8.4: جمع وطرح التعبيرات الكسرية ذات المقامات المختلفة
- Page ID
- 200381
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- أوجد القاسم المشترك الأصغر للمقادير الكسرية
- ابحث عن التعبيرات العقلانية المكافئة
- أضف التعبيرات المنطقية ذات المقامات المختلفة
- اطرح المقادير الكسرية ذات المقامات المختلفة
قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.
إذا فاتتك مشكلة، فارجع إلى القسم المدرج وراجع المادة.
- إضافة:\(\frac{7}{10}+\frac{8}{15}\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.7.13. - طرح:\(6(2x+1)−4(x−5)\).
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.10.52. - ابحث عن العامل المشترك الأكبر\(9x^{2}y^{3}\)\(12xy^{5}\)
وإذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 7.1.7. - العامل بالكامل −48n−12
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 7.1.31.
أوجد المقام المشترك الأصغر للمقادير الكسرية
عندما نجمع أو نطرح التعبيرات الكسرية ذات المقامات المختلفة، سنحتاج إلى الحصول على مقامات مشتركة. إذا راجعنا الإجراء الذي استخدمناه مع الكسور العددية، فسوف نعرف ما يجب فعله مع التعبيرات النسبية.
لنلقِ نظرة على المثال\(\frac{7}{12}+\frac{5}{18}\) من Foundations. نظرًا لأن القواسم ليست هي نفسها، كانت الخطوة الأولى هي العثور على القاسم المشترك الأصغر (LCD). تذكر أن شاشة LCD هي المضاعف الأقل شيوعًا بين القواسم. إنه أصغر رقم يمكننا استخدامه كقاسم مشترك.
للعثور على شاشة LCD من 12 إلى 18، قمنا بأخذ كل رقم في الاعتبار في الأعداد الأولية، وقمنا بترتيب أي أعداد أولية شائعة في الأعمدة. ثم قمنا «بإسقاط» جزء أساسي واحد من كل عمود. أخيرًا، قمنا بضرب العوامل للعثور على شاشة LCD.
12=2 · 2 · 3
18=2 · 3 · 3
شاشة LCD = 2 · 2 · 3 · 3
شاشة ال سي دي = 36
نحن نفعل نفس الشيء للتعبيرات العقلانية. ومع ذلك، نترك شاشة LCD في شكل معمول.
- ضع في اعتبارك كل تعبير تمامًا.
- ضع قائمة بعوامل كل تعبير. عوامل المطابقة عموديًا عندما يكون ذلك ممكنًا.
- انزل الأعمدة.
- اضرب العوامل.
تذكر أننا نستبعد دائمًا القيم التي تجعل المقام صفرًا. ما هي قيم xv التي يجب أن نستبعدها في المثال التالي؟
ابحث عن شاشة LCD لـ\(\frac{8}{x^2−2x−3}\)،\(\frac{3x}{x^2+4x+3}\)
- إجابة
-
\(\frac{8}{x^2−2x−3}\)،\(\frac{3x}{x^2+4x+3}\) ضع في اعتبارك كل تعبير تمامًا، مع تحديد العوامل المشتركة. انزل الأعمدة. \(x^2−2x−3=(x−3)(x+1)\) \(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\) اضرب العوامل. شاشة LCD = (x+1) (x−3) (x+3) شاشة LCD هي (x+1) (x−3) (x+3).
ابحث عن شاشة LCD لـ\(\frac{2}{x^2−x−12},\frac{1}{x^2−16}\)
- إجابة
-
(x−4) (x+4) (x+3)
ابحث عن شاشة LCD لـ\(\frac{x}{x^2+8x+15},\frac{5}{x^2+9x+18}\)
- إجابة
-
(x+3) (x+6) (x+5)
ابحث عن التعبيرات النسبية المكافئة
عندما نضيف الكسور العددية، بمجرد العثور على شاشة LCD، نعيد كتابة كل كسر في صورة كسر مكافئ مع شاشة LCD.
سنفعل نفس الشيء للتعبيرات العقلانية.
أعد الكتابة كتعبيرات عقلانية مكافئة بالمقام (x+1) (x−3) (x+3):\(\frac{8}{x^2−2x−3}\)،\(\frac{3x}{x^2+4x+3}\).
