6.2: حل معادلات القيمة المطلقة

Last updated
Save as PDF

Page ID: 167092

Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} $

$ \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} $

$ \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}$

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

لحل معادلات القيمة المطلقة، ضع في اعتبارك أولاً الخاصيتين التاليتين للقيمة المطلقة:

تعريف: خصائص القيمة المطلقة

الخاصية 1: من أجل$b > 0$،$|a| = b$ إذا وفقط إذا$a = b$ أو$a = −b$

الخاصية 2: لأي أرقام$a$ حقيقية وفقط$|a| = |b|$ إذا$a = b$ أو$b$$a = −b$

قبل تطبيق الخاصية 1، اعزل تعبير القيمة المطلقة إلى أي من جانبي المعادلة.
تحقق من الحلول عن طريق استبدالها مرة أخرى في المعادلة الأصلية.
يتم تقديم الحلول كمجموعة حلول من النموذج$\{p, q\}$$p$ وأين$q$ توجد أي أرقام حقيقية.
يتم رسم مجموعة حل معادلة القيمة المطلقة في صورة نقاط على خط الأعداد.

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

حل كل معادلة ورسم مجموعة الحلول بيانيًا.

$|x| = 7$
$|5x – 3| = 2$
$|20 – x| = −80$

الحل

لحل المشكلة$|x| = 7$، قم بتطبيق الخاصية 1 مع$a = x$ و$b = 7$.

لذلك، فإن الحلول هي$x = 7$،$x = −7$ و، ومجموعة الحلول هي$\{-7,7\}$. الرسم البياني لمجموعة الحلول كما هو موضح في الشكل أدناه.

$clipboard_e4e661622afb19f733118b1049d678a57.png$

يمكن توسيع طريقة حل المعادلة المستخدمة في الجزء أ إلى المعادلة المعطاة في هذا الجزء باستخدام$a = 5x – 3$ و$b = 2$.

وبالتالي،$|5x – 3| = 2$ فإن معادلة القيمة المطلقة تعادل:

$\begin{array} &&5x − 3 = 2 &\text{ or } &5x − 3 = −2 &\text{Property 1} \\ &5x = 5 &\text{ or } &5x = 1 &\text{Add \(3$إلى جانبي المعادلات}\\ &x = 1 &\ text {أو} &x =\ dfrac {1} {5} &\ text {القسمة على$5$ جانبي المعادلات}\ end {array}\)

الآن، تحقق مما إذا كانت$x = 1$$x = \dfrac{1}{5}$ هناك حلول لمعادلة القيمة المطلقة المعطاة.

$\begin{array} &&\text{For } x = 1 &\text{For } x = \dfrac{1}{5} &\\ &|5x − 3| = 2 &|5x − 3| = 2 &\text{Given} \\ &|5(1) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &|5 \left( \dfrac{1}{5} \right) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &\text{Substitute the \(x$-values}\\ &| 5 − 3|\ ستاكريل {؟} {=} 2 &| 1 − 3|\ ستاكريل {؟} {=} 2 &\ text {تبسيط}\\ &|2|\ ستاكريل {؟} {=} 2 &|− 2|\ ستاكريل {؟} {=} 2 &\ text {تطبيق تعريف القيمة المطلقة}\\ &2 = 2\؛\ علامة الاختيار &2 = 2\؛\ علامة الاختيار\ النهاية {المصفوفة}\)

بما أن المعادلات أعلاه صحيحة، إذن،$x = 1$$x = \dfrac{1}{5}$ وهي حلول لمعادلة القيمة المطلقة المعطاة. مجموعة الحلول هي$\left\{\dfrac{1}{5} , 1\right\}$. الرسم البياني لمجموعة الحلول كما هو موضح في الشكل أدناه.

$clipboard_e78f4a9bbcf248134874230631b7dada3.png$

نظرًا لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة أبدًا، فلا توجد أرقام حقيقية$x$ تجعل القيمة$|20 – x| = −80$ صحيحة. لا تحتوي المعادلة على حل ومجموعة الحلول هي$∅$.

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا.

$\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18$
$4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5$
$|4x – 3| = |x + 6|$

الحل

لاحظ أن تعبير القيمة المطلقة ليس معزولًا مما يعني أنه لا يمكن تطبيق الخصائص. أولاً، قم بالعزل$\left| \dfrac{4}{3}x + 3 \right|$ على الجانب الأيسر من المعادلة، ثم قم بتطبيق الخاصية 1.

