Skip to main content
Global

9.8: الأسس الكسرية

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200132

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • قم بتبسيط التعبيرات باستخدام\(a^{\frac{1}{n}}\)
    • قم بتبسيط التعبيرات باستخدام\(a^{\frac{m}{n}}\)
    • استخدم قوانين الأسس لمجرد التعبيرات ذات الأسس النسبية
    كن مستعدًا

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. إضافة:\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
    2. قم بالتبسيط:\((4x^{2}y^{5})^3\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
    3. قم بالتبسيط:\(5^{−3}\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

    قم بتبسيط التعبيرات باستخدام\(a^{\frac{1}{n}}\)

    الأسس النسبية هي طريقة أخرى لكتابة التعبيرات ذات الجذور. عندما نستخدم الأسس النسبية، يمكننا تطبيق خصائص الأسس لتبسيط التعبيرات.

    تقول خاصية الطاقة للأسس أنه\((a^m)^n=a^{m·n}\) عندما تكون m و n أعدادًا صحيحة. لنفترض أننا لا نقتصر الآن على الأرقام الصحيحة.

    لنفترض أننا نريد العثور على رقم p بهذا الشكل\((8^p)^3=8\). سنستخدم خاصية قوة الأسس للعثور على قيمة p.

    \[\begin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8}\\ {\text{Multiply the exponents on the left.}}&{8^{3p}=8}\\ {\text{Write the exponent 1 on the right.}}&{8^{3p}=8^1}\\ {\text{The exponents must be equal.}}&{3p=1}\\ {\text{Solve for p.}}&{p=\frac{1}{3}}\\ \nonumber \end{array}\]

    لكننا نعلم أيضًا\((\sqrt[3]{8})^3=8\). ثم يجب أن يكون ذلك\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\)

    يمكن استخدام هذا المنطق نفسه لأي عدد صحيح موجب س n لإظهار ذلك\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

    التعريف: الأس العقلاني\(a^{\frac{1}{n}}\)

    \(\sqrt[n]{a}\)إنه رقم حقيقي و\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

    ستكون هناك أوقات يكون فيها التعامل مع التعبيرات أسهل إذا كنت تستخدم الأسس المنطقية وأوقات يكون فيها الأمر أسهل إذا كنت تستخدم الجذور. في الأمثلة القليلة الأولى، ستتدرب على تحويل التعبيرات بين هذين الرمزين.

    مثال\(\PageIndex{1}\)

    اكتب كتعبير جذري:

    1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(z^{\frac{1}{4}}\).
    إجابة

    نريد كتابة كل تعبير في النموذج\(\sqrt[n]{a}\).

    1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    مقام الأس هو 2، وبالتالي فإن مؤشر الجذر هو 2. لا نعرض الفهرس عندما يكون 2. \(\sqrt{x}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    مقام الأس هو 3، وبالتالي فإن الفهرس هو 3. \(\sqrt[3]{y}\)
    3. \(z^\frac{1}{4}}\)
    مقام الأس هو 4، وبالتالي فإن الفهرس هو 4. \(\sqrt[4]{z}\)
    مثال\(\PageIndex{2}\)

    اكتب كتعبير جذري:

    1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(r^{\frac{1}{4}}\).
    إجابة
    1. \(\sqrt{t}\)
    2. \(\sqrt[3]{m}\)
    3. \(\sqrt[4]{r}\)
    مثال\(\PageIndex{3}\)

    اكتب كتعبير جذري:

    1. \(b^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(z^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(p^{\frac{1}{4}}\).
    إجابة
    1. \(\sqrt{b}\)
    2. \(\sqrt[3]{z}\)
    3. \(\sqrt[4]{p}\)
    مثال\(\PageIndex{4}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt{x}\)
    2. \(\sqrt[3]{y}\)
    3. \(\sqrt[4]{z}\).
    إجابة

    نريد أن نكتب كل راديكالية في النموذج\(a^{\frac{1}{n}}\).

