4.7: مجال ومدى الدالة
- Page ID
- 167049
مجال الدالة هو جميع القيم الممكنة لـ x التي يمكن استخدامها كإدخال للدالة، مما سيؤدي إلى رقم حقيقي كمخرج. نطاق الدالة هو مجموعة جميع قيم الإخراج الممكنة للدالة.
ابحث عن مجال ونطاق الوظيفة التالية:
\(f(x) = 5x + 3 \)
الحل
يمكن استبدال أي رقم حقيقي أو سلبي أو موجب أو صفر بـ x في الدالة المحددة. لذلك، فإن مجال الدالة\(f(x) = 5x + 3 \) هو جميع الأرقام الحقيقية، أو كما هو مكتوب في الترميز الفاصل الزمني، هو:\(D:(−\infty , \infty )\). نظرًا\(f(x) = 5x + 3\) لأن الدالة متعددة الحدود من الدرجة 1، فهي خط مستقيم (بدون أي فواصل أو ثقوب).
نطاق أي كثير الحدود من الدرجة 1 هو جميع الأرقام الحقيقية أو المكتوبة بالتدوين الفاصل الزمني، هي:\(R:(−\infty , \infty )\).
ابحث عن مجال ونطاق الوظيفة التالية:
\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\)
الحل
انتبه إلى الجزء الجذر التربيعي لهذه الوظيفة. يجب أن يكون الجذر (الموجود داخل الجذر التربيعي) غير سالب. قم بتعيين الجذر الأكبر من أو يساوي الصفر للعثور على المجال:
\(\begin{aligned} x − 4 &\geq 0 && \text{Set the radicand greater than or equal to 0 }\\ x &\geq 4 &&\text{ Solve the inequality } \\ D&:[4, \infty ) &&\text{Write the solution in interval notation }\end{aligned}\)
لذلك، فإن مجال الدالة\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\) هو جميع الأرقام الحقيقية في الفاصل الزمني من\([4, \infty )\)، الذي تتم كتابته\(D:[4, \infty )\).
للعثور على نطاق\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\)، دعنا نلاحظ سلوك الدالة لقيم x المختلفة الموجودة في المجال.
دعونا\(x = 4\)\(g(4) = 2\sqrt{ 4 − 4}\)، لذلك\(g(4) = 0\).
دعونا\(x = 5\)\(g(5) = 2\sqrt{ 5 − 4}\)، لذلك\(g(5) = 2\).
دعونا\(x = 8\)\(g(8) = 2\sqrt{ 8 − 4}\)، لذلك\(g(8) = 4\).
أي قيمة غير سالبة يتم اختيارها لـ x ستؤدي إلى قيمة غير سلبية لـ\(g(x)\). قيم الدالة للنطاق (الإخراج من الدالة\(g(x)\)) هي أرقام غير سالبة، مكتوبة كـ\(R:[0, \infty )\).
ابحث عن مجال ونطاق الوظيفة التالية:
\(h(x) = −2x^2 + 4x − 9\)
الحل
يمكن لأي رقم حقيقي أو سلبي أو إيجابي أو صفر أن يحل محل x في الوظيفة المحددة.
لذلك، فإن مجال الدالة\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) هو جميع الأرقام الحقيقية، أو كما هو مكتوب في الترميز الفاصل الزمني، هو:\(D:(−\infty , \infty )\).
ونظرًا لأن الدالة\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) عبارة عن درجة تربيعية من الدرجة 2، فإنها تُعد عند رسمها بيانيًا مكافئًا (بدون أي فواصل أو ثقوب). حدد شيئين عن هذا المكافئ:
- ما هي الطريقة التي تفتح بها، لأعلى أم لأسفل؟ و
- أين قمة الرأس؟
توضح علامة معامل الحد الرئيسي للدالة التربيعية (\(2x^2\)) الطريقة التي يفتح بها المكافئ. المعامل هو 2، وبما أنه إيجابي، فإن الدالة التربيعية تنفتح لأعلى.
الآن ابحث عن قمة الرأس. ستظهر القيمة y للزوج الذي تم ترتيبه في قمة الرأس من أين يبدأ النطاق.
قمة الرأس هي\(\left(−\dfrac{b}{2a} , f\left( −\dfrac{b}{2a} \right)\right)\)، مع\(a = 2\) و\(b = 4\).
قمة الرأس هي\(\left(− \dfrac{4 }{2∗2} , f \left(− \dfrac{4 }{2∗2}\right)\right)\)
قمة الرأس هي\((− 1, f(− 1))\)، وهي\((− 1, 2 ∗ (−1)^2 − 9))\) أو\((− 1, −11)\)
سيبدأ النطاق عند −11، وسيستمر في الزيادة، حيث يفتح المكافئ صعودًا. \(R:[-11, \infty)\)
ابحث عن مجال ونطاق الوظيفة التالية:
\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\)
الحل
تحتوي هذه الدالة على قيمة مطلقة. يمكن اختيار أي قيمة\(z\)، وبالتالي فإن مجال الدالة هو جميع الأرقام الحقيقية، أو كما هو مكتوب في الترميز الفاصل الزمني، هو:\(D:(−\infty , \infty )\)
للعثور على النطاق، افحص داخل رموز القيمة المطلقة. \(\vert z−6 \vert\)ستكون هذه الكمية دائمًا إما 0 أو عددًا موجبًا لأي قيم من قيم z، أولًا، أوجد ما يجعل المقدار z−6 يساوي صفرًا، وهو الرقم 6.