$\begin{array} &&\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18 &\text{Given equation} \\ & \left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 &\text{Subtract \(8$من كلا جانبي المعادلة}\ end {array}\)

مع عزل القيمة المطلقة الآن، قم$\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10$ بالحل باستخدام الخاصية 1، مع$a = \dfrac{4}{3} x + 3$$b = 10$ وكما يلي،

$\begin{array} && &\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 & & \\ &\dfrac{4}{3} + 3 = 10 &\text{ or } & \dfrac{4}{3} + 3 = -10 &\text{Property 1} \\ &\dfrac{4}{3} x = 7 &\text{ or } &\dfrac{4}{3}x = −13 &\text{Subtract \(3$من كلا الجانبين}\\ &x =\ dfrac {21} {4} &\ text {أو} &x = −\ dfrac {39} {4} و\ text {اضرب كلا الجانبين في$\dfrac{3}{4}$}\ النهاية {المصفوفة}\)

تحقق من الحلول$x = −\dfrac{39}{4}$$x = \dfrac{21}{4}$ واستبدلها بمعادلة القيمة المطلقة الأصلية. مجموعة الحلول هي$\left\{ −\dfrac{39}{4}, \dfrac{21}{4} \right\}$ والرسم البياني لمجموعة الحلول كما هو موضح في الشكل أدناه.

$clipboard_e42b1bbc90f71c52e8a95664a185e2c67.png$

على غرار الجزء أ، اعزل تعبير القيمة المطلقة. لذلك، قم أولاً بالعزل$\left| \dfrac{1}{3} x − 6 \right|$ على الجانب الأيسر من المعادلة وتطبيق الخاصية 1.

$\begin{array} &&4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5 &\text{Given equation} \\ &4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| = 0 &\text{Add \(5$على جانبي المعادلة}\\ &\ يسارة|\ dfrac {1} {3} x − 6\ اليمين | = 0\\ text {$4$القسمة على جانبي المعادلة}\ النهاية {المصفوفة}\)

يتم عزل القيمة المطلقة. نظرًا$0$ لأنه الرقم الوحيد الذي تكون قيمته المطلقة$0$،$\dfrac{1}{3}x − 6$ يجب أن يكون التعبير مساويًا لـ$0$. لذا،

$\begin{array} &&\dfrac{1}{3}x − 6 = 0 & \\ &\dfrac{1}{3}x − 6 &\text{Add \(6$على جانبي المعادلة}\\ &x = 18 &\ text {اضرب كلا الجانبين في$3$}\ end {array}\)

الحل هو$18$ ومجموعة الحلول هي$\{18\}$. تحقق من أنها تلبي المعادلة الأصلية. الرسم البياني لمجموعة الحلول كما هو موضح في الشكل أدناه.

$clipboard_e2acd5153df84bfef5569962926db627b.png$

$|4x − 7| = |x + 14|$لاحظ أنه لحل المشكلة$|4x − 7| = |x + 14|$، استخدم الخاصية 2 مع$a = 4x − 7$ و$b = x + 14$.

$\begin{array} && &|4x − 7| = |x + 14| & &\text{Given} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −(x + 14) &\text{Property 2} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −x − 14 &\text{Distribute \(−1$لتبسيط المعادلة الصحيحة}\\ &4x = x + 21 &\ text {أو} &4x = −x − 7 &\ text {أضف$7$ إلى جانبي كل مساواة}\\\ &3x = 21\\\ نص {أو} &5x = −7\\ text {تبسيط}\\ &x = 7\\\ نص {أو} &x = −\ dfrac {7} {5} و\ text = 7\\ text {قسّم كل معادلة على $x$المعامل -}\ النهاية {المصفوفة}\)

تحقق من الحلول$x = −\dfrac{7}{5}$$x = 7$ واستبدلها بمعادلة القيمة المطلقة الأصلية. مجموعة الحلول هي$\left\{ −\dfrac{7}{5}, 7\right\}$. الرسم البياني للحل كما هو موضح في الشكل أدناه.

$clipboard_eb0f0ab26e578678046e463bf1d8ac854.png$

التمرين

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بحل كل معادلة، وتحقق من الحل ورسم مجموعة الحلول.

$|x| = 19$
$|x − 4| = 10$
$|2x − 5| = 12$
$\left|\dfrac{x}{11} \right| = 2.5$
$|x − 3.8| = −2.7$
$|3x − 4.5| = 9.3$
$\dfrac{8}{3} |x − 6| = 14$
$|x + 15| − 19 = 7$
$|11x + 3| + 28 = 16$
$ \left| \dfrac{8}{7} x + 9 \right| − 2 = 8$
$ −3|2x − 7| + 13 = 13$
$ 8 − 5|10x + 6| = 5$
$ |5x − 14| = |3x − 9|$
$ |15x| = |x − 21|$
$ |4x − 7| = |5(2x + 3)|$
$ \dfrac{7}{8} = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{2x}{5}$

Search

تعريف: خصائص القيمة المطلقة

مثال
ParseError: invalid ArgList (click for details)
Callstack: at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

مثال
ParseError: invalid ArgList (click for details)
Callstack: at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

التمرين
ParseError: invalid ArgList (click for details)
Callstack: at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17