    1. \(\sqrt{x}\)
    لا يتم عرض أي فهرس، لذلك فهو 2. سيكون مقام الأس هو 2. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{y}\)
    الفهرس هو 3، وبالتالي فإن مقام الأس هو 3. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(\sqrt[4]{z}\)
    الفهرس هو 4، وبالتالي فإن مقام الأس هو 4. \(z^{\frac{1}{4}}\)
    مثال\(\PageIndex{5}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt{s}\)
    2. \(\sqrt[3]{x}\)
    3. \(\sqrt[4]{b}\).
    إجابة
    1. \(s^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(x^{\frac{1}{3}}\)
    3. \ (b^ {\ frac {1} {4}}\
    مثال\(\PageIndex{6}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt{v}\)
    2. \(\sqrt[3]{p}\)
    3. \(\sqrt[4]{p}\).
    إجابة
    1. \(v^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(p^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(p^{\frac{1}{4}}\)
    مثال\(\PageIndex{7}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt{5y}\)
    2. \(\sqrt[3]{4x}\)
    3. \(3\sqrt[4]{5z}\).
    إجابة
    1. \(\sqrt{5y}\)
    لا يتم عرض أي فهرس، لذلك فهو 2. سيكون مقام الأس هو 2. \((5y)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{4x}\)
    الفهرس هو 3، وبالتالي فإن مقام الأس هو 3. \((4x)^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(3\sqrt[4]{5z}\)
    الفهرس هو 4، وبالتالي فإن مقام الأس هو 4. \(3(5z)^{\frac{1}{4}}\)
    مثال\(\PageIndex{8}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt{10m}\)
    2. \(\sqrt[5]{3n}\)
    3. \(3\sqrt[4]{6y}\).
    إجابة
    1. \((10^m)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \((3n)^{\frac{1}{5}}\)
    3. \((486y)^{\frac{1}{4}}\)
    مثال\(\PageIndex{9}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt[7]{3k}\)
    2. \(\sqrt[4]{5j}\)
    3. \(\sqrt[3]{82a}\).
    إجابة
    1. \((3k)^{\frac{1}{7}}\)
    2. \((5j)^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((1024a)^{\frac{1}{3}}\)

    في المثال التالي، قد تجد أنه من الأسهل تبسيط التعبيرات إذا قمت بإعادة كتابتها كجذور أولاً.

    مثال\(\PageIndex{10}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(256^{\frac{1}{4}}\).
    إجابة
    1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
    أعد الكتابة كجذر مربع. \(\sqrt{25}\)
    قم بالتبسيط. 5
    2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
    أعد الكتابة كجذر مكعب. \(\sqrt[3]{64}\)
    التعرف على 64 هو مكعب مثالي. \(\sqrt[3]{4^3}\)
    قم بالتبسيط. 4
    3. \(256^{\frac{1}{4}}\)
    أعد الكتابة كجذر رابع. \(\sqrt[4]{256}\)
    التعرف على 256 هو قوة رابعة مثالية. \(\sqrt[4]{4^4}\)
    قم بالتبسيط. 4
    مثال\(\PageIndex{11}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(16^{\frac{1}{4}}\).
    إجابة
    1. 6
    2. 2
    3. 2
    مثال\(\PageIndex{12}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(81^{\frac{1}{4}}\).
    إجابة
    1. 10
    2. 3
    3. 3

    احذر من وضع العلامات السلبية في المثال التالي. سنحتاج إلى استخدام العقار\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\) في حالة واحدة.

    مثال\(\PageIndex{13}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
    2. \(−64^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\).
    إجابة
    1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
    أعد الكتابة كجذر مكعب. \(\sqrt[3]{−64}\)
    أعد كتابة −64 كمكعب مثالي. \(\sqrt[3]{(−4)^3}\)
    قم بالتبسيط. −4
    2. \(−64^{\frac{1}{3}}\)
    ينطبق الأس فقط على 64. \(−(64^{\frac{1}{3}})\)
    أعد الكتابة كجذر مكعب. \(−\sqrt[3]{64}\)
    أعد كتابة 64 كـ\(4^3\). \(−\sqrt[3]{4^3}\)
    قم بالتبسيط. −4
    3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\)

    أعد الكتابة ككسر ذي أس موجب، باستخدام الخاصية،\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).

