7.5: أشكال معادلة الخط المستقيم
شرح القسم السابق معادلات الخطوط الرأسية والأفقية. اكتشف الآن ثلاثة أشكال أخرى لمعادلات الخط، وهي نموذج المنحدر المقطوع، ونموذج النقطة المنحدرة، والنموذج القياسي.
صورة المنحدر والجزء المقطوع من معادلة الخط المستقيم
شكل المنحدر المقطوع لمعادلة الخط المستقيم هو بالشكل التالي:
y=mx+b
mأين منحدر الخط الفاصل(0,b) وهو الجزءy المقطوع.
لاحظ أنy التقاطع -هو النقطة التي يتقاطع فيها الخط معy المحور −، أي عندماx=0.
اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يحتوي على المنحدراتy المعطاة ونقاط التقاطع.
- المنحدر =5؛y −التقاطع(0,12)
- المنحدر =−56؛y - الاعتراض(0,−34)
الحل
- m=5وb=12
معادلة الخط المستقيم هي الرابعةy=mx+b. وهكذا،
\boldsymbol{\begin{array} &&y = mx + b &\text{Slope-intercept form} \\ &= 5x + \dfrac{1}{2} &\text{Substitute \(m = 5}وb=12}\ end {المصفوفة}\)
لذلك،y=5x+12 هي معادلة الخط المستقيم الذي يحتوي على المنحدر المُعطىy والجزء المقطوع.
- نظراm=−56 وb=−34
وهكذا،
y=mx+bSlope-intercept form=−56x−34Substitute values
لذلك،y=−56x−34 هي معادلة الخط المستقيم الذي يحتوي على المنحدر المُعطىy والجزء المقطوع.
حدِّد المنحدر ثم الجزءy المقطوع، ثم استخدمهما لتمثيل كل خط بيانيًّا.
- y=−2x+4
- 5y−3x=10
الحل
أ- لاحظ أن المعادلة الخطية المعطاة هي في صورة التقاطع المنحدر. لذلك،m=−2 أو بما يعادل ذلك،m=−21 وb=4
mهو منحدر الخط، إذنm=riserun=−21. لرسم الخط، ارسم نقطتين على الأقل. ابدأ عندy التقاطع −(0,4) ثم انتقل إلى2 الوحدة السفلية ثم انتقل إلى1 الوحدة اليمنى لرسم النقطة الثانية. الآن قم بربط النقطتين بخط مستقيم كما هو موضح في الشكل أدناه.
ب- لاحظ أنه ليس من الواضح كيفية تحديد المنحدر والجزءy المقطوع في هذه المعادلة الخطية المعطاة لأنها ليست في شكل المنحدر والفاصل. وهكذا، قمy بحل المعادلة في الصورة المقطوعة للانحدار كما يلي،
\boldsymbol{\begin{array} &&5y − 3x = −10 &\text{Given} \\ &5y = 3x − 10 &\text{Add \(3x}على جانبي المعادلة}\\ &y =\ dfrac {3} {5} x − 2 &\ text {قسّم كل المصطلحات5 إلى العزلy}\ end {المصفوفة}\)
الآن،m=35 وb=−2. ابدأ برسمy التقاطع(0,−2) -ثم انقل3 الوحدات لأعلى5 والوحدات إلى اليمين وارسم النقطة الثانية وهي(5,1). الآن، قم بربط النقطتين،(0,−2) أي(5,1) للحصول على الرسم البياني للخط الموضح في الشكل أدناه.
اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يحتوي على المنحدر المُعطى والجزءy المقطوع من نقطة التقاطع.
- المنحدر:2y -التقاطع:(0,34)
- المنحدر:57y -التقاطع:(0,−6)
- المنحدر:−12y -التقاطع:(0,−711)
حدد المنحدر والجزءy المقطوع ثم استخدمهما لرسم كل خط بيانيًا.
- y=5x−3
- 2y=−6x+1
صيغة النقطة المنحدرة لمعادلة الخط المستقيم
نموذج نقطة المنحدر لمعادلة الخط المستقيم هو:
y−y1=m(x−x1)
mأين منحدر الخط وأي(x1,y1) نقطة على الخط المستقيم.
أوجد معادلة كل خط يمر بالنقطة المُعطاة ومنحدرًا مُعطى.
- المنحدر3 والنقطة(−1,8)
- المنحدر−52 والنقطة(43,13)
الحل
- للعثور على معادلة الخط الذي يمر بالنقطة(−1,8) ذات المنحدرm=3، استخدم نموذج نقطة المنحدر كما يلي:
\boldsymbol{\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-Slope form} \\ &y − 8 = 3[x − (−1)] &\text{Substitute \(m = 3}x1=−1, وy1=8}\\ &y − 8 = 3 (x + 1) و\ text {تبسيط}\\\ &y − 8 = 3x + 3 &\ text {اضرب كلا المصطلحين على يمين المعادلة بـ3}\\\ &y = 3x + 11 &\ text {أضف8 إلى جانبي المساواة لعزلy}\ نهاية {المصفوفة}\)
لذلك،y=3x+11 هي معادلة الخط المستقيم الذي يحتوي على المنحدر والنقطة المُعطاة. الخط في شكل التقاطع المنحدر.
- على غرار الجزء أ، استخدم نموذج Point-Slope كما يلي:
\boldsymbol{\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-Slope form} \\ & y−(−\dfrac{1}{3}) = −\dfrac{5}{2} (x −\dfrac{4}{3}) &\text{Substitute \(m = −\dfrac{5}{2},\;\; x_1 = \dfrac{4}{3}}, وy1=−13}\\ &y +\ dfrac {1} {3} = −\ dfrac {5} {2} x +\ dfrac {20} {6} و\ النص {التوزيع والتبسيط}\\\ y = −\ dfrac {5} {2} x +\ dfrac {6} −\ dfrac {1} {3} & النص {2}13 من كلا الجانبين}\\ &y = −\ dfrac {5} {2} x + 3 &\ text {لدمج الجزأين، لاحظ ما يلي: شاشة LCD=6.}\\ &\ text {اضرب البسط والمقام لـ13 y2 وقم بتبسيط:}\\ & &\ text {206−1(2)3(2)=206−26=186=3}\ end {المصفوفة}\)
لذلك،y=−52x+3 هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة العطاء والمنحدر المعطى.
ابحث عن معادلة الخط المعطى بالنقاط(2,4) و(−3,9).
لاحظ أنه في وقت سابق من هذا الفصل شرح كيفية إيجاد معادلة الخط المستقيم بمعلومية المنحدرy والجزء المقطوع. يشرح هذا الفصل أيضًا كيفية إيجاد معادلة الخط المستقيم بمعلومية أي نقطة على الخط والمنحدر. لذلك، في كلتا الطريقتين، يتم إعطاء المنحدر.
الحل
لإيجاد معادلة خط مستقيم بمعلومية أي نقطتين على الخط المستقيم، أوجد أولًا الميل باستخدام ميل صيغة الخط المستقيم. بعد ذلك، قم بتطبيق نموذج نقطة المنحدر مع أي من النقاط المحددة. أولاً، استخدم النقطتين للعثور على ميل الخط. دعونا(x1,y1)=(2,4) و(x2,y2)=(−3,9). ثم،
m=y2−y1x2−x1Slope of the line formula=9−4−3−2Substitute values=5−5Simplify=−1
الآن تم العثور على المنحدر، لذا ابحث بعد ذلك عن معادلة الخط باستخدام أي من النقاط المعطاة. وبالتالي،m=−1 فكر في استخدام النقطة(2,4).
\boldsymbol{\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-slope form} \\ &y − 4 = −1(x − 2) &\text{Substitute \(m = −1}x1=2,y1=4}\\ &y − 4 = −x + 2 &\ text {قم−1 بالتوزيع على كلا المصطلحين على اليمين}\\\ &y = −x + 6 &\ text {أضف4 إلى جانبي المعادلة لعزلy}\ end {المصفوفة}\)
لذلك،y=−x+6 هي معادلة الخط الذي يمر عبر النقطة المعطاة ولها شكل المنحدر المقطوع.
أوجد معادلة كل خط يمر بالنقطة المُعطاة وله ميل مُعطى.
- المنحدر−52 والنقطة(3,0).
- المنحدر12 والنقطة(−2,−3).
ابحث عن معادلة الخط بمعلومية النقاط التالية.
- (−9,−3)و(6,−2)
- (4,1)و(−2,2)
الشكل القياسي لمعادلة الخط المستقيم (المعروف أيضًا باسم الشكل العام للمعادلة الخطية)
الشكل القياسي للخط غير العمودي هو في النموذج
Ax+By=C
أينA يوجد عدد صحيح موجب،BC والأعداد الصحيحة معB≠0.
رسم بياني لكل سطر من المعادلات التالية:
- 4x−3y=6
- 12−y+1=0
لاحظ أنx التقاطع - هو النقطة التي يتقاطع فيها الخط معx المحور -. هذا هو الوقتy=0. وبالتالي، فإنx -Intercept هي نقطة من النموذج(a,0)، حيثa يوجد أي رقم حقيقي.
الحل
- المعادلة4x−3y=6 في الشكل القياسي. لرسم خط المعادلة المعطاة، قد يكون من الممكن استخدام أكثر من طريقة. على سبيل المثال، حل المشكلةy للحصول على المعادلة في صورة التقاطع المنحدر، ثم رسم الخط بيانيًا. من الممكن أيضًا العثور على نقطتين، ثم رسم الخط. أسهل نقطتين يمكن العثور عليهما بسرعة هما النقطةxy والاعتراض. لذلك، يوصى بهذه الطريقة.
لإيجادx التقاطع السيني، ضعy=0 المعادلة المعطاة وحلّهاx كما يلي:
\boldsymbol{\begin{array} &&4x − 3y = 6 &\text{Given} \\ &4x − 3(0) = 6 &\text{Substitute \(y = 0}}\\ &4x = 6 &\ text {تبسيط}\\ &x =\ dfrac {6} {4}\\ text {القسمة على4 جانبي المعادلة}\\\ &x =\ dfrac {3} {2}\\ النص {تبسيط}\ نهاية {مصفوفة}\)
وبالتالي، فإنx نقطة التقاطع هي النقطة(32,0)
الآن، للعثور علىy التقاطع، اضبط علىx=0 النحو التالي،
\boldsymbol{\begin{array} &&4x − 3y = 6 &\text{Given} \\ &4(0) − 3y = 6 &\text{Substitute \(x = 0}}\\ &−3y = 6 &\ text {تبسيط}\\ &y = 6 −3 &\ النص {القسمة على−3 جانبي المعادلة}\\\ &y = −2\ النص {تبسيط}\ نهاية {المصفوفة}\)
الآن، ارسم النقاط(32,0)(0,−2) ورسم الخط المستقيم الذي يمر عبرها كما هو موضح في الشكل أدناه.
المعادلة12x−y+1=0 ليست في الشكل القياسي. لذلك، اطرح1 من كلا طرفي المعادلة للحصول على12x−y=−1 ما هو الآن في الصورة القياسية.
مرة أخرى، على غرار الجزء ب، ابحث عنx المعترضين وy -المعترضين. أولاً، ابحث عنx -incircept عن طريق الإعدادy=0 والحل علىx النحو التالي.
\boldsymbol{\begin{array} &&\dfrac{1}{2}x − y = −1 &\text{Standard form of the given equation} \\ &\dfrac{1}{2}x − (0) = −1 &\text{Substitute \(y = 0}}\\\ dfrac {1} {2} x = −1 &\ text {تبسيط}\\ &x = −2\\ text {اضرب2 بكلا طرفي المعادلة.} \ end {مصفوفة}\)
وبالتالي، فإن النقطةx -Intercept هي النقطة(−2,0).
الآن، قمx=0 بتعيين البحثy عن التقاطع، كما يلي،
\boldsymbol{\begin{array} &&\dfrac{1}{2}x − y = −1 &\text{Standard form of the given equation} \\ &\dfrac{1}{2}(0) − y = −1 &\text{Substitute \(x = 0}}\\ &−y = −1 &\ text {تبسيط}\\ &y = 1 &\ text {−1اضرب في} \ end {مصفوفة}\)
ومن ثم، فإنy نقطة التقاطع هي(0,1).
ارسم نقاط التقاطعxy و - ثم(−2,0) ارسم(0,1) الخط المستقيم الذي يمر عبرهما كما هو موضح في الشكل أدناه.
لا توجد واجبات منزلية لهذا القسم.