Skip to main content
Global

6.3: حل متباينات القيمة المطلقة وكتابة الإجابات بالتدوين الفاصل

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    167110

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    درس القسم السابق كيفية حل معادلات القيمة المطلقة. يعلم هذا القسم كيفية حل عدم المساواة في القيمة المطلقة. للقيام بذلك، ضع في اعتبارك أولاً الخاصيتين التاليتين:

    تعريف: خصائص متباينات القيمة المطلقة

    الخاصية 1: لجميع الأرقام\(b\) الموجبة، وجميع الأرقام الحقيقية\(p\) و\(q\)،

    1. \(|a| < b\)إذا وفقط إذا\(−b < a < b\).

    مجموعة الحلول هي من النموذج\((p,q)\)، فاصل زمني مفتوح واحد.

    1. \(|a| ≤ b\)إذا وفقط إذا\(−b ≤ a ≤ b\).

    مجموعة الحلول هي من النموذج\([p,q]\)، فاصل زمني مغلق واحد.

    قبل النظر في الخاصية 2، من المهم تحديد اتحاد الفواصل الزمنية. اتحاد أي فترتين\(B\)،\(A\) وهو مجموعة العناصر الموجودة في\(A\)، أو\(B\)، أو كليهما. يتم تمثيل الاتحاد بالرمز\(∪\).

    الخاصية 2: لجميع الأرقام\(b\) الموجبة، وجميع الأرقام الحقيقية\(p\) و\(q\)،

    1. \(|a| > b\)إذا وفقط إذا\(a < −b\) أو\(a > −b\)

    مجموعة الحلول هي من النموذج\((−∞, p) ∪ (q, ∞)\)، فاصل زمني منفصل.

    1. \(|a| ≥ b\)إذا وفقط إذا كان الأمر\(a ≤ −b\) كذلك\(a ≥ b\).

    مجموعة الحلول هي من النموذج\((−∞, p] ∪ [q, ∞)\)، فاصل زمني منفصل.

    لاحظ أنه قبل تطبيق خصائص عدم المساواة، قم بعزل تعبير القيمة المطلقة على جانبي عدم المساواة.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.03:_حل_متباينات_القيمة_المطلقة_وكتابة_الإجابات_بالتدوين_الفاصل), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    قم بحل المتباينات التالية ورسم مجموعة الحلول بيانيًا.

    1. \(|5x − 2| < 7\)
    2. \(|8x − 6| < −1\)
    3. \(2|x − 3| + 5 ≤ 9\)

    الحل

    1. هذا تعبير القيمة المطلقة أقل من الرقم الموجب للنموذج\(|a| < b\). قم بتطبيق الملكية 1 (i) مع\(a = 5x − 2\) و\(b = 7\).

    \(\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}\)

    لحل عدم المساواة، قم بالعزل\(x\). تصبح الخطوة السابقة،

    \(\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2\)إلى جميع الجوانب}\\ &−1 < x <\ dfrac {9} {5} &\ text {قسّم كل الجوانب على\(5\)}\\ النهاية {المصفوفة}\)

    مجموعة الحلول هي الفاصل الزمني المفتوح الفردي\(\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)\) والرسم البياني كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_eee2ec390ebb3481038f3625204438819.png

    1. تذكر أن القيمة المطلقة لأي رقم هي المسافة من\(0\) هذا الرقم على خط الأعداد. هذا يعني أن القيمة المطلقة لأي رقم تكون دائمًا أكبر أو مساوية لـ\(0\).

    يوضح هذا المثال\(|8x − 6| < −1,\) ما لا يمكن أن يحدث لأن المسافة ليست سلبية أبدًا. لذلك، لا يوجد حل لعدم المساواة في القيمة المطلقة ومجموعة الحلول هي المجموعة الفارغة المكتوبة\(\phi\).

    1. لحل المشكلة\(2|x − 3| + 5 ≤ 9\)، اعزل القيمة المطلقة.

    \(\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5\)من كلا الجانبين}\\ &|x − 3| ≤ 2 &\ النص {قسّم كلا الجانبين على\(2\)}\ النهاية {المصفوفة}\)

    الآن،\(|x − 3| ≤ 2\) هو النموذج\(|a| ≤ b\). قم بتطبيق الملكية 1 (ii) مع\(a = x − 3\) و\(b = 2\).

