Skip to main content
Query

6.2: حل معادلات القيمة المطلقة

  • Page ID
    167092
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    لحل معادلات القيمة المطلقة، ضع في اعتبارك أولاً الخاصيتين التاليتين للقيمة المطلقة:

    تعريف: خصائص القيمة المطلقة

    الخاصية 1: من أجل\(b > 0\)،\(|a| = b\) إذا وفقط إذا\(a = b\) أو\(a = −b\)

    الخاصية 2: لأي أرقام\(a\) حقيقية وفقط\(|a| = |b|\) إذا\(a = b\) أو\(b\)\(a = −b\)

    • قبل تطبيق الخاصية 1، اعزل تعبير القيمة المطلقة إلى أي من جانبي المعادلة.
    • تحقق من الحلول عن طريق استبدالها مرة أخرى في المعادلة الأصلية.
    • يتم تقديم الحلول كمجموعة حلول من النموذج\(\{p, q\}\)\(p\) وأين\(q\) توجد أي أرقام حقيقية.
    • يتم رسم مجموعة حل معادلة القيمة المطلقة في صورة نقاط على خط الأعداد.
    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    حل كل معادلة ورسم مجموعة الحلول بيانيًا.

    1. \(|x| = 7\)
    2. \(|5x – 3| = 2\)
    3. \(|20 – x| = −80\)

    الحل

    1. لحل المشكلة\(|x| = 7\)، قم بتطبيق الخاصية 1 مع\(a = x\) و\(b = 7\).

    لذلك، فإن الحلول هي\(x = 7\)،\(x = −7\) و، ومجموعة الحلول هي\(\{-7,7\}\). الرسم البياني لمجموعة الحلول كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e4e661622afb19f733118b1049d678a57.png

    1. يمكن توسيع طريقة حل المعادلة المستخدمة في الجزء أ إلى المعادلة المعطاة في هذا الجزء باستخدام\(a = 5x – 3\) و\(b = 2\).

    وبالتالي،\(|5x – 3| = 2\) فإن معادلة القيمة المطلقة تعادل:

    \(\begin{array} &&5x − 3 = 2 &\text{ or } &5x − 3 = −2 &\text{Property 1} \\ &5x = 5 &\text{ or } &5x = 1 &\text{Add \(3\)إلى جانبي المعادلات}\\ &x = 1 &\ text {أو} &x =\ dfrac {1} {5} &\ text {القسمة على\(5\) جانبي المعادلات}\ end {array}\)

    الآن، تحقق مما إذا كانت\(x = 1\)\(x = \dfrac{1}{5}\) هناك حلول لمعادلة القيمة المطلقة المعطاة.

    \(\begin{array} &&\text{For } x = 1 &\text{For } x = \dfrac{1}{5} &\\ &|5x − 3| = 2 &|5x − 3| = 2 &\text{Given} \\ &|5(1) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &|5 \left( \dfrac{1}{5} \right) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &\text{Substitute the \(x\)-values}\\ &| 5 − 3|\ ستاكريل {؟} {=} 2 &| 1 − 3|\ ستاكريل {؟} {=} 2 &\ text {تبسيط}\\ &|2|\ ستاكريل {؟} {=} 2 &|− 2|\ ستاكريل {؟} {=} 2 &\ text {تطبيق تعريف القيمة المطلقة}\\ &2 = 2\؛\ علامة الاختيار &2 = 2\؛\ علامة الاختيار\ النهاية {المصفوفة}\)

    بما أن المعادلات أعلاه صحيحة، إذن،\(x = 1\)\(x = \dfrac{1}{5}\) وهي حلول لمعادلة القيمة المطلقة المعطاة. مجموعة الحلول هي\(\left\{\dfrac{1}{5} , 1\right\}\). الرسم البياني لمجموعة الحلول كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e78f4a9bbcf248134874230631b7dada3.png

    1. نظرًا لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة أبدًا، فلا توجد أرقام حقيقية\(x\) تجعل القيمة\(|20 – x| = −80\) صحيحة. لا تحتوي المعادلة على حل ومجموعة الحلول هي\(∅\).
    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا.

    1. \(\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18\)
    2. \(4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5\)
    3. \(|4x – 3| = |x + 6|\)

    الحل

    1. لاحظ أن تعبير القيمة المطلقة ليس معزولًا مما يعني أنه لا يمكن تطبيق الخصائص. أولاً، قم بالعزل\(\left| \dfrac{4}{3}x + 3 \right|\) على الجانب الأيسر من المعادلة، ثم قم بتطبيق الخاصية 1.

