp \label{2.10}\]
كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1}\)، المتجه\(\vec{A}\) هو قطر المستطيل حيث يكون المكون x\(\vec{A}_{x}\) هو الجانب الموازي للمحور x والمكون y\(\vec{A}_{y}\) هو الجانب الموازي للمحور y. \(\vec{A}_{x}\)مكون المتجهات متعامد مع مكون المتجهات\(\vec{A}_{y}\).
من المعتاد الإشارة إلى الاتجاه الإيجابي على المحور السيني بواسطة متجه\(\hat{i}\) الوحدة والاتجاه الإيجابي على المحور y بواسطة متجه الوحدة\(\hat{j}\). وحدة متجهات المحاور\(\hat{j}\)،\(\hat{i}\) وحدد اتجاهين متعامدين في المستوى. كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1}\)، يمكن الآن كتابة مكونات x- و y- للمتجه من حيث متجهات الوحدة للمحاور:
\[ \begin{cases} \vec{A}_{x} = A_{x} \hat{i} \\ \vec{A}_{y} = A_{y} \hat{j} \end{cases} \label{2.11}\]
المتجهات\(\vec{A}_{x}\)\(\vec{A}_{y}\) والمعرّفة بالمعادلة 2.11 هي المكونات المتجهة للمتجه\(\vec{A}\). الأرقام A x و A y التي تحدد مكونات المتجهات في المعادلة\ ref {2.11} هي المكونات العددية للمتجه\(\vec{A}\). بدمج المعادلة\ ref {2.10} مع المعادلة\ ref {2.11}، نحصل على الشكل المكون للمتجه:
\[\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} \ldotp \label{2.12}\]
إذا عرفنا إحداثيات\(b(x_b, y_b)\) نقطة أصل المتجه (حيث تشير b إلى «البداية») والإحداثيات e (x e، y e) لنقطة نهاية المتجه (حيث تشير e إلى «النهاية»)، يمكننا الحصول على المكونات العددية للمتجه ببساطة عن طريق طرح نقطة الأصل الإحداثيات من إحداثيات نقطة النهاية:
\[ \begin{cases} A_{x} = x_{e} - x_{b} \\ A_{y} = y_{e} - y_{b} \ldotp \end{cases} \label{2.13}\]
يوجد مؤشر الماوس على شاشة عرض الكمبيوتر في موضعه الأولي عند النقطة (6.0 سم، 1.6 سم) بالنسبة للزاوية السفلية اليسرى. إذا قمت بتحريك المؤشر إلى رمز يقع عند نقطة (2.0 سم، 4.5 سم)، فما متجه الإزاحة للمؤشر؟
إستراتيجية
أصل نظام الإحداثيات xy هو الزاوية السفلية اليسرى من شاشة الكمبيوتر. لذلك، يشير متجه الوحدة\(\hat{i}\) على المحور السيني أفقيًا إلى اليمين ويشير متجه الوحدة\(\hat{j}\) على المحور y عموديًا لأعلى. يقع أصل متجه الإزاحة عند النقطة b (6.0، 1.6) ونهاية متجه الإزاحة تقع عند النقطة e (2.0، 4.5). استبدل إحداثيات هذه النقاط في المعادلة\ ref {2.13} للعثور على المكونات العددية D x و D y لمتجه الإزاحة\(\vec{D}\). أخيرًا، استبدل الإحداثيات في المعادلة\ ref {2.12} لكتابة متجه الإزاحة في نموذج مكون المتجه.
