5.3: قاعدة حاصل القسمة للأسس

تعريف: قاعدة حاصل القسمة للأسس

لأي رقم حقيقي$a$ وأرقام$m$ موجبة وأين$m > n$.$n$

قاعدة حاصل القسمة للأسس هي التالية.

$\dfrac{a^m }{a^n} = a^{ m−n}$

ملاحظة: يجب أن تكون القواعد هي نفسها. سيكون للنتيجة نفس القاعدة.

الفكرة:

من القسم الأخير،

$x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \qquad x^5 = \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}$

حاصل القسمة الخاص بهم

$\dfrac{x^ 5 }{x^3} = \dfrac{\textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x }}= \dfrac{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x }\cdot x }}{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}= \dfrac{\textcolor{red}{x \cdot x }}{1} = \textcolor{red}{x \cdot x}$.

لذا،$\dfrac{x^5 }{x^3 }= x^{5−3 }= x^2$

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.03:_قاعدة_حاصل_القسمة_للأسس), /content/body/div/section[1]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

استخدام قاعدة حاصل القسمة للأسس لتبسيط التعبيرات.

1. $\dfrac{k^3 }{k^2}$
2. $\dfrac{r^{32} }{r^{21}}$
3. $\dfrac{\sqrt{2}^ 7 }{\sqrt{2 }^4}$
4. $\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}$
5. $\dfrac{(x \sqrt{5})^8 }{x\sqrt{ 5}}$
6. $\dfrac{(xy)^{18} }{(xy)^{17}}$

الحل

التعبير	قاعدة حاصل القسمة	قاعدة
$\dfrac{k^3 }{k^2}$	$k^{3−2 }= k$	$k$
$\dfrac{r^{32} }{r^{21}}$	$r^{32−21 }= r^{11}$	$r$
$\dfrac{\sqrt{2}^ 7 }{\sqrt{2 }^4}$	$\sqrt{2 }^{7−4 }= \sqrt{2 }^3$	$\sqrt{2}$
$\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}$	$(−7)^{9−6 }= (−7)^3$	$-7$
$\dfrac{(x \sqrt{5})^8 }{x\sqrt{ 5}}$	$(x \sqrt{5})^{8−1 }= (x \sqrt{5})^7$	$x\sqrt{5}$
$\dfrac{(xy)^{18} }{(xy)^{17}}$	$(xy)^{18−17 }= xy$	$xy$

ملاحظة: في هذا القسم كان أس البسط أكبر من أس المقام. لن يكون هذا هو الحال دائمًا. ستتم مناقشة الحالة التي يكون فيها الأس في المقام أكبر من الأس في البسط في قسم لاحق.

التمرين

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/05:_الأسس_وقواعد_الأس/5.03:_قاعدة_حاصل_القسمة_للأسس), /content/body/div/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

استخدم قاعدة حاصل القسمة للأسس لتبسيط التعبير المعطى.

1. $\dfrac{−y ^{13} }{−y^7}$
2. $\dfrac{(2x)^{25}}{ 2x}$
3. $\dfrac{\sqrt{7 }^{17 }}{\sqrt{7 }^{12}}$
4. $\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}$
5. $\dfrac{(x + y) ^{78}}{ (x + y)^{43}}$
6. $\dfrac{\sqrt{xy }^{15 }}{\sqrt{xy }^{11}}$