    \(\begin{array} &&\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18 &\text{Given equation} \\ & \left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 &\text{Subtract \(8\)من كلا جانبي المعادلة}\ end {array}\)

    مع عزل القيمة المطلقة الآن، قم\(\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10\) بالحل باستخدام الخاصية 1، مع\(a = \dfrac{4}{3} x + 3\)\(b = 10\) وكما يلي،

    \(\begin{array} && &\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 & & \\ &\dfrac{4}{3} + 3 = 10 &\text{ or } & \dfrac{4}{3} + 3 = -10 &\text{Property 1} \\ &\dfrac{4}{3} x = 7 &\text{ or } &\dfrac{4}{3}x = −13 &\text{Subtract \(3\)من كلا الجانبين}\\ &x =\ dfrac {21} {4} &\ text {أو} &x = −\ dfrac {39} {4} و\ text {اضرب كلا الجانبين في\(\dfrac{3}{4}\)}\ النهاية {المصفوفة}\)

    تحقق من الحلول\(x = −\dfrac{39}{4}\)\(x = \dfrac{21}{4}\) واستبدلها بمعادلة القيمة المطلقة الأصلية. مجموعة الحلول هي\(\left\{ −\dfrac{39}{4}, \dfrac{21}{4} \right\}\) والرسم البياني لمجموعة الحلول كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e42b1bbc90f71c52e8a95664a185e2c67.png

    1. على غرار الجزء أ، اعزل تعبير القيمة المطلقة. لذلك، قم أولاً بالعزل\(\left| \dfrac{1}{3} x − 6 \right|\) على الجانب الأيسر من المعادلة وتطبيق الخاصية 1.

    \(\begin{array} &&4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5 &\text{Given equation} \\ &4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| = 0 &\text{Add \(5\)على جانبي المعادلة}\\ &\ يسارة|\ dfrac {1} {3} x − 6\ اليمين | = 0\\ text {\(4\)القسمة على جانبي المعادلة}\ النهاية {المصفوفة}\)

    يتم عزل القيمة المطلقة. نظرًا\(0\) لأنه الرقم الوحيد الذي تكون قيمته المطلقة\(0\)،\(\dfrac{1}{3}x − 6\) يجب أن يكون التعبير مساويًا لـ\(0\). لذا،

    \(\begin{array} &&\dfrac{1}{3}x − 6 = 0 & \\ &\dfrac{1}{3}x − 6 &\text{Add \(6\)على جانبي المعادلة}\\ &x = 18 &\ text {اضرب كلا الجانبين في\(3\)}\ end {array}\)

    الحل هو\(18\) ومجموعة الحلول هي\(\{18\}\). تحقق من أنها تلبي المعادلة الأصلية. الرسم البياني لمجموعة الحلول كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e2acd5153df84bfef5569962926db627b.png

    1. \(|4x − 7| = |x + 14|\)لاحظ أنه لحل المشكلة\(|4x − 7| = |x + 14|\)، استخدم الخاصية 2 مع\(a = 4x − 7\) و\(b = x + 14\).

    \(\begin{array} && &|4x − 7| = |x + 14| & &\text{Given} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −(x + 14) &\text{Property 2} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −x − 14 &\text{Distribute \(−1\)لتبسيط المعادلة الصحيحة}\\ &4x = x + 21 &\ text {أو} &4x = −x − 7 &\ text {أضف\(7\) إلى جانبي كل مساواة}\\\ &3x = 21\\\ نص {أو} &5x = −7\\ text {تبسيط}\\ &x = 7\\\ نص {أو} &x = −\ dfrac {7} {5} و\ text = 7\\ text {قسّم كل معادلة على \(x\)المعامل -}\ النهاية {المصفوفة}\)

    تحقق من الحلول\(x = −\dfrac{7}{5}\)\(x = 7\) واستبدلها بمعادلة القيمة المطلقة الأصلية. مجموعة الحلول هي\(\left\{ −\dfrac{7}{5}, 7\right\}\). الرسم البياني للحل كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_eb0f0ab26e578678046e463bf1d8ac854.png

    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.02:_حل_معادلات_القيمة_المطلقة), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    قم بحل كل معادلة، وتحقق من الحل ورسم مجموعة الحلول.

    1. \(|x| = 19\)
    2. \(|x − 4| = 10\)
    3. \(|2x − 5| = 12\)
    4. \(\left|\dfrac{x}{11} \right| = 2.5\)
    5. \(|x − 3.8| = −2.7\)
    6. \(|3x − 4.5| = 9.3\)
    7. \(\dfrac{8}{3} |x − 6| = 14\)
    8. \(|x + 15| − 19 = 7\)
    9. \(|11x + 3| + 28 = 16\)
    10. \( \left| \dfrac{8}{7} x + 9 \right| − 2 = 8\)
    11. \( −3|2x − 7| + 13 = 13\)
    12. \( 8 − 5|10x + 6| = 5\)
    13. \( |5x − 14| = |3x − 9|\)
    14. \( |15x| = |x − 21|\)
    15. \( |4x − 7| = |5(2x + 3)|\)
    16. \( \dfrac{7}{8} = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{2x}{5}\)