2.2: الأرقام القياسية والمتجهات (الجزء 1)
- Page ID
- 199877
- وصف الفرق بين الكميات المتجهة والكميات العددية.
- حدد حجم واتجاه المتجه.
- اشرح تأثير ضرب كمية متجه في عدد قياسي.
- وصف كيفية إضافة أو طرح كميات المتجهات أحادية البعد.
- اشرح البناء الهندسي لجمع أو طرح المتجهات في المستوى.
- ميّز بين معادلة المتجهات والمعادلة العددية.
يمكن تحديد العديد من الكميات الفيزيائية المألوفة تمامًا من خلال إعطاء رقم واحد والوحدة المناسبة. على سبيل المثال، «تستغرق فترة الفصل 50 دقيقة» أو «خزان الغاز في سيارتي يتسع لـ 65 لترًا» أو «المسافة بين وظيفتين هي 100 متر». الكمية المادية التي يمكن تحديدها بالكامل بهذه الطريقة تسمى الكمية العددية. Scalar هو مرادف لـ «الرقم». الوقت والكتلة والمسافة والطول والحجم ودرجة الحرارة والطاقة هي أمثلة للكميات العددية.
يمكن إضافة أو طرح الكميات العددية التي لها نفس الوحدات الفيزيائية وفقًا لقواعد الجبر المعتادة للأرقام. على سبيل المثال، تدوم فئة تنتهي قبل 50 دقيقة بـ 10 دقائق من 50 دقيقة 50 دقيقة − 10 دقائق = 40 دقيقة. وبالمثل، فإن حصة 60 سعرة حرارية من الذرة تليها وجبة 200 سعرة حرارية من الكعك تعطي 60 سعرة حرارية+200 سعر حراري = 260 سعرة حرارية من الطاقة. عندما نضرب كمية قياسية في رقم، نحصل على نفس الكمية العددية ولكن بقيمة أكبر (أو أصغر). على سبيل المثال، إذا كان إفطار الأمس يحتوي على 200 سعرة حرارية من الطاقة وكان إفطار اليوم يحتوي على أربعة أضعاف الطاقة التي كانت عليه بالأمس، فإن وجبة الإفطار اليوم تحتوي على 4 (200 سعر حراري) = 800 سعرة حرارية من الطاقة. يمكن أيضًا ضرب كميتين قياسيتين أو تقسيمهما على بعضهما البعض لتشكيل كمية قياسية مشتقة. على سبيل المثال، إذا قطع القطار مسافة 100 كم في 1.0 ساعة، تكون سرعته 100.0 كم/1.0 ساعة = 27.8 م/ث، حيث تكون السرعة عبارة عن كمية قياسية مشتقة يتم الحصول عليها بقسمة المسافة على الوقت.
ومع ذلك، لا يمكن وصف العديد من الكميات الفيزيائية بالكامل من خلال عدد واحد فقط من الوحدات المادية. على سبيل المثال، عندما يرسل خفر السواحل الأمريكي سفينة أو طائرة هليكوبتر لمهمة إنقاذ، يجب أن يعرف فريق الإنقاذ ليس فقط المسافة إلى إشارة الاستغاثة، ولكن أيضًا الاتجاه الذي تأتي منه الإشارة حتى يتمكنوا من الوصول إلى أصلها في أسرع وقت ممكن. الكميات الفيزيائية المحددة بالكامل بإعطاء عدد من الوحدات (الحجم) والاتجاه تسمى الكميات المتجهة. تتضمن أمثلة كميات المتجهات الإزاحة والسرعة والموضع والقوة وعزم الدوران. في لغة الرياضيات، يتم تمثيل كميات المتجهات الفيزيائية بكائنات رياضية تسمى المتجهات (الشكل\(\PageIndex{1}\)). يمكننا جمع أو طرح متجهين، ويمكننا ضرب متجه في عدد قياسي أو متجه آخر، ولكن لا يمكننا القسمة على متجه. لم يتم تعريف عملية القسمة بواسطة متجه.
دعونا نفحص الجبر المتجه باستخدام طريقة رسومية للتعرف على المصطلحات الأساسية ولتطوير فهم نوعي. ولكن من الناحية العملية، عندما يتعلق الأمر بحل مشاكل الفيزياء، فإننا نستخدم الأساليب التحليلية، والتي سنراها في القسم التالي. تعتبر الطرق التحليلية أكثر بساطة من الناحية الحسابية وأكثر دقة من الطرق الرسومية. من الآن فصاعدًا، للتمييز بين المتجه والكمية العددية، نعتمد التقليد الشائع القائل بأن الحرف بخط عريض مع سهم فوقه يشير إلى متجه، والحرف بدون سهم يشير إلى رقم قياسي. على سبيل المثال، يتم الإشارة إلى مسافة 2.0 كم، وهي كمية قياسية، بـ d = 2.0 كم، بينما يتم الإشارة إلى الإزاحة البالغة 2.0 كم في اتجاه ما، وهي كمية متجهة\(\vec{d}\).
