Skip to main content
Global

5.9: الأسس الكسرية

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    166894

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الأسس ليست دائمًا أعدادًا صحيحة. سيبحث هذا القسم في الحالات التي يكون فيها الأس رقمًا منطقيًا. عندما يكون الأس رقمًا منطقيًا، يمكن كتابة التعبير كتعبير ذي جذر. القاعدة هي كتابة إجابتك بنفس شكل المشكلة الأصلية (إذا بدأت بالأسس، أو تنتهي بالأسس، أو إذا بدأت بالجذور، تنتهي بالجذور).

    تعريف: الأسس النسبية للنموذج\(\dfrac{1}{n}\)

    بالنسبة لأي رقم حقيقي\(a\) وأي رقم صحيح\(n\)، يمكن التعبير عن التعبير الذي يحتوي على\(\dfrac{1}{n}\) الأس على النحو التالي

    \[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \nonumber \]

    ملاحظة:\(n\) هو المؤشر في الراديكالية. \(\sqrt[n]{a}\)تتم قراءة "الجذر التاسع لـ a»

    ملاحظة: عندما لا يحتوي الجذر على فهرس مرئي، يكون الفهرس افتراضيًا\(2\) (الجذر التربيعي). مؤشرات أكبر مما\(2\) سيتم تمييزه على المستوى الراديكالي.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.09:_الأسس_الكسرية), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    1. \((4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)\(\text{Index is \(2\)بشكل افتراضي}\)
    2. \( (x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{x}\)\(\text{Index is \(7\)}\)
    3. \((−3y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(-3y)}\)\(\text{Index is \(3\)}\)

    الآن، دعونا نلاحظ ما يحدث عندما يكون الأس عددًا منطقيًا مع البسط\(\neq 1\).

    تعريف: الأسس النسبية للنموذج\(\dfrac{m}{n}\)

    بالنسبة لأي رقم حقيقي\(a\) وأي رقم صحيح\(m\)،\(n\)\(\dfrac{m}{n}\) ويمكن التعبير عن التعبير الذي يحتوي على الأس على النحو التالي:

    \[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \text{ or } (\sqrt[n]{a})^m \nonumber \]

    ملاحظة:\(n\) هو المؤشر في الراديكالية\(m\) وهو قوة القاعدة.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.09:_الأسس_الكسرية), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    اكتب ما يلي في شكل جذري

    1. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)ويتم رفع القاعدة إلى قوة\(2\).}\)
    2. \((5t)^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5t^7} = (\sqrt[8]{5t})^7\)\(\text{Index is \(8\)ويتم رفع القاعدة إلى\(7\) الطاقة.}\)
    3. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)وتم رفع القاعدة إلى مستوى الطاقة\(2\).}\)
    4. \(\begin{array} &&(z)^{−\frac{5}{9}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Given} \\ &= \dfrac{1}{(z)^{\frac{5}{9}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt[9]{x^5}} \text{ or } \left( \dfrac{1}{\sqrt[9]{x}} \right)^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Rational exponent written as a radical.} \end{array}\)
    5. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{\dfrac{3}{4}^5}\)\(\text{Rational exponent written as radical with index \(7\)والقاعدة مرفوعة إلى قوة\(5\).}\)
    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.09:_الأسس_الكسرية), /content/body/section[5]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    اكتب ما يلي في شكل جذري.

    1. \((x)^{\frac{5}{7}}\)
    2. \((xy)^{\frac{9}{8}}\)
    3. \((x)^{\frac{9}{5}}\)
    4. \((z)^{−\frac{11}{13}}\)
    5. \(\left( \dfrac{x}{4} \right)^{\frac{6}{9}}\)
    6. \(6(y)^{\frac{1}{17}}\)
    7. \((6y)^{\frac{1}{17}}\)
    8. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{x}{y}}\)
    9. \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^{(−\frac{x}{y})}\)