    اكتب على هيئة جذر مكعب.

    		 \(\frac{1}{\sqrt[3]{64}}\)
    أعد كتابة 64 كـ\(4^3\). \(\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}\)
    قم بالتبسيط. \(\frac{1}{4}\)
    مثال\(\PageIndex{14}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((−125)^{\frac{1}{3}}\)
    2. \(−125^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((125)^{−\frac{1}{3}}\).
    إجابة
    1. −5
    2. −5
    3. \(\frac{1}{5}\)
    مثال\(\PageIndex{15}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((−32)^{\frac{1}{5}}\)
    2. \(−32^{\frac{1}{5}}\)
    3. \((32)^{−\frac{1}{5}}\).
    إجابة
    1. −2
    2. −2
    3. \(\frac{1}{2}\)
    مثال\(\PageIndex{16}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
    2. \(−16^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\).
    إجابة
    1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
    أعد الكتابة كجذر رابع. \(\sqrt[4]{−16}\)
    لا يوجد عدد حقيقي قوته الرابعة هي −16.  
    2. \(−16^{\frac{1}{4}}\)
    ينطبق الأس فقط على 16. \(−(16^{\frac{1}{4}})\)
    أعد الكتابة كجذر رابع. \(−\sqrt[4]{16}\)
    أعد كتابة 16 كـ\(2^4\) \(−\sqrt[4]{2^4}\)
    قم بالتبسيط. −2
    3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\)

    أعد الكتابة ككسر ذي أس موجب، باستخدام الخاصية،\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).

    		 \(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)
    أعد الكتابة كجذر رابع. \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)
    أعد كتابة 16 كـ\(2^4\). \(\frac{1}{\sqrt[4]{2^4}}\)
    قم بالتبسيط. \(\frac{1}{2}\)
    مثال\(\PageIndex{17}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((−64)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(−64^{\frac{1}{2}}\)
    3. \((64)^{−\frac{1}{2}}\).
    إجابة
    1. −8
    2. −8
    3. \(\frac{1}{8}\)
    مثال\(\PageIndex{18}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((−256)^{\frac{1}{4}}\)
    2. \(−256^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((256)^{−\frac{1}{4}}\).
    إجابة
    1. −4
    2. −4
    3. \(\frac{1}{4}\)

    قم بتبسيط التعبيرات باستخدام\(a^{\frac{m}{n}}\)

    دعونا نعمل مع خاصية الطاقة للأسس أكثر.

    لنفترض أننا نرفع\(a^{\frac{1}{n}}\) إلى القوة m.

    \[\begin{array}{ll} {}&{(a^{\frac{1}{n}})^m}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{\frac{1}{n}·m}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

    الآن لنفترض أننا أخذنا\(a^m\) إلى\(\frac{1}{n}\) السلطة.

    \[\begin{array}{ll} {}&{(a^m)^{\frac{1}{n}}}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{m·\frac{1}{n}}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

    ما الشكل الذي نستخدمه لتبسيط التعبير؟ عادة ما نأخذ الجذر أولاً - وبهذه الطريقة نحافظ على الأرقام في الجذر والأصغر.

    التعريف: الأس العقلاني\(a^{\frac{m}{n}}\)

    بالنسبة للعديد من الأعداد الصحيحة الإيجابية m and n،

    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)

    \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

    مثال\(\PageIndex{19}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt{y^3}\)
    2. \(\sqrt[3]{x^2}\)
    3. \(\sqrt[4]{z^3}\)
    إجابة

    نريد استخدامه\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) لكتابة كل راديكالية في النموذج\(a^{\frac{m}{n}}\).