لنفترض أنك أخبرت صديقًا في رحلة تخييم أنك اكتشفت حفرة صيد رائعة على بعد 6 كيلومترات من خيمتك. من غير المحتمل أن يتمكن صديقك من العثور على الحفرة بسهولة ما لم تنقل أيضًا الاتجاه الذي يمكن العثور عليه فيه فيما يتعلق بمخيم المخيم الخاص بك. قد تقول، على سبيل المثال، «امشي حوالي 6 كيلومترات شمال شرق خيمتي». المفهوم الرئيسي هنا هو أنه لا يتعين عليك تقديم معلومات واحدة بل قطعتين من المعلومات - أي المسافة أو الحجم (6 كم) والاتجاه (الشمال الشرقي).
الإزاحة هي مصطلح عام يستخدم لوصف التغيير في الموضع، مثل أثناء الرحلة من الخيمة إلى حفرة الصيد. الإزاحة هي مثال لكمية المتجهات. إذا كنت تمشي من الخيمة (الموقع A) إلى الفتحة (الموقع B)، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{2}\)\(\vec{D}\)، يتم رسم المتجه، الذي يمثل الإزاحة الخاصة بك، كسهم ينشأ عند النقطة A وينتهي عند النقطة B. يمثل رأس السهم نهاية المتجه. اتجاه متجه الإزاحة\(\vec{D}\) هو اتجاه السهم. يمثل طول السهم حجم D للمتجه\(\vec{D}\). هنا، D = 6 كم. نظرًا لأن حجم المتجه هو طوله، وهو رقم موجب، يتم الإشارة إلى الحجم أيضًا عن طريق وضع رمز القيمة المطلقة حول الرمز الذي يشير إلى المتجه؛ لذلك، يمكننا أن نكتب بشكل مكافئ أن D ↵ |\(\vec{D}\) |. لحل مشكلة المتجهات بيانياً، نحتاج إلى رسم المتجه\(\vec{D}\) لتوسيع نطاقه. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن وحدة واحدة من المسافة (1 كم) ممثلة في الرسم بمقطع خطي بطول u = 2 سم، فإن إجمالي الإزاحة في هذا المثال يتم تمثيله بواسطة متجه طول d = 6u = 6 (2 سم) = 12 سم، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{3}\). لاحظ أنه هنا، لتجنب الارتباك، استخدمنا D = 6 كم للإشارة إلى حجم الإزاحة الفعلية و d = 12 سم للإشارة إلى طول تمثيلها في الرسم.
لنفترض أن صديقك يمشي من المخيم عند A إلى بركة الصيد عند B ثم يعود: من بركة الصيد في B إلى المخيم عند A. حجم ناقل الإزاحة\(\vec{D}_{AB}\) من A إلى B هو نفس حجم ناقل الإزاحة\(\vec{D}_{BA}\) من B إلى A (يساوي 6 كم في كليهما) الحالات)، حتى نتمكن من الكتابة\(\vec{D}_{AB}\) =\(\vec{D}_{BA}\). ومع ذلك، لا\(\vec{D}_{AB}\) يساوي المتجه المتجه\(\vec{D}_{BA}\) لأن هذين المتجهين لهما اتجاهات مختلفة\(\vec{D}_{AB}\):\(\vec{D}_{BA}\). في الشكل 2.3،\(\vec{D}_{BA}\) سيتم تمثيل المتجه بواسطة متجه له أصل عند النقطة B ونهاية عند النقطة A، مما يشير إلى\(\vec{D}_{BA}\) نقاط المتجه إلى الجنوب الغربي، وهو بالضبط 180 درجة مقابل اتجاه المتجه\(\vec{D}_{AB}\). نقول أن المتجه\(\vec{D}_{BA}\) يكون مضادًا للمتجه\(\vec{D}_{AB}\) ونكتب\(\vec{D}_{AB}\) =\(-\vec{D}_{BA}\)، حيث تشير علامة الطرح إلى الاتجاه المضاد للتوازي.