الحل
نحدد x b = 6.0، x e = 2.0، y b = 1.6، و y e = 4.5، حيث تكون الوحدة المادية 1 سم. المكونات العددية x- و y لناقل الإزاحة هي
\[D_{x} = x_{e} - x_{b} = (2.0 - 6.0)\; cm = -4.0\; cm,\]
\[D_{y} = y_{e} - y_{b} = (4.5 - 1.6)\; cm = + 2.9\; cm \ldotp\]
شكل مكون المتجهات لناقل الإزاحة هو
\[\vec{D} = D_{x}\; \hat{i} + D_{y}\; \hat{j} = (-4.0\; cm)\; \hat{i} + (2.9\; cm)\; \hat{j} = (-4.0\; \hat{i} + 2.9\; \hat{j})\; cm \ldotp \label{2.14}\]
يظهر هذا الحل في الشكل\(\PageIndex{2}\).
الدلالة
لاحظ أن الوحدة المادية - هنا، 1 سم - يمكن وضعها إما مع كل مكون مباشرة قبل متجه الوحدة أو بشكل عام لكلا المكونين، كما هو الحال في المعادلة\ ref {2.14}. في كثير من الأحيان، تكون الطريقة الأخيرة أكثر ملاءمة لأنها أبسط.
المكون x للمتجه\(\vec{D}_{x}\) = −4.0\(\hat{i}\) = 4.0 (\(- \hat{i}\)) لمتجه الإزاحة له المقدار |\(\vec{D}_{x}\) | = |−\(\hat{i}\) 4.0|| | = 4.0 لأن حجم متجه الوحدة هو |\(\hat{i}\) | = 1. لاحظ أيضًا أن اتجاه المكون x هو\(− \hat{i}\)، وهو مضاد لاتجاه المحور +x؛ وبالتالي،\(\vec{D}_{x}\) يشير متجه المكون x إلى اليسار، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{2}\). المكون x القياسي للمتجه\(\vec{D}\) هو D x = −4.0. وبالمثل، فإن المتجه y المكون\(\vec{D}_{y}\) =\(+ 2.9 \hat{j}\) لمتجه الإزاحة له حجم |\(\vec{D}_{y}\) | =\(\hat{j}\) |2.9|| | = 2.9 لأن حجم متجه الوحدة هو |\(\hat{j}\) | = 1. اتجاه المكون y هو\(+ \hat{j}\) الموازي لاتجاه المحور +y. لذلك،\(\vec{D}_{y}\) يشير متجه المكون y لأعلى، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{2}\). المكون y القياسي للمتجه\(\vec{D}\) هو D y = + 2.9. متجه الإزاحة\(\vec{D}\) هو ناتج مكوني المتجهين.
يخبرنا شكل مكون المتجهات لمعادلة متجه الإزاحة\ ref {2.14} أنه تم نقل مؤشر الماوس على الشاشة 4.0 سم إلى اليسار و 2.9 سم لأعلى من موضعه الأولي.
تهبط ذبابة زرقاء على ورقة رسم بياني عند نقطة تقع 10.0 سم على يمين الحافة اليسرى و8.0 سم فوق الحافة السفلية وتمشي ببطء إلى نقطة تقع على بعد 5.0 سم من الحافة اليسرى و5.0 سم من الحافة السفلية. اختر نظام الإحداثيات المستطيل مع الأصل في الزاوية السفلية اليسرى من الورقة وابحث عن متجه الإزاحة للذبابة. قم بتوضيح الحل الخاص بك عن طريق الرسوم البيانية.