    1. يقول هذا الشكل: «بسط الأس هو أس y، 3.» ثم يُظهر الجذر التربيعي لـ y المكعب. ثم يقول الشكل: «مقام الأس هو مؤشر الجذر، 2.» ثم يظهر y لقوة 3/2.
    2. يقول هذا الشكل: «بسط الأس هو أس x، 2.» ثم يُظهر الجذر المكعب لـ x squared. ثم يقول الشكل: «مقام الأس هو مؤشر الجذر، 3.» ثم يظهر y لقوة 2/3.
    3. يقول هذا الشكل: «بسط الأس هو أس z، 3.» ثم يُظهر الجذر الرابع للمكعب. ثم يقرأ الشكل: «مقام الأس هو مؤشر الجذر، 4.» ثم يُظهر z لقوة 3/4.
    مثال\(\PageIndex{20}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt{x^5}\)
    2. \(\sqrt[4]{z^3}\)
    3. \(\sqrt[5]{y^2}\).
    إجابة
    1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
    2. \(z^{\frac{3}{4}}\)
    3. \(y^{\frac{2}{5}}\)
    مثال\(\PageIndex{21}\)

    اكتب باستخدام الأس النسبي:

    1. \(\sqrt[5]{a^2}\)
    2. \(\sqrt[3]{b^7}\)
    3. \(\sqrt[4]{m^5}\).
    إجابة
    1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
    2. \(b^{\frac{7}{3}}\)
    3. \(m^{\frac{5}{4}}\)
    مثال\(\PageIndex{22}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(9^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(125^{\frac{2}{3}}\)
    3. \(81^{\frac{3}{4}}\).
    إجابة

    سنعيد كتابة كل تعبير باعتباره تعبيرًا جذريًا أولاً باستخدام الخاصية،\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). يتيح لنا هذا النموذج أخذ الجذر أولاً وبالتالي نحتفظ بالأرقام في الجذر وأصغر مما لو استخدمنا النموذج الآخر.

    1. \(9^{\frac{3}{2}}\)
    قوة الجذر هي بسط الأس، 3. نظرًا لأن مقام الأس هو 2، فهذا هو الجذر التربيعي. \((\sqrt{9})^3\)
    قم بالتبسيط. \(3^3\)
      27
    2. \(125^{\frac{2}{3}}\)
    قوة الجذر هي بسط الأس، 2. نظرًا لأن مقام الأس هو 3، فهذا هو الجذر التربيعي. \((\sqrt[3]{125})^2\)
    قم بالتبسيط. \(5^2\)
      25
    3. \(81^{\frac{3}{4}}\)
    قوة الجذر هي بسط الأس، 2. نظرًا لأن مقام الأس هو 3، فهذا هو الجذر التربيعي. \((\sqrt[4]{81})^3\)
    قم بالتبسيط. \(3^3\)
      27
    مثال\(\PageIndex{23}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
    3. \(625^{\frac{3}{4}}\).
    إجابة
    1. 8
    2. 9
    3. 125
    مثال\(\PageIndex{24}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(8^{\frac{5}{3}}\)
    2. \(81^{\frac{3}{2}}\)
    3. \(16^{\frac{3}{4}}\).
    إجابة
    1. 32
    2. 729
    3. 8

    تذكر ذلك\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). لا تغير العلامة السالبة في الأس علامة التعبير.

    مثال\(\PageIndex{25}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(16^{−\frac{3}{2}}\)
    2. \(32^{−\frac{2}{5}}\)
    3. \(4^{−\frac{5}{2}}\)
    إجابة

    سنعيد كتابة كل تعبير أولاً باستخدام الشكل الجذري\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\) ثم تغييره إلى الشكل الجذري.