يُقال إن متجهين لهما اتجاهات متطابقة هما متجهان متوازيان - بمعنى أنهما متوازيان مع بعضهما البعض. متجهان متوازيان\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) ومتساويان، يُشار\(\vec{A}\) إليهما بـ =\(\vec{B}\)، إذا وفقط إذا كان لهما مقادير متساوية |\(\vec{A}\) | = |\(\vec{B}\) |. يُقال إن متجهين لهما اتجاهات متعامدة على بعضهما البعض هما متجه متعامد. هذه العلاقات بين المتجهات موضحة في الشكل\(\PageIndex{4}\).
يتحرك زورقان بمحرك يدعى أليس وبوب على بحيرة. بالنظر إلى المعلومات حول متجهات السرعة الخاصة بها في كل حالة من الحالات التالية، حدد ما إذا كانت متجهات السرعة الخاصة بها متساوية أم لا.
- تتحرك أليس شمالًا بسرعة 6 عقدة ويتحرك بوب غربًا بسرعة 6 عقدة.
- تتحرك أليس غربًا بسرعة 6 عقدة ويتحرك بوب غربًا بسرعة 3 عقدة.
- تتحرك أليس إلى الشمال الشرقي بسرعة 6 عقدة ويتحرك بوب جنوبًا بسرعة 3 عقدة.
- تتحرك أليس نحو الشمال الشرقي بسرعة 6 عقدة ويتحرك بوب نحو الجنوب الغربي بسرعة 6 عقدة.
- تتحرك أليس نحو الشمال الشرقي بسرعة 2 عقدة وبوب يقترب من الشاطئ إلى الشمال الشرقي بسرعة 2 عقدة.
جبر المتجهات في بُعد واحد
يمكن ضرب المتجهات بالأرقام القياسية، أو إضافتها إلى المتجهات الأخرى، أو طرحها من المتجهات الأخرى. يمكننا توضيح مفاهيم المتجهات هذه باستخدام مثال لرحلة الصيد الموضحة في الشكل\(\PageIndex{5}\).
لنفترض أن صديقك يغادر النقطة A (المخيم) ويمشي في الاتجاه إلى النقطة B (بركة الصيد)، ولكن، على طول الطريق، يتوقف للراحة عند نقطة C تقع على بعد ثلاثة أرباع المسافة بين A و B، بدءًا من النقطة A (الشكل\(\PageIndex{5a}\)). ما هو ناقل الإزاحة الخاص به\(\vec{D}_{AC}\) عندما يصل إلى النقطة C؟ نعلم أنه إذا سار على طول الطريق إلى B، فإن متجه الإزاحة الخاص به بالنسبة إلى A هو\(\vec{D}_{AB}\)، والذي يبلغ حجمه D AB = 6 كم واتجاهه نحو الشمال الشرقي. إذا كان يمشي فقط 0.75 جزءًا من المسافة الإجمالية، مع الحفاظ على الاتجاه الشمالي الشرقي، عند النقطة C يجب أن يكون 0.75 D AB = 4.5 كم بعيدًا عن المخيم عند A. لذلك، فإن متجه الإزاحة الخاص به عند نقطة الراحة C له حجم D AC = 4.5 كم = 0.75 D AB وهو موازي لـ ناقل الإزاحة\(\vec{D}_{AB}\). يمكن ذكر كل هذا بإيجاز في شكل معادلة المتجهات التالية:
\[\vec{D}_{AC} = 0.75\; \vec{D}_{AB} \ldotp \nonumber\]
في معادلة المتجهات، يكون كلا طرفي المعادلة متجهين. المعادلة السابقة هي مثال لمتجه مضروبًا في مقياس موجب (رقم)\(\alpha\) = 0.75. والنتيجة\(\vec{D}_{AC}\)، لمثل هذا الضرب، هي متجه جديد مع اتجاه مواز لاتجاه المتجه الأصلي\(\vec{D}_{AB}\). بشكل عام، عندما\(\vec{D}_{A}\) يتم ضرب المتجه في رقم قياسي إيجابي\(\alpha\)، تكون النتيجة\(\vec{D}_{B}\) متجهًا جديدًا موازيًا لـ\(\vec{D}_{A}\):
\[\vec{B} = \alpha \vec{A} \label{2.1}\]
يتم الحصول على الحجم\(\vec{B}\) | | لهذا المتجه الجديد بضرب المقدار |\(\vec{A}\) | للمتجه الأصلي، كما هو موضح بالمعادلة العددية:
\[ B = | \alpha | A \ldotp \label{2.2}\]
في المعادلة العددية، يكون كلا طرفي المعادلة عبارة عن أرقام. المعادلة\ ref {2.2} هي معادلة عددية لأن مقادير المتجهات هي كميات عددية (وأرقام موجبة). إذا كان الرقم القياسي\(\alpha\) سالبًا في معادلة المتجهات المعادلة\ ref {2.1}، فسيظل المقدار\(\vec{B}\) | | للمتجه الجديد مُعطى بالمعادلة\ ref {2.2}، ولكن اتجاه المتجه الجديد\(\vec{B}\) يكون مضادًا لاتجاه\(\vec{A}\). يتم توضيح هذه المبادئ في الشكل\(\PageIndex{6a}\) من خلال مثالين حيث يبلغ طول المتجه\(\vec{A}\) 1.5 وحدة. عندما\(\alpha\) = 2، يكون للمتجه الجديد\(\vec{B}\) = 2\(\vec{A}\) طول B = 2A = 3.0 وحدة (ضعف طول المتجه الأصلي) ويكون موازيًا للمتجه الأصلي. عندما\(\alpha\) = −2، يكون للمتجه الجديد\(\vec{C}\) = −2\(\vec{A}\) طول C = |−2| A = 3.0 وحدة (ضعف طول المتجه الأصلي) ويكون مضادًا للمتجه الأصلي.