\(\begin{aligned} j(x) &= \vert z − 6 \vert − 3 &&\text{ Original function } \\ j(x) &= \vert 6 − 6 \vert − 3 && \text{Replace z with 6 } \\j(x) &= \vert 0 \vert − 3 && \text{Simplify } \\ j(x) &= −3 && j(x) \text{ is } −3 \end{aligned}\)
ولذلك، فإن نطاق الدالة\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\) هو −3 أو أعلى، أو كما هو مكتوب بالترميز الفاصل الزمني، هو:\(R:[-3, \infty)\)
يصعب التعامل مع بعض أنواع الوظائف. فيما يلي بعض الأمثلة على الوظائف التي يمكن العثور فيها على المجال ولكن سيكون من الصعب جدًا العثور على النطاق، وخارج نطاق هذه الدورة التدريبية:
ابحث عن مجال الوظائف التالية:
\(f(x) = \dfrac{x − 4 }{x^2 − 2x − 15 }\)
الحل
مع أي دالة كسرية (حاصل القسمة لكثيرات الحدود)، انتبه إلى القسمة على 0. اضبط قيمة المقام كثيرة الحدود التي تساوي 0 وحل.
\(\begin{aligned} x^2 − 2x − 15 &= 0 &&\text{Set the denominator function equal to } 0 \\ (x − 5)(x + 3) &= 0 &&\text{Factor the quadratic equation } \\ x − 5 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ x &= 5 &&\text{Solve the first binomial factor } \\ x + 3 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ x &= −3 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)
هناك حلان للمعادلة التربيعية، وهما 5 و−3.
يجب استبعاد هذه القيم من المجال، لأنه إذا كانت\(x\) القيمة 5 أو −3، فإن المقام يساوي صفرًا.
القسمة على الصفر غير محددة. مجال الوظيفة\(f(x) = x − 4 x^2 − 2x − 15\) هو\((−\infty , −3) \cup (−3, −5) \cup (−5, \infty )\).
ابحث عن مجال الوظيفة التالية:
\(g(x) = \dfrac{x }{x^2 − 9}\)
الحل
مرة أخرى هذه دالة عقلانية، والقلق هو تجنب القسمة على 0. قم بتعيين دالة المقام التي تساوي 0 وحل.
\(\begin{aligned} x^{2}-9&=0 && \text { Set the denominator function equal to } 0 \\ (x-3)(x+3)&=0 &&\text{Factor the quadratic equation} \\ x-3&=0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero} \\ x&=3 &&\text{Solve the first binomial factor}\\ x+3&=0 && \text{Set the second binomial factor equal to zero} \\ x&=-3 && \text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)
هناك حلان للمعادلة التربيعية، وهما 3 و−3. يجب استبعاد هذه القيم من المجال، لأنه إذا كانت\(x\) 3 أو −3، فإن المقام يساوي صفرًا. القسمة على الصفر غير محددة. مجال الوظيفة\(g(x) =\dfrac{ x}{ x^2 − 9 }\) هو\((−\infty , −3) \cup (−3, 3) \cup (3, \infty )\).
ابحث عن مجال الوظيفة التالية:
\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\)
الحل
يجب أن يكون جذر دالة الجذر التربيعي هذه غير سالب. قم بتعيين الجذر الأكبر من أو يساوي 0 وقم بالحل.
\(\begin{aligned} 6 + t − t^2 &\geq 0 &&\text{Set the radicand equal to }0 \\ −t^2 + t + 6 &\geq 0 &&\text{Rewrite the function with the leading term first } \\ (−t + 3)(t + 2) &= 0 && \text{Factor the quadratic equation } \\−t + 3 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ t &= 3 && \text{Solve the first binomial factor } \\ t + 2 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ t &= −2 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)
هناك قيمتان تجعلان الجذر لدالة الجذر التربيعي هذه صفرًا و3 و−2.
نظرًا لأن الراديكوند يجب أن يكون غير سلبي، اختبر المناطق بين الحلول الموجودة.
على سبيل المثال\(x < −2\)، إذا كان −4 سالبًا، فهذا أمر غير مسموح به للراديكند.\(g(−4) = \sqrt{6 + (−4) − (−4)^2}\)
\(x\)إذا كان بين −2 و3، على سبيل المثال، 0،\(g(0) = \sqrt{6 + (0) − (0)^2}\) يكون موجبًا. ستكون هذه المنطقة بين −2 و3 في مجال الدالة.
هناك منطقة أخرى للتحقق منها، أين\(x > 3\). دعونا\(x = 4\). \(g(4) = \sqrt{ 6 + (4) − (4)^2}\)هو سلبي، وهو أمر غير مسموح به للراديكند. مجال الدالة\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\) هو\([−2, 3]\)
ابحث عن مجال ونطاق الوظائف التالية:
- \(f(x) = x ^2 − 8x + 12\)
- \(g(x) = \sqrt{x + 10}\)
- \(h(x) = \vert − 2x + 1\vert\)
ابحث عن مجال الوظائف التالية:
- \(f(x) = \dfrac{6x + 7 }{5x + 2}\)
- \(f(x) = \dfrac{2x }{2x^2 + 3x − 20}\)
- \(f(x) =\dfrac{ 4x + 11 }{x^2 + 6x + 9}\)
- \(f(x) = \dfrac{3x }{x^2 − 5x − 14}\)
- \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{ 6x^2 − x − 2}\)
- \(f(x) = \dfrac{−6 }{25x^2 − 4}\)