    1. \(16^{−\frac{3}{2}}\)
    أعد الكتابة باستخدام\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)
    التغيير إلى الشكل الراديكالي. قوة الجذر هي بسط الأس، 3. الفهرس هو مقام الأس، 2. \(\frac{1}{(\sqrt{16})^3}\)
    قم بالتبسيط. \(\frac{1}{4^3}\)
      \(\frac{1}{64}\)
    2. \(32^{−\frac{2}{5}}\)
    أعد الكتابة باستخدام\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)
    التغيير إلى الشكل الراديكالي. \(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2}\)
    أعد كتابة الراديكاند كقوة. \(\frac{1}{(\sqrt[5]{2^5})^2}\)
    قم بالتبسيط. \(\frac{1}{2^2}\)
      \(\frac{1}{4}\)
    3. \(4^{−\frac{5}{2}}\)
    أعد الكتابة باستخدام\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}\)
    التغيير إلى الشكل الراديكالي. \(\frac{1}{(\sqrt{4})^5}\)
    قم بالتبسيط. \(\frac{1}{2^5}\)
      \(\frac{1}{32}\)
    مثال\(\PageIndex{26}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(8^{−\frac{5}{3}}\)8
    2. \(81^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \(16^{−\frac{3}{4}}\).
    إجابة
    1. \(\frac{1}{32}\)
    2. \(\frac{1}{729}\)
    3. \(\frac{1}{8}\)
    مثال\(\PageIndex{27}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(4^{−\frac{3}{2}}\)
    2. \(27^{−\frac{2}{3}}\)
    3. \(625^{−\frac{3}{4}}\).
    إجابة
    1. \(\frac{1}{8}\)
    2. \(\frac{1}{9}\)
    3. \(\frac{1}{125}\)
    مثال\(\PageIndex{28}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(−25^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\).
    إجابة
    1. \(−25^{\frac{3}{2}}\)
    أعد الكتابة في شكل جذري. \(−(\sqrt{25})^3\)
    تبسيط الراديكالية \(−5^3\)
    قم بالتبسيط. −125
    2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
    أعد الكتابة باستخدام\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(−(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})\)
    أعد الكتابة في شكل جذري. \(−(\frac{1}{(\sqrt{25})^3})\)
    قم بتبسيط الراديكالية. \(−(\frac{1}{5^3})\)
    قم بالتبسيط. \(−\frac{1}{125}\)
    3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\).
    أعد الكتابة في شكل جذري. \((\sqrt{−25})^3\)
    لا يوجد عدد حقيقي جذره التربيعي هو −25. ليس رقمًا حقيقيًا.
    مثال\(\PageIndex{29}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(−16^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−16^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−16)^{−\frac{3}{2}}\).
    إجابة
    1. −64
    2. \(−\frac{1}{64}\)
    3. ليس رقمًا حقيقيًا
    مثال\(\PageIndex{30}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(−81^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−81^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−81)^{−\frac{3}{2}}\).
    إجابة
    1. −729
    2. \(−\frac{1}{729}\)
    3. ليس رقمًا حقيقيًا

    استخدم قوانين الأسس لتبسيط التعبيرات ذات الأسس النسبية

    تنطبق نفس قوانين الأسس التي استخدمناها بالفعل على الأسس المنطقية أيضًا. سنقوم بإدراج خصائص Exponent هنا لجعلها مرجعًا أثناء تبسيط التعبيرات.

    ملخص خصائص الأس

    إذا كانت a و b هي أرقام حقيقية و m و n هي أرقام منطقية، إذن

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{Product Property}}&{a^m·a^n=a^{m+n}}\\ {\textbf{Power Property}}&{(a^m)^n=a^{m·n}}\\ {\textbf{Product to a Power}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}}\\ {\textbf{Quotient Property}}&{\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n}\\ {}&{\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m}\\ {\textbf{Zero Exponent Definition}}&{a^0=1, a \ne 0}\\ {\textbf{Quotient to a Power Property}}&{(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0}\\ \nonumber \end{array}\]

    عندما نضرب نفس القاعدة، نضيف الأسس.