عندما نعرف المكونات العددية A x و A y للمتجه\(\vec{A}\)، يمكننا إيجاد حجمه A وزاوية اتجاهه\(\theta_{A}\). زاوية الاتجاه - أو الاتجاه، باختصار - هي الزاوية التي يشكلها المتجه مع الاتجاه الإيجابي على المحور السيني. \(\theta_{A}\)يتم قياس الزاوية في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور +x إلى المتجه (الشكل\(\PageIndex{3}\)). نظرًا لأن الأطوال A و A و x و A Y تشكل مثلثًا قائمًا، فإنها ترتبط بنظرية فيثاغورس:
\[A^{2} = A_{x}^{2} + A_{y}^{2} \Leftrightarrow A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} \ldotp \label{2.15}\]
تعمل هذه المعادلة حتى إذا كانت المكونات العددية للمتجه سالبة. يتم تحديد زاوية اتجاه المتجه\(\theta_{A}\) من خلال دالة المماس للزاوية\(\theta_{A}\) في المثلث الموضح في الشكل\(\PageIndex{3}\):
\[ \tan \theta = \frac{A_{y}}{A_{x}} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{A_{y}}{A_{x}}\right) \ldotp \label{2.16}\]
عندما يقع المتجه إما في الربع الأول أو في الربع الرابع، حيث يكون المكون A x موجبًا (الشكل\(\PageIndex{4}\))، تكون الزاوية\(\theta\) في المعادلة\ ref {2.16}) مطابقة لزاوية الاتجاه\(\theta_{A}\). بالنسبة للمتجهات في الربع الرابع،\(\theta\) تكون الزاوية سالبة، مما يعني أنه بالنسبة لهذه المتجهات،\(\theta_{A}\) يتم قياس زاوية الاتجاه في اتجاه عقارب الساعة من المحور السيني الموجب. وبالمثل، بالنسبة للمتجهات في الربع الثاني،\(\theta\) تكون الزاوية سالبة. عندما يقع المتجه في الربع الثاني أو الثالث، حيث يكون المكون A x سالبًا، تكون زاوية الاتجاه\(\theta_{A}\) =\(\theta\) + 180° (الشكل\(\PageIndex{4}\)).
يمكنك تحريك مؤشر الماوس على شاشة العرض من موضعه الأولي عند النقطة (6.0 سم، 1.6 سم) إلى رمز موجود عند النقطة (2.0 سم، 4.5 سم). ما مقدار واتجاه متجه الإزاحة للمؤشر؟
إستراتيجية
على سبيل المثال\(\PageIndex{1}\)، وجدنا متجه\(\vec{D}\) الإزاحة لمؤشر الماوس (انظر المعادلة\ ref {2.14}). نحدد مكوناته العددية D x = −4.0 سم و D y = + 2.9 سم ونستبدل المعادلة\ المرجع {2.15} والمعادلة\ المرجع {2.16} لإيجاد المقدار D والاتجاه\(\theta_{D}\)، على التوالي.
الحل
حجم المتجه\(\vec{D}\) هو
\[D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2}} = \sqrt{(-4.0\; cm)^{2} + (2.9\; cm)^{2}} = \sqrt{(4.0)^{2} + (2.9)^{2}}\; cm = 4.9\; cm \ldotp\]
زاوية الاتجاه هي
\[ \tan \theta = \frac{D_{y}}{D_{x}} = \frac{+2.9\; cm}{-4.0\; cm} = -0.725 \Rightarrow \theta = \tan^{-1} (-0.725) = -35.9^{o} \ldotp\]
\(\vec{D}\)يقع المتجه في الربع الثاني، لذا فإن زاوية اتجاهه هي
\[\theta_{D} = \theta + 180^{o} = -35.9^{o}+ 180^{o} = 144.1^{o} \ldotp\]
إذا كان متجه الإزاحة لذبابة زرقاء تسير على ورقة رسم بياني يساوي\(\vec{D} = (−5.00\; \hat{i} − 3.00\; \hat{j})\) سم، فأوجد حجمه واتجاهه.
في العديد من التطبيقات، تكون مقادير واتجاهات كميات المتجهات معروفة ونحتاج إلى إيجاد ناتج العديد من المتجهات. على سبيل المثال، تخيل 400 سيارة تتحرك على جسر جولدن جيت في سان فرانسيسكو في رياح قوية. تمنح كل سيارة الجسر دفعة مختلفة في اتجاهات مختلفة ونود أن نعرف الحجم الذي يمكن أن يكون عليه الدفع الناتج. لقد اكتسبنا بالفعل بعض الخبرة في البناء الهندسي لمجموع المتجهات، لذلك نعلم أن مهمة العثور على النتيجة عن طريق رسم المتجهات وقياس أطوالها وزواياها قد تصبح مستعصية على الحل بسرعة كبيرة، مما يؤدي إلى أخطاء كبيرة. لا تظهر مثل هذه المخاوف عندما نستخدم الأساليب التحليلية. تتمثل الخطوة الأولى في النهج التحليلي في العثور على مكونات المتجهات عندما يكون اتجاه وحجم المتجه معروفًا.