- إجابة
-
ضع في اعتبارك كل قاسم. 
ابحث عن شاشة LCD. 
اضرب كل قاسم في العامل «المفقود» واضرب كل بسط بنفس العامل. 
قم بتبسيط البسط. 
أعد الكتابة كتعبيرات عقلانية مكافئة بالمقام (x+3) (x−4) (x+4):
\(\frac{2}{x^2−x−12}\)،\(\frac{1}{x^2−16}\).
- إجابة
-
\(\frac{2x+8}{(x−4)(x+3)(x+4)}\)،
\(\frac{x+3}{(x−4)(x+3)(x+4)}\)
أعد الكتابة كتعبيرات عقلانية مكافئة بالمقام (x+3) (x+5) (x+6)
\(\frac{x}{x^2+8x+15}\)،\(\frac{5}{x^2+9x+18}\).
- إجابة
-
\(\frac{x^2+6x}{(x+3)(x+5)(x+6)}\)،
\(\frac{x+3}{(x+3)(x+5)(x+6)}\)
اجمع مقادير كسرية بمقامات مختلفة
الآن لدينا جميع الخطوات التي نحتاجها لإضافة تعبيرات عقلانية بمقامات مختلفة. كما فعلنا سابقًا، سنقوم بمثال واحد لإضافة الكسور العددية أولاً.
إضافة:\(\frac{7}{12}+\frac{5}{18}\).
- إجابة
-
ابحث عن شاشة LCD مقاس 12 و 18. 
أعد كتابة كل كسر في صورة كسر مكافئ باستخدام شاشة LCD. 
أضف الكسور. 
لا يمكن تبسيط الكسر. 
إضافة:\(\frac{11}{30}+\frac{7}{12}\).
- إجابة
-
\(\frac{19}{20}\)
إضافة:\(\frac{3}{8}+\frac{9}{20}\).
- إجابة
-
\(\frac{33}{40}\)
الآن سنضيف التعبيرات العقلانية التي تكون مقاماتها أحادية الحد.
إضافة:\(\frac{5}{12x^{2}y}+\frac{4}{21xy^2}\).
- إجابة
-
ابحث عن شاشة LCD الخاصة بـ\(12x^{2}y\) و\(21xy^2\)
أعد كتابة كل تعبير منطقي في صورة كسر مكافئ باستخدام شاشة LCD. 
قم بالتبسيط. 
أضف التعبيرات العقلانية. 
لا توجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام. لا يمكن تبسيط الكسر.
إضافة:\(\frac{2}{15a^{2}b}+\frac{5}{6ab^2}\).
- إجابة
-
\(\frac{4b+25a}{30a^{2}b^2}\)
إضافة:\(\frac{5}{16c}+\frac{3}{8cd^2}\).
- إجابة
-
\(\frac{5d^2+6}{16cd^2}\)
نحن الآن على استعداد لمعالجة القواسم متعددة الحدود.
كيفية جمع التعبيرات الكسرية ذات المقامات المختلفة
إضافة:\(\frac{3}{x−3}+\frac{2}{x−2}\).
- إجابة
-
إضافة:\(\frac{2}{x−2}+\frac{5}{x+3}\).
- إجابة
-
\(\frac{7x−4}{(x+3)(x−2)}\)
إضافة:\(\frac{4}{m+3}+\frac{3}{m+4}\).
- إجابة
-
\(\frac{7m+25}{(m+3)(m+4)}\)
يتم تلخيص الخطوات التي يجب استخدامها لإضافة تعبيرات منطقية في مربع الإجراءات التالي.
- حدِّد ما إذا كانت المقادير تحتوي على قاسم مشترك.
نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
لا - أعد كتابة كل تعبير منطقي باستخدام شاشة LCD.
ابحث عن شاشة LCD.
أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD. - أضف التعبيرات العقلانية.
- قم بالتبسيط، إن أمكن.
إضافة:\(\frac{2a}{2ab+b^2}+\frac{3a}{4a^2−b^2}\).
- إجابة
-
هل تحتوي التعبيرات على قاسم مشترك؟ لا.
أعد كتابة كل تعبير باستخدام شاشة LCD.ابحث عن شاشة LCD. 
أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD. 
قم بتبسيط البسط. 
أضف التعبيرات العقلانية. 
قم بتبسيط البسط. 