    مثال\(\PageIndex{31}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
    2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
    3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\).
    إجابة
    1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
    القواعد هي نفسها، لذلك نضيف الأسس. \(2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}\)
    أضف الكسور. \(2^{\frac{6}{2}}\)
    قم بتبسيط الأس. \(2^3\)
    قم بالتبسيط. 8
    2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
    القواعد هي نفسها، لذلك نضيف الأسس. \(x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\)
    أضف الكسور. \(x^{\frac{6}{3}}\)
    قم بالتبسيط. \(x^2\)
    3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\)
    القواعد هي نفسها، لذلك نضيف الأسس. \(z^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}\)
    أضف الكسور. \(z^{\frac{8}{4}}\)
    قم بالتبسيط. \(z^2\)
    مثال\(\PageIndex{32}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(3^{\frac{2}{3}}·3^{\frac{4}{3}}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{8}{3}}\)
    3. \(m^{\frac{1}{4}}·m^{\frac{3}{4}}\).
    إجابة
    1. 9
    2. \(y^3\)
    3. م
    مثال\(\PageIndex{33}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(5^{\frac{3}{5}}·5^{\frac{7}{5}}\)
    2. \(z^{\frac{1}{8}}·z^{\frac{7}{8}}\)
    3. \(n^{\frac{2}{7}}·n^{\frac{5}{7}}\).
    إجابة
    1. 25
    2. ض
    3. ن

    سنستخدم خاصية الطاقة في المثال التالي.

    مثال\(\PageIndex{34}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\).
    إجابة
    1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
    لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس. \(x^{4·\frac{1}{2}}\)
    قم بالتبسيط. \(x^2\)
    2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
    لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس. \(y^{6·\frac{1}{3}}\)
    قم بالتبسيط. \(y^2\)
    3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\)
    لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس. \(z^{9·\frac{2}{3}}\)
    قم بالتبسيط. \(z^6\)
    مثال\(\PageIndex{35}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((p^{10})^{\frac{1}{5}}\)
    2. \((q^8)^{\frac{3}{4}}\)
    3. \((x^6)^{\frac{4}{3}}\)
    إجابة
    1. \(p^\)
    2. \(q^6\)
    3. \(x^8\)
    مثال\(\PageIndex{36}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((r^6)^{\frac{5}{3}}\)
    2. \((s^{12})^{\frac{3}{4}}\)
    3. \((m^9)^{\frac{2}{9}}\)
    إجابة
    1. \(r^{10}\)
    2. \(s^9\)
    3. \(m^2\)

    تخبرنا خاصية حاصل القسمة أنه عندما نقسم بنفس القاعدة، فإننا نطرح الأسس.

    مثال\(\PageIndex{37}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
    2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
    3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\).
    إجابة
    1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
    للقسمة باستخدام نفس القاعدة، نطرح الأسس. \(x^{\frac{4}{3}−\frac{1}{3}}\)
    قم بالتبسيط. س
    2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
    للقسمة باستخدام نفس القاعدة، نطرح الأسس. \(y^{\frac{3}{4}−\frac{1}{4}}\)
    قم بالتبسيط. \(y^{\frac{1}{2}}\)
    3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\)
    للقسمة باستخدام نفس القاعدة، نطرح الأسس. \(z^{\frac{2}{3}−\frac{5}{3}}\)
    أعد الكتابة بدون أساس سالب. \(\frac{1}{z}\)
    مثال\(\PageIndex{38}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(\frac{u^{\frac{5}{4}}}{u^{\frac{1}{4}}}\)
    2. \(\frac{v^{\frac{3}{5}}}{v^{\frac{2}{5}}}\)
    3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\).
    إجابة
    1. ش
    2. \(v^{\frac{1}{5}}\)
    3. \(\frac{1}{x}\)
    مثال\(\PageIndex{39}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(\frac{c^{\frac{12}{5}}}{c^{\frac{2}{5}}}\)
    2. \(\frac{m^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{9}{4}}}\)
    3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\).
    إجابة
    1. \(c^2\)
    2. \(\frac{1}{m}\)
    3. \(\frac{1}{d}\)

    في بعض الأحيان نحتاج إلى استخدام أكثر من خاصية واحدة. في المثالين التاليين، سنستخدم كلاً من المنتج إلى خاصية الطاقة ثم خاصية الطاقة.