    \(\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}\)

    مجموعة الحلول هي الفاصل الزمني الفردي\([1, 5]\) والرسم البياني كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e335bc0a4c68c53a86ca3273caf045e67.png

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.03:_حل_متباينات_القيمة_المطلقة_وكتابة_الإجابات_بالتدوين_الفاصل), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    حل مجموعة الحلول ورسمها بيانيًا.

    1. \(\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3\)
    2. \(2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5\)
    3. \(|2 − 4x| ≥ −7\)

    الحل

    1. \(\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3\)يكون عدم المساواة في القيمة المطلقة في شكل\(|a| ≥ b\). قم بتطبيق الخاصية 2 (ii) مع\(a = \dfrac{6 − x}{10}\) عدم المساواة وحلها.\(b = 3\)

    \(\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10\)كلا الجانبين}\\ &−x ≤ −36\\ النص {أو} &−x ≥ 24\\ النص {الطرح\(6\) من كلا الجانبين}\\\ &x ≥ 36\\ النص {أو} &x ≤ −24\\ النص {الضرب في\(−1\)}\ النهاية {المصفوفة}\)

    لاحظ أنه منذ ضرب عدم المساواة برقم سالب\(−1\)، أي تغير اتجاه عدم المساواة.

    مجموعة الحلول هي اتحاد الفترتين. وبالتالي،\((−∞, −24] ∪ [36, ∞)\) يتم تعيين الحل في الترميز الفاصل الزمني. الرسم البياني للحل كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e994fe946d0c11e329dc3c0829b29b123.png

    1. اعزل القيمة المطلقة.

    \(\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5\)إلى كلا الجانبين}\ end {المصفوفة}\)

    لاحظ أن عدم المساواة أعلاه يُقرأ من اليمين إلى اليسار حيث أن «القيمة المطلقة للتعبير\(\dfrac{3}{4} x − 3\) أكبر من\(7\)" أو قم بتبديل ترتيب عدم المساواة في القيمة المطلقة بشكل مكافئ\(\dfrac{3}{4} x − 3 > 7\)، وهو نموذج أكثر شيوعًا لحلها.

    الآن،\(\dfrac{3}{4} x − 3 > 7\) هو النموذج\(|a| > b\). استخدم الخاصية 2 (ii) مع\(a = \dfrac{3x}{4} − 3\) و\(b = 7\).

    \(\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3\)إلى جميع الجوانب}\\ &x < −\ dfrac {16} {3} &\ text {or} &x >\ dfrac {40} {3} &\ text {اضرب كلا الجانبين في}\(\dfrac{4}{3}\) \ end {مصفوفة}\)

    مجموعة الحلول هي اتحاد الفواصل الزمنية،\((− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)\). الرسم البياني للحل كما هو موضح في الشكل أدناه

    clipboard_efb943e2ff7407d1b4777246c86c52bee.png

    1. نظرًا لأنه دائمًا\(|2 − 4x|\) ما يكون أكبر من أو يساوي\(0\) أي أرقام حقيقية،\(x\) فإن عدم المساواة في القيمة المطلقة صحيح لجميع الأرقام الحقيقية. \(x\)فليكن أي رقم حقيقي، سلبي أو إيجابي، ثم تكون القيمة المطلقة إما\(0\) أو رقمًا موجبًا.

    لذا، فإن مجموعة الحلول هي جميع الأرقام الحقيقية على خط الأعداد، كما هو موضح في الشكل أدناه. الحل المحدد في الترميز الفاصل الزمني هو\((−∞, ∞)\).

    clipboard_e0e607828723541fb83638051b94dbe29.png

    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/06:_القيمة_المطلقة/6.03:_حل_متباينات_القيمة_المطلقة_وكتابة_الإجابات_بالتدوين_الفاصل), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    قم بحل المتباينات التالية، واكتب الإجابات في شكل فاصل زمني، ورسم مجموعات الحلول بيانيًا:

    1. \(|−6x + 1| < 20\)
    2. \(\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5\)
    3. \(\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71\)
    4. \(2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}\)
    5. \(−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10\)
    6. \(|−12 − 3x| < −0.6\)
    7. \(\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11\)
    8. \(|2 − 6x| − 5 ≥ −9\)
    9. \(\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}\)
    10. \(|.02x + 5| < .02\)
    11. \(\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8\)
    12. \(| − 6x + 9| − 5 < −6\)