4.9: تكوين الوظيفة

الرسم التالي مأخوذ مرة أخرى من كتاب OER Business Calculus من تأليف كالاواي وهوفمان وليبمان، 2013، ويُستخدم بعد الحصول على إذن (رخصة المشاع الإبداعي 3.0 بالولايات المتحدة).

الشكل

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/04:_الوظائف/4.09:_تكوين_الوظيفة), /content/body/figure/figcaption/span, line 1, column 17

$g(f(x))$قد يكون الترميز$f(g(x))$ أسهل في الفهم من استخدام عامل التركيب. لذلك$f(g(x))$، فكر في تغليف الحزمة. يتم وضع الهدية في الصندوق (الهدية هي$g(x)$، الصندوق$f(x)$) وتحتوي الهدية الملفوفة على الهدية$g(x)$.$f(x)$

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/04:_الوظائف/4.09:_تكوين_الوظيفة), /content/body/section[1]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

إذا كان$f(x) = x^2 − 2$ الأمر كذلك$g(x) =\sqrt{x}$، ابحث عن:

1. $f(g(x))$ومجال الدالة المركبة
2. $g(f(x))$ومجال الدالة المركبة

الحل

1. تكوين الوظائف،$f(g(x))$ هو:

$\begin{aligned} f(g(x)) &&\text{ Function composition, }f \text{ of }g\text{ of }x \\ f(\sqrt{x}) &&\text{ Replace } g(x)\text{ with }\sqrt{x} \\ ( \sqrt{x})^2 − 2 && \text{ In the function } f(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } g(x) =\sqrt{x} \\ x − 2 && f(g(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}$

يحتوي مجال الدالة المركبة على قيود مجال الوظيفة الداخلية، بالإضافة إلى قيود الدالة المركبة.

مجال الدالة الداخلية،$g(x) = \sqrt{x}$ هو الذي$x$ يجب أن يكون غير سلبي، أو في ترقيم زمني.$[0, \infty )$

مجال الدالة المركبة،$x − 2$ هو جميع الأرقام الحقيقية،$(−\infty , \infty )$

لذلك، فإن مجال$f(g(x))$ هو$[0, \infty )$.

2. تكوين الوظائف،$g(f(x))$ هو:

$\begin{aligned} g(f(x)) &&\text{ Function composition, }g \text{ of } f \text{ of } x \\ g(x^2 − 2)&& \text{ Replace }f(x)\text{ with } x^2 − 2 \\ \sqrt{x^2 − 2} &&\text{ In the function } g(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } f(x) = x^2−2 \\ x^2 − 2 && g(f(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}$

يحتوي مجال الدالة المركبة على قيود مجال الوظيفة الداخلية، بالإضافة إلى الدالة المركبة.

مجال الدالة الداخلية،$f(x) = x^2 − 2$ هو كل الأرقام الحقيقية، أو في الترميز الفاصل$(−\infty , \infty )$

مجال الدالة المركبة،$\sqrt{x^2} − 2$ هو أن الكمية$x^2 −2$ يجب أن تكون غير سالبة، أو$x^2 −2 \geq 0$.

حل$x^2 − 2 \geq 0$ لـ$x$,$x \geq 2$ و$x \leq −2$. في الترميز الفاصل الزمني،$(−\infty , −2] \cup [2, \infty )$

لذلك، فإن مجال الدالة المركبة، g (f (x)) هو المجال الأكثر تقييدًا،$(−\infty , −2] \cup [2, \infty )$.

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/04:_الوظائف/4.09:_تكوين_الوظيفة), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

إذا كان$f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}$ الأمر كذلك$g(x) = \dfrac{5 }{x} + 4$، ابحث عن:

1. $f(g(x))$ومجال الدالة المركبة
2. $g(f(x))$ومجال الدالة المركبة

الحل

1. تكوين الوظائف،$f(g(x))$ هو:

$\begin{aligned} f(g(x)) \text{ Function composition, } f\text{ of }g \text{ of }x\\ f\left( \dfrac{5}{ x} + 4\right) && \text{ Replace }g(x)\text{ with }\dfrac{5 }{x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\left(5 x + 4\right)− 4} && \text{ In the function } f(x)\text{, every x is replaced with } g(x) = \dfrac{5}{ x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\dfrac{5 }{x}}&&\text{ Simplify} \\ \dfrac{x }{5} && f(g(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}$

يحتوي مجال الدالة المركبة على قيود مجال الوظيفة الداخلية، بالإضافة إلى قيود الدالة المركبة.

مجال الدالة الداخلية،$g(x) = 5 x + 4$ هو جميع القيم الخاصة$x$ بهذه التي$x$ يجب ألا تكون 0، أو بالتدوين الفاصل الزمني$(−\infty , 0) \cup (0, \infty )$

مجال الدالة المركبة،$\dfrac{x }{5}$ هو جميع الأرقام الحقيقية،$(−\infty , \infty )$ لذلك، مجال$f(g(x))$ هو$(−\infty , 0) \cup (0, \infty )$

2. تكوين الوظائف،$g(f(x))$ هو

$\begin{aligned} g(f(x))&&\text{Function composition, } g \text{ of } f\text{ of }x \\ g\left( \dfrac{1 }{x −4}\right) &&\text{Replace } f(x) \text{ with }\dfrac{1}{ x − 4}\\ \dfrac{5 }{\dfrac{1 }{x − 4}} + 4 &&\text{In the function } g(x)\text{, every x is replaced with } f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\\ 5(x − 4) + 4 && \text{ Simplify the fraction} \\ 5x − 20 + 4 &&\text{ Simplify more}\\ 5x − 16 && g(f(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}$

يحتوي مجال الدالة المركبة على قيود مجال الوظيفة الداخلية، بالإضافة إلى الدالة المركبة.

مجال الوظيفة الداخلية،$f(x) = \dfrac{1}{ x − 4 }$ هو ذلك$x\neq 4$، أو في الترميز الفاصل$(−\infty , 4) \cup (4, \infty )$

مجال الدالة المركبة،$5x − 16$ هو جميع الأرقام الحقيقية،$(−\infty , \infty )$.

لذلك، فإن مجال الدالة المركبة،$g(f(x))$ هو المجال الأكثر تقييدًا،$(−\infty , 4) \cup (4, \infty)$.

التمرين

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/04:_الوظائف/4.09:_تكوين_الوظيفة), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

بالنسبة للوظائف المُعطاة، ابحث عن كلٍّ من$f(g(x))$ الدوال المُركَّبة$g(f(x))$، ثم ابحث عن مجال الدالة المركبة.

1. $f(x) = 3x^ 2 + x − 10$،$g(x) = 1 − 20x$
2. $f(x) = 3x − 2$،$g(x) = \dfrac{1}{ 3} x + \dfrac{2 }{3}$
3. $f(x) = 4x − 1$،$g(x) = \sqrt{6 + 7x}$
4. $f(x) = 5x + 2$،$g(x) = x^2 − 14x$
5. $f(x) = x^ 2 − 2x + 1$،$g(x) = 8 − 3x ^2$
6. $f(x) = x ^2 + 3$،$g(x) = \sqrt{5 + x^2}$