    مثال\(\PageIndex{40}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
    إجابة
    1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    أولاً نستخدم المنتج في خاصية الطاقة. \((27)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    أعد كتابة 27 كقوة 3. \((3^3)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس. \((3^2)(u^{\frac{1}{3}})\)
    قم بالتبسيط. \(9u^{\frac{1}{3}}\)
    2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
    أولاً نستخدم المنتج في خاصية الطاقة. \((8)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
    أعد كتابة 8 كقوة 2. \((2^3)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
    لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس. \((2^2)(v^{\frac{1}{6}})\)
    قم بالتبسيط. \(4v^{\frac{1}{6}}\)
    مثال\(\PageIndex{41}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(32x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}\)
    2. \((64y^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}\).
    إجابة
    1. \(8x^{\frac{1}{5}}\)
    2. \(4y^{\frac{2}{9}}\)
    مثال\(\PageIndex{42}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((16m^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}\)
    2. \((81n^{\frac{2}{5}})^{\frac{3}{2}}\).
    إجابة
    1. \(64m^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(729n^{\frac{3}{5}}\)
    مثال\(\PageIndex{43}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\).
    إجابة
    1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    أولاً نستخدم المنتج في خاصية الطاقة. \((m^{3})^{\frac{1}{3}}(n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس. \(mn^3\)
    2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
    أولاً نستخدم المنتج في خاصية الطاقة. \((p^{4})^{\frac{1}{4}}(q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
    لرفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس. \(pq^2\)

    سنستخدم كلاً من خصائص المنتج والقسمة في المثال التالي.

    التمارين\(\PageIndex{44}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\).
    إجابة
    1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    استخدم خاصية المنتج في البسط، وأضف الأسس. \(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    استخدم خاصية حاصل القسمة، واطرح الأسس. \(x^{\frac{8}{4}}\)
    قم بالتبسيط. \(x^2\)
    2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
    استخدم خاصية المنتج في البسط، وأضف الأسس. \(\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
    استخدم خاصية حاصل القسمة، واطرح الأسس. \(y^{\frac{9}{3}}\)
    قم بالتبسيط. \(y^3\)
    مثال\(\PageIndex{45}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}}·m^{−\frac{1}{3}}}{m^{−\frac{5}{3}}}\)
    2. \(\frac{n^{\frac{1}{6}}·n}{n^{−\frac{11}{6}}}\).
    إجابة
    1. \(m^2\)
    2. \(n^3\)
    مثال\(\PageIndex{46}\)

    قم بالتبسيط:

    1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}}·u^{−\frac{2}{5}}}{u^{−\frac{13}{5}}}\)
    2. \(\frac{v^{\frac{1}{2}}·v}{v^{−\frac{7}{2}}}\).
    إجابة
    1. \(u^3\)
    2. \(v^5\)

    المفاهيم الرئيسية

    • ملخص خصائص الأس
    • إذا كانت a و b هي أرقام حقيقية و m و n هي أرقام منطقية، إذن
      • خاصية المنتج\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
      • خاصية الطاقة\((a^m)^n=a^{m·n}\)
      • تحويل المنتج إلى مصدر طاقة\((ab)^m=a^{m}b^{m}\)
      • خاصية حاصل القسمة:

        \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n\)

        \(\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m\)

      • تعريف الأس الصفري\(a^0=1, a \ne 0\)
      • حاصل القسمة على خاصية الطاقة\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0\)

    مسرد المصطلحات

    أسس عقلانية
    • \(\sqrt[n]{a}\)إنه رقم حقيقي و\(n \ge 2\)،\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
    • للحصول على أي أعداد صحيحة إيجابية m و n،\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\) و\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)