عامل البسط. 
لا توجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام. لا يمكن تبسيط الكسر.
إضافة:\(\frac{5x}{xy−y^2}+\frac{2x}{x^2+y^2}\).
- إجابة
-
\(\frac{x(5x+7y)}{y(x−y)(x+y)}\)
إضافة:\(\frac{7}{2m+6}+\frac{4}{m^2+4m+3}\).
- إجابة
-
\(\frac{7m+15}{2(m+3)(m+1)}\)
تجنب إغراء التبسيط في وقت مبكر جدًا! في المثال أعلاه، يجب أن نترك التعبير العقلاني الأول\(\frac{2a(2a−b)}{b(2a+b)(2a−b)}\) to be able to add it to \(\frac{3a·b}{(2a+b)(2a−b)·b}\).
إضافة:\(\frac{8}{x^2−2x−3}+\frac{3x}{x^2+4x+3}\).
- إجابة
-
هل تحتوي التعبيرات على قاسم مشترك؟ لا.
أعد كتابة كل تعبير باستخدام شاشة LCD.ابحث عن شاشة LCD. 
أعد كتابة كل تعبير منطقي في صورة كسر مكافئ باستخدام شاشة LCD. 
قم بتبسيط البسط. 
أضف التعبيرات العقلانية. 
قم بتبسيط البسط. 
البسط أساسي، لذلك لا توجد عوامل مشتركة.
إضافة:\(\frac{1}{m^2−m−2}+\frac{5m}{m^2+3m+2}\).
- إجابة
-
\(\frac{5m^2−9m+2}{(m−2)(m+1)(m+2)}\)
إضافة:\(\frac{2n}{n^2−3n−10}+\frac{6}{n^2+5n+6}\).
- إجابة
-
\(\frac{2(n2+6n−15)}{(n+2)(n−5)(n+3)}\)
اطرح المقادير الكسرية ذات المقامات المختلفة
العملية التي نستخدمها لطرح التعبيرات الكسرية ذات المقامات المختلفة هي نفسها المستخدمة في الجمع. علينا فقط أن نكون حذرين للغاية من العلامات عند طرح البسط.
كيفية طرح التعبيرات الكسرية ذات المقامات المختلفة
طرح:\(\frac{x}{x−3}−\frac{x−2}{x+3}\).
- إجابة
-
طرح:\(\frac{y}{y+4}−\frac{y−2}{y−5}\).
- إجابة
-
\(\frac{−7y+8}{(y+4)(y−5)}\)
طرح:\(\frac{z+3}{z+2}−\frac{z}{z+3}\).
- إجابة
-
\(\frac{4z+9}{(z+2)(z+3)}\)
يتم سرد الخطوات التي يجب اتخاذها لطرح التعبيرات العقلانية أدناه.
- حدد ما إذا كان لديهم قاسم مشترك.
نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
لا - أعد كتابة كل تعبير منطقي باستخدام شاشة LCD.
ابحث عن شاشة LCD.
أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD. - اطرح التعبيرات النسبية.
- قم بالتبسيط، إن أمكن.
طرح:\(\frac{8y}{y^2−16}−\frac{4}{y−4}\).
- إجابة
-
هل تحتوي التعبيرات على قاسم مشترك؟ لا.
أعد كتابة كل تعبير باستخدام شاشة LCD.ابحث عن شاشة LCD. 
أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD. 
قم بتبسيط البسط. 
اطرح التعبيرات النسبية. 
قم بتبسيط البسط. 
ضع البسط في الاعتبار للبحث عن العوامل المشتركة. 
قم بإزالة العوامل المشتركة. 
قم بالتبسيط. 
طرح:\(\frac{2x}{x^2−4}−\frac{1}{x+2}\).
- إجابة
-
\(\frac{1}{x−2}\)
طرح:\(\frac{3}{z+3}−\frac{6z}{z^2−9}\).
- إجابة
-
\(\frac{−3}{z−3}\)
هناك الكثير من العلامات السلبية في المثال التالي. كن حذرًا جدًا!
طرح:\(\frac{−3n−9}{n^2+n−6}−\frac{n+3}{2−n}\).
- إجابة
-
عامل المقام. 
بما أن n−2 و2−n متضادان، فسوف نضرب التعبير العقلاني الثاني في\(\frac{−1}{−1}\). 