دعونا نعود إلى المثلث الأيمن في الشكل\(\PageIndex{3}\). حاصل قسمة الضلع المجاور A x إلى الوتر A هو دالة جيب التمام لزاوية الاتجاه\(\theta_{A}\)، A x /A = cos\(\theta_{A}\)، وقسمة الطرف المقابل A y إلى الوتر A هو دالة الجيب لـ\(\theta_{A}\)، A y /A = sin\(\theta_{A}\). عندما يكون المقدار A والاتجاه\(\theta_{A}\) معروفين، يمكننا حل هذه العلاقات للمكونات العددية:
\[\begin{cases} A_{x} = A \cos \theta_{A} \\ A_{y} = A \sin \theta_{A} \ldotp \end{cases} \label{2.17}\]
عند حساب مكونات المتجهات باستخدام المعادلة\ ref {2.17}، يجب توخي الحذر عند الزاوية. زاوية الاتجاه\(\theta\) A للمتجه هي الزاوية المقاسة بعكس اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه الموجب على المحور x إلى المتجه. يعطي القياس في اتجاه عقارب الساعة زاوية سالبة.
فريق إنقاذ لطفل مفقود يتبع كلب بحث اسمه Trooper. يتجول Trooper كثيرًا ويقوم بالعديد من عمليات الشم التجريبية على طول العديد من المسارات المختلفة. يجد Trooper الطفل في النهاية وتنتهي القصة بنهاية سعيدة، ولكن يبدو أن نزوحه على أرجل مختلفة معقد حقًا. يمشي على إحدى ساقيه 200.0 مترًا جنوب شرق، ثم يركض شمالًا حوالي 300.0 مترًا، وفي الساق الثالثة، يفحص الروائح بعناية لمسافة 50.0 مترًا في اتجاه 30 درجة غرب الشمال. في المحطة الرابعة، يتجه تروبر جنوبًا مباشرةً لمسافة 80.0 مترًا، ويلتقط رائحة منعشة ويتحول إلى 23 درجة غربًا من الجنوب لمسافة 150.0 مترًا، وابحث عن المكونات العددية لمتجهات الإزاحة الخاصة بـ Trooper وناقلات الإزاحة الخاصة به في شكل مكون ناقل لكل ساق.
إستراتيجية
دعونا نعتمد نظام الإحداثيات المستطيل مع المحور السيني الموجب في اتجاه الشرق الجغرافي، مع توجيه الاتجاه y الموجب إلى الشمال الجغرافي. بشكل صريح، يشير متجه الوحدة\(\hat{i}\) للمحور السيني إلى الشرق ويشير متجه الوحدة\(\hat{j}\) للمحور y إلى الشمال. يصنع الجندي خمسة أرجل، لذلك هناك خمسة متجهات للإزاحة. نبدأ بتحديد مقاييسها وزوايا اتجاهها، ثم نستخدم المعادلة\ ref {2.17} للعثور على المكونات العددية للإزاحات والمعادلة\ ref {2.12} لمتجهات الإزاحة.
الحل
في الساق الأولى، يكون حجم الإزاحة L 1 = 200.0 m والاتجاه هو الجنوب الشرقي. بالنسبة لزاوية الاتجاه،\(\theta_{1}\) يمكننا قياس 45 درجة في اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه الشرقي أو 45 درجة + 270 درجة في عكس اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه الشرقي. مع الاختيار الأول،\(\theta_{1}\) = −45 درجة. مع الاختيار الثاني،\(\theta_{1}\) = + 315 درجة. يمكننا استخدام أي من هاتين الزاويتين. المكونات هي
\[ L_{1x} = L_{1} \cos \theta_{1} = (200.0\; m) \cos 315^{o} = 141.4\; m,\]
\[ L_{1y} = L_{1} \sin\theta_{1} = (200.0\; m) \sin 315^{o} = -141.4\; m,\]
ناقل الإزاحة للساق الأولى هو
\[\vec{L}_{1} = L_{1x}\; \hat{i} + L_{1y}\; \hat{j} = (14.4\; \hat{i} - 141.4\; \hat{j})\; m \ldotp\]
في الجزء الثاني من رحلات تروبر، يكون مقدار الإزاحة L 2 = 300.0 m والاتجاه نحو الشمال. زاوية الاتجاه هي\(\theta_{2}\) = + 90 درجة. نحصل على النتائج التالية:
\[ L_{2x} = L_{2} \cos \theta_{2} = (300.0\; m) \cos 90^{o} = 0.0,\]
\[ L_{2y} = L_{2} \sin \theta_{2} = (300.0\; m) \sin 90^{o} = 300.0\; m,\]
\[\vec{L}_{2} = L_{2x}\; \hat{i} + L_{2y}\; \hat{j} = (300.0\; m)\; \hat{j} \ldotp\]
في الساق الثالثة، يكون حجم الإزاحة L 3 = 50.0 m والاتجاه هو 30° غرب الشمال. زاوية الاتجاه المقاسة بعكس اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه الشرقي هي\(\theta\) 3 = 30 درجة + 90 درجة = + 120 درجة. هذا يعطي الإجابات التالية:
\[ L_{3x} = L_{3} \cos \theta_{3} = (50.0\; m) \cos 120^{o} = -25.0\; m,\]
\[ L_{3y} = L_{3} \sin \theta_{3} = (50.0\; m) \sin 120^{o} = + 43.3\; m,\]
\[\vec{L}_{3} = L_{3x}\; \hat{i} + L_{3y}\; \hat{j} = (-25.0\; \hat{i} + 43.3\; \hat{j})\; m \ldotp\]
في المرحلة الرابعة من الرحلة، يكون حجم الإزاحة L 4 = 80.0 m والاتجاه هو الجنوب. يمكن أخذ زاوية الاتجاه إما\(\theta_{4}\) = −90 درجة أو\ (\ theta_ {4} = + 270 درجة. نحصل على
\[ L_{4x} = L_{4} \cos \theta_{4} = (80.0\; m) \cos (-90^{o}) = 0,\]
\[ L_{4y} = L_{4} \sin \theta_{4} = (80.0\; m) \sin (-90^{o}) = -80.0\; m,\]
\[\vec{L}_{4} = L_{4x}\; \hat{i} + L_{4y}\; \hat{j} = (-80.0\; m)\; \hat{j} \ldotp\]
في الساق الأخيرة، يكون المقدار L 5 = 150.0 مترًا والزاوية\(\theta_{5}\) = −23 درجة + 270 درجة = + 247 درجة (23 درجة غرب الجنوب)، مما يعطي
\[ L_{5x} = L_{5} \cos \theta_{5} = (150.0\; m) \cos 247^{o} = -58.6\; m,\]
\[ L_{5y} = L_{5} \sin \theta_{5} = (150.0\; m) \sin 247^{o} = -138.1\; m,\]
\[\vec{L}_{5} = L_{5x}\; \hat{i} + L_{5y}\; \hat{j} = (-58.6\; \hat{i} - 138.1\; \hat{j})\; m \ldotp\]
إذا ركض تروبر لمسافة 20 مترًا غربًا قبل أخذ قسط من الراحة، فما هو ناقل التهجير الخاص به؟