لنفترض الآن أن رفيق الصيد الخاص بك يغادر النقطة A (المخيم)، ويمشي في الاتجاه إلى النقطة B (حفرة الصيد)، لكنه يدرك أنه فقد صندوق الصيد الخاص به عندما توقف للراحة عند النقطة C (تقع ثلاثة أرباع المسافة بين A و B، بدءًا من النقطة A). لذلك، يعود ويتتبع خطواته في الاتجاه نحو المخيم ويجد الصندوق ملقى على المسار في نقطة D على بعد 1.2 كم فقط من النقطة C (انظر الشكل\(\PageIndex{5b}\)). ما متجه الإزاحة الخاص به\(\vec{D}_{AD}\) عندما يجد الصندوق عند النقطة D؟ ما متجه الإزاحة الخاص به\(\vec{D}_{DB}\) من النقطة D إلى الحفرة؟ لقد أثبتنا بالفعل أنه عند نقطة الراحة C يكون متجه الإزاحة\(\vec{D}_{AC}\) = 0.75\(\vec{D}_{AB}\). بدءًا من النقطة C، يسير في اتجاه الجنوب الغربي (باتجاه المخيم)، مما يعني أن متجه الإزاحة الجديد الخاص به\(\vec{D}_{CD}\) من النقطة C إلى النقطة D يكون مضادًا لـ\(\vec{D}_{AB}\). حجمه |\(\vec{D}_{CD}\) | هو D CD = 1.2 كم = 0.2 D AB، لذا فإن متجه الإزاحة الثاني له هو\(\vec{D}_{CD}\) = −0.2\(\vec{D}_{AB}\). إجمالي نزوحه\(\vec{D}_{AD}\) بالنسبة إلى المخيم هو مجموع ناقلات الإزاحة: المتجه\(\vec{D}_{AC}\) (من المخيم إلى نقطة الراحة) والمتجه\(\vec{D}_{CD}\) (من نقطة الراحة إلى النقطة التي يجد فيها صندوقه):
\[\vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AC} + \vec{D}_{CD} \ldotp \label{2.3}\]
يُطلق على مجموع المتجهات لمتجهين (أو أكثر) اسم المتجه الناتج أو، باختصار، الناتج. عندما تكون المتجهات الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة\ ref {2.3} معروفة، يمكننا العثور على النتيجة على\(\vec{D}_{AD}\) النحو التالي:
\[\vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AC} + \vec{D}_{CD} = 0.75\; \vec{D}_{AB} - 0.2\; \vec{D}_{AB} = (0.75 - 0.2) \vec{D}_{AB} = 0.55 \vec{D}_{AB} \ldotp \label{2.4}\]
عندما يصل صديقك أخيرًا إلى البركة عند B، فإن متجه الإزاحة الخاص به\(\vec{D}_{AB}\) من النقطة A هو المجموع المتجه لناقل الإزاحة الخاص به\(\vec{D}_{AD}\) من النقطة A إلى النقطة D ومتجه الإزاحة الخاص به\(\vec{D}_{DB}\) من النقطة D إلى حفرة الصيد:\(\vec{D}_{AB}\) =\(\vec{D}_{AD}\) +\(\vec{D}_{DB}\) (انظر الشكل \(\PageIndex{5c}\)). هذا يعني أن ناقل الإزاحة الخاص به\(\vec{D}_{DB}\) هو الفرق بين متجهين:
\[\vec{D}_{DB} = \vec{D}_{AB} − \vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AB} + (− \vec{D}_{AD}) \ldotp \label{2.5}\]
لاحظ أن الفرق بين متجهين ليس أكثر من مجموع متجه لمتجهين لأن المصطلح الثاني في المعادلة\ ref {2.5} هو المتجه\(- \vec{D}_{AD}\) (الذي يتعارض مع\(\vec{D}_{AD}\)). عندما نستبدل المعادلة\ ref {2.4} في المعادلة\ ref {2.5}، نحصل على متجه الإزاحة الثاني:
\[\vec{D}_{DB} = \vec{D}_{AB} − \vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AB} − 0.55\; \vec{D}_{AB} = (1.0 − 0.55)\; \vec{D}_{AB} = 0.45\; \vec{D}_{AB} \ldotp \label{2.6}\]
هذه النتيجة تعني أن صديقك مشى D DB = 0.45 D AB = 0.45 (6.0 كم) = 2.7 كم من النقطة التي وجد فيها صندوق الصيد الخاص به إلى حفرة الصيد.
