5.5: قاعدة الأس السالب

في القسم 5.3، كان أس الرقم في البسط أكبر من أس الرقم في المقام. في القسم 5.4، كان أس الرقم في البسط مساويًا لأس الرقم في المقام. في القسم 5.5، قد يكون أس الرقم في المقام أكبر من أس الرقم في البسط.

التعريف: قاعدة الأس السالب

بالنسبة لأي رقم حقيقي غير صفري a وأي عدد صحيح n، فإن قاعدة الأس السالب هي التالية

$a^{−n}= \dfrac{1 }{a^n} or \dfrac{1 }{a^{−n}} = a^n$

إن ترك الأسس السالبة في الإجابة هو شكل ضعيف في الرياضيات. سيتم تبسيط جميع الإجابات دائمًا لإظهار الأسس الموجبة.

كيف يعمل هذا؟

استدعاء:

$$\begin{align*} 2^3 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \\[4pt] 2^2 &= 2 \cdot 2 = 4 \\[4pt] 2^1 &= 2 = 2 \\[4pt] 2^0 &= 1 \end{align*} \nonumber$$

ماذا يحدث مع الأسس السالبة؟

$$\begin{align*} 2^{−1 } &= \dfrac{1 }{2^1 }= \dfrac{1 }{2} \\[4pt] 2^{−2 } &= \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{ 4} \end{align*} \nonumber$$

تذكر: من القسم الأخير،

$$\begin{align*} x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \\[4pt] x^5 &= \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} \end{align*} \nonumber$$

حاصل القسمة الخاص بهم:

$\dfrac{x^3 }{x^5} = \dfrac{x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x \cdot x }}}=\dfrac{ 1 }{\textcolor{red}{x \cdot x }}= \dfrac{1 }{x^2}$

قم بتطبيق قاعدة القسمة للحصول على نتيجة مكافئة.

$\dfrac{x^3 }{x^5} = x^{3−5 }= x^{−2}$

استخدام قاعدة الأس السالب.

$x^{−2 }= \dfrac{1 }{x^2}$.

راجع الأمثلة التالية للمساعدة في فهم عملية التبسيط باستخدام قاعدة حاصل القسمة للأسس وقاعدة الأس السالب.

تلميح: كن صبورًا وخذ وقتك وكن حذرًا عند التبسيط!

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.05:_قاعدة_الأس_السالب), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بتبسيط التعبير التالي إلى قاعدة واحدة باستخدام الأسس الموجبة فقط.

$\dfrac{t^5}{ t^11}$

الحل

$t^{5−11 }= t^{−6 }= \dfrac{1 }{t^6}$

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.05:_قاعدة_الأس_السالب), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بتبسيط التعبير التالي إلى قاعدة واحدة باستخدام الأسس الموجبة فقط.

$\dfrac{x^{3} \cdot x^{11} }{x \cdot x^{15}}$

الحل

$\dfrac{x^{ 3+11 }}{x^{1+15 }}= \dfrac{x^14 }{x^16 }= x^{14−16 }= x^{−2 }= \dfrac{1}{x^2}$

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.05:_قاعدة_الأس_السالب), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بتبسيط التعبير التالي إلى قاعدة واحدة باستخدام الأسس الموجبة فقط.

$\dfrac{2y^3 }{7y^7}$

الحل

$\dfrac{2 }{7} \cdot \dfrac{y^3 }{y^7 }= \dfrac{2 }{7} \cdot y^{3−7 }= \dfrac{2 }{7 }\cdot y^{−4} = \dfrac{2 }{7 }\cdot \dfrac{1 }{y^4 }= \dfrac{2 }{7y^4}$

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.05:_قاعدة_الأس_السالب), /content/body/section[5]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بتبسيط التعبير التالي إلى قاعدة واحدة باستخدام الأسس الموجبة فقط.

$-\dfrac{\sqrt{3}z^6}{ z^7}$

الحل

$− \sqrt{3} \cdot \dfrac{z^6 }{z^7} = − \sqrt{3} \cdot z^{6−7 }= − \sqrt{3} \cdot z^{−1} = − \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 }{z} = − \dfrac{\sqrt{3}}{z}$

في المثالين 3 و4، قم بحساب الثابت لرؤية القواعد المشتركة بوضوح.

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.05:_قاعدة_الأس_السالب), /content/body/section[6]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بتبسيط التعبير التالي إلى قاعدة واحدة باستخدام الأسس الموجبة فقط.

$\dfrac{1}{ a^{−9}}$

الحل

$a^9$

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.05:_قاعدة_الأس_السالب), /content/body/section[7]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بتبسيط التعبير التالي إلى قاعدة واحدة باستخدام الأسس الموجبة فقط.

$\dfrac{x^3 }{x^{−5}}$

الحل

$x^{3−(−5) }= x^{3+5 }= x^{8}$

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.05:_قاعدة_الأس_السالب), /content/body/section[8]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بتبسيط التعبير التالي إلى قاعدة واحدة باستخدام الأسس الموجبة فقط.

$\dfrac{c^{−7 }}{c^{−3}}$

الحل

$c^{(−7)−(−3) }= c^{−7+3 }= c ^{−4} = \dfrac{1 }{c^4}$

في المثالين 6 و7، تم استخدام قاعدة خارج القسمة الخاصة بالأسس قبل تغيير الأسس إلى أسس موجبة. يتم الحصول على نفس النتائج من خلال توسيع الأسس وتغييرها إلى أسس موجبة أولاً ثم تطبيق قاعدة حاصل القسمة الخاصة بالأسس.

التمرين

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.05:_قاعدة_الأس_السالب), /content/body/section[9]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

قم بتبسيط التعبيرات التالية إلى قاعدة واحدة باستخدام الأسس الموجبة فقط.

1. $\dfrac{p^4}{ p^{13}}$
2. $-\dfrac{k^2 \cdot k^3 }{k^7 \cdot k^8}$
3. $\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^{13}}$
4. −$\dfrac{\sqrt{8}y^3}{ y^{−3}}$
5. $\dfrac{a^{−7}}{ a^2 \cdot a^{−5}}$
6. $\dfrac{x^{−7}}{ x^5}$