قم بالتبسيط. 
هل تحتوي التعبيرات على قاسم مشترك؟ لا. ابحث عن شاشة LCD. 
أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD. 
قم بتبسيط البسط. 
قم بتبسيط التعبيرات العقلانية. 
قم بتبسيط البسط. 
ضع البسط في الاعتبار للبحث عن العوامل المشتركة. 
قم بالتبسيط. 
طرح:\(\frac{3x−1}{x^2−5x−6}−\frac{2}{6−x}\).
- إجابة
-
\(\frac{1}{x−6}\)
طرح:\(\frac{−2y−2}{y^2+2y−8}−\frac{y−1}{2−y}\).
- إجابة
-
\(\frac{y+3}{y+4}\)
عندما لا يكون أحد التعبيرات في صورة كسر، يمكننا كتابته ككسر بمقامه 1.
طرح:\(\frac{5c+4}{c−2}−3\).
- إجابة
-
اكتب ٣ بحيث\(\frac{3}{1}\) يكون لديك تعبيران كسريان. 
هل تحتوي التعبيرات العقلانية على قاسم مشترك؟ لا. ابحث عن شاشة LCD لـ c−2 و1. شاشة ال سي دي = c−2. أعد الكتابة\(\frac{3}{1}\) كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD. 
قم بالتبسيط. 
اطرح التعبيرات النسبية. 
قم بالتبسيط. 
عامل للتحقق من العوامل المشتركة. 
لا توجد عوامل مشتركة؛ يتم تبسيط التعبير العقلاني.
طرح:\(\frac{2x+1}{x−7}−3\).
- إجابة
-
\(\frac{−x+22}{x−7}\)
طرح:\(\frac{4y+3}{2y−1}−5\).
- إجابة
-
\(\frac{−2(3y−4)}{2y−1}\)
- حدِّد ما إذا كانت المقادير تحتوي على قاسم مشترك.
نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
لا - أعد كتابة كل تعبير منطقي باستخدام شاشة LCD.
ابحث عن شاشة LCD.
أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD. - قم بإضافة التعبيرات العقلانية أو طرحها.
- قم بالتبسيط، إن أمكن.
نتبع نفس الخطوات السابقة للعثور على شاشة LCD عندما يكون لدينا أكثر من تعبيرين منطقيين. في المثال التالي، سنبدأ بحساب جميع القواسم الثلاثة للعثور على شاشة LCD الخاصة بها.
قم بالتبسيط:\(\frac{2u}{u−1}+\frac{1}{u}−\frac{2u−1}{u^2−u}\).
- إجابة
-
هل تحتوي التعبيرات العقلانية على قاسم مشترك؟ لا. ابحث عن شاشة LCD. 
أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD. 
اكتب كتعبير منطقي واحد. 
قم بالتبسيط. 
ضع البسط في الاعتبار وأزل العوامل المشتركة. 
قم بالتبسيط. 
قم بالتبسيط:\(\frac{v}{v+1}+\frac{3}{v−1}−\frac{6}{v^2−1}\).
- إجابة
-
\(\frac{v+3}{v+1}\)
أضف نص التمارين هنا. قم بالتبسيط:\(\frac{3w}{w+2}+\frac{2}{w+7}−\frac{17w+4}{w^2+9w+14}\).
- إجابة
-
\(\frac{3w}{w+7}\)
المفاهيم الرئيسية
- أوجد المقام المشترك الأصغر للمقادير الكسرية
- ضع في اعتبارك كل تعبير تمامًا.
- ضع قائمة بعوامل كل تعبير. عوامل المطابقة عموديًا عندما يكون ذلك ممكنًا.
- انزل الأعمدة.
- اضرب العوامل.
- جمع التعبيرات النسبية أو طرحها
- حدِّد ما إذا كانت المقادير تحتوي على قاسم مشترك.
نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
لا - أعد كتابة كل تعبير منطقي باستخدام شاشة LCD.- ابحث عن شاشة LCD.
- أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير عقلاني مكافئ باستخدام شاشة LCD.
- قم بإضافة التعبيرات العقلانية أو طرحها.
- قم بالتبسيط، إن أمكن.
- حدِّد ما إذا كانت المقادير تحتوي على قاسم مشترك.