عندما\(\vec{B}\) تقع\(\vec{A}\) المتجهات على طول خط (أي في بُعد واحد)، كما هو الحال في مثال التخييم، فإن الناتج\(\vec{R}\) =\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) والفرق بينهما\(\vec{D}\) =\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) كلاهما يقعان في نفس الاتجاه. يمكننا توضيح جمع المتجهات أو طرحها من خلال رسم المتجهات المقابلة لقياس الحجم في بُعد واحد، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{6}\).
لتوضيح الناتج عندما يكون\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) هناك متجه متوازي، نرسمهما على طول سطر واحد عن طريق وضع أصل متجه واحد في نهاية المتجه الآخر بطريقة من الرأس إلى الذيل (انظر الشكل (\ pageIndex {6b}\)). حجم هذه النتيجة هو مجموع مقاييسها: R = A + B. اتجاه الناتج موازٍ لكلا المتجهين. عندما\(\vec{A}\) يكون المتجه مضادًا للمتجه\(\vec{B}\)، نرسمه على طول سطر واحد إما بشكل مباشر (الشكل (\ pageIndex {6c}\)) أو من الذيل إلى الذيل. إذن، حجم فرق المتجه هو القيمة المطلقة D = |A − B| لفرق مقاييسها. اتجاه متجه\(\vec{D}\) الفرق موازٍ لاتجاه المتجه الأطول.
بشكل عام، في بُعد واحد - وكذلك في الأبعاد الأعلى، كما هو الحال في الطائرة أو في الفضاء - يمكننا إضافة أي عدد من المتجهات ويمكننا القيام بذلك بأي ترتيب لأن إضافة المتجهات هي عملية تبديلية،
\[\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \ldotp \label{2.7}\]
والترابطي،
\[ (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) \ldotp \label{2.8}\]
علاوة على ذلك، فإن الضرب بالعداد يكون توزيعيًا:
\[ \alpha_{1} \vec{A} + \alpha_{2} \vec{A} = (\alpha_{1} + \alpha_{2}) \vec{A} \ldotp \label{2.9}\]
استخدمنا خاصية التوزيع في المعادلة\ ref {2.4} والمعادلة\ ref {2.6}.
عند إضافة العديد من المتجهات في بُعد واحد، يكون من الملائم استخدام مفهوم متجه الوحدة. يبلغ حجم متجه الوحدة، الذي يُشار إليه برمز حرف بقبعة\(\hat{u}\)، مثل، واحدًا ولا يحتوي على أي وحدة مادية بحيث |\(\hat{u}\) | ↵ u = 1. الدور الوحيد لمتجه الوحدة هو تحديد الاتجاه. على سبيل المثال، بدلاً من القول بأن المتجه\(\vec{D}_{AB}\) يبلغ حجمه 6.0 كم واتجاهه نحو الشمال الشرقي، يمكننا إدخال متجه الوحدة\(\hat{u}\) الذي يشير إلى الشمال الشرقي ونقول بإيجاز ذلك\(\vec{D}_{AB}\) = (6.0 كم)\(\hat{u}\). ثم يتم إعطاء الاتجاه الجنوبي الغربي ببساطة بواسطة متجه الوحدة\(- \hat{u}\). بهذه الطريقة، يتم التعبير عن إزاحة 6.0 كم في الاتجاه الجنوبي الغربي بواسطة المتجه
\[\vec{D}_{BA} = (−6.0\; km)\; \hat{u} \ldotp \nonumber\]