Skip to main content
Query

7.3: الخطوط المستقيمة العمودية

  • Page ID
    166917
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    تعريف: الخطوط المستقيمة العمودية

    خطان متميزان\(l\)\(q\) وعموديان، مكتوبان\(l ⊥ q\)، إذا كان تقاطعهما يشكل أربع زوايا قائمة أو زوايا مع القياس\(90^{\circ}\). منحدرات الخطوط العمودية\(l\)\(q\) والتبادلية السالبة. وهذا هو،

    \[m_l = −\dfrac{1}{m_q} \nonumber \]

    و

    \[m_q = − \dfrac{1}{m_l} \nonumber \]

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.03:_الخطوط_المستقيمة_العمودية), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    حدِّد إذا ما كانت الخطوط المُعطاة متعامدة. الخط\(l\) الذي يمر عبر النقطتين\((0, 1)\) و\((1, 3)\)، والخط\(q\) الذي يمر عبر النقطتين\((−1, 4)\) و\((5, 1)\).

    الحل

    لتحديد ما إذا كانت الخطوط متعامدة، ابحث أولاً عن منحدراتها باستخدام ميل الصيغة المستقيمة. منحدر الخط\(l\)\(m_l\)، الذي يمر عبر النقاط\((0, 1)\)\((1, 3)\) وهو،

    \(\begin{array}s m_l &= \dfrac{3 − 1}{1 − 0} \\ &= \dfrac{2}{1} \\ &= 2 \end{array}\)

    منحدر الخط\(q\)\(m_q\)، الذي يمر عبر النقاط\((−1, 4)\) و\((5, 1)\)، هو

    \(\begin{array}s m_q &= \dfrac{1 − 4}{5 − (-1)} \\ &= \dfrac{-3}{6} \\ &= \dfrac{-1}{2} \end{array}\)

    أما الآن،\(l\) فتكون الخطوط المستقيمة\(q\) متعامدة إذا وفقط في الحالات التالية:

    \(m_l = −\dfrac{1}{m_q} \text{ and } m_q = −\dfrac{1}{m_l}\)

    \(m_l = 2\)و\(m_q = −\dfrac{1}{m_l} = −\dfrac{1}{2}\). ومن ثم، فإن منحدرات الخطوط عبارة عن تبادلات سالبة، لذا يمكن استنتاج أن الخطوط\(l\) والخطوط\(q\) هي خطوط عمودية.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.03:_الخطوط_المستقيمة_العمودية), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    أوجد ميل الخط المستقيم العمودي على الخط\(l\) الذي يمر عبر النقطتين\((−3, 0)\) و\((3, 4)\).

    الحل

    ابدأ بإيجاد ميل الخط\(l\) الذي يمر عبر النقاط\((3, 4)\)،\((−3, 0)\) وباستخدام ميل صيغة الخط المستقيم. وهكذا،

    \(\begin{array} s m_l &= \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \\ &= \dfrac{4 − 0}{3 − (−3)} \\ &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac{2}{3} \end{array}\)

    \(l\)يجب أن يحتوي أي خط عمودي على الخط على منحدر يساوي سالب نقطة ميل ميله. منذ\(m_l = \dfrac{2}{3}\) ذلك الحين\(l\) يجب أن يكون منحدر الخط العمودي على الخط\(m = −\dfrac{3}{2}\)

    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.03:_الخطوط_المستقيمة_العمودية), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    حدِّد إذا ما كانت الخطوط المُعطاة متعامدة.

    1. الخط\(l\) الذي يمر عبر النقاط\((0, 4)\)\((5, 3)\) والخط\(q\) الذي يمر عبر النقاط\((1, 5)\) و\((−1, −5)\).
    2. الخط\(l\) الذي يمر عبر النقاط\((−2, −5)\)\((1, 7)\) والخط\(q\) الذي يمر عبر النقاط\((−4, 1)\) و\((−3, −3)\).
    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.03:_الخطوط_المستقيمة_العمودية), /content/body/section[5]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    أوجد ميل الخط المستقيم العمودي على:

    1. الخط\(l\) الذي يمر عبر النقاط\((4, 2)\) و\((−1, −2)\).
    2. الخط\(q\) الذي يمر عبر النقاط\((7, −8)\) و